Постановка формализованной оптимизационной задачи: найти x,y D, обеспечивающие минимум критерию f0, т.е.

f0 (x, y) → min

x, y D

Сформулированная задача заключается в минимизации функции двух переменных, на которые наложено условие принадлежности к множеству D (задача на условный экстремум функции многих переменных).

2.5. Определение оптимальных настроек АСР

Автоматическая система регулирования ТОУ (АСР) содержит стабилизирующий пропорционально-интегральный (ПИ) регулятор с двумя параметрами настройки. Требуется выбрать настройки регулятора, обеспечивающие наилучшее качество регулирования.

Обозначим регулируемую координату ТОУ через y, регулирующее воздействие через z. Уравнение динамики регулятора имеет вид:

z& = f1(z, y, x1, x2 ),

где x1, x2 – обозначения параметров настройки, f1 – линейная функция z, y.

Качество переходных процессов в АСР можно количественно оценить величиной интегрального квадратичного критерия

∞

f0 (x1 , x2 ) = ∫y2 (t)dt ,

0

значение которого для данного ТОУ зависит только от выбора переменных x1, x2, т.е. f0 = f0(x1, x2). Функция f0 зависит от x1, x2 неявно. Для вычисления f0 по заданным x1, x2 необходимо решить кроме уравнения регулятора еще одно дифференциальное уравнение, описывающее динамику ТОУ.

y& = f2 ( y, z)

13

Оптимизационная задача выбора параметров настроек x1, x2 ПИ– регулятора из условия обеспечения наилучшего качества переходных процессов y(t) записывается в следующем формализованном виде:

и при соблюдении связей на z, y – в форме дифференциальных уравнений:

Сформулированная задача представляет задачу на условный экстремум функции двух переменных f0(x1,x2).

2.6. Распределение нагрузки между параллельными агрегатами

Технологический процесс реализуется n параллельно включенными агрегатами с общими коллекторами по сырью и продукту. Заданная нагрузка по сырью xc выполняется всеми агрегатами, а их суммарная производительность при этом должна быть наибольшей.

Расход сырья на i-й агрегат обозначим через xi, а выход продукта – yi, i=1,2,…,n. Тогда общий расход сырья xc :

i=1

а суммарная производительность

n

f0 = ∑yi ,

i=1

где f0 – критерий оптимальности задачи.

Производительность i-го агрегата зависит при прочих равных обстоятельствах от расхода xi.

yi = fi(xi), i = 1,2,…,n,

где yi – некоторая функция от xi (статическая или нагрузочная характе-

14

ристика агрегата). С учетом этой зависимости критерий оптимальности принимает вид:

n

f0 (x) = ∑ fi (xi ),

i=1

где x = {x1,x2,…,xn} – вектор "свободных" переменных (управлений). Множество допустимых управлений D определено естественными

физическими ограничениями на каждую переменную xi:

Кроме того, по условию задачи все переменные связаны дополнительным соотношением (2.1).

Следовательно

Оптимизационная задача заключается в нахождении таких расхо-

дов сырья xi , i =1,n , при которых суммарный выход продукта максимален, т.е.

и выполняются ограничения на каждую xi и связь (2.1). Сформулированная задача является оптимизационной задачей на

максимум функции n переменных, на которые наложены дополнительные условия в форме автономных ограничений (2.2) и уравнение связи (задача на условный экстремум функции многих переменных).

2.7. Оптимизация температурного режима реактора периодического действия

В периодически работающем реакторе проводится гомогенный химический процесс, заключающийся в получении из жидкофазной смеси веществ А и Б целевого продукта В и побочного компонента С. Ско-

15

рости образования В и С зависят от концентраций веществ А, Б и температуры реакционной смеси, которая может изменяться в некотором интервале. Требуется найти такой температурный режим реактора, чтобы к заданному моменту времени t1 выход вещества B был наибольшим.

Введем условные обозначения:

yА, yБ, yВ, yС – концентрации веществ А, Б, В, С; Т – температура реакционной смеси;

t – время, 0 ≤ t ≤ t1;

WВ(yА,yБ,T), WС(yА,yБ,T) – скорости образования веществ B и С в химических реакциях

μA A + μББ → В, A + μВВ → μСС,

где μА, μБ, μВ, μС – стехиометрические коэффициенты;

ϕВ(yА, yБ, yВ, yАО, yБО, μА, μБ) = 0, ϕС(yА, yВ, yС, yАО, μВ, μС) = 0 – уравнения

материального баланса по веществам В и С (здесь: yАО, yБО – начальные концентрации веществ А и Б при t=0).

Критерием оптимальности в рассматриваемой задаче служит концентрация вещества В в момент времени t1:

t1

f0 = yВ(t1) = ∫WВ( yА, yБ ,T )dt

0

Критерий f0 зависит от переменных yА, yБ и Т. Однако, "свободным" управлением здесь является только температура Т, так как концентрации yА и yБ однозначно определяются через скорости WВ, WС и уравнения материального баланса ϕВ( ) = 0 и ϕС( ) = 0. Температура Т изменяется во времени t, поэтому есть функция от функции T(t) или функционал.

По условию задачи температура в каждый момент времени t ограничена сверху и снизу

T − ≤T (t) ≤T +,

где значения T−, T+ определены технологией химического процесса. Множество допустимых решений задачи имеет вид:

16