точкам xа, xb, xc:

6. Проверяем условие окончания поиска: f (x* ) − f (xm ) < ε ,

где xm – одна из точек xа, xb, xc, в которой значение целевой функции максимально;

– если условие выполняется, то считается, что поиск экстремума заканчивается и экстремум найден в точке x*;

– иначе, x = x 2 и переходим к шагу 2, причем x0 = x*.

Данная циклическая процедура будет выполняться до тех пор, пока не будут выполнены условия на 6 шаге.

7.10. Метод квадратичной интерполяции

Метод квадратичной интерполяции используют для поиска точки минимума х* непрерывной функции f(x), определенной на множестве

D ={x : a ≤ x ≤ b} . Из области допустимых значений D выделяется подмножество D1, в котором расположена точка экстремума х*, и аппроксимируется функция f(x) (х принадлежит подмножеству D1) некоторой сильно выпуклой функцией вида:

ϕ(x) = a1 x2 + a2 x + a3

Далее аналитическим методом находится точка минимума x4 функции ϕ(x) из необходимого условия существования экстремума

которая тем ближе к точке х*, чем ближе функция ϕ(x) к f0(x) на подмно73

жестве D1.

Для нахождения множества D и коэффициентов a, b, c функции ϕ(x) необходимо подобрать вблизи предполагаемого минимума x4 точки x1, x2, x3, такие, что крайние ординаты больше средней ординаты, т.е. при x1<x2<x3 было справедливо неравенство:

f (x1 ) > f (x2 ) < f (x3 ).

По условию интерполяции значения аппроксимирующей параболы ϕ(xi) должны совпадать со значениями целевой функции f(xi), ϕ(xi) = f(xi), i = 1,2,3. В результате получается система линейных уравнений, относи-

тельно неизвестных коэффициентов ai (i =1,3):

Далее находятся неизвестные коэффициенты по методу Крамера:

С учетом соотношений (7.16) и (7.17) получается выражение для определения точки x4 непосредственно через xi, fi,(i=1,2,3):

Следует заметить, что в (7.18) знаменатель x6 должен быть отличен от нуля. Если точки x1, x2, x3, близки друг к другу, то это условие нарушается.

74

Алгоритм метода квадратичной интерполяции:

1.Вводим а, b, погрешность eps определения точки локального минимума. Вычисляем шаг h=0,2·(b–a). В качестве точки x2 берем середину отрезка [a,b], т.е. x2=(а+b)/2. Вычисляем f2=f (x2). Полагаем x1 равным x2. N=1.

2.Если оба условия N = 1 и (x1–h) ≥ a выполняются, переходим к шагу 3, иначе − к шагу 6.

3.x1 = x1 – h. Вычисляем f1 = f (x1).

4.Если условие f1 > f2 выполняется, то полагаем N = 0 (точка x1 найдена).

5.Возвращаемся на шаг 2.

6.Если условие N = 1 выполняется, то это означает, что точка x1 < x2, для которой f(x1) > f(x2) не найдена. Печать "нет x1, уменьшить a". Выход из программы;

7.N=1, x3=x2.

8.Если хотя бы одно из условий N = 1 или (x3+h) ≤ b не выполняется, то переходим к шагу 12.

9.Вычисляем x3 = x3 + h, f3 = f (x3).

10.Если условие f3 > f2 выполняется, полагаем N = 0 (т.е. точка x3

найдена).

11.Возвращаемся к шагу 8.

12.Если условие N = 1 выполняется, то печать "x3>x2 такое, что, f(x3)>f(x2) не найдено. Увеличить b." Выход из программы.

13.Увеличиваем счетчик итерации N = N + 1. Вычисляем x5 (числитель формулы (7.18)) и x6 (знаменатель формулы (7.18)).

14.Если знаменатель отличен от нуля, т.е. |x6| < eps, то полагаем R=0 и переходим к шагу 20.

x

15. Находим точку минимума параболы x4 = x5 . Вычисляем

6

f4=f(x4), R=f '(x4).

16.Если условие |R| < eps выполняется, то это означает, что точка x4 является и точкой минимума целевой функции f, поэтому полагаем x2 = x4 и переходим к шагу 20.

75

17. Производим выбор интервала, в котором лежит точка x* = arg min f (x). Для этого проверяем условие f4 < f2? Если да, то переход к шагу 18, если нет, то к шагу 21.

18.Если условие x4 < x2 выполняется, то полагаем x3 = x2, f3 = f2, иначе x1 = x2, f1 = f2.

19.x2 = x4, f2 = f4.

20.Проверяем условие выхода из цикла |R|<eps ?

–да, печать 'x*= ',x2,'min f= ',f (x2), ' f '(x2)= ',PR(x2), 'N= ',N, конец.

–нет, возврат на шаг 13.

21.Проверяем условие x4 > x2? Если условие выполняется, то полагаем x3=x2, f3=f2 и переходим на п.20, иначе, полагаем x1=x4, f1=f4 и переходим к шагу 20.

Ниже приведена программа поиска минимума функции

f = x3 – 3x2 – 9x – 10, x [2,4]

рассмотренным методом на языке Турбо-Паскаль, блок-схема алгоритма представлена на рисунке 12(а,б):

program kvadr_interp; Var

a,b,eps,x1,x2,x3,x4,x5,x6,f1,f2,f3,f4,R,h : real; N : byte;

function f(x:real):real; {функция цели} begin

f:=x*sqr(x)-3*sqr(x)-9*x-10; end;

function PR(x:real):real; {первая производная} begin

PR:=3*sqr(x)-6*x-9; end;

begin

Writeln('ввод a<b, eps'); read(a,b,eps); h:=0.2*(b-a); x2:=(a+b)/2; f2:=f(x2); x1:=x2; N:=1;

{поиск x1<x2 такого, что f(x1)>f(x2)}

76

While (N=1) and ((x1-h)>=a) Do begin

x1:=x1-h; f1:=f(x1); if f1>f2 then N:=0; end;

if N=1 then begin

Writeln('x1 не найдена, уменьшить а'); readln;

exit {выход из программы} end;

N:=1; x3:=x2;

{поиск x3>x2 такого, что f (x3)>f (x2)} While (N=1) anD ((x3+h)<=b) Do

begin

x3:=x3+h; f3:=f(x3); if f3>f2 then N:=0; end;

if N=1 then begin

Writeln('x3 не найдена, увеличить b'); readln;

exit {выход из программы} end;

repeat N:=N+1;

x5:=(sqr(x3)-sqr(x2))*f1+(sqr(x1)- sqr(x3))*f2+(sqr(x2)-sqr(x1))*f3;

x6:=2*((x3-x2)*f1+(x1-x3)*f2+(x2-x1)*f3); if abs(x6)<eps then

r:=0 {знаменатель равен нулю} else begin

{вычисление точки минимума параболы x4} x4:=x5/x6; f4:=f(x4);

r:=PR(x4);

if abs(R)<eps then x2:=x4 {точки минимума

параболы и функции совпали}

77

else begin {определение подинтервала, содержащего точку минимума функции f(x)}

if f4<f2 then begin

if f4<f2 then begin

x3:=x2; f3:=f2 end

else begin x1:=x4; f1:=f4 end;

x2:=x4; f2:=f4; end

else

if x4>x2 then begin

x3:=x2; f3:=f2; end

else begin x1:=x4; f1:=f4 end;

end;

end;

untiL abs(R)<eps; Writeln('x=',x2:15:10,'min f=',f(x2):15:10,

'Df/Dx=',pr(x2):15:10,'N=',N);

end.

Приведем результаты работы программы при различных eps:

78