Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Оптимизация, численные методы.pdf
Скачиваний:
355
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
909.58 Кб
Скачать

В обобщенной задаче минимизации

f (x) → inf, x G

под решением понимают не отдельную точку, как это имеет место в обычной задаче оптимизации, а последовательность точек

{xk }k =1,

xk G ,

k = 1,2, ...,

такую, что

 

 

lim f (xk ) = inf

f (x) = f 0 .

k →∞

x G

 

Эта последовательность всегда существует и называется минимизирующей последовательностью.

Таким образом, обобщенная задача минимизации целевой функции f на множестве G заключается в отыскании числа f 0 и последова-

тельности

 

 

{xk }k =1, xk G ,

k = 1,2, ...,

таких, что выполняются равенства

 

 

lim f (xk ) = f 0

, f 0

= inf f (x) .

k →∞

 

x G

Если

inf f (x) = −∞,

x G

то искомая последовательность удовлетворяет условию

lim f (xk ) = −∞.

k →∞

4.3. Задачи оптимизации без ограничений

Рассмотрим задачу безусловной минимизации

f (х) → min, х Rn.

Имеет место следующее утверждение, которое представляет собой обобщение известной из математического анализа теоремы Ферма

34

(4.2) на случай функции n переменных.

Теорема 4.2:

Пусть функция u = f (x), х Rn дифференцируема в точке х0. Для того, чтобы х0 была точкой локального минимума функции f, необходимо, чтобы ее дифференциал обращался в нуль при х=x0:

f (х0) = 0n ,

(4.4)

т.е. градиент должен являться нуль-вектором.

Так как точка глобального минимума является и точкой локального минимума функции, то равенство (4.4) представляет собой также необходимое условие того, чтобы х0 была точкой глобального минимума в задаче без ограничений.

В соответствии с теоремой 4.2, дифференцируемая функция f может иметь локальный (значит, и глобальный) минимум в задачах без ограничений только в точках, где градиент является нуль-вектором. Следовательно, решение задачи безусловной минимизации функции f следует искать среди решений векторного уравнения (4.4), которое в координатной форме представляет собой систему уравнений

f (x)

= 0, i =1,2,..., n.

(4.5)

 

xi

 

Решения этой системы называются стационарными точками функции f. Если известно, что множество стационарных точек конечно, то, сравнивая значения функции f в них, может быть найдена точка ее глобального минимума.

Следует, однако, заметить, что решение системы уравнений (4.5) не всегда возможно аналитически, в этом случае ее решают численными методами.

Условие (4.4) не является достаточным для наличия в стационарной точке х0 локального минимума. Это означает, что стационарная точка может оказаться точкой локального или глобального максимума или являться седловой точкой A (рис.5), где в одном направлении функция возрастает, а в другом убывает.

35

A

Рис.5. Седловая точка А

В этом легко убедиться на следующем примере. Пусть f (x)=x1 x2. Тогда

f (x)

= x

2

,

f (x)

= x .

 

 

x1

 

1

 

 

x2

В точке x0 = (0,0):

f (x0 ) = f (x0 ) = 0,

x1 x2

следовательно:

f (x0 ) = 02

и, кроме того,

f (02 ) = 0 .

Однако здесь при любых х1 ≠ 0 и х2 ≠ 0 имеем x1 x2 > 0, если х1, х2 одинаковых знаков, и x1 x2 < 0, если х1, х2 противоположных знаков, т.е. значение f (02) = 0 не является наименьшим ни в какой окрестности точки (0,0). А это по определению означает, что точка (0,0) не является точкой минимума данной функции.

Следующее утверждение устанавливает достаточные условия существования локального минимума в стационарных точках [8].

36

Теорема 4.3:

Для того чтобы дважды непрерывно дифференцируемая функция f (x), х Rn, имела в стационарной точке х0 локальный минимум достаточно, чтобы квадратичная форма была положительно определена, т.е. Выполнялось неравенство

n n

2

f (x

0

)

 

∑∑

 

 

dxidx j >0 ,

xixj

 

i =1 j =1

 

 

для dx = (dx1 , dx2 ,..., dxn ) Rn и dx 0n.

Пример 3:

Проиллюстрируем вышеизложенное на следующей задаче: найти точки экстремума функции

u = f (x) =

x2

+ x22 extr,

 

1

для х R2.

2

 

 

 

Из необходимых условий (4.5) имеем:

f (x)

= x ,

f (x)

= 2x .

 

 

1

2

x1

x2

Следовательно, х0 = (0,0) – стационарная точка. Частные производные второго порядка данной функции имеют вид

 

 

 

 

2 f

(x)

=1,

2 f (x)

=

2 f

(x)

= 0,

2 f (x)

= 2.

 

 

 

 

 

x

x x

2

x

x

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

2

1

 

2

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

(x

0

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑∑

f

 

dxidxj = dx12 + 2dx22 >0 x = (dx1, dx2 ) R2 и dx 02.

x

x

j

 

i=1

j =1

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно теореме 4.3 получим: (0,0) – точка минимума. Отметим, что графиком рассматриваемой функции является эллиптический параболоид с вершиной в точке (0,0).

37