Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Оптимизация, численные методы.pdf
Скачиваний:
263
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
909.58 Кб
Скачать

8.ЗАДАНИЯ

8.1.Исследование функции на выпуклость (вогнутость)

Исследовать функцию на выпуклость (вогнутость) на заданном множестве X:

1)

f (X ) = 5x4

+ x6

+ x2

13x +7x 8

, X = R 4

 

1

2

 

3

 

 

 

 

1

 

3

 

 

2)

f (X ) =8x2

+5x

2

+ 4x x

2

, X = R 2

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3)

f (X ) = 2x2

+ x2

+ 2x2

+ x

2

x 6x x

3

, X = R 3

 

1

2

 

 

3

 

 

 

1

1

 

4)

f (X ) = 4x2

+3x2

+ x 4x

2

x

 

, X = R 2

 

 

1

 

2

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

f (X ) = 3x2

+ 2x2

+2x2

 

2x

x 2x x

, X = R 3

 

1

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

1

 

3

 

6)

f (X ) = x2 +5x2

+ 2x2

+4x

2

x 2x x

3

, X = R 3

 

1

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

7)

f (X ) = −2x2 + x2

+ 2x2

x

2

x +6x x

, X = R 3

 

 

1

2

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

3

 

 

8)

f (X ) = 2x2

+ x2

2x2

x

2

x +2x x

, X = R 3

 

1

2

 

3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

3

 

 

 

9)

f (X ) = 2x2

+ x2

+ 2x2

6x x

3

, X = R 3

 

 

1

2

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

f (X ) = x2

+ 2x2

5x

2

x 2x x

3

x2

,

X = R 3

 

2

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

11)f (X ) = x16 + x22 + x32 + x42 +10x1 +5x2 3x4 20 , X = R 4

12)f (X ) = exp(2x1 + x2 ) , X = R 2

13)f (X ) = −x13 x23 x33 +10x1 x2 +15x3 +6 , X = {X | x 0; X = R 3}

14)f (X ) = x12 + x22 + 12 x32 + x1x2 x3 +10 , X = R 3

15)f (X ) = −x12 x22 2x32 + x1x2 + x1x3 + x2 x3 +5x2 , X = R 3

16)f (X ) = x13 +2x33 +10x1 + x2 5x3 +6 , X = {X | x 0; X = R 3}

17)f (X ) = − 12 x22 + 12 x34 + 2x2 x3 +11x1 +6 , X = {X | x 0; X = R 3}

18)f ( X ) = (x12 x2 )2 , X = R 2

19)f (X ) = x1 exp(x1 x2 ) , X = R 2

93

20)

f (X ) =3x2

+ x2 +2x2

+ x x

2

6x x

,

 

X = R 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

3

1

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21)

f (X ) = 5x2

+

1 x2 + 4x2 + x

 

x

+ 2x x

 

+2x

 

x

 

+ x

 

, X = R 3

 

 

1

 

2

 

2

3

 

2

1

 

 

1

 

3

 

 

2

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

22)

f (X ) = −2x2

1 x2 5x2 +

1 x

 

x

+2x x

+ x

 

 

x

+3x

2x

 

+6 , X = R 3

 

 

1

 

2

2

3

 

2

2

1

 

 

 

1

3

 

 

2

3

 

 

1

 

2

 

23)

f (X ) = x2 +2x

2

4x

+2x

2

,

X = R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.2.Варианты задач безусловной оптимизации

1.Используя аналитический метод поиска экстремума найти стационарные точки критерия оптимальности f(x) и определить, какие точки являются точками локальных минимума и максимума.

2.Найти точки глобальных минимума и максимума на заданном интервале, если таковые имеются.

3.Разработать блок-схему и программу поиска min f(x) заданным методом. Выполнить три итерации метода вручную.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

 

 

 

 

Функция цели и интервал поиска экстремума

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция f (x)=…

 

Интервал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x 3 + 2 x 2 x + 3

 

5 x 5

2

 

 

5x6 36x5 +82,5x4 60x3 + 36

 

1 x 4

3

 

 

x3 +3x2 +9x +10

 

2 x 4

4

 

 

(2x +1)2 (x 4)

 

1 x 3

5

 

 

2x2 + (36 / x)

 

1 x 5

6

 

 

36 x 5 + 82.5x 4 60 x 3 + 3

 

4 x 4

7

 

 

3x2 + (12 / x3 ) 5

 

0,5 x 2,5

8

 

 

4 x2 / 30 2 x / 3 + 24

 

5 x 10

 

 

 

 

 

 

94

9

1

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

x 1 x2

 

1 x 1

 

Продолжение таблицы 1

 

 

 

2

 

4

(x 5)e x

 

3 x 5

x2 2 x + 2

 

0 x 2

x2 /(2x 1)

 

2 x 3

x3 + 3x

 

2 x 3

x3 3x + 2

 

2 x 2

xe ( x2 / 2)

 

2 x 2

x2 + e x

 

1 x 0

3x4 4 x3 12 x2 + 2

 

2 x 1

2πx2 + 2 / x

 

0,1 x 2

4πx2 +1/(πx2 )

 

0,1 x 2

x / ln( x)

 

1 x 3

x4 4 x3 + 6 x2 4 x

 

0 x 2

x4 2 x2 + 3

 

2 x 2

ln( x2 +1)

 

1 x 1

(2 x 1)3 ( x 3)2

 

1 x 4

(x3 + 4) / x2

 

1 x 3

4x( x 2 1)

 

1 x 2

2 x 2 (x +10)

 

6 x 5

x 4 + 10 x 2 20

 

5 x 5

(x +10) x 2 + 3

 

5 x 3

3x 2 3x + 2

 

3 x 3

4 x 2 x

 

1 x 1

ln( 4x 2 + 3) + x 2 +1

 

2 x 2

ln( x 2 + 3) + ( x + 3) 2 +1

 

3 x 0

 

95

34

e x 2 +1

1 x 1

35

(e) x2 ( x + 2) 2

0,5 x 1,3

8.3. Варианты задач условной оптимизации

Решить задачу условной оптимизации и определить характер стационарных точек:

а) методом неопределенных множителей Лагранжа;

б) методом исключения неизвестных, если nm=1, где n – число неизвестных, m – число уравнений связи.

f = 4x +3y extr

1)x2 + y2 =1 ;

f = x2 + y2 extr

2)3x + 4y =1;

f = exy extr

3)x + y =1;

f = 5x2 + 4xy + y2 extr

4)x + y =1;

f = 3x2 + 4xy + y2 extr

5)x + y =1;

f = xy2 z3 extr

6)x + y + z =1;

f = xyz extr

x2 + y2 + z2 =1

x + y + z = 0;

8)Разделить число 8 на две части так, чтобы произведение их произведения на разность было максимально (задача Тартальи);

9)Вписать в круг прямоугольник максимальной площади;

10)Среди цилиндров, вписанных в шар единичного радиуса, найти цилиндр с максимальным объемом (задача Кеплера);

96

11)Вписать в единичный шар конус наибольшего объема;

12)Среди конусов, вписанных в шар единичного радиуса, найти конус с максимальной боковой поверхностью;

13)Вписать в шар прямоугольный параллелепипед наибольшего объема;

14)На стороне BC треугольника АВС найти такую точку Е, чтобы параллелограмм ADEF, у которого точка D и F лежат соответственно на строках AB и AC, имея наибольшую площадь (задача Евклида);

15)Вписать в круг треугольник максимальной площади;

16)Среди треугольников данного периметра найти треугольник наибольшей площади;

17)Дан круг радиуса единица. На диаметре АВ дана точка Е, через которую проведена хорда CD. Найти положение хорды, при которой площадь четырехугольника ACBD максимальна;

18)Вписать в круг треугольник с максимальной суммой квадратов сторон;

19)

В эллипс

x2

+

 

y2

=1

вписать прямоугольник наибольшей пло-

a

2

 

b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щади со сторонами, параллельными осям координат;

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

y2

 

z2

20)

В эллипсоид

 

 

 

 

+

 

 

 

+

 

 

=1 вписать прямоугольный паралле-

 

a

2

 

b

2

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лепипед наибольшего объема с ребрами, параллельными осям координат;

21)

f

=

1

+

1

extr ,

при

 

x2

 

 

 

x1

 

 

22)

f

= x13 + x23

extr ,

при

1 + 1 =1

x12 x22

x

+ x

 

= 2

1

 

2

i =1,2

xi

0,

23)

f

= x12 x2 (4 x1

x2 ) extr ,

при

x1

+ 2x2

= 4

23)

f

= x12 x2 (4 x1

x2 ) extr ,

при

x1

+ 2x2

= 4

24)

f

= 9x12 + 4x22 + x32 (3x12 + 2x22 + x32 ) extr , при x12 + x22 + x32 =1

97

 

x

+ x

 

= 4

25) f = x1x2 + x2x3 extr , при

1

 

2

= 4

 

x2 + x3

26) f = 3 x12 + 2 x1 x 2 + 2 x 22

extr , при 4x12 +2x22 = 9

2x1 x2 + x2 x3 =12

27) f = x1,x2,x3 extr , при 2x1 x2 =8

 

 

 

 

 

2

 

 

2

=19

 

f0 (x) = 3x12 +2x1 +2x22 +4x2 x3

 

 

x1

+2x2

 

28)

extr , при x

 

+2x

2

x

3

=11

 

 

 

1

 

 

 

 

29)Функция, связывающая себестоимость x с затратами ресурсов y1 и y2 имеет вид

x = 2y12 + y22 16y1 12y2 + 68 .

Найти затраты ресурсов, при которых себестоимость имеет наименьшее значение, а суммарная стоимость затрат ресурсов равна 16. Если стоимость единицы первого фактора равна 1 ден.ед., второго – 2 ден.ед;

30) Производственная функция, x = 5y1 y2 , где y1 – численность работающих, y2 – число единиц оборудования, общие затраты предприятия формализуются соотношением: y1 + y2 =100 . Определить максимальный объем выпуска при ограниченных ресурсах предприятия;

31)Найти оптимальный план потребления благ (y1*;y2*), максимизирующий функцию полезности потребителя

 

 

u =100

1

 

 

max

 

 

 

y

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

при

условии

соблюдения

 

 

бюджетного

ограничения

p1 y1 + p2 y2 = IN ,

где цена

одной единицы благ P1=1 ден.ед.,

P2=3 ден.ед., а доход потребителя IN=6 ден.ед.

32) Найти экстремум функции и оптимальные управления:

f (x) = x1 x2 extr, 3x1+x2 = 6

98

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.