4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ

4.1. Целевая функция. Локальный и глобальный оптимумы

Оптимизационная задача в евклидовом пространстве Rn представляет собой отыскание наименьшего или наибольшего значения некоторой скалярной функции

u = f (x), x Ω Rn,

на заданном множестве G Ω.

Эта задача записывается следующим образом

при этом функцию f называют целевой функцией или критерием оптимальности, множество G – множеством возможных (допустимых) решений задачи (4.1), а точки х G – ее допустимыми точками.

Задача (4.1) называется задачей без ограничений или задачей безусловной оптимизации, если G=Rn и задачей с ограничениями или задачей условной оптимизации, если G≠Rn.

Решить задачу (4.1) означает найти точку х* (а также соответствующее значение f (х*)) такую, что

f (x* ) ≤ f (x) ( f (x*) ≥ f (x)) x G

или установить неразрешимость этой задачи. Решение х* называют оптимальным (или точкой экстремума), а значение f (х*) – оптимумом (или экстремумом) функции f на множестве G.

Задачи

f (х) → min, х G и f (х) → max, х G,

называют соответственно задачей минимизации и максимизации функции f на множестве G.

Оптимальное решение х* доставляет на множестве G минимум

30

(наименьшее значение) в задаче минимизации и максимум (наибольшее значение) – в задаче максимизации.

Тот факт, что решение х = х* оптимально, записывают в виде

f (x*) = min f (x) − в задачах минимизации

x G

и

f(x*) = max f (x) − в задачах максимизации.

xG

Заметим, что задачу максимизации функции f (x) можно свести к задаче минимизации, заменив f (x) на противоположную по знаку функцию G(х) = –f (x). Это означает, что оптимальные решения задач f (x)→max и G(x)→min совпадают, а экстремальные значения функций равны по модулю (|f (x0)| = |G(x0)|). Поэтому далее, в основном, будут рассматриваться задачи минимизации. Все результаты, полученные для задач минимизации легко переформулировать применительно к задачам максимизации.

Теория оптимизации предусматривает рассмотрение двух видов оптимумов: локальный и глобальный.

Говорят, что точка х0 доставляет функции f локальный (строгий локальный) минимум на множестве G, если существует ε-окрестность U(х0,ε) точки х0 такая, что

Глобальный (строгий глобальный) минимум функции f на множестве G доставляет точка х*, если

В соответствии с приведенными определениями точку х0 называют точкой локального минимума, а x* – точкой глобального минимума.

Точка локального минимума не всегда является точкой глобального минимума.

Например, функция одной переменной y=f (x), x [a,b], график которой изображен на рисунке 4, имеет две точки локального минимума х'

31

и х" и одну глобального минимума х'.

y

x

Рис.4. График функции одной переменной y=f (x), x [a,b]

Все определения для максимума функции получаются заменой в выражениях (4.2) и (4.3) знака неравенства на противоположный.

4.2. Разрешимость задачи оптимизации

Вопрос о существовании решения является одним из основных при рассмотрении задач оптимизации. Если допустимое множество G конечно, то решение задачи (4.1) существует, – достаточно перебрать все точки из G и выбрать среди них точку х*, удовлетворяющую условию (4.3). В случае, когда множество G бесконечно, задача минимизации функции f на G может не иметь решения. Например, функция одной переменной

не достигает наименьшего значения ни в одной точке отрезка [-1,1]. Теорема Вейерштрасса (4.1), определяет широкий класс задач оп-

тимизации, для которых решение существует:

32

Теорема 4.1:

Если функция u=f (x) определена и непрерывна на замкнутом ограниченном множестве G Rn, то x', x'' G такие, что

В теории оптимизации иногда удобно рассматривать более общую задачу оптимизации, в которой понятие решения определяется таким образом, что оно существует всегда. Для того чтобы сформулировать эту обобщенную задачу, понадобится определение точной нижней грани и точной верхней грани функции.

Число f 0 (или символ −∞) называют точной нижней гранью или инфинумом (от латинского infinum – наименьшее) функции f на множестве G, если неравенство f 0 < f (x) справедливо для x G, кроме того, для любого числа λ > f 0 найдется точка х' G такая, что для f (x')<λ.

Тот факт, что f 0 – точная нижняя грань функции f на множестве G, записывают в виде

f 0 = inf f (x) .

x G

Число f * (или символ +∞) называют точной верхней гранью или супремумом (от латинского supremum – наибольшее) функции f на множестве G, если неравенство f * > f (x) справедливо для x G, и для любого числа λ < f * найдется точка х' G такая, что f (x') > λ. Для точной верхней грани используют обозначение:

но нельзя указать точку, в которой точная нижняя грань достигается. В таких случаях, задача оптимизации записывается в виде

f (x) → inf, (f (x) → sup), x G.

33