Добавил:

Valeriya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Типовой расчет №1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 378 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"																			71
		Вариант					1 - 23
		¯	3	¡3			¡2			¡1¯
23.1.	Вычислить определитель	¯	9	¡	12		¡		6	3¯
23.1.	Вычислить определитель	¯		¡			¡			¡	¯
		¯	9	9				5		3	¯
		¯	9	9				5		3	¯
		¯¡		3				2		2	¯
		¯	3	3				2		2	¯
		¯									¯
		¯¡									¯
		¯									¯		¯
		¯¡		¡				6		¡	¯		¯
		¯	1	4				6		3		9¯
		¯	1		3		6			3		9	¯
		¯				¡						¡	¯
23.2.	Вычислить определитель	¯	1		3		9			3		9	¯
23.2.	Вычислить определитель	¯	1		3		9			3		9	¯
		¯¡		¡				6		¡			¯
		¯	1	3				6		6		9¯
		¯											¯
		¯	1		3	¡				3		¡	¯
		¯	1		3		6			3		12	¯
		¯		¡						¡			¯
		¯¡		¡						¡			¯
		¯											¯
		¯											¯							0¡		3	3	1
23.3. Вычислить определитель произведения										матриц			A = 0¡	2	¡	3	0	1	,	0¡			¡	1
							AB						A = 0¡		¡			1		B =	2		2 .
													¡	2	0		2			B	3		¡	C
													¡					A		B	3		3C
													@					A		B			¡	C
																				@				A

23.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

1	¡1	0
A = B3	1	1C
B3	3	2C
B		C
@		A

	23.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы
0è	методом Гаусса.					0¡121
0è	1		3	¡21 0x11		0¡121
B¡3			2	¡1C ¢ Bx2C	=	B	4		C
B		2	1	2C Bx3C		B	¡	1	C
B¡				¡ C B C		B	¡		C
@				A @ A		@			A

0	23.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
	4 31 0x11 x121 0 0 31	=		0¡21 62			1
@¡1 0A ¢ @x21 x22A ¢ @¡3 2A			@		12 ¡11A						1
		0		8	2	¡2		0	2	14
	23.7. Вычислить ранг матрицы	B¡3			1	2		0	¡1 ¡2C
		B		6	3	3		0	3	15 C
		B		3	1		2	0	1	2	C
		B									C
		B									C
		B		14	¡	¡		0	9		C
		B			1	5				25 C
		B									C
		@									A

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

23.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

0 ¡1 0 3 01 0x11 001

12 3 0 3 0C Bx2C B0C

1 0

1 0C Bx3C

=B0C

C B C

B C

1 0 1 0C Bx

C B0C

C B

B C

B¡

C B C

B C

12 1 0 9 0C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

23.9. Найти общее решение0x1

системы уравнений

0¡16 ¡8 ¡2 4 ¡681Bx2C

= 0

11 1

Bx3C

CB C

B¡

AB C

23.10. Вычислить

@ A

A = 0¡3

собственные числа и собственные векторы матрицы

0¡1

¡21

23.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

A = B

¡3

23.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

B¡

¡!

ортогональны, а

¡!

2; 4; 3

¡! =

3; ; 1

векторы

3; 0; 4

¡!

, b ,

!¡

¡!

f¡

¡!

f¡

¡ g

c компланарны. a

23.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡2; ¡1; ¡3), B(¡2; ¡1; ¡2), C(3; 3; ¡1).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

23.14. Даны 4 точки A(3; 2; ¡3), B(2; ¡2; ¡2), C(¡1; 1; 0), D(¡1; 3; 1).

Вычислить: а)

j 2¡!

+2¡¡! j

, á)

(2¡!

2¡¡!)

, â)

[2¡!

2¡¡!]

, ã)

[¡¡!

[¡! ¡!]]

, д) квадрат

AB; CD

AD;

AB; AC

площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC, и) направ-

ляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении

аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

23.15. Доказать, что векторы ~a = f5; 0; 4g

b = f4; 0; ¡2g, ~c = f¡1; ¡4; 5g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = f¡5; 20; ¡33g относительно этого базиса.

23.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f2; ¡4; 2g

, ~

b = f¡3; 1; 4g

è ~c = f0; ¡3; 0g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡10, (~x; b) = ¡4 è (~x;~c) =

¡3. ~a = f2; ¡4; 2g

, ~

b = f¡3; 1; 4g, ~c = f0; ¡3; 0g,

(x;~a) = ¡10, (~x; b) = ¡4, (~x;~c) = ¡3.

23.17. Найти значение скалярного произведения (¡1~u ¡4~v)(3~u + 3~v), åñëè ~u = ¡3~a + 1b,

~v = 1~a ¡ 4b

j= 3 j b j= 4 ' = ( c ) cos ' = 0:3

и известны

~a; b ,

23.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡3x2 ¡ 3y2 ¡ 5z2 ¡ 2xy ¡ 4xz ¡ 2yz

23.19.Привести квадратичную форму 3x2 + 2y2 ¡ 1z2 + 36xy + 24xz ¡ 12yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

23.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3			0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	04	3	41
A = B0		4	1C
	B3	3 1C
	B		C
	@		A

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

23.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 3; ¯ =

2; ~a = f¡2; 3; ¡2g; b = f0; 0; 3g.

74	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"
		Вариант					1 - 24
		¯¡3		1 ¡3					9¯
24.1.	Вычислить определитель	¯	3	0		¡	3		9¯
24.1.	Вычислить определитель	¯¡				¡			¯
		¯	3	1			4		¯
		¯	3	1			4		9¯
		¯¡		1		¡	3		¯
		¯	3	1			3		6¯
		¯				¡			¯
		¯¡				¡			¯
		¯							¯					¯
		¯	6	¡	2		¡			¡			18	¯
		¯	6		2			27		18			18	¯
		¯	2	¡	1		¡		9 ¯	¡	6		6	¯
		¯		¡			¡			¡				¯
24.2.	Вычислить определитель	¯	2		1				6		6		6	¯
24.2.	Вычислить определитель	¯	2		1				6		6		6	¯
		¯	6	¡			¡			¡				¯
		¯	6	3			27			16			18¯
		¯												¯
		¯¡		2			18			12		¡		¯
		¯	4	2			18			12			14¯
		¯										¡		¯
		¯¡										¡		¯
		¯												¯
		¯												¯	3	¡	1	1,	B =	3	4
24.3. Вычислить определитель произведения AB матриц													A =		0	¡		1,	B =	0	1.
															@4	1		A		@4	0A

24.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

	¡1	¡1		3
A = B¡2		0		¡3C
B	1	¡	1	2	C
B		¡			C
@					A

	24.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы
0è	методом Гаусса.					1
0è	1 1		4	1 0x11 0 ¡8		1
B	2 ¡1 3			C ¢ Bx2C	= B¡10C
B		1 2	1C Bx3C B 8			C
B¡			¡	C B C	B	C
@				A @ A	@	A
	24.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
0¡3 21 0x11 x121 02 0						1	=	0¡16 3				1
@¡2 2A ¢ @x21 x22A ¢ @2 ¡3A								@ ¡4 ¡6A									1
							0	3		0	0	¡2		¡1	7		1
	24.7. Вычислить ранг матрицы						B	3		0	0	¡2		¡1	7		C
	24.7. Вычислить ранг матрицы						B	9		0	0	¡	2	1	1		C
							B		9	0	0	¡		2	4		C
							B		9	0	0	1		2	4		C
							B										C
							B¡		9	0	0	13		¡			C
							B		9	0	0	13		10		56C
							B										C
							@¡								¡		A

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

24.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

3 01 0x11 001

0¡2 3

4 ¡1 ¡1 2 0C Bx2C B0C

1 3

1 0C Bx3C

=B0C

B¡

C B C

B C

3 0C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

1 1 12 12 0C Bx

C B0C

C B

B C

@¡

A @ A

@ A

24.9. Найти общее

0x1

решение системы уравнений

0¡10 1 ¡5 ¡8 22

1Bx2C

= 0

2 1

Bx3C

CB C

¡ ¡ ¡ ¡

CB C

B¡

AB C

24.10. Вычислить

@ A

A = 0¡6

собственные числа и собственные векторы матрицы

0¡1

24.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

A = B

24.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

¡!

ортогональны, а

¡!

4; 2; 1

¡! =

; 3

векторы

3; 5;

¡!

!¡

¡!

, b

f¡

¡!

f¡

¡ g

, b , c компланарны. a

24.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; ¡1; 2), B(1; 3; ¡2), C(¡1; 2; ¡3).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

24.14. Даны 4 точки A(2; 1; ¡2), B(1; 1; 2), C(¡3; 2; 1), D(1; 3; ¡1).

[¡¡!

[¡! ¡!]]

j 2¡! ¡ 2¡¡! j

(2¡!

¡2¡¡!)

[2¡!

¡2¡¡!]

Вычислить: а)

, á) AB;

, â)

AB;

, ã)

AD; AB; AC

, ä)

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

24.15. Доказать, что векторы ~a

= f¡2; 1; 3g

b = f0; 4; 2g, ~c = f4; ¡1; ¡1g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = f8; ¡4; 6g относительно этого базиса.

24.16. Найти координаты вектора ~x

по известным векторам ~a = f¡5; ¡1; 0g

, ~

b =

f1; 0; ¡5g è ~c = f¡1; 0; ¡2g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡3, (~x; b) =

, ~

¡15 è (~x;~c) = ¡6. ~a = f¡5; ¡1; 0g b = f1; 0; ¡5g, ~c = f¡1; 0; ¡2g, (x;~a) = ¡3, (~x; b) = ¡15,

(~x;~c) = ¡6.

24.17. Найти значение скалярного произведения (¡2~u ¡1~v)(¡1~u ¡2~v), åñëè ~u = 2~a + 4b,

= 2

¡ 4

j= 4 j b j= 5 ' = ( c ) cos

= 0 8

~v ~a

b и известны

~a; b ,

24.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадра-

тичную форму 7x2 + 5y2 + 4z2 + 8xy + 10xz + 6yz

24.19.Привести квадратичную форму 3x2 + 3y2 + 3z2 + 36xy + 24xz + 12yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

24.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3					0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	0¡3		2	¡31
A = B		4	3	1	C
	B	2	2	4	C
	B				C
	@				A

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

24.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 3; ¯ =

¡1; ~a = f¡1; 1; 2g; b = f2; 2; 1g.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

Вариант

1 - 25

¯¡3 ¡3

25.1.

Вычислить определитель

6¯

¯¡

25.2.

Вычислить определитель

12¯

¯¡

12¯

¯¡

14¯

¯¡

0¡1

¡2 21,

25.3. Вычислить определитель произведения AB матриц

A =

B =

¡31.

3 1

25.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B	2		¡3	0
A = B	1		4	¡3C
B		2	2	1	C
B¡					C
@					A

25.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

¡2 3

1 1 0x11 0¡161

B¡2 ¡1 ¡2C ¢ Bx2C

= B

5 C

3 0

4 C Bx3C B

6 C

C B C

A @ A

25.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡2 3

1 0x11 x121 0

2 21 =

0¡40 ¡281

3 ¡1A ¢ @x21 x22A ¢ @¡2 2A @

42 A

¡31

B¡3

¡1 ¡2

25.7. Вычислить ранг матрицы B

B¡

11 C

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

25.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

1 0x11 001

11 3 0 0 1

3 0 0 ¡1C Bx2C B0C

1 0 0 1

C Bx3C

=B0C

B¡

C B C

B C

1 0 0

1C Bx

C B0C

C B

B C

B¡

C B C

B C

46 14 0 0 2

C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

25.9. Найти общее 0x1

решение системы уравнений

010 2 0

2 92

1Bx2C

= 0201

Bx3C

B C

CB C

B13

116C

B18C

CB C

AB C

25.10. Вычислить @ A

A = 0¡5

собственные числа и собственные векторы матрицы

¡2A

¡21

25.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

A = B¡1

¡3

1 C

25.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

B¡

¡ C

¡!

ортогональны, а

¡!

0; 5;

¡! =

; 4

векторы

1; 0; 5

¡!

!¡

¡!

¡ g

¡!

f¡

, b , c компланарны. a

25.13. Даны 3 вершины треугольника A(1; ¡1; 2), B(2; 2; 2), C(¡1; 1; ¡3).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке C, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

25.14. Даны 4 точки A(¡1; 2; ¡2), B(3; 2; ¡1), C(¡3; ¡3; ¡3), D(¡3; ¡2; 1).

j ¡2¡! ¡ 3¡¡! j

(¡2¡!

¡3¡¡!)

[¡2¡!

¡3¡¡!]

[¡¡! [¡! ¡!]]

Вычислить: а)

, á)

AB;

, â)

AB;

, ã) AD; AB; AC

д) квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани

ABC

¡¡! ¡!

, и) направляющие косинусы вектора AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

25.15. Доказать, что векторы ~a = f3; 3; 4g

= f4; 1; ¡2g, ~c = f5; ¡4; ¡2g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = f¡22; ¡4; ¡12g относительно этого базиса.

25.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f¡2; ¡4; ¡3g

, ~

b =

f3; 3; ¡3g è ~c = f0; ¡3; 3g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡2, (~x; b) = ¡12

è (~x;~c) = 27. ~a = f¡2; ¡4; ¡3g

, ~

b = f3; 3; ¡3g,

= f0; ¡3; 3g, (x;~a) = ¡2, (~x; b) = ¡12,

(~x;~c) = 27.

25.17. Найти значение скалярного произведения (¡3~u¡2~v)(¡2~u+3~v), åñëè ~u = ¡1~a¡1b,

и известны

~v = 1~a + 3b

j ~a j= 4

j b j= 3

~a; b ,

cos

= 0

' = ( c )

25.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡2x2 ¡ 3y2 ¡ 2z2 + 0xy + 2xz + 0yz

25.19.Привести квадратичную форму 1x2 + 3y2 + 3z2 + 12xy + 36xz + 36yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

25.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3			0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	01	¡3	¡11
A = B1		0	¡2C
	B4	1	2 C
	B		C
	@		A

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

25.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡3; ¯ =

¡1; ~a = f3; 3; 2g; b = f2; 1; 0g.

80	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"
		Вариант					1 - 26				¯
		¯	1	3		¡1			4		¯
26.1.	Вычислить определитель	¯	2	¡	5		2		8¯
26.1.	Вычислить определитель	¯¡		¡					¡		¯
		¯	3	9				2	12		¯
		¯	3	9				2	12		¯
		¯	1		3	¡					¯
		¯	1		3		1		6¯
		¯		¡					¡		¯
		¯¡		¡					¡		¯
		¯									¯		¯
		¯	1	¡		¡				4		¡	¯
		¯	1	6			9			4		3	¯
		¯	1		9			9	4		¯	3	¯
		¯¡							¡				¯
26.2.	Вычислить определитель	¯	2	18		15				8		6	¯
26.2.	Вычислить определитель	¯	2	18		15				8		6	¯
		¯¡		27		27			¡			9	¯
		¯	3	27		27			14			9	¯
		¯											¯
		¯¡		18		18			¡	8		5	¯
		¯	2	18		18				8		5	¯
		¯							¡				¯
		¯¡							¡				¯
		¯											¯
		¯											¯	2	0	0		1
26.3. Вычислить определитель произведения							AB		матриц				0¡					1
							AB						A = B¡1 2 ¡1C,
													B	1	1	¡	2C
													B¡			¡		C
													@					A

0			1
	3	2	0
B = B¡1		2	2C.
B	0	3	1C
B			C
@			A

26.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B	3		¡2	¡2	C
A = B	4		0	4	C
B		3	3	4	C
B¡					C
@					A

26.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

2 ¡2 01 0x11 0

¡2

B0 2 1C ¢ Bx2C =

3 3C Bx3C B

18C

C B C

B¡

A @ A

26.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡2 0 1 0x11 x12

1 0¡1 0

1 = 0¡6 ¡81

3 ¡1A ¢ @x21 x22A ¢ @

0 ¡2A @

¡3

¡2

26.7. Вычислить ранг матрицы

¡13C

5 C

@¡

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 378 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
20.06.2014122.37 Кб34Лабораторная работа №1 «Вычисление интеграла методом трех восьмых».doc
#
20.06.2014836.76 Кб9Лабораторная работа №1.doc
#
20.06.2014909.58 Кб357Оптимизация, численные методы.pdf
#
20.06.20141.32 Mб30Решенный ТР №3 Вариант 5.rar_31
#
20.06.2014282.42 Кб24Решенный ТР №3 Вариант 8.pdf
#
20.06.20141.23 Mб79Типовой расчет №1.pdf
#
20.06.2014988.13 Кб22Типовой расчет №1.rar_8
#
20.06.2014896.05 Кб23Типовой расчет №2.pdf
#
20.06.2014281.94 Кб21Типовой расчет №2.rar_23
#
20.06.2014471.32 Кб20Типовой расчет №3.rar_76
#
20.06.2014451.98 Кб19Типовой расчет №4.rar_79