Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Типовой расчет №1

.pdf
Скачиваний:
45
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
1.23 Mб
Скачать

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

71

 

 

 

 

 

Вариант

 

1 - 23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

¡3

 

¡2

¡1¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.1.

Вычислить определитель

¯

9

¡

12

 

¡

6

3¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

9

9

 

 

5

3

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

3

 

 

2

2

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

¡

 

 

 

6

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

4

 

 

 

3

9¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

 

3

 

6

 

3

9

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¡

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.2.

Вычислить определитель

¯

1

 

3

 

9

 

3

 

9

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

¡

 

 

 

6

 

¡

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

3

 

 

 

6

 

9¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

 

3

¡

 

 

3

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

6

 

 

12

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

 

 

 

 

¡

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

0¡

3

3

1

23.3. Вычислить определитель произведения

 

 

 

матриц

A = 0¡

2

¡

3

0

1

,

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

B =

2

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

2

0

2

 

 

B

3

¡

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

B

3C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

B

 

 

¡

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

A

23.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

1

¡1

0

A = B3

1

1C

B3

3

2C

B

 

C

@

 

A

 

23.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

0¡121

1

3

¡21 0x11

 

B¡3

2

¡1C ¢ Bx2C

=

B

4

C

B

 

2

1

2C Bx3C

 

B

¡

1

C

B¡

 

 

¡ C B C

 

B

 

C

@

 

 

 

A @ A

 

@

 

 

A

0

23.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

4 31 0x11 x121 0 0 31

=

 

0¡21 62

1

 

 

 

@¡1 0A ¢ @x21 x22A ¢ @¡3 2A

@

12 ¡11A

 

 

1

 

 

0

8

2

¡2

0

2

14

 

23.7. Вычислить ранг матрицы

B¡3

1

2

0

¡1 ¡2C

 

B

6

3

3

0

3

15 C

 

 

B

3

1

 

2

0

1

2

C

 

 

B

 

C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

B

14

¡

¡

 

0

9

 

C

 

 

B

1

5

25 C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

A

72

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0 ¡1 0 3 01 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

12 3 0 3 0C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

2

1 0

¡

1 0C Bx3C

=B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

2

 

1 0 1 0C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

¡

 

 

 

 

 

C B

 

4C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

12 1 0 9 0C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

 

5C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

A @ A

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.9. Найти общее решение0x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡16 ¡8 ¡2 4 ¡681Bx2C

= 0

 

11 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

3

 

2

 

1

 

¡

1

13

 

 

Bx3C

 

B

 

9

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

7

 

2

 

1

 

1

29

C

Bx

4

C

 

B

 

38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

B¡

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

 

@

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.10. Вычислить

 

 

 

 

B

 

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = 0¡3

01

 

 

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

0

8A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡1

3

 

 

¡21

 

23.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B

3

¡3

 

0

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

2

2

 

 

 

0

C

 

23.12. Найти значения параметра

 

 

, при которых векторы

 

B¡

 

 

 

 

 

 

C

 

¯

 

@

¡!

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

è

 

b

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2; 4; 3

 

 

¡! =

 

 

3; ; 1

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3; 0; 4

 

 

 

 

 

 

¡!

, b ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

f

 

 

g

,

b

¯

 

g

¡!

 

 

 

¡ g

 

 

 

 

 

 

c компланарны. a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

23.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡2; ¡1; ¡3), B(¡2; ¡1; ¡2), C(3; 3; ¡1).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке

 

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

23.14. Даны 4 точки A(3; 2; ¡3), B(2; ¡2; ¡2), C(¡1; 1; 0), D(¡1; 3; 1).

 

 

 

 

 

 

Вычислить: а)

j 2¡!

+2¡¡! j

, á)

(2¡!

 

2¡¡!)

, â)

[2¡!

2¡¡!]

, ã)

[¡¡!

 

[¡! ¡!]]

, д) квадрат

 

AB

 

CD

 

 

AB; CD

AB; CD

 

AD;

AB; AC

площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC, и) направ-

ляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении

аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

73

23.15. Доказать, что векторы ~a = f5; 0; 4g

,

~

 

 

 

b = f4; 0; ¡2g, ~c = 1; ¡4; 5g образуют

базис и найти координаты вектора ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = 5; 20; ¡33g относительно этого базиса.

23.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f2; ¡4; 2g

, ~

b = 3; 1; 4g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

è ~c = f0; ¡3; 0g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡10, (~x; b) = ¡4 è (~x;~c) =

¡3. ~a = f2; ¡4; 2g

, ~

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

b = 3; 1; 4g, ~c = f0; ¡3; 0g,

(x;~a) = ¡10, (~x; b) = ¡4, (~x;~c) = ¡3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

23.17. Найти значение скалярного произведения (¡1~u ¡4~v)(3~u + 3~v), åñëè ~u = ¡3~a + 1b,

~v = 1~a ¡ 4b

 

 

j

j= 3 j b j= 4 ' = ( c ) cos ' = 0:3

 

~

и известны

~a

,

~

 

,

 

~

 

 

 

 

 

~a; b ,

 

 

23.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡3x2 ¡ 3y2 ¡ 5z2 ¡ 2xy ¡ 4xz ¡ 2yz

23.19.Привести квадратичную форму 3x2 + 2y2 ¡ 1z2 + 36xy + 24xz ¡ 12yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

23.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

04

3

41

 

 

A = B0

4

1C

 

 

 

B3

3 1C

 

 

 

B

 

C

 

 

 

@

 

A

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

23.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 3; ¯ =

~

2; ~a = 2; 3; ¡2g; b = f0; 0; 3g.

74

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант

1 - 24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡3

1 ¡3

 

9¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.1.

Вычислить определитель

¯

3

0

 

¡

3

 

9¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

1

 

 

4

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

9¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

1

 

¡

3

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

 

 

 

6¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¡

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

¡

2

 

¡

 

¡

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

27

18

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

¡

1

 

¡

 

9 ¯

¡

6

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.2.

Вычислить определитель

¯

2

 

1

 

 

 

6

 

6

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

¡

 

 

¡

 

¡

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

 

27

16

 

18¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

2

 

18

12

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

4

 

 

14¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

¡

1

1,

B =

3

4

24.3. Вычислить определитель произведения AB матриц

A =

0

 

0

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@4

1

A

 

@4

0A

24.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

 

¡1

¡1

3

 

A = B¡2

0

¡3C

B

1

¡

1

2

C

B

 

 

 

C

@

 

 

 

 

A

 

24.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

4

1 0x11 0 ¡8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

2 ¡1 3

C ¢ Bx2C

= B¡10C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

1 2

1C Bx3C B 8

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

¡

C B C

B

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

A @ A

@

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡3 21 0x11 x121 02 0

1

=

0¡16 3

1

 

 

 

 

@¡2 2A ¢ @x21 x22A ¢ @2 ¡3A

@ ¡4 ¡6A

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

3

0

0

¡2

¡1

7

 

24.7. Вычислить ранг матрицы

B

3

0

0

¡2

¡1

7

C

 

B

9

0

0

¡

2

1

1

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

9

0

0

 

2

4

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

1

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

B¡

9

0

0

13

¡

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

10

 

56C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

@¡

 

 

 

 

 

 

¡

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

75

 

24.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

3 01 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡2 3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

4 ¡1 ¡1 2 0C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

3

1 3

¡

1 0C Bx3C

=B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

¡

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

0

1

 

 

2

3 0C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

 

4C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

1 1 12 12 0C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

 

5C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@¡

 

 

 

 

 

 

 

 

A @ A

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.9. Найти общее

 

 

 

 

0x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡10 1 ¡5 ¡8 22

1Bx2C

= 0

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

4

¡

1

1

 

2

¡

8

 

 

Bx3C

 

B

4

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

1

 

 

1

1

 

 

1

 

1

C

Bx

4

C

 

B

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡ ¡ ¡ ¡

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

CB C

 

B¡

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

 

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.10. Вычислить

 

 

 

 

B

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = 0¡6

 

81

 

 

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

8

 

 

6A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡1

 

0

1

1

 

24.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B

1

 

3

0

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

4

 

2

¡

2C

 

24.12. Найти значения параметра

 

, при которых векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

C

 

¯

 

a

 

 

¡!

 

@

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

è

b

 

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

4; 2; 1

 

¡! =

 

4;

 

; 3

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3; 5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

f

 

g

, b

 

 

¯

 

 

g

¡!

 

 

 

 

 

 

¡ g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, b , c компланарны. a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

24.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; ¡1; 2), B(1; 3; ¡2), C(¡1; 2; ¡3).

 

 

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке

 

 

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

 

24.14. Даны 4 точки A(2; 1; ¡2), B(1; 1; 2), C(¡3; 2; 1), D(1; 3; ¡1).

 

[¡¡!

 

[¡! ¡!]]

 

 

 

 

 

 

 

 

j 2¡! ¡ 2¡¡! j

 

 

(2¡!

¡2¡¡!)

 

[2¡!

 

¡2¡¡!]

 

 

 

 

 

Вычислить: а)

 

AB

 

 

CD

 

 

, á) AB;

CD

, â)

AB;

 

 

CD

, ã)

 

AD; AB; AC

 

, ä)

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

76

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

24.15. Доказать, что векторы ~a

 

 

,

~

 

 

 

 

 

= 2; 1; 3g

b = f0; 4; 2g, ~c = f4; ¡1; ¡1g образуют

базис и найти координаты вектора ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = f8; ¡4; 6g относительно этого базиса.

 

 

24.16. Найти координаты вектора ~x

по известным векторам ~a = 5; ¡1; 0g

, ~

 

b =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

f1; 0; ¡5g è ~c = 1; 0; ¡2g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡3, (~x; b) =

 

 

 

 

 

, ~

 

 

 

 

 

 

~

 

¡15 è (~x;~c) = ¡6. ~a = 5; ¡1; 0g b = f1; 0; ¡5g, ~c = 1; 0; ¡2g, (x;~a) = ¡3, (~x; b) = ¡15,

(~x;~c) = ¡6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

24.17. Найти значение скалярного произведения (¡2~u ¡1~v)(¡1~u ¡2~v), åñëè ~u = 2~a + 4b,

 

= 2

¡ 4

j

j= 4 j b j= 5 ' = ( c ) cos

 

= 0 8

 

~v ~a

~

~a

,

~

 

,

~

 

'

:

 

 

b и известны

 

 

~a; b ,

 

 

 

24.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадра-

тичную форму 7x2 + 5y2 + 4z2 + 8xy + 10xz + 6yz

24.19.Привести квадратичную форму 3x2 + 3y2 + 3z2 + 36xy + 24xz + 12yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

24.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

0¡3

2

¡31

 

 

A = B

4

3

1

C

 

 

 

B

2

2

4

C

 

 

 

B

 

 

 

C

 

 

 

@

 

 

 

A

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

24.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 3; ¯ =

~

¡1; ~a = 1; 1; 2g; b = f2; 2; 1g.

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

77

 

 

 

 

Вариант

1 - 25

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡3 ¡3

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.1.

Вычислить определитель

¯

9

8

¡

6

6¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

9

9

 

4

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

6¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

9

 

9

¡

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

6

5

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

12

3

27

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

3

1

9

¯

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.2.

Вычислить определитель

¯

2

 

6

 

1

18

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

12¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

¡

6

¡

2

¡

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

 

15

12¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

¡

6

¡

2

¡

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

 

18

14¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

¡

 

¡

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

0¡1

¡2 21,

 

 

0

 

3

25.3. Вычислить определитель произведения AB матриц

A =

B =

03

¡31.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3 1

 

B

 

¡

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

A

 

B1

¡

1C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

A

25.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B

2

¡3

0

 

1

4

¡3C

B

 

2

2

1

C

B¡

 

 

 

C

@

 

 

 

 

A

 

25.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡2 3

1 1 0x11 0¡161

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡2 ¡1 ¡2C ¢ Bx2C

= B

5 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

3 0

4 C Bx3C B

¡

6 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

C B C

B

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

A @ A

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡2 3

1 0x11 x121 0

2 21 =

0¡40 ¡281

 

 

 

@

3 ¡1A ¢ @x21 x22A ¢ @¡2 2A @

18

 

42 A

 

¡31

 

 

 

 

 

0

0

0

2

1

0

 

 

 

 

 

B¡3

0

¡1 ¡2

0

0

C

 

25.7. Вычислить ранг матрицы B

 

3

0

1

¡

2

0

0

C

 

 

 

 

 

B¡

 

0

¡

 

0

5

C

 

 

 

 

 

B

7

1

3

C

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

B

4

0

¡

 

1

0

 

C

 

 

 

 

 

B

6

 

11 C

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

@

 

 

 

¡

¡

 

 

 

A

78

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

1 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

11 3 0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

7

 

3 0 0 ¡1C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

1

¡

1 0 0 1

C Bx3C

=B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

5

 

 

1 0 0

1C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

¡

 

 

 

 

 

¡

C B

 

4C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

46 14 0 0 2

C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

 

5C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A @ A

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.9. Найти общее 0x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

010 2 0

 

2 92

1Bx2C

= 0201

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

1

 

¡

1

 

1

 

70

Bx3C

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B C

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

2

 

 

CB C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B13

 

¡

 

 

116C

x4

 

B18C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

25.10. Вычислить @ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = 0¡5

 

 

1

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

 

.

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

0

¡2A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4

2

 

 

¡21

 

 

25.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B¡1

¡3

 

1 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

1

¡

3

 

1C

 

 

25.12. Найти значения параметра

 

, при которых векторы

 

 

B¡

 

 

 

 

¡ C

 

 

¯

a

@

¡!

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

è

 

b

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

0; 5;

1

 

¡! =

 

 

3;

 

; 4

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1; 0; 5

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

f

¡ g

b

 

f

 

¯

 

g

¡!

 

 

 

 

 

g

.

 

 

 

 

 

 

 

, b , c компланарны. a

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.13. Даны 3 вершины треугольника A(1; ¡1; 2), B(2; 2; 2), C(¡1; 1; ¡3).

 

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке C, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

25.14. Даны 4 точки A(¡1; 2; ¡2), B(3; 2; ¡1), C(¡3; ¡3; ¡3), D(¡3; ¡2; 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j ¡2¡! ¡ 3¡¡! j

 

 

(¡2¡!

¡3¡¡!)

 

 

[¡2¡!

¡3¡¡!]

 

[¡¡! [¡! ¡!]]

 

Вычислить: а)

 

 

AB

 

 

 

CD

, á)

 

 

AB;

CD

, â)

 

 

AB;

 

 

 

CD

, ã) AD; AB; AC

,

д) квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани

ABC

¡¡! ¡!

, и) направляющие косинусы вектора AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

79

25.15. Доказать, что векторы ~a = f3; 3; 4g

,

~

= f4; 1; ¡2g, ~c = f5; ¡4; ¡2g образуют

 

b

базис и найти координаты вектора ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = 22; ¡4; ¡12g относительно этого базиса.

 

25.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = 2; ¡4; ¡3g

, ~

b =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

f3; 3; ¡3g è ~c = f0; ¡3; 3g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡2, (~x; b) = ¡12

è (~x;~c) = 27. ~a = 2; ¡4; ¡3g

, ~

 

 

 

~c

 

 

 

 

~

 

b = f3; 3; ¡3g,

= f0; ¡3; 3g, (x;~a) = ¡2, (~x; b) = ¡12,

(~x;~c) = 27.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

25.17. Найти значение скалярного произведения (¡3~u¡2~v)(¡2~u+3~v), åñëè ~u = ¡1~a¡1b,

~

и известны

 

,

~

,

 

~

 

'

 

:

 

 

~v = 1~a + 3b

j ~a j= 4

j b j= 3

~a; b ,

cos

= 0

8

 

 

 

 

' = ( c )

 

 

 

25.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡2x2 ¡ 3y2 ¡ 2z2 + 0xy + 2xz + 0yz

25.19.Привести квадратичную форму 1x2 + 3y2 + 3z2 + 12xy + 36xz + 36yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

25.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

01

¡3

¡11

 

 

A = B1

0

¡2C

 

 

 

B4

1

2 C

 

 

 

B

 

C

 

 

 

@

 

A

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

25.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡3; ¯ =

~

¡1; ~a = f3; 3; 2g; b = f2; 1; 0g.

80

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

Вариант

 

1 - 26

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

3

¡1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

26.1.

Вычислить определитель

¯

2

¡

5

 

2

8¯

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

9

 

 

2

12

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

 

3

¡

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

1

6¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

 

 

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

¡

 

¡

 

 

4

¡

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

 

9

 

3

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

 

9

 

 

9

4

¯

3

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

26.2.

Вычислить определитель

¯

2

18

15

 

8

6

¯

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

27

27

¡

 

 

9

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

14

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

18

18

¡

8

5

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

0

0

1

26.3. Вычислить определитель произведения

AB

матриц

0¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B¡1 2 ¡1C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

1

1

¡

2C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

A

0

 

 

1

 

3

2

0

B = B¡1

2

2C.

B

0

3

1C

B

 

 

C

@

 

 

A

26.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B

3

¡2

¡2

C

4

0

4

B

 

3

3

4

C

B¡

 

 

 

C

@

 

 

 

 

A

 

26.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ¡2 01 0x11 0

¡2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B0 2 1C ¢ Bx2C =

B

3

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B0

¡

3 3C Bx3C B

18C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

C B C

B¡

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

A @ A

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡2 0 1 0x11 x12

1 0¡1 0

1 = 0¡6 ¡81

 

 

 

 

@

3 ¡1A ¢ @x21 x22A ¢ @

0 ¡2A @

9

6

A

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

¡3

¡2

0

1

0

4

 

26.7. Вычислить ранг матрицы

B

15

3

0

2

0

¡13C

 

B

3

3

0

2

0

¡

5 C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

¡

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

B

¡

 

 

¡

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

3

1

0

2

0

1

C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

@¡

 

¡

 

¡

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

B

 

48

7

0

9

0

39

C

Соседние файлы в предмете Математический анализ