Добавил:

Valeriya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Типовой расчет №1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3713 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

, ~

39.15. Доказать, что векторы ~a = f3; 3; ¡2g b = f¡5; 4; ¡5g, ~c = f3; 0; 0g

базис и найти координаты вектора ~

d = f34; 1; 4g относительно этого базиса.

121

образуют

									,~
	39.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f¡5; 3; 5g b = f¡4; ¡2; ¡2g
									~
è ~c = f¡1; ¡3; ¡4g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡22, (~x; b) = ¡4 è
(~x;~c) = 7. ~a = f¡5; 3; 5g			, ~						~
(~x;~c) = 7. ~a = f¡5; 3; 5g				b	= f¡4; ¡2; ¡2g, ~c = f¡1; ¡3; ¡4g, (x;~a) = ¡22, (~x; b) = ¡4,
(~x;~c) = 7.
									~
	39.17. Найти значение скалярного произведения (¡3~u+3~v)(¡4~u¡4~v), åñëè ~u = ¡1~a¡2b,
	= ¡1	+ 4	j		j= 2 j b j= 2 ' = ( c ) cos				= 0 3
~v	~a	~		~a	,	~	,	~	:
~v	~a	b и известны		~a	,		,	~a; b , '	:

39.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡1x2 + 3y2 ¡ 5z2 + 4xy + 4xz ¡ 8yz

39.19.Привести квадратичную форму 1x2 +1y2 ¡1z2 +8xy +8xz ¡8yz к каноническому виду методом Лагранжа.

39.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3				0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	03	1	2	1
A = B0		¡1	¡2C
	B1	3	3	C
	B	¡		C
	@			A

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

39.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡1; ¯ =

¡3; ~a = f2; ¡1; ¡2g; b = f¡1; 0; ¡1g.

122	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"
		Вариант					1 - 40				¯
		¯	3	6				3		3	¯
40.1.	Вычислить определитель	¯	6	10				6		6	¯
40.1.	Вычислить определитель	¯									¯
		¯	6		12				5		¯
		¯	6		12				5	6¯
		¯¡		¡			¡			¡	¯
		¯	9	18				9		12	¯
		¯									¯
		¯									¯
		¯									¯			¯
		¯	9		8			3		¡	¯	¡		¯
		¯	9		8			3		6		9		¯
		¯	3	2			1			2			3	¯
		¯¡		¡		¡								¯
40.2.	Вычислить определитель	¯	6		4			1		4		6		¯
40.2.	Вычислить определитель	¯	6		4			1		4		6		¯
		¯¡		¡	6	¡		3		7		9		¯
		¯	9		6			3		7		9		¯
		¯												¯
		¯¡		¡		¡				4				¯
		¯	6	4			2			4			3¯
		¯								¡		¡		¯
		¯								¡		¡		¯
		¯												¯
		¯												¯								0	2	2	1
40.3. Вычислить определитель произведения										матриц				A = 0¡		2	¡	1	1	,		0			1
							AB							A = 0¡			¡			1	B =	B	1 1 .
														@	2		0		2	A		B	3		C
														@					¡	A		B	3	0C
																						B¡			C
																						@			A

40.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

2	¡1	2
A = B¡1	¡3	¡3C
B 2	4	1C
B¡		¡ C
@		A

40.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

3 0 ¡31 0x11 0¡91

B1 0 0

C ¢ Bx2C

= B¡2C

B3 1 2

C Bx3C B

C B C

B¡

A @ A

40.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0 31 0x11 x12

1 0

2 11

0¡60 ¡61

@¡1 2A ¢ @x21 x22A ¢ @¡4 0A

@¡54 ¡7A

3 ¡41

0¡10 2 ¡2 1

40.7. Вычислить ранг матрицы

¡3 ¡1 ¡2 ¡1 ¡1 ¡7C

30 C

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

123

40.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

1 0x11 001

1 ¡1 0 1 2

16 3 0 2 3 C Bx2C B0C

1 0

1 2 C Bx3C =B0C

B¡

C B C

B C

1 0

1 3 C Bx

C B0C

C B

B C

B¡

C B C

B C

47 5 0 8 16C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

40.9. Найти общее0x1

решение системы уравнений

00 ¡2 2 0 0

1Bx2C

= 0¡21

Bx3C

CB C

B¡

AB C

40.10. Вычислить@ A

A = 04

собственные числа и собственные векторы матрицы

0¡3 ¡3

40.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

A = B

¡2C

40.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

B¡

¡!

ортогональны, а

¡!

4; 4;

¡! =

4; ;

векторы

1; 5; 0

¡!

!¡

¡!

¡ g

¡!

b , c компланарны. a

40.13. Даны 3 вершины треугольника A(1; 2; ¡1), B(¡1; ¡3; 3), C(2; 2; ¡3).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

40.14. Даны 4 точки A(2; ¡3; 2), B(¡2; 1; 1), C(¡1; ¡3; 0), D(¡3; 1; 2).

[¡! ¡!]]

j 3¡! ¡ 4¡¡! j

(3¡! ¡4¡¡!)

[3¡!

¡4¡¡!]

[¡¡!

Вычислить: а)

, á) AB;

, â)

AB;

, ã)

AD;

AB; AC

, ä)

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

124

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

40.15. Доказать, что векторы ~a

= f3; 4; ¡3g

, ~

= f3; 2; 0g, ~c = f¡2; ¡3; ¡3g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = f5; 10; 12g относительно этого базиса.

40.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f¡4; 1; 1g b = f¡5; ¡2; 4g

è ~c = f¡4; ¡5; ¡4g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡2, (~x; b) = 5 è

(~x;~c) = 32. ~a

= f¡4; 1; 1g

, ~

b = f¡5; ¡2; 4g, ~c = f¡4; ¡5; ¡4g, (x;~a) = ¡2, (~x; b) = 5,

(~x;~c) = 32.

40.17. Найти значение скалярного произведения (3~u + 2~v)(1~u ¡ 4~v), åñëè ~u = 2~a ¡ 3b,

~v = 3~a ¡ 3b

j= 5 j b j= 3 ' = ( c ) cos

= 0 2

и известны

~a; b ,

40.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадра-

тичную форму 6x2 + 7y2 + 6z2 + 10xy + 4xz + 4yz

40.19.Привести квадратичную форму ¡2x2 + 3y2 ¡ 2z2 ¡ 24xy + 12xz ¡ 16yz к канони- ческому виду методом Лагранжа.

40.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3							0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	0	0		2	3		1
A = B		1		3	3		C
	B		1	2	¡	2C
	B¡				¡		C
	@						A

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

40.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡1; ¯ =

2; ~a = f¡3; ¡1; ¡2g; b = f¡3; 1; 0g.

	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"																	125
		Вариант				1 - 41			¯
		¯¡3 ¡3				4		3	¯
41.1.	Вычислить определитель	¯	3	4		¡	4	3¯
41.1.	Вычислить определитель	¯				¡		¡	¯
		¯	6	6			6		¯
		¯	6	6			6	6¯
		¯	6	6		¡	8	¡	¯
		¯	6	6			8	9¯
		¯				¡		¡	¯
		¯				¡		¡	¯
		¯							¯		¯
		¯¡		10		3		6	¯	18	¯
		¯	6	10		3		6		18	¯
		¯	2	3		1		2		6	¯
		¯¡									¯
41.2.	Вычислить определитель	¯	2	3		0		2		6	¯
41.2.	Вычислить определитель	¯	2	3		0		2		6	¯
		¯¡			3		1	4			¯
		¯	2		3		1	4		6¯
		¯									¯
		¯	2	¡		¡		¡		¡	¯
		¯	2	3		1		2		3	¯
		¯									¯
		¯¡									¯
		¯									¯
		¯									¯	2	¡	2	1,	B =	1	¡	1
41.3. Вычислить определитель произведения AB матриц											A =	0	¡		1,	B =	0	¡	1.
												@4	4		A		@3	¡2A

41.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B	4		3	¡1
	4		2	¡1C
B		1	3	¡	1C
B¡					C
@					A

	41.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы
0è	методом Гаусса.					0		1
0è	¡2		1	3 1 0x11		0	1	1
B	2		1	¡3C ¢ Bx2C	=	B	¡3 C
B		3	3	3C Bx3C		B	15C
B¡				¡ C B C		B¡		C
@				A @ A		@		A

41.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
0¡2 ¡31 0x11 x121 0¡4 21 =				0¡1 ¡7 1
@¡2 4	A ¢ @x21 x22A ¢ @¡1 3A @				76 ¡28A							1
		0	7		¡2 0		3	0	5			1
41.7. Вычислить ранг матрицы		B	¡7 3			0	¡1 0 ¡4 C
41.7. Вычислить ранг матрицы		B		3	1	0	1	0	¡		2 C
		B	¡		2	0	¡	0	¡			C
		B		3	2	0	1	0			1 C
		B										C
		B	¡		20	0	6	0	¡			C
		B		46	20	0	6	0		26C
		B										C
		@¡					¡		¡			A

126

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

41.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

5 0 2 1 ¡11 0x11 001

9 0 2 1 3

C Bx2C B0C

9 0 2 2 1

C Bx3C =B0C

C B C

B C

9 0 3 1 1

C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

B42 0 13 7 2

C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

41.9. Найти общее

0x1

решение системы уравнений

08 ¡3 ¡7 ¡7 ¡431Bx2C

= 017 1

Bx3C

CB C

B¡

AB C

41.10. Вычислить

@ A

собственные числа и собственные векторы матрицы

A =

@6 ¡6A

0¡3

¡11

41.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

A = B¡3

¡3C

41.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

¡ C

¡!

ортогональны, а

¡!

0; 4; 1

¡! =

1; ; 4

векторы

¡!

!¡

¡!

f¡ ¡ ¡ g

b , c

компланарны. a

41.13. Даны 3 вершины треугольника A(3; ¡2; 0), B(¡3; 2; 1), C(2; ¡1; 2).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

41.14. Даны 4 точки A(2; ¡1; 2), B(¡3; ¡3; ¡2), C(¡1; ¡3; 2), D(2; 0; 3).

[¡! ¡!]]

j 3¡!

¡ 3¡¡! j

(3¡!

¡3¡¡!)

[3¡!

¡3¡¡!]

[¡¡!

Вычислить: а)

, á) AB;

, â)

AB;

, ã)

AD; AB; AC

, ä)

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

127

41.15. Доказать, что векторы ~a

= f1; 3; 1g образуют

= f4; ¡1; 4g

b = f¡5; ¡4; 0g, ~c

базис и найти координаты вектора ~

d = f¡10; ¡12; 10g относительно этого базиса.

41.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f¡4; 3; 4g b = f1; ¡5; ¡1g

è ~c = f¡3; 1; ¡4g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡4, (~x; b) = 18 è (~x;~c) =

23. ~a = f¡4; 3; 4g

, ~

b = f1; ¡5; ¡1g, ~c = f¡3; 1; ¡4g, (x;~a) = ¡4, (~x; b) = 18, (~x;~c) = 23.

41.17. Найти значение скалярного произведения (4~u + 1~v)(2~u + 1~v), åñëè ~u = ¡4~a + 4b,

= ¡1

+ 3b

j= 2 j

j= 2 ' = ( c ) cos ' = 0:7

и известны ~a

, b

~a; b ,

41.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡5x2 ¡ 4y2 ¡ 2z2 ¡ 6xy + 2xz + 2yz

41.19.Привести квадратичную форму 3x2 + 1y2 ¡ 1z2 + 36xy + 12xz ¡ 12yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

41.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3					0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	0	3		1	31
A = B¡1				¡3	1C
	B		3	3	3C
	B¡				C
	@				A

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

41.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 3; ¯ =

1; ~a = f2; ¡2; 3g; b = f¡3; ¡2; 1g.

128

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

Вариант

1 - 42

¡1

¡9

42.1.

Вычислить определитель

18¯

27¯

¯¡

6¯

¯¡

42.2.

Вычислить определитель

¯¡

27¯

¯¡

0¡

42.3. Вычислить определитель произведения

матриц

A = 0

B =

2 0 .

42.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

2	1		4
A = B¡2	¡2		¡1C
B 3	¡	3	1C
B¡	¡		¡ C
@			A

	42.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы
0è	методом Гаусса.			1
0è	¡2 ¡2 ¡31 0x11 0 4			1
B¡2 3		3 C ¢ Bx2C	= B¡13C
B	3 3	3C Bx3C B 15		C
B	¡	¡ C B C	B	C
@		A @ A	@	A
	42.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
01 01 0x11 x121 00 2 1				=	0	9 ¡6			1
@2 3A ¢ @x21 x22A ¢ @3 ¡2A @¡9 ¡12A													¡41
					0	0		0	¡1		1	0	¡41
	42.7. Вычислить ранг матрицы				B	¡2		0	2		¡1	0	6	C
	42.7. Вычислить ранг матрицы				B	8		0	¡	2	2	0	0	C
					B		10	0	¡		¡	0		C
					B		10	0	2		3	0	2C
					B									C
					B¡		34	0	13		4	0	¡	C
					B		34	0	13		4	0	18 C
					B									C
					@¡									A

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

129

42.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

5 0 3 0 ¡11 0x11 001

4 0 1 0 2

C Bx2C B0C

5 0 3 0

1C Bx3C

=B0C

C B C

B C

4 0 1 0 2

C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

B14 0 7 0 0

C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

42.9. Найти общее

0x1

решение системы уравнений

0¡8 2

6 ¡101Bx2C =

0 ¡1 1

Bx3C

CB C

2 1

B¡

CB C

B¡

AB C

42.10. Вычислить

@ A

собственные числа и собственные векторы матрицы

A =

B1 ¡1 3C

42.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы A = B C

B1 ¡2 2C

@ A

¡!

42.12. Найти значения параметра ¯, при которых векторы a è

векторы ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡!

a , b , c компланарны. a = f¡1; ¡5; 3g, b = f4; ¯; ¡2g c

3 2 3

¡!

b ортогональны, а

= f0; 5; ¡1g.

42.13. Даны 3 вершины треугольника A(2; 3; ¡2), B(1; ¡3; 2), C(¡1; ¡3; 1).

Вычислить: а) квадрат длины вектора ¡¡¡1 !2
				D D , достроив треугольник до параллелограм-
ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма
ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-
				¡!		¡¡!
тора с началом в точке C, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.
42.14. Даны 4 точки A(¡1; 1; ¡2), B(1; 2; 2), C(¡3; 3; 2), D(3; ¡1; 1).								[¡¡! [¡! ¡!]]
Вычислить: а)	j ¡2¡!	+ 2¡¡! j	, á)	(¡2¡! 2¡¡!)	, â)	[¡2¡! 2¡¡!]	, ã)		, ä)
	AB	CD		AB; CD		AB; CD		AD; AB; AC

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

130				"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"
42.15. Доказать, что векторы ~a = f4; 2; 0g							, ~
42.15. Доказать, что векторы ~a = f4; 2; 0g							b = f3; 0; ¡2g, ~c = f¡2; 5; 3g образуют базис
и найти координаты вектора ~
				d = f10; ¡16; ¡8g относительно этого базиса.
								,~
42.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f3; ¡3; 3g b = f¡1; 0; ¡3g
								~
è ~c = f¡4; 4; 4g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 21, (~x; b) = ¡20 è (~x;~c) =
12. ~a = f3; ¡3; 3g		, ~						~
12. ~a = f3; ¡3; 3g		b = f¡1; 0; ¡3g, ~c = f¡4; 4; 4g, (x;~a) = 21, (~x; b) = ¡20, (~x;~c) = 12.
								~
42.17. Найти значение скалярного произведения (¡3~u ¡ 4~v)(3~u ¡ 4~v), åñëè ~u = 4~a ¡ 4b,
~v = 3~a + 3b			j	j= 4 j b j= 3 ' = ( c ) cos ' = 0:4
~	и известны		~a	,	~	,	~
	и известны		~a	,		,	~a; b ,

42.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡5x2 + 5y2 + 2z2 ¡ 2xy ¡ 6xz + 0yz

42.19.Привести квадратичную форму 2x2 ¡ 2y2 ¡ 2z2 + 16xy ¡ 24xz ¡ 24yz к канони- ческому виду методом Лагранжа.

42.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

¡21

A = B

B¡

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

42.21. Для векторов ~a

è ~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡1; ¯ =

~a = f1; ¡3; 1g;

b = f0; 0; ¡3g.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3713 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
20.06.2014122.37 Кб34Лабораторная работа №1 «Вычисление интеграла методом трех восьмых».doc
#
20.06.2014836.76 Кб9Лабораторная работа №1.doc
#
20.06.2014909.58 Кб357Оптимизация, численные методы.pdf
#
20.06.20141.32 Mб30Решенный ТР №3 Вариант 5.rar_31
#
20.06.2014282.42 Кб24Решенный ТР №3 Вариант 8.pdf
#
20.06.20141.23 Mб79Типовой расчет №1.pdf
#
20.06.2014988.13 Кб22Типовой расчет №1.rar_8
#
20.06.2014896.05 Кб23Типовой расчет №2.pdf
#
20.06.2014281.94 Кб21Типовой расчет №2.rar_23
#
20.06.2014471.32 Кб20Типовой расчет №3.rar_76
#
20.06.2014451.98 Кб19Типовой расчет №4.rar_79