Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Типовой расчет №1

.pdf
Скачиваний:
45
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
1.23 Mб
Скачать

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

9.15. Доказать, что векторы ~a = 4; ¡1; ¡2g

, ~

b = 3; ¡3; ¡2g, ~c = f4; ¡5; ¡2g

зуют базис и найти координаты вектора ~

d = 1; 5; ¡2g относительно этого базиса.

31

îáðà-

9.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = 1; 0; ¡1g

,~

b = f4; ¡2; 4g

 

 

 

 

 

 

 

~

 

è ~c = 2; ¡5; 4g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 3, (~x; b) = ¡8 è (~x;~c) =

28. ~a = 1; 0; ¡1g

, ~

 

 

 

 

~

 

b = f4; ¡2; 4g, ~c = 2; ¡5; 4g, (x;~a) = 3, (~x; b) = ¡8, (~x;~c) = 28.

 

 

 

 

 

 

 

 

~

9.17. Найти значение скалярного произведения (¡2~u ¡ 3~v)(¡1~u + 2~v), åñëè ~u = 3~a + 1b,

~v = ¡3~a ¡ 2b

 

 

j ~a j= 3 j b j= 3 ' = ( c ) cos ' = 0:6

 

~

и известны

,

~

,

~

 

 

 

 

~a; b ,

 

 

9.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратич-

ную форму ¡5x2 + 0y2 + 5z2 ¡ 8xy ¡ 2xz ¡ 8yz

9.19.Привести квадратичную форму 1x2 ¡2y2 +3z2 +4xy¡16xz+24yz к каноническому виду методом Лагранжа.

 

9.20. Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~1

0; e~1

0; e~1

0g, ãäå e~1

0 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

00

¡1

41

 

 

 

 

 

 

A = B3

¡3

4C

 

 

 

 

 

 

 

B1

2

0C

 

 

 

 

 

 

 

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

@

 

A

 

 

 

 

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

9.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 1; ¯ =

~

¡2; ~a = 3; 2; 1g; b = 1; 2; 2g.

32

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант

 

1 - 10

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

9

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.1.

Вычислить определитель

¯

2

¡

15

 

¡

8

 

¡

2¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

18

 

 

 

10

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

2¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

¡

 

 

¡

 

 

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

18

 

 

8

 

3

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

¡

 

¡

4

 

 

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

0

 

 

 

 

 

9

 

¯

6¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

2

¡

4

 

 

 

9

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.2.

Вычислить определитель

¯

2

2

 

6

 

 

 

9

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

2

 

4

 

 

 

6

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

4

 

8

 

 

 

18

 

14

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

4

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

0¡

2

1

1

10.3. Вычислить определитель произведения

 

 

 

 

матриц

A = 0¡

3

¡

3

2

1

,

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B =

1 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

3

3

0

 

 

B

 

2

2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

B¡

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

A

10.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B

¡2

0

2

0

¡3

¡1C

B

 

 

C

B

 

 

C

@

 

 

A

11 ¡2

10.5.Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

0¡51

4 1

3

1 0x11

 

B0

¡2 ¡2C ¢ Bx2C

=

B¡6C

B2

1

1

C Bx3C

 

B

3C

B

 

 

 

C B C

 

B¡

C

@

 

 

 

A @ A

 

@

A

10.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

02 21 0x11 x121 0 2 ¡11

=

0¡12 ¡221

 

 

 

 

 

@3 1A ¢ @x21 x22A ¢ @¡2 ¡1A

@¡10 ¡21A

 

 

 

 

1

 

0¡6

1

0

2

¡1

0

10.7. Вычислить ранг матрицы

B¡1 1 0 1

2

8

C

B

5

¡

2

0

¡

2

¡

1

7C

 

B

7

2

0

2

 

¡

C

 

B

 

 

1

1C

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

B

19

¡

 

0

¡

3

13

¡

C

 

B

0

 

36 C

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

@

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

10.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

1 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

011 2

 

2 0 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

9 3 ¡1 0 1

C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

1

¡

1 3 0 1

C Bx3C

=B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

1 1

 

 

1 0

1C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

¡

C B

4C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B38 9

 

3 0 8

C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

5C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

10.9. Найти общее

A @ A

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

02 4 ¡2 0 14

1Bx2C

=

021

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

3

3

 

 

1

¡

1

9

 

 

Bx3C

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

CB C

 

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

1

 

1

 

1

 

 

1

5

C

Bx

4

C

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.10. Вычислить

 

 

B

 

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

07

 

01

 

 

 

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

.

 

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@0

 

1A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

¡3

¡21

 

10.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B

 

0

¡2

¡2C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

2

¡

2

4 C

 

10.12. Найти значения параметра

 

, при которых векторы

 

 

 

è

 

 

 

B¡

 

 

 

C

 

¯

 

a

¡!

 

@

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

b

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

3; 2; 2

 

 

¡! =

 

5;

 

; 1

 

 

 

=

 

2; 3

 

 

 

 

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

f

 

g

,

b

 

f

 

¯

¡ g

¡!

 

 

f ¡ g

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, b , c компланарны. a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; 1; 3), B(¡3; 2; ¡3), C(¡3; 3; ¡1).

 

 

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке C, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

 

10.14. Даны 4 точки A(¡1; ¡2; 0), B(¡1; ¡3; 3), C(2; 2; ¡3), D(3; ¡2; 2).

 

[¡! ¡!]]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 2¡! ¡ 2¡¡! j

 

(2¡!

¡2¡¡!)

 

[2¡! ¡2¡¡!]

 

 

 

[¡¡!

 

 

Вычислить: а)

 

 

AB

 

CD

 

, á) AB;

CD

, â)

 

AB;

CD

, ã)

 

AD;

AB; AC

, ä)

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

34

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

10.15. Доказать, что векторы ~a

= f2; ¡3; ¡4g

,

~

 

 

= f4; 4; 5g образуют

 

 

b = f4; ¡3; 3g, ~c

базис и найти координаты вектора ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = 10; 36; 26g относительно этого базиса.

 

 

10.16. Найти координаты вектора ~x

по известным векторам ~a

= 4; ¡1; 0g

, ~

 

b =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

3; ¡1; 0g è ~c = 2; ¡3; ¡3g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡2, (~x; b) =

¡1 è (~x;~c) = ¡8. ~a = 4; ¡1; 0g

,~

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

b = 3; ¡1; 0g, ~c = 2; ¡3; ¡3g, (x;~a) = ¡2, (~x; b) = ¡1,

(~x;~c) = ¡8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

10.17. Найти значение скалярного произведения (¡3~u ¡4~v)(2~u + 4~v), åñëè ~u = ¡1~a + 3b,

 

= ¡4

+ 2

j

j= 2 j b j= 5 ' = ( c ) cos

 

= 0 5

 

 

~v

~a

~

~a

 

,

 

~

,

~

 

 

'

:

 

 

b и известны

 

 

 

~a; b ,

 

 

 

10.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадра-

тичную форму 6x2 + 5y2 + 7z2 + 10xy + 12xz + 10yz

10.19.Привести квадратичную форму 2x2 ¡2y2 ¡1z2 +16xy¡8xz¡8yz к каноническому виду методом Лагранжа.

10.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

0¡2

¡1

¡21

 

 

A = B

1

¡2

4

C

 

 

 

B

1

¡

1

4

C

 

 

 

B

 

 

 

C

 

 

 

@

 

 

 

 

A

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

10.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 3; ¯ =

~

¡2; ~a = 2; 3; ¡3g; b = 1; 0; ¡1g.

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

35

 

 

 

 

 

 

 

Вариант

1 - 11

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

1

3

 

 

 

¡6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.1.

Вычислить определитель

¯

6

¡

1

¡

6

 

 

 

12

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

 

2

 

7

 

 

 

12

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

2

6

 

 

 

14¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

¡

¡

 

 

18

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

10

 

 

18

6¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

¡

4

¡

 

9

 

 

9¯

3

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.2.

Вычислить определитель

¯

9

12

 

30

 

 

 

27

9

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

8

 

 

18

¡

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

 

 

 

15

6¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

¡

¡

 

 

 

 

 

 

9

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

4

 

9

 

 

 

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

1

11.3. Вычислить определитель произведения матриц

 

0¡

 

¡

 

¡

 

¡

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

2

 

2

3

0

 

2

 

1

C.

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

A = B

1 ¡1 0C,

B = B2 ¡1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

2

¡

2

1C

B3

1

2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

C

B

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

A

@

 

 

 

 

A

11.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B

0

¡3

¡2

 

0

1

¡1C

B

 

1

3

0

C

B¡

 

 

 

C

@

 

 

 

 

A

 

11.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

0

 

1

¡3

¡1

11 0x11

 

¡7

B¡2

¡3

4C ¢ Bx2C

=

B¡16C

B

4

4 4C Bx3C

 

B

4

C

B

 

 

C B C

 

B

 

C

@

 

 

A @ A

 

@

 

A

 

11.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡2 ¡31 0x11 x121 0¡2 ¡11 =

0

¡4 ¡61

 

 

 

@

4

3

A ¢ @x21 x22A ¢ @¡4 ¡3A @¡16 ¡6A

 

¡51

 

 

 

 

0

5

 

0

0

1

¡1

 

11.7.

Вычислить ранг матрицы

B

¡1

 

0

0

¡1 ¡1

1

C

 

B

 

1

 

0

0

1

2

1

C

 

 

 

 

B

¡

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

¡

¡

C

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

B

8

 

0

0

2

1

 

C

 

 

 

 

B

 

8C

 

 

 

 

@¡

 

 

 

 

¡

 

 

 

A

 

 

 

 

B

 

24

0

0

 

8

0

24 C

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

010 0 0 3 ¡11 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

5 0 0 2 1

C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

3 0 0 2 3

C Bx3C =B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

4 0 0 2 2

C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

 

4C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B31 0 0 10

 

1C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

¡

C B

 

5C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

A @ A

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.9. Найти общее

 

 

 

0x11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡11 ¡1 5 ¡3 ¡231Bx2C

= 0

¡4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

¡

1

1

 

3

¡

1

¡

13

 

Bx3C

 

B

¡

4

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

¡

5

¡

1 1

¡

1

 

¡

5 CBx4C

 

B

12C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

B¡

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

 

@

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить

 

 

 

 

B

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.10.

 

 

¡31

 

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

.

 

 

 

 

A =

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@¡3 ¡6A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

2

 

 

¡11

 

 

11.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B¡3

 

 

 

¡3

 

4

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

3

 

 

 

3

 

 

3

C

 

 

11.12. Найти значения параметра

 

 

, при которых векторы

 

B¡

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

¯

 

@

¡!

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

è

 

b

 

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2; 5;

1

 

¡! =

 

2;

 

; 4

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1; 4; 1

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

f

 

 

¡ g

b

 

f

 

¯

 

 

g

¡!

 

 

f

 

 

 

 

 

¡ g

.

 

 

 

 

 

 

 

 

, b , c

компланарны. a

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡2; 2; ¡1), B(0; ¡2; 3), C(1; ¡1; 3).

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

 

 

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке C, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

11.14. Даны 4 точки A(¡3; ¡1; 3), B(2; 3; 2), C(1; 1; ¡2), D(¡3; 1; 3).

 

[¡¡!

 

[¡! ¡!]]

 

Вычислить: а)

j 3¡!

¡ 4¡¡! j

, á)

 

(3¡! ¡4¡¡!)

, â)

[3¡!

 

¡4¡¡!]

, ã)

 

, ä)

 

 

AB

 

 

 

CD

 

 

 

 

AB;

CD

 

AB;

 

 

 

CD

 

AD; AB; AC

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

, ~

11.15. Доказать, что векторы ~a = f1; ¡2; 3g b = 3; 0; 1g, ~c = f1; 4; ¡3g

базис и найти координаты вектора ~

d = f9; 6; ¡1g относительно этого базиса.

37

образуют

11.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = 2; 2; ¡3g

, ~

b = f5; 4; 4g

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

è ~c = 1; 1; 5g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 9, (~x; b) = ¡30 è (~x;~c) =

¡15. ~a = 2; 2; ¡3g

, ~

 

 

 

 

 

~

 

b = f5; 4; 4g, ~c = 1; 1; 5g, (x;~a) = 9, (~x; b) = ¡30, (~x;~c) = ¡15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

11.17. Найти значение скалярного произведения (3~u ¡ 3~v)(3~u ¡ 2~v), åñëè ~u = ¡4~a + 4b,

~v = ¡4~a ¡ 4b

 

 

j

j= 5 j b j= 2 ' = ( c ) cos

= 0 9

 

~

и известны

~a

,

~

,

~

:

 

 

 

~a; b , '

 

11.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡2x2 ¡ 4y2 ¡ 4z2 + 0xy + 4xz + 2yz

11.19.Привести квадратичную форму ¡1x2 + 2y2 + 3z2 ¡ 4xy + 16xz + 24yz к канони- ческому виду методом Лагранжа.

11.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

0¡1 ¡2

¡21

 

 

A = B¡2

0

¡1C

 

 

 

B 2

3

1 C

 

 

 

B

 

C

 

 

 

@

 

A

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

11.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡3; ¯ =

~

¡1; ~a = f2; 2; 3g; b = f0; 2; 3g.

38

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант

1 - 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

¡3

6

¡9¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.1.

Вычислить определитель

¯

3

6

¡

6

9

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

3

 

8

9

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

3

¡

6

12

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¡

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

¡

6

18

3

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

¡

3

6

1¯

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.2.

Вычислить определитель

¯

1

 

3

9

1

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

¡

 

 

18

 

2

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

9

 

 

18¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

9

¡

18

¡

3

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

 

 

20¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¡

 

¡

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

¡

2

B =

0¡

1

0

12.3. Вычислить определитель произведения AB матриц

A =

0

1,

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@¡1 ¡1A

 

@

4 ¡1A

12.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

 

3

¡1

3

 

A = B¡2

¡2

¡2C

B

2

¡

1

1

C

B

 

 

 

C

@

 

 

 

 

A

12.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и0методом Гаусса1 0. 1 0 1

¡3

0

¡3

 

x1

=

B¡1

3

0

C ¢ Bx2C

B

 

 

C B C

 

B

 

 

C B

C

 

@

 

 

A @

A

 

B ¡3 C B C B¡12C @ A

4 4 ¡2 x3 4

12.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

02 ¡31 0x11 x121 02 ¡21

=

0

2 ¡41

 

 

 

 

 

 

 

@1 ¡2A ¢ @x21 x22A ¢ @3 ¡4A

@¡2 2 A

 

 

 

 

 

 

1

 

0

0

 

0

0

¡2

¡2

4

12.7. Вычислить ранг матрицы

B

6

 

0

0

¡2

1

¡5 C

B

8

 

0

0

¡

1

3

¡

10C

 

B

6

 

0

0

1

2

 

 

C

 

B

 

 

 

 

7 C

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

B

 

14

0

0

¡

1

8

¡

 

C

 

B

 

 

23

C

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

@¡

 

 

 

 

¡

 

¡

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

 

12.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

1 0x1

1 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡5 ¡1 0 0 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

1

1 0 0 1

C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

7

3 0 0

1C Bx3C

=B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

¡

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

1

 

1 0 0

1C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

¡

 

 

 

 

¡

C B

4C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

9

 

1 0 0 7

C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

¡

 

 

 

 

 

C B

5C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@¡

 

 

 

 

 

 

A @ A

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.9. Найти общее

0x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡2 0 ¡2 0 10

1Bx2C

= 0281

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

10

2

 

2

2

66

 

Bx3C

B

18

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

14

3

 

2

3

104

Bx

4

C

B

2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.10. Вычислить

B

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = 0¡1

 

41

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

4

 

5A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

3

 

¡3

4

1

 

12.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B¡2

 

¡1 ¡1C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

1

 

 

1

1

C

 

12.12. Найти значения параметра

 

, при которых векторы

 

è

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

 

 

C

 

¯

a

 

¡!

 

@

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

b

 

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1; 2;

 

3

 

¡! =

 

5; ; 3

 

 

=

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2; 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

b ,

 

 

 

 

 

 

¡! f

 

¡ g

 

b

¯

 

g

¡!

 

 

f ¡ ¡ g

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

c компланарны. a

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡3; 2; ¡2), B(¡2; ¡3; ¡3), C(2; ¡2; ¡1).

 

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке C, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

 

 

12.14. Даны 4 точки A(¡2; ¡2; 2), B(¡1; 3; 1), C(¡1; ¡3; ¡2), D(¡3; 3; 1).

 

[¡! ¡!]]

 

 

Вычислить: а)

j ¡3¡! + 2¡¡! j

, á)

 

(¡3¡!

 

2¡¡!)

, â)

[¡3¡!

2¡¡!]

, ã)

 

[¡¡!

 

, ä)

AB

 

CD

 

 

 

AB;

CD

 

AB; CD

 

 

AD;

AB; AC

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

40

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

12.15. Доказать, что векторы ~a = 2; ¡2; 1g

, ~

 

 

 

 

b = 1; 4; ¡2g, ~c = 4; 3; 2g образуют

базис и найти координаты вектора ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = f4; 14; ¡7g относительно этого базиса.

 

 

12.16. Найти координаты вектора ~x

 

по известным векторам ~a = 2; ¡3; ¡4g

, ~

 

 

b =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

2; ¡5; 1g è ~c = f2; ¡5; 0g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 9, (~x; b) = ¡18

è

(~x;~c) = 3. ~a = 2; ¡3; ¡4g

, ~

 

 

 

 

 

~

 

b = 2; ¡5; 1g, ~c

= f2; ¡5; 0g, (x;~a) = 9, (~x; b) = ¡18,

(~x;~c) = 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

12.17. Найти значение скалярного произведения (2~u + 4~v)(¡3~u + 2~v), åñëè ~u = ¡4~a + 2b,

 

= ¡4

¡ 1

j

j= 4 j b j= 2 ' = ( c ) cos

= 0 8

 

~v

~a

~

~a

 

,

~

,

 

~

'

:

 

b и известны

 

 

~a; b ,

 

12.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡2x2 + 1y2 + 4z2 ¡ 6xy + 8xz + 2yz

12.19.Привести квадратичную форму ¡1x2 ¡ 1y2 + 3z2 ¡ 12xy ¡ 8xz + 24yz к канони- ческому виду методом Лагранжа.

12.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

0

2

2

01

 

 

A = B

3

¡3

1C

 

 

 

B

 

1

2

4C

 

 

 

B¡

 

 

C

 

 

 

@

 

 

 

A

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

12.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 1; ¯ =

~

¡3; ~a = f2; 3; ¡3g; b = f3; 0; 2g.

Соседние файлы в предмете Математический анализ