Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Типовой расчет №1

.pdf
Скачиваний:
45
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
1.23 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

81

 

26.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

1 21 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

012 2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B10 2 2

3 1C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

7 1

 

¡

1 1 2C Bx3C

=B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

C B C

 

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

7 1 1

 

1 2C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

¡

 

C B

4C

 

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

C B C

 

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B19 3 0

1 5C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C B

5C

 

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

A @ A

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.9. Найти общее

 

 

 

0x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡2 ¡2 ¡1 ¡1 ¡61Bx2C

= 0

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

3

3

 

 

3

3

 

9

 

 

Bx3C

B

 

6

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

1

1

 

 

2

2

 

3

C

Bx

4

C

B

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

B¡

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

C

@

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.10. Вычислить

 

 

 

B

 

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = 0¡6

 

01

 

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

0

 

 

2A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

4

31

 

26.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B

3

0

0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

2

¡

2

2C

 

26.12. Найти значения параметра

 

 

, при которых векторы

 

 

è

 

 

 

 

B¡

 

 

C

 

¯

a

 

¡!

 

@

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

b

 

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1; 4; 5

 

 

¡! =

 

2; ; 3

 

 

=

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5; 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

f

 

g

,

b

 

f

¯

g

¡!

 

f ¡ ¡ g

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, b , c компланарны. a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; 3; 3), B(0; 3; ¡2), C(1; ¡3; 0).

 

 

 

 

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке

 

 

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

 

26.14. Даны 4 точки A(2; ¡1; ¡2), B(¡2; 2; 1), C(1; ¡3; 0), D(2; ¡3; ¡1).

 

 

[¡! ¡!]]

 

Вычислить: а)

j 3¡! ¡ 3¡¡! j

, á)

(3¡!

¡3¡¡!)

, â)

[3¡!

¡3¡¡!]

, ã)

[¡¡!

 

, ä)

 

AB

 

 

CD

 

 

 

AB;

CD

 

AB;

CD

 

 

AD; AB; AC

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

82

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

26.15. Доказать, что векторы ~a = f1; ¡1; ¡3g

, ~

 

b = f1; ¡2; 0g, ~c = f1; 3; ¡4g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = 5; ¡10; 27g относительно этого базиса.

, ~

26.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f1; 4; ¡1g b = f3; 1; ¡4g

~

è ~c = f5; ¡2; 5g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 10, (~x; b) = 0 è (~x;~c) = ¡46.

, ~ ~

~a = f1; 4; ¡1g b = f3; 1; ¡4g, ~c = f5; ¡2; 5g, (x;~a) = 10, (~x; b) = 0, (~x;~c) = ¡46.

 

 

 

 

 

 

 

 

~

26.17. Найти значение скалярного произведения (1~u + 1~v)(4~u + 4~v), åñëè ~u = ¡4~a ¡ 1b,

~v = 1~a + 3b

 

j

j= 4 j b j= 4 ' = ( c ) cos

= 0 8

~

и известны

~a

,

~

,

~

:

 

 

 

~a; b , '

 

26.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡4x2 + 1y2 + 1z2 ¡ 8xy + 4xz + 4yz

26.19.Привести квадратичную форму ¡2x2 + 1y2 ¡ 2z2 ¡ 24xy + 8xz ¡ 24yz к канони- ческому виду методом Лагранжа.

26.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

02

¡1

3

1

 

 

A = B0

¡2

0

C

 

 

 

B3

2

¡

3C

 

 

 

B

¡

 

C

 

 

 

@

 

 

 

A

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

26.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 1; ¯ =

~

¡1; ~a = f2; 2; ¡1g; b = f3; 0; 2g.

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

83

 

 

 

 

 

 

Вариант

 

1 - 27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡2

¡6

¡6

¡2¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.1.

Вычислить определитель

¯

4

10

12

4

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

18

15

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

6

 

 

6

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

3¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

¡

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

¡

5

12

6

¯

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

 

12¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

¡

2

 

6

3

¡

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.2.

Вычислить определитель

¯

1

2

 

 

3

3

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

4

¡

 

¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

12

5

 

 

12¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

¡

2

 

6

3

 

¡

 

3

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

 

 

 

 

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

1

27.3. Вычислить определитель произведения

 

 

матриц

A = 0

3

1

3

,

0¡

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

 

 

¡

3

¡

2

¡21

 

B = B

0 0

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

¡

 

B

3

0

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

B

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

A

27.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B

0

¡1

¡1

 

4

0

¡1C

B

 

1

3

2

C

B¡

 

 

 

C

@

 

 

 

 

A

 

27.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

0

15 1

2

0

3

1 0x11

 

B¡3

¡3 ¡3C ¢ Bx2C

=

B¡12C

B

 

3

2

1

C Bx3C

 

B

 

10C

B¡

 

 

 

C B C

 

B¡

C

@

 

 

 

 

A @ A

 

@

 

A

0

27.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

1 ¡31 0x11 x121 0¡2 ¡41 =

0¡2 ¡401

 

 

 

@¡1 2 A ¢ @x21 x22A ¢ @

0 ¡4A @

2

 

32 A

 

 

1

 

 

 

0

¡3

 

0

1

1

0

1

 

27.7. Вычислить ранг матрицы

B

1

 

0

¡2

3

0

13 C

 

B

1

 

0

¡

1

1

0

5

C

 

 

 

B

 

7

 

0

 

1

0

 

C

 

 

 

B

 

 

3

3C

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

B

¡

 

0

7

9

0

¡

C

 

 

 

B

 

23

13 C

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

@¡

 

 

 

 

 

 

 

 

A

84

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡2 3 0 2 11 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡1 2 0 2 1C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

5

¡

1 0

¡

1 1C Bx3C

=B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

6

 

1 0 1 2C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

¡

 

 

 

 

 

C B

 

4C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

6

2 0

 

 

2 2C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

¡

C B

 

5C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

A @ A

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.9. Найти общее

 

0x11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 3

2

 

5 6 33

1Bx2C

=

023 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

6

¡

1

 

3

3

29

 

Bx3C

 

B¡

6

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

CB C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

9

3 2 3 62

CBx4C

 

B

17 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

B

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

 

@

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.10. Вычислить

 

B

 

 

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = 0¡7

 

 

1

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

.

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

0

 

¡5A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

04

 

 

 

4

 

4

1

 

 

27.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B4

 

 

 

0

 

¡1C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B4

 

 

 

 

3 4

C

 

 

27.12. Найти значения параметра

 

, при которых векторы

 

 

B

 

 

¡

 

 

C

 

 

¯

a

 

@

¡!

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

è

 

b

 

 

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1;

2; 5

 

¡! =

 

 

3; ; 5

 

 

 

 

=

 

 

 

 

3; 4

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

f ¡ g

b

 

¯

 

g

¡!

 

f ¡ g

 

 

 

 

 

 

 

, b , c компланарны. a

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

27.13. Даны 3 вершины треугольника A(3; ¡2; 0), B(0; ¡2; ¡2), C(¡1; ¡3; ¡2).

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке

 

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

27.14. Даны 4 точки A(3; ¡1; ¡2), B(¡1; ¡2; 3), C(¡3; 3; 2), D(3; 3; ¡1).

[¡¡!

[¡! ¡!]]

 

Вычислить: а)

j ¡2¡!

¡ 4¡¡! j

, á)

(¡2¡!

¡4¡¡!)

, â)

[¡2¡!

¡4¡¡!]

, ã)

,

 

AB

 

 

 

CD

 

 

 

AB;

CD

 

AB;

 

 

CD

AD; AB; AC

д) квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани

ABC

¡¡! ¡!

, и) направляющие косинусы вектора AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

27.15. Доказать, что векторы ~a = f0; ¡3; ¡2g

, ~

b = f1; 4; ¡1g, ~c = 2; 5; ¡1g

базис и найти координаты вектора ~

d = 14; 24; 9g относительно этого базиса.

85

образуют

27.16. Найти координаты вектора ~x

по известным векторам ~a = 4; ¡5; 4g

, ~

b =

 

 

 

 

 

 

 

 

~

f2; 3; ¡1g è ~c = 2; 2; 0g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡4, (~x; b) = 5

è (~x;~c) = 14. ~a = 4; ¡5; 4g

,~

 

 

 

 

~

 

b = f2; 3; ¡1g, ~c = 2; 2; 0g, (x;~a) = ¡4, (~x; b) = 5, (~x;~c) = 14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

27.17. Найти значение скалярного произведения (1~u + 1~v)(3~u + 4~v), åñëè ~u = 4~a ¡ 4b,

~v = 3~a ¡ 3b

 

j ~a j= 3 j b j= 2 ' = ( c ) cos ' = 0:6

 

~

и известны

 

 

,

~

,

~

 

 

 

 

 

 

~a; b ,

 

 

27.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡2x2 ¡ 5y2 ¡ 4z2 + 0xy ¡ 2xz ¡ 6yz

27.19.Привести квадратичную форму ¡2x2 + 3y2 + 3z2 ¡ 16xy + 24xz + 24yz к канони- ческому виду методом Лагранжа.

27.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

01

¡2

41

 

 

A = B4

2

3C

 

 

 

B0

1

1C

 

 

 

B

 

C

 

 

 

@

 

A

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

27.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 1; ¯ =

~

¡3; ~a = 1; 1; ¡2g; b = f1; 2; ¡2g.

86

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

Вариант

 

1 - 28

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡2

2

 

6

 

¡9

 

 

 

 

 

 

28.1.

Вычислить определитель

¯

6

¡

5

¡

18

27

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

 

6

 

 

15

27

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

¡

 

¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

 

18

24¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯¡

3

 

¡

1

¡

6

¯

 

6

 

 

 

 

 

¯

1

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

1

6

 

¡

1

¡

6

 

6

¯

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.2.

Вычислить определитель

¯

1

6

 

 

 

2

 

6

 

 

6

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯¡

 

18

 

¡

 

¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

3

 

 

 

3

20

 

 

18¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

2

¡

 

 

 

 

2

12

 

¡

¯

 

 

 

 

 

¯

12

 

 

 

 

 

14

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¡

 

¡

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

3

1

28.3. Вычислить определитель произведения

AB

матриц

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B2

1C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B3 2 2C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

A

01

B = B

¡1

2

¡2

C.

0

¡1

1

B

0

2

1

C

B

 

 

 

C

@

 

 

 

A

28.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

 

¡3

4

0

 

A = B¡3

¡3

¡2C

B

2

0

1

C

B

 

 

 

C

@

 

 

 

A

 

28.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

0

 

1

1 ¡3

¡11 0x11

 

4

B1

1 ¡3C ¢ Bx2C

=

B¡6C

B4

¡

2

4 C Bx3C

 

B

4

C

B

 

 

C B C

 

B

 

C

@

 

 

 

A @ A

 

@

 

A

 

28.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡2 ¡11 0x11 x121 00 31

=

 

0¡14 ¡121

 

 

 

 

 

 

@

0 2 A ¢ @x21 x22A ¢ @2 0A

@

4

 

12

A

 

 

 

¡121

 

 

0

4

 

1

0

3

¡2

 

28.7. Вычислить ранг матрицы

B

0

 

¡1

0

2

1

¡4

C

 

B

 

10

2

0

2

¡

2

6

C

 

 

B¡

 

 

¡

 

¡

 

 

 

C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

¡

 

¡

 

C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

B

10

 

3

0

3

 

 

2

 

 

C

 

 

B

 

¡

 

¡

14C

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

B

52

 

16

0

16

 

12

 

76C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

87

 

28.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3 1 2 ¡1 01 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B12 3 ¡1 2 0C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B18 3 3

 

 

3 0C Bx3C =B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B11 2 1

 

 

2 0C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C B

 

 

4C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B90 17 5 17 0C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C B

 

 

5C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

A @ A

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.9. Найти общее

 

 

 

0x11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡8 ¡1 0 ¡3 ¡441Bx2C

= 0 6

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

6 1 2

¡

1

¡

30

 

 

Bx3C

 

B¡

10

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

2

2 2 2

14

CBx4C

 

B

 

16C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

B¡

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

 

@

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.10. Вычислить

 

 

 

 

B

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

03 6

1

 

 

 

 

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

.

 

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@6 ¡2A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

¡1

0

1

 

28.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B

 

4

¡3

2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

3

¡

2

 

3C

 

28.12. Найти значения параметра

 

, при которых векторы

 

è

 

 

 

 

B¡

 

¡

C

 

¯

a

 

¡!

 

@

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

b

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

= 1; ¡5; ¡4g

= 1;

 

; ¡1g

= 1; ¡5; ¡5g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

векторы a , b , c компланарны. a

 

 

 

 

 

, b

 

¯

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

28.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; ¡1; 2), B(2; 3; 3), C(¡1; ¡2; ¡2).

 

 

 

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

 

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке

 

 

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

 

 

28.14. Даны 4 точки A(1; ¡3; 1), B(2; ¡3; ¡1), C(¡3; 3; 0), D(¡3; 3; 2).

 

 

 

[¡! ¡!]]

 

 

Вычислить: а)

j ¡3¡!

+ 2¡¡! j

, á)

(¡3¡! 2¡¡!)

, â)

[¡3¡! 2¡¡!]

, ã)

[¡¡!

 

, ä)

 

 

AB

 

 

 

CD

 

 

 

AB; CD

 

AB; CD

AD;

AB; AC

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

88

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

28.15. Доказать, что векторы ~a

= f2; 4; ¡3g

, ~

 

 

 

 

 

b = 2; 0; 2g, ~c = 3; ¡1; 5g образуют

базис и найти координаты вектора ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = f12; 14; ¡12g относительно этого базиса.

28.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f0; 0; 1g

, ~

b = 4; 4; ¡4g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

è ~c = f2; 4; ¡1g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 0, (~x; b) = 20 è (~x;~c) = 8.

~a = f0; 0; 1g

, ~

 

 

 

 

 

(x;~a) = 0,

 

~

 

 

 

b = 4; 4; ¡4g, ~c = f2; 4; ¡1g,

(~x; b) = 20, (~x;~c) = 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

28.17. Найти значение скалярного произведения (4~u + 2~v)(4~u + 2~v), åñëè ~u = 2~a ¡ 4b,

~v = 1~a + 3b

 

j

j= 5 j b j= 4 ' = ( c ) cos

 

= 0 8

 

~

и известны

~a

,

~

 

,

~

'

 

:

 

 

 

 

 

~a; b ,

 

 

 

28.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡4x2 + 0y2 + 5z2 ¡ 10xy + 10xz ¡ 6yz

28.19.Привести квадратичную форму 2x2 ¡ 2y2 + 3z2 + 24xy ¡ 16xz + 12yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

28.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

0

2

1

01

 

 

A = B¡2

1

3C

 

 

 

B

 

3 1

1C

 

 

 

B¡

 

 

C

 

 

 

@

 

 

 

A

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

28.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 3; ¯ =

~

¡1; ~a = 1; 1; ¡2g; b = f1; ¡3; 3g.

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

89

 

 

Вариант

1 - 29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

1

2

¡1¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29.1.

Вычислить определитель

¯

3

2

6

3¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

 

1

 

4

1

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

¡

 

¡

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

1

2

2¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

¡

 

¡

 

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

1

6

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

 

4

 

1

6¯

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29.2.

Вычислить определитель

¯

6

8

1

12

 

12

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

4

 

1

9

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

 

 

 

 

6¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

¡

4

¡

1

¡

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

6

 

 

8¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

¡

 

¡

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

0¡

1

4

B =

1

3

29.3. Вычислить определитель произведения AB матриц

A =

 

1,

0

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

0

¡2A

 

@4

0A

29.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B

¡2

3

0

C

2

¡2

0

B

 

 

 

C

B

 

 

 

C

@

 

 

 

A

13 ¡2

29.5.Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

0

 

 

1

2

3

3

1 0x11

 

15

B

2

¡2

¡3C ¢ Bx2C

=

B¡23C

B

 

1

2

1

C Bx3C

 

B

¡

2 C

B¡

 

¡

 

C B C

 

B

 

C

@

 

 

 

 

A @ A

 

@

 

 

A

29.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

04 ¡11 0x11 x121 03 ¡11

=

 

0¡21 ¡21

 

 

 

 

 

 

@4 2 A ¢ @x21 x22A ¢ @0 3 A

@

6

16 A

 

 

 

 

 

1

 

0

3

 

3

¡1

3

0

¡2

29.7. Вычислить ранг матрицы

B

8

 

¡2

¡1

3

0

8

C

B

 

8

 

1

¡

1

¡

2

0

 

4

C

 

B

¡

 

¡

 

 

0

¡

C

 

B

13

 

1

2

2

10

C

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

B

 

38

¡

 

4

 

2

0

 

 

C

 

B

 

20

 

 

 

52C

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

@¡

 

 

 

¡

 

¡

 

 

¡

 

A

90

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

29.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

¡1

0

3

¡1

2

B

6

¡1

2

2

B

 

3

1

 

1

2

B

 

 

B

6

1

1

1

B

B¡

 

¡

¡

 

 

B

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

1 0 1 0 1

0C Bx1C B0C 0CC BBx2CC BB0CC C B C B C 0CC BBx3CC =BB0CC C B C B C 0CA B@x4CA B@0CA

 

3

¡2

 

1

4

0

 

 

 

x5

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29.9. Найти общее

 

 

 

 

 

0x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 ¡2 ¡2 0

 

16

 

1Bx2C

=

001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

1

1

 

 

1

¡

1

¡

17

 

 

Bx3C

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

1

3

 

 

3

 

1

 

 

33

C

Bx

4

C

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29.10. Вычислить

 

 

 

 

 

 

B

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = 02 6

1

 

 

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@6 ¡3A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

¡3

3

1

 

29.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B¡3

 

 

2

 

¡3C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

2

 

 

¡

1

1C

 

29.12. Найти значения параметра

 

 

, при которых векторы

 

 

B

 

 

 

 

 

¡

C

 

¯

 

a

@

¡!

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

è

b

 

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2; 2; 5

¡! =

5;

;

 

 

3

 

 

 

 

1; 4;

2

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

g

, b

¯

¡ g

¡!

 

f

 

¡

¡ g

.

 

 

 

 

 

, b , c компланарны. a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29.13. Даны 3 вершины треугольника A(2; 2; ¡1), B(¡3; ¡2; ¡2), C(3; ¡2; 1).

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке

 

 

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

29.14. Даны 4 точки A(3; 3; 3), B(0; 3; 1), C(3; 2; ¡1), D(¡3; 1; 1).

[¡! ¡!]]

 

 

 

Вычислить: а)

j 2¡!

+2¡¡! j

, á)

(2¡!

2¡¡!)

, â)

[2¡!

2¡¡!]

, ã)

[¡¡!

, д) квадрат

AB

 

 

 

CD

 

AB; CD

AB; CD

 

AD; AB; AC

площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC, и) направ-

ляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении

аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

Соседние файлы в предмете Математический анализ