Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Типовой расчет №1

.pdf
Скачиваний:
45
Добавлен:
20.06.2014
Размер:
1.23 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51

 

16.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

¡5 3 0 2 01 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

¡1 2 0 ¡1 0C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

¡

5 3 0 2 0C Bx3C =B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

5 2 0 3 0C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

¡

 

 

 

 

 

 

 

C B

 

4C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

16 12 0 4 0C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

 

5C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@¡

 

 

 

 

 

 

 

 

A @ A

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.9.

Найти общее

 

 

0x11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 ¡1 2 5 5

131Bx2C

= 0 7

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

10

¡

1

2

¡

1

13

 

Bx3C

B¡

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

3

1 1 2 0

CBx4C

B

6

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

B

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

C

@

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.10. Вычислить

 

 

 

B

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

01

 

 

 

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

.

 

 

 

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@0

 

 

5A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡3

4

0

1

 

16.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B

3

 

1

1

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

4

 

1

2C

 

16.12. Найти значения параметра

 

, при которых векторы

 

è

 

 

B

 

 

 

¡

C

 

¯

a

¡!

 

@

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

b

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

0; 5;

1 ¡! = 4;

; 1

 

 

=

 

 

 

1

 

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1; 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

f ¡ ¡ g

, b

f

¯

g

¡!

 

f ¡ g

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, b , c компланарны. a

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡3; 1; 2), B(3; ¡2; ¡1), C(3; ¡2; 2).

 

 

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке

 

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

16.14. Даны 4 точки A(2; ¡3; 1), B(¡1; ¡3; 1), C(¡1; 2; ¡3), D(¡3; 1; 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 2¡!

+2¡¡! j

 

(2¡!

2¡¡!)

 

[2¡!

2¡¡!]

 

[¡¡!

[¡! ¡!]]

 

 

 

 

Вычислить: а)

 

AB

 

 

 

CD

, á) AB; CD

, â)

AB; CD

, ã)

AD; AB; AC

, д) квадрат

площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC, и) направ-

ляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении

аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

52

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

16.15. Доказать, что векторы ~a

= f1; ¡2; 4g

, ~

= 2; 4; ¡1g, ~c = 1; 1; 0g образуют

 

b

базис и найти координаты вектора ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = 3; 10; ¡14g относительно этого базиса.

 

16.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f1; ¡2; 3g

, ~

 

b = 3; 1; 0g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

è ~c = 3; 2; ¡5g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡5, (~x; b) = 13 è (~x;~c) =

7. ~a = f1; ¡2; 3g

, ~

 

 

 

 

 

 

 

~

 

b = 3; 1; 0g, ~c = 3; 2; ¡5g, (x;~a) = ¡5, (~x; b) = 13, (~x;~c) = 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

16.17. Найти значение скалярного произведения (¡4~u¡3~v)(¡2~u¡3~v), åñëè ~u = ¡4~a¡1b,

 

= ¡1

+ 3

 

 

j

j= 5 j b j= 5 ' = ( c ) cos

= 0 8

 

~v

~a

~

 

~a

,

~

,

 

~

, '

:

 

 

b и известны

 

~a; b

 

16.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадра-

тичную форму 6x2 + 3y2 + 5z2 + 8xy + 10xz + 6yz

16.19.Привести квадратичную форму 3x2 + 2y2 ¡ 1z2 + 24xy + 16xz ¡ 12yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

16.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

0

3

¡1

3

1

 

 

A = B¡2

4

¡3C

 

 

 

B

2

¡

2

4

C

 

 

 

B

 

 

 

C

 

 

 

@

 

 

 

 

A

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

16.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 2; ¯ =

~

¡3; ~a = f2; 1; 3g; b = f2; ¡2; ¡1g.

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

53

 

 

Вариант

1 - 17

 

 

 

 

 

 

 

¯3

¡6 ¡3 ¡4¯

 

 

 

 

 

 

17.1.

Вычислить определитель

¯3

¡

8

 

¡

3

 

¡

4¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

6

 

 

4

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯3

 

 

 

 

 

 

4¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

6

 

¡

3

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯3

 

 

 

 

 

 

6¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

 

¡

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

6

 

¡

 

 

¡

 

¯

¡

 

 

 

 

 

¯

 

9

 

12

18

12¯

 

 

 

¯

3

 

 

 

6

 

 

 

6

 

 

9

6

¯

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

17.2.

Вычислить определитель

¯

6

 

 

12

 

 

14

 

18

12

¯

 

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

3

 

¡

 

6

 

¡

 

6

 

¡

 

6

6

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

¡

 

 

¡

 

 

¡

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

¡

 

 

 

¡

 

 

 

¡

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

0 3

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

9

 

 

18

 

 

18

 

27

20

¯

 

17.3. Вычислить определитель произведения AB матриц A =

0¡2

2

¡11,

B =

03

¡11.

 

¡

3

1

¡

2

 

B

¡

C

 

 

 

A

 

B0

3

C

 

@

 

 

 

 

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

@

 

A

17.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

1

¡3

3

A = B1

2

¡2C

B

 

C

B

 

C

@

 

A

32 ¡1

17.5.Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

0

 

1

0 1 0

1 0x11

 

1

B3

4

0

C ¢ Bx2C

=

B

¡5 C

B3

0

¡

2C Bx3C

 

B

17C

B

 

 

 

C B C

 

B¡

C

@

 

 

 

 

A @ A

 

@

 

A

17.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

00 ¡21 0x11 x121 0¡4 31

=

 

0

38 ¡181

 

 

 

 

 

@3 0 A ¢ @x21 x22A ¢ @ 1 1A

@¡30 33

A

 

 

 

 

1

 

0¡1

1

3

0

0

¡9

17.7. Вычислить ранг матрицы

B

0

1

2

0

0

¡7 C

B

 

1

¡

1

¡

1

0

0

5

C

 

B¡

 

 

 

0

0

 

 

C

 

B

1

2

3

 

12C

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

B

4

0

 

4

0

0

¡

 

C

 

B

 

8

C

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

@

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

A

54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

5 0 3 1 01 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

7 0 1 3 0C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

9 0 3 3 0C Bx3C

=B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

6 0 2 2 0C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

4C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B56 0 16 20 0C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

5C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

A @ A

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.9. Найти общее

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 3

1 5 5

 

5 1Bx2C = 021

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

11

3

 

 

1

¡

1

 

11

 

Bx3C

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

4 1

 

2

 

3

 

 

3

C

Bx

4

C

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

17.10. Вычислить

собственные числа и собственные векторы матрицы

A

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

02

 

01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@0

 

6A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡3

 

 

¡3

3

1

 

 

17.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B

1

 

 

0

 

¡2C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

2

 

 

4

 

3C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

¡

C

 

 

17.12. Найти значения параметра

 

, при которых векторы

 

è

 

 

ортогональны, а

 

 

@

b

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

,

b , c

 

компланарны. a

=

 

2; 5; 1

,

b

=

 

4;

¯

; 3

 

c

=

 

 

5;

 

 

4; 3

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

¡!

f

 

g

¡!

¡

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ¡ ¡ g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

17.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; ¡1; ¡3), B(0; ¡2; 2), C(3; ¡3; 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D , достроив треугольник до параллелограм-

Вычислить: а) квадрат длины вектора ¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

тора с началом в точке

 

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.14. Даны 4 точки A(¡2; 1; 3), B(¡1; 2; 3), C(2; ¡2; 1), D(1; ¡2; ¡3).

 

 

 

 

 

 

 

, ä)

Вычислить: а)

 

 

 

AB

 

CD

, á)

 

 

AB; CD

, â)

 

 

AB; CD

, ã)

AD; AB; AC

 

 

 

 

 

 

 

j ¡3¡! + 2¡¡! j

 

 

(¡3¡! 2¡¡!)

 

 

[¡3¡!

2¡¡!]

 

 

[¡¡!

 

[¡! ¡!]]

 

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

55

 

17.15. Доказать, что векторы ~a = f4; 3; 2g

, ~

 

 

 

 

b = f4; ¡5; ¡1g, ~c = f3; ¡1; 1g образуют

базис и найти координаты вектора ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = f3; ¡41; ¡14g относительно этого базиса.

 

 

17.16. Найти координаты вектора ~x

по известным векторам ~a = 2; ¡3; ¡2g

, ~

 

b =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

f2; 1; ¡2g è ~c = f3; ¡3; 3g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 9, (~x; b) = 13 è

(~x;~c) = 9. ~a = 2; ¡3; ¡2g

, ~

 

 

 

 

 

~

 

 

b = f2; 1; ¡2g, ~c = f3; ¡3; 3g,

(x;~a) = 9, (~x; b) = 13, (~x;~c) = 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

17.17. Найти значение скалярного произведения (4~u + 2~v)(2~u ¡ 2~v), åñëè ~u = 4~a ¡ 2b,

 

= ¡4 + 1b

j

 

 

j= 5 j b j= 5 ' = ( c ) cos

 

= 0 8

 

~v

~a

~

и известны

~a

 

,

~

,

~

'

:

 

 

 

 

~a; b ,

 

17.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡1x2 ¡ 5y2 ¡ 3z2 + 6xy + 2xz + 6yz

17.19.Привести квадратичную форму 1x2 + 3y2 + 3z2 + 12xy + 12xz + 24yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

17.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

0

0

2

3

1

 

 

 

 

 

 

A = B

1

0

¡3C

 

 

 

 

 

 

 

B

3

¡

2

1C

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

¡

C

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

 

 

17.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

 

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 2; ¯ =

¡2; ~a = f3; ¡2; ¡3g;

 

~

 

 

 

 

 

b = f1; 2; 2g.

 

 

 

56

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант

 

1 - 18

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

¡3

¡6

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

18.1.

Вычислить определитель

¯

4

3

12

 

4¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

3

 

9

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

2¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

9

18

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

 

4¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

14

 

 

6

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

 

 

 

6

27

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

4

 

2

 

¯2

 

9

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.2.

Вычислить определитель

¯

1

4

 

0

 

2

 

9

¯

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

8

 

4

¡

3

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

 

18¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

4

 

 

2

¡

 

¡

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

1

 

 

 

2

12

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

¡

 

¡

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

0

2

1

18.3. Вычислить определитель произведения

AB

матриц

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B¡1 2 ¡1C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

2

3

2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

A

0

0

3

¡1

1

B = B

C.

0

3

0

B

 

1

1

1

C

B¡

 

 

 

C

@

 

 

 

 

A

18.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B

¡2

0

3

0

0

1C

B

 

 

C

B

 

 

C

@

 

 

A

12 4

18.5.Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

0151

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 4

1 0x11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡2 4 4

C ¢ Bx2C

= B10C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

3 2 2C Bx3C B

5 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

¡

C B C

B

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

A @ A

@

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

18.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

3 41 0x11 x121 01 0

1

=

 

0¡2 ¡481

 

 

 

 

 

 

 

@¡2 3A ¢ @x21 x22A ¢ @1 ¡3A

@

7 ¡36A

 

 

 

 

¡131

 

 

 

 

 

 

0

2

2

0

¡1

3

 

18.7. Вычислить ранг матрицы

B¡3

1

0

2

1

¡3

C

 

B

1

3

0

2

2

¡

11C

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

¡

 

 

 

¡

 

C

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

B

7

3

0

 

 

2

3

 

 

C

 

 

 

 

 

 

B

¡

 

 

17C

 

 

 

 

 

 

@

 

¡

 

 

 

 

¡

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

B

20

 

6

0

 

14

 

5

14

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57

 

18.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

014 2 0 1 2 1 0x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

9 2 0 3 ¡1C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

6 1 0 3

 

¡

1C Bx3C

=B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

6 1 0 3

 

 

 

1C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

¡

C B

 

4C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

C B C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B46 8 0 8 2 C Bx

 

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

 

5C

 

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

A @ A

1

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.9. Найти общее

 

0x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡6

8 3 5 4 1Bx2C

= 0 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

1

 

3

 

6

 

 

Bx3C

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

¡

 

 

 

¡

 

 

 

B C

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 3 2 1 5

CB C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

C

 

 

x4

 

B17C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B¡

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

B

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

@

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить

 

 

B

 

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.10.

 

¡61

 

 

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

.

 

 

 

 

 

A = 0

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@¡6 ¡5A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡1

2

¡11

 

18.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B¡1

1

1

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B 2

 

3

2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

C

 

18.12. Найти значения параметра

¯

, при которых векторы

a

è

 

¡!

@

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

b

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

3; 2;

 

1 ¡! =

2;

 

;

1

 

 

 

 

4; 5; 1

 

 

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

,

b ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

f¡ ¡ g

, b

 

¯

 

¡ g

 

 

f

 

 

g

.

 

 

 

 

 

 

 

 

c компланарны. a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.13. Даны 3 вершины треугольника A(3; ¡2; 0), B(¡2; ¡3; ¡2), C(¡3; ¡1; 1).

 

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке

 

 

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

18.14. Даны 4 точки A(¡1; ¡3; ¡1), B(¡3; ¡1; ¡3), C(¡1; ¡2; ¡2), D(1; 1; ¡2).

 

 

 

Вычислить: а)

j 3¡!

+2¡¡! j

, á)

(3¡!

2¡¡!)

, â)

[3¡! 2¡¡!]

, ã)

[¡¡!

 

[¡! ¡!]]

, д) квадрат

 

 

AB

 

 

 

CD

 

 

AB; CD

AB; CD

 

AD;

AB; AC

площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC, и) направ-

ляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении

аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

58

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

18.15. Доказать, что векторы ~a

 

,

~

 

 

 

 

= f5; ¡5; 1g

b = f2; 5; 1g, ~c = f4; ¡3; ¡5g образуют

базис и найти координаты вектора ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d = f6; ¡24; ¡18g относительно этого базиса.

 

18.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = 2; 3; 2g

, ~

 

b = f4; 4; 3g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

è ~c = f4; 3; 5g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 10, (~x; b) = 48 è (~x;~c) = 52.

~a = 2; 3; 2g

, ~

 

 

 

 

 

 

 

~

 

b = f4; 4; 3g, ~c = f4; 3; 5g, (x;~a) = 10,

(~x; b) = 48, (~x;~c) = 52.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

18.17. Найти значение скалярного произведения (¡4~u + 3~v)(¡3~u + 4~v), åñëè ~u = 3~a ¡2b,

 

= ¡2 + 2b

 

j

j= 5 j

 

j= 5 ' = ( c ) cos ' = 0:9

 

~v

~a

~

и известны ~a

 

~

,

~

,

 

 

 

, b

~a; b

 

 

18.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадра-

тичную форму 6x2 + 7y2 + 4z2 + 12xy + 6xz + 8yz

18.19.Привести квадратичную форму ¡2x2 + 1y2 + 2z2 ¡ 8xy + 4xz + 24yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

18.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

 

0¡2 2

¡11

 

 

A = B¡2

0

¡2C

 

 

 

B

 

C

 

 

 

B

 

C

 

 

 

@

 

A

 

 

32 ¡2

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

18.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 3; ¯ =

~

¡2; ~a = 3; 1; 2g; b = f3; 1; 2g.

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

59

 

 

Вариант

1 - 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡2

1

4

 

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.1.

Вычислить определитель

¯

2

¡

2

¡

4

 

6¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

 

1

 

6

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

6¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

4

¡

 

¡

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

2

8

 

9

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

9

 

12

 

 

18

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

18

6

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

3

3

 

6

 

¯

 

6

2

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.2.

Вычислить определитель

¯

3

3

 

8

 

 

 

6

 

¯

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

2¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

6

 

6

 

 

12

¡

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

9

4

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

¡

¡

 

 

 

18

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

9

9

 

18

 

 

5¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

¡

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

0¡

1

1

B =

0

2

19.3. Вычислить определитель произведения AB матриц

A =

 

1,

0

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@¡3

4A

 

@3

3A

19.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

¡2

2

2

C

A = B¡3

1

2

B

 

 

C

B

 

 

C

@

 

 

A

02 ¡1

19.5.Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

 

0

 

1

1 0

2

1 0x11

 

0

B0

¡3 ¡3C ¢ Bx2C

=

B¡6C

B1

1

1

C Bx3C

 

B

0

C

B

 

 

 

C B C

 

B

 

C

@

 

 

 

A @ A

 

@

 

A

19.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

0¡3 01 0x11 x121 0 3 0

1 =

0

24 ¡121

 

 

@¡1 3A ¢ @x21 x22A ¢ @¡1 ¡4A

@¡16 ¡28A

 

1

 

 

0¡1

2

0

0

1

1

19.7. Вычислить ранг матрицы

B¡5

1

0

0

2

¡4C

B 1

¡

2

0

0

1

1C

 

 

B

2

 

0

0

¡

¡

C

 

 

B

1

1

1C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

B¡

1

 

4

0

0

1

¡ C

 

 

B

 

5C

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

@¡

 

¡

 

 

 

¡

¡ A

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0x11 001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

6 1 0 ¡1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

9 ¡1 0 3

 

 

1

C Bx2C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

3 3 0

 

¡

1

 

1C Bx3C =B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

¡

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B18 1 0 2

 

 

3

C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

4C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B36 4 0 7

 

 

1

C Bx

C B0C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C B

5C

B C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A @ A

@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.9. Найти общее0x1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

033

6

4

9

 

1031Bx2C

=

0101

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

15

3

1

3

 

 

49

 

 

Bx3C

 

B

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

6

1

1

2

 

 

18

C

Bx

4

C

 

B

53

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CB C

 

B

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB C

 

@

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

5C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

19.10. Вычислить@ A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0¡2

¡61

 

 

 

собственные числа и собственные векторы матрицы

 

 

.

 

 

A =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@¡6

3

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

1

 

¡21

 

 

19.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = B¡2

 

 

 

0

 

 

4 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

4

 

 

 

0

 

 

3C

 

 

19.12. Найти значения параметра

 

 

, при которых векторы

 

B

 

 

 

 

 

 

¡ C

 

 

 

¯

 

@

¡!

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

è

b

 

ортогональны, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

1; 2; 2

 

¡! =

 

1;

 

; 3

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0; 0; 1

 

 

 

 

 

 

 

¡!

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

g

b

 

f

 

¯

 

g ¡!

 

 

f

 

 

 

 

g

.

 

 

 

 

 

 

 

b , c

 

компланарны. a

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡3; ¡2; ¡3), B(2; 1; 1), C(3; 1; ¡3).

 

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¡!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тора с началом в точке

 

 

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

 

 

19.14. Даны 4 точки A(3; 3; ¡1) , B ( ¡ 3; 1; ¡ 3) , C (2; ¡ 3; ¡ 3) , D (1; 0; ¡ 1) .

 

 

[¡! ¡!]]

 

Вычислить: а)

 

j 3¡! ¡ 3¡¡! j

, á)

(3¡!

¡3¡¡!)

, â)

[3¡!

¡3¡¡!]

, ã)

[ ¡¡ !

 

 

, ä)

 

 

 

 

AB

 

 

CD

 

 

AB;

CD

 

AB;

CD

 

AD;

AB; AC

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

 

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

Соседние файлы в предмете Математический анализ