Добавил:

Valeriya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Типовой расчет №1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 376 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

16.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

¡5 3 0 2 01 0x11 001

¡1 2 0 ¡1 0C Bx2C B0C

5 3 0 2 0C Bx3C =B0C

C B C

B C

5 2 0 3 0C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

16 12 0 4 0C Bx

C B0C

C B

B C

@¡

A @ A

@ A

16.9.

Найти общее

0x11

решение системы уравнений

0 ¡1 2 5 5

131Bx2C

= 0 7

B¡

Bx3C

B¡

CB C

1 1 2 0

CBx4C

CB C

16.10. Вычислить

@ A

собственные числа и собственные векторы матрицы

A =

0¡3

16.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

A = B

16.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

¡!

ортогональны, а

¡!

0; 5;

1 ¡! = 4;

; 1

векторы

1; 2;

¡!

!¡

¡!

f ¡ ¡ g

, b

¡!

f ¡ g

, b , c компланарны. a

16.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡3; 1; 2), B(3; ¡2; ¡1), C(3; ¡2; 2).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

16.14. Даны 4 точки A(2; ¡3; 1), B(¡1; ¡3; 1), C(¡1; 2; ¡3), D(¡3; 1; 2).

j 2¡!

+2¡¡! j

(2¡!

2¡¡!)

[2¡!

2¡¡!]

[¡¡!

[¡! ¡!]]

Вычислить: а)

, á) AB; CD

, â)

AB; CD

, ã)

AD; AB; AC

, д) квадрат

площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC, и) направ-

ляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении

аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

16.15. Доказать, что векторы ~a

= f1; ¡2; 4g

, ~

= f¡2; 4; ¡1g, ~c = f¡1; 1; 0g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = f¡3; 10; ¡14g относительно этого базиса.

16.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f1; ¡2; 3g

, ~

b = f¡3; 1; 0g

è ~c = f¡3; 2; ¡5g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡5, (~x; b) = 13 è (~x;~c) =

7. ~a = f1; ¡2; 3g

, ~

b = f¡3; 1; 0g, ~c = f¡3; 2; ¡5g, (x;~a) = ¡5, (~x; b) = 13, (~x;~c) = 7.

16.17. Найти значение скалярного произведения (¡4~u¡3~v)(¡2~u¡3~v), åñëè ~u = ¡4~a¡1b,

= ¡1

+ 3

j= 5 j b j= 5 ' = ( c ) cos

= 0 8

, '

b и известны

~a; b

16.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадра-

тичную форму 6x2 + 3y2 + 5z2 + 8xy + 10xz + 6yz

16.19.Привести квадратичную форму 3x2 + 2y2 ¡ 1z2 + 24xy + 16xz ¡ 12yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

16.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3						0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	0	3	¡1		3	1
A = B¡2			4		¡3C
	B	2	¡	2	4	C
	B		¡			C
	@					A

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

16.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 2; ¯ =

¡3; ~a = f2; 1; 3g; b = f2; ¡2; ¡1g.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

Вариант

1 - 17

¯3

¡6 ¡3 ¡4¯

17.1.

Вычислить определитель

¯3

4¯

¯3

4¯

¯3

6¯

12¯

¯¡

17.2.

Вычислить определитель

0 3

17.3. Вычислить определитель произведения AB матриц A =	0¡2		2	¡11,		B =	03	¡11.
	¡	3	1	¡	2		B	¡	C
	¡			¡	A		B0	3	C
	@				A		B		C
							@		A

17.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

1	¡3	3
A = B1	2	¡2C
B		C
B		C
@		A

32 ¡1

17.5.Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è	методом Гаусса.						0		1
	0 1 0				1 0x11			1
B3		4	0		C ¢ Bx2C	=	B	¡5 C
B3		0	¡	2C Bx3C			B	17C
B					C B C		B¡		C
@					A @ A		@		A

17.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
00 ¡21 0x11 x121 0¡4 31	=		0		38 ¡181
@3 0 A ¢ @x21 x22A ¢ @ 1 1A		@¡30 33						A					1
	0¡1				1		3		0	0	¡9
17.7. Вычислить ранг матрицы	B		0		1		2		0	0	¡7 C
	B			1	¡	1	¡	1	0	0	5		C
	B¡								0	0			C
	B		1		2		3					12C
	B												C
	B		4		0			4	0	0	¡		C
	B										8		C
	B												C
	@						¡						A

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

17.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

5 0 3 1 01 0x11 001

7 0 1 3 0C Bx2C B0C

9 0 3 3 0C Bx3C

=B0C

C B C

B C

6 0 2 2 0C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

B56 0 16 20 0C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

17.9. Найти общее

решение системы уравнений

0x1

0 3

1 5 5

5 1Bx2C = 021

Bx3C

CB C

B C

4 1

B C

B¡

CB C

B C

AB C

@ A

17.10. Вычислить

собственные числа и собственные векторы матрицы

@ A

A =

0¡3

¡3

17.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

A = B

¡2C

17.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

ортогональны, а

¡!

векторы

¡!

b , c

компланарны. a

2; 5; 1

; 3

4; 3

¡!

!¡

¡!

f¡

¡!

f ¡ ¡ g

17.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡1; ¡1; ¡3), B(0; ¡2; 2), C(3; ¡3; 1).

D D , достроив треугольник до параллелограм-

Вычислить: а) квадрат длины вектора ¡¡¡1 !2

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

¡!

¡¡!

17.14. Даны 4 точки A(¡2; 1; 3), B(¡1; 2; 3), C(2; ¡2; 1), D(1; ¡2; ¡3).

, ä)

Вычислить: а)

, á)

AB; CD

, â)

AB; CD

, ã)

AD; AB; AC

j ¡3¡! + 2¡¡! j

(¡3¡! 2¡¡!)

[¡3¡!

2¡¡!]

[¡¡!

[¡! ¡!]]

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

17.15. Доказать, что векторы ~a = f4; 3; 2g

, ~

b = f4; ¡5; ¡1g, ~c = f3; ¡1; 1g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = f3; ¡41; ¡14g относительно этого базиса.

17.16. Найти координаты вектора ~x

по известным векторам ~a = f¡2; ¡3; ¡2g

, ~

b =

f2; 1; ¡2g è ~c = f3; ¡3; 3g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 9, (~x; b) = 13 è

(~x;~c) = 9. ~a = f¡2; ¡3; ¡2g

, ~

b = f2; 1; ¡2g, ~c = f3; ¡3; 3g,

(x;~a) = 9, (~x; b) = 13, (~x;~c) = 9.

17.17. Найти значение скалярного произведения (4~u + 2~v)(2~u ¡ 2~v), åñëè ~u = 4~a ¡ 2b,

= ¡4 + 1b

j= 5 j b j= 5 ' = ( c ) cos

= 0 8

и известны

~a; b ,

17.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡1x2 ¡ 5y2 ¡ 3z2 + 6xy + 2xz + 6yz

17.19.Привести квадратичную форму 1x2 + 3y2 + 3z2 + 12xy + 12xz + 24yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

17.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

A = B

¡3C

B¡

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

17.21. Для векторов ~a

è ~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 2; ¯ =

¡2; ~a = f3; ¡2; ¡3g;

b = f1; 2; 2g.

56	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"
		Вариант					1 - 18			¯
		¯	2	¡3		¡6			2	¯
18.1.	Вычислить определитель	¯	4	3		12			4¯
18.1.	Вычислить определитель	¯¡							¡	¯
		¯	2	3			9			¯
		¯	2	3			9		2¯
		¯¡		9		18			¡	¯
		¯	6	9		18			4¯
		¯							¡	¯
		¯¡							¡	¯
		¯								¯			¯
		¯¡			14			6	¡		¡		¯
		¯	3		14			6	6		27		¯
		¯	1	4			2			¯2		9	¯
		¯		¡			¡						¯
18.2.	Вычислить определитель	¯	1	4			0			2		9	¯
18.2.	Вычислить определитель	¯	1	4			0			2		9	¯
		¯¡		8			4		¡	3	¡		¯
		¯	2	8			4			3	18¯
		¯											¯
		¯¡			4			2	¡		¡		¯
		¯	1		4			2	2		12		¯
		¯		¡			¡						¯
		¯		¡			¡						¯
		¯											¯
		¯											¯	3		0	2	1
18.3. Вычислить определитель произведения							AB		матриц				0					1
							AB					A = B¡1 2 ¡1C,
													B		2	3	2	C
													B¡					C
													@					A

0	0		3	¡1	1
B = B	0		3	¡1	C.
B = B	0		3	0	C.
B		1	1	1	C
B¡					C
@					A

18.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B	¡2	0	3
A = B	0	0	1C
B			C
B			C
@			A

12 4

18.5.Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

0151

1 0 4

1 0x11

B¡2 4 4

C ¢ Bx2C

= B10C

3 2 2C Bx3C B

5 C

C B C

A @ A

18.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

3 41 0x11 x121 01 0

0¡2 ¡481

@¡2 3A ¢ @x21 x22A ¢ @1 ¡3A

7 ¡36A

¡131

¡1

18.7. Вычислить ранг матрицы

B¡3

¡3

11C

17C

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

18.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

1 001

014 2 0 1 2 1 0x1

9 2 0 3 ¡1C Bx2C B0C

6 1 0 3

1C Bx3C

=B0C

C B C

B C

6 1 0 3

1C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

B46 8 0 8 2 C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

18.9. Найти общее

0x1

решение системы уравнений

0¡6

8 3 5 4 1Bx2C

= 0 2 1

Bx3C

B C

4 3 2 1 5

CB C

B17C

B¡

CB C

AB C

Вычислить

@ A

18.10.

¡61

собственные числа и собственные векторы матрицы

A = 0

@¡6 ¡5A

0¡1

¡11

18.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

A = B¡1

B 2

18.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

¡!

ортогональны, а

¡!

3; 2;

1 ¡! =

;

4; 5; 1

векторы

¡!

b ,

!¡

¡!

f¡ ¡ g

, b

f¡

¡ g

!¡

c компланарны. a

18.13. Даны 3 вершины треугольника A(3; ¡2; 0), B(¡2; ¡3; ¡2), C(¡3; ¡1; 1).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

18.14. Даны 4 точки A(¡1; ¡3; ¡1), B(¡3; ¡1; ¡3), C(¡1; ¡2; ¡2), D(1; 1; ¡2).

Вычислить: а)

j 3¡!

+2¡¡! j

, á)

(3¡!

2¡¡!)

, â)

[3¡! 2¡¡!]

, ã)

[¡¡!

[¡! ¡!]]

, д) квадрат

AB; CD

AD;

AB; AC

ляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении

аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

18.15. Доказать, что векторы ~a

= f5; ¡5; 1g

b = f2; 5; 1g, ~c = f4; ¡3; ¡5g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = f6; ¡24; ¡18g относительно этого базиса.

18.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f¡2; 3; 2g

, ~

b = f4; 4; 3g

è ~c = f4; 3; 5g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 10, (~x; b) = 48 è (~x;~c) = 52.

~a = f¡2; 3; 2g

, ~

b = f4; 4; 3g, ~c = f4; 3; 5g, (x;~a) = 10,

(~x; b) = 48, (~x;~c) = 52.

18.17. Найти значение скалярного произведения (¡4~u + 3~v)(¡3~u + 4~v), åñëè ~u = 3~a ¡2b,

= ¡2 + 2b

j= 5 j

j= 5 ' = ( c ) cos ' = 0:9

и известны ~a

, b

~a; b

18.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадра-

тичную форму 6x2 + 7y2 + 4z2 + 12xy + 6xz + 8yz

18.19.Привести квадратичную форму ¡2x2 + 1y2 + 2z2 ¡ 8xy + 4xz + 24yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

18.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3			0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	0¡2 2		¡11
A = B¡2		0	¡2C
	B		C
	B		C
	@		A

32 ¡2

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

18.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 3; ¯ =

¡2; ~a = f¡3; 1; 2g; b = f3; 1; 2g.

	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"																			59
		Вариант				1 - 19
		¯¡2		1		4			6	¯
19.1.	Вычислить определитель	¯	2	¡	2	¡	4		6¯
19.1.	Вычислить определитель	¯		¡		¡			¡	¯
		¯	2		1		6			¯
		¯	2		1		6		6¯
		¯	4	¡		¡			¡	¯
		¯	4	2		8			9	¯
		¯								¯
		¯¡								¯
		¯								¯				¯
		¯	9		12			18		¡			¡	¯
		¯	9		12			18		18			6	¯
		¯	3	3			6			¯		6	2	¯
		¯¡		¡		¡								¯
19.2.	Вычислить определитель	¯	3	3			8					6		¯
19.2.	Вычислить определитель	¯	3	3			8					6	2¯
		¯	6		6			12		¡			¡	¯
		¯	6		6			12		9			4	¯
		¯												¯
		¯¡		¡		¡					18			¯
		¯	9	9			18				18		5¯
		¯								¡			¡	¯
		¯								¡			¡	¯
		¯												¯
		¯												¯	0¡	1	1	B =	0	2
19.3. Вычислить определитель произведения AB матриц													A =		0¡		1,	B =	0	1.
															@¡3		4A		@3	3A

19.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

¡2	2	2	C
A = B¡3	1	2	C
B			C
B			C
@			A

02 ¡1

19.5.Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è	методом Гаусса.					0		1
0è	1 0		2	1 0x11		0	0	1
B0		¡3 ¡3C ¢ Bx2C			=	B¡6C
B1		1	1	C Bx3C		B	0	C
B				C B C		B		C
@				A @ A		@		A

19.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
0¡3 01 0x11 x121 0 3 0	1 =		0	24 ¡121
@¡1 3A ¢ @x21 x22A ¢ @¡1 ¡4A			@¡16 ¡28A							1
		0¡1		2		0	0	1	1	1
19.7. Вычислить ранг матрицы		B¡5		1		0	0	2	¡4C
19.7. Вычислить ранг матрицы		B 1		¡	2	0	0	1	1C
		B	2	¡		0	0	¡	¡	C
		B	2	1		0	0	1	1C
		B								C
		B¡	1		4	0	0	1	¡ C
		B	1		4	0	0	1	5C
		B								C
		@¡		¡				¡	¡ A

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

19.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

1 0x11 001

6 1 0 ¡1 2

9 ¡1 0 3

C Bx2C B0C

3 3 0

1C Bx3C =B0C

C B C

B C

B18 1 0 2

C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

B36 4 0 7

C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

19.9. Найти общее0x1

решение системы уравнений

033

1031Bx2C

0101

Bx3C

CB C

AB C

19.10. Вычислить@ A

0¡2

¡61

собственные числа и собственные векторы матрицы

A =

@¡6

¡21

19.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

A = B¡2

4 C

19.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

¡ C

¡!

ортогональны, а

¡!

1; 2; 2

¡! =

; 3

векторы

0; 0; 1

¡!

!¡

¡!

f¡

g ¡!

b , c

компланарны. a

19.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡3; ¡2; ¡3), B(2; 1; 1), C(3; 1; ¡3).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

19.14. Даны 4 точки A(3; 3; ¡1) , B ( ¡ 3; 1; ¡ 3) , C (2; ¡ 3; ¡ 3) , D (1; 0; ¡ 1) .

[¡! ¡!]]

Вычислить: а)

j 3¡! ¡ 3¡¡! j

, á)

(3¡!

¡3¡¡!)

, â)

[3¡!

¡3¡¡!]

, ã)

[ ¡¡ !

, ä)

AB;

AD;

AB; AC

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 376 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
20.06.2014122.37 Кб34Лабораторная работа №1 «Вычисление интеграла методом трех восьмых».doc
#
20.06.2014836.76 Кб9Лабораторная работа №1.doc
#
20.06.2014909.58 Кб357Оптимизация, численные методы.pdf
#
20.06.20141.32 Mб30Решенный ТР №3 Вариант 5.rar_31
#
20.06.2014282.42 Кб24Решенный ТР №3 Вариант 8.pdf
#
20.06.20141.23 Mб79Типовой расчет №1.pdf
#
20.06.2014988.13 Кб22Типовой расчет №1.rar_8
#
20.06.2014896.05 Кб23Типовой расчет №2.pdf
#
20.06.2014281.94 Кб21Типовой расчет №2.rar_23
#
20.06.2014471.32 Кб20Типовой расчет №3.rar_76
#
20.06.2014451.98 Кб19Типовой расчет №4.rar_79