Типовой расчет №1

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

241

79.15. Доказать, что векторы ~a = f¡3; 0; ¡5g

, ~

b = f¡3; ¡2; 1g, ~c = f¡1; ¡5; ¡4g образу-

ют базис и найти координаты вектора ~

d = f¡16; 4; ¡4g относительно этого базиса.

,~

79.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f¡3; 2; 1g b = f¡5; ¡5; 5g

~

è ~c = f1; ¡2; 3g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡1, (~x; b) = 0 è (~x;~c) = 9.

, ~

~

(~x;~c) = 9.

~a = f¡3; 2; 1g b = f¡5; ¡5; 5g, ~c = f1; ¡2; 3g, (x;~a) = ¡1,

(~x; b) = 0,

~

79.17. Найти значение скалярного произведения (¡2~u ¡ 1~v)(1~u ¡ 2~v), åñëè ~u = 2~a ¡ 3b,

~v = ¡2~a ¡ 1b

j

j= 2 j

j= 4 ' = ( c ) cos

= 0 2

~

и известны

~a

~

,

~

:

, b

~a; b , '

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

01

4

11

A = B1

2

2C

B4

2 3C

B

C

@

A

79.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡3; ¯ =

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

243

80.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

1 001

015 2 0 3 01 0x1

B12 3 0 1 0C Bx2C B0C

B12 3 0 1 0C Bx3C

=B0C

B

C B C

B C

B

0 1 0

1 0C Bx

C B0C

B

¡

C B

4C

B C

B

C B C

B C

B93 17 0 14 0C Bx

C B0C

B

C B

5C

B C

@

A @ A

@ A

80.9. Найти общее решение0x1

1

системы уравнений

0¡20 ¡8 0 ¡4 ¡241Bx2C

= 0¡11

B

8

3

1

1

11

Bx3C

B

3

C

¡

CB C

B

2

1

1

1

1

C

Bx

4

C

B

8

¡ ¡ ¡ ¡ ¡

C

B

CB C

B¡

C

@

AB C

@

A

Bx

C

80.10. Вычислить

B

5C

A

@ A

03

01

собственные числа и собственные векторы матрицы

.

A =

@0

1A

0

1

1

1

1

80.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

A = B¡1

¡2

0

C

B

2

4

1C

80.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

è

B

¡

C

¯

a

¡!

@

A

¡!

b

ортогональны, а

a

¡!

=

1; 2; 1

¡! =

4; ; 4

=

3

векторы

4; 2;

¡!

,

b ,

!¡

¡!

f ¡ g

, b

f

¯

g

¡!

f¡

¡ g

.

c компланарны. a

c

80.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡2; 2; 3), B(3; 3; ¡1), C(¡2; ¡2; 1).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

C

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

80.14. Даны 4 точки A(2; ¡1; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 3), D(¡1; 2; ¡2).

j 2¡!

+2¡¡! j

(2¡!

2¡¡!)

[2¡!

2¡¡!]

[¡¡!

[¡! ¡!]]

Вычислить: а)

AB

CD

, á)

AB; CD

, â)

AB; CD

, ã) AD;

AB; AC

, д) квадрат

ляющие косинусы вектора

¡¡!

¡!

AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении

244

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

80.15. Доказать, что векторы ~a = f¡2; ¡2; 4g

, ~

b = f¡1; 2; ¡5g, ~c = f2; ¡3; 2g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = f0; 27; ¡46g относительно этого базиса.

80.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f3; 0; 5g

, ~

b = f¡5; ¡1; 0g

è ~c

=

~

f¡4; ¡5; ¡4g,если известны скалярные произведения (x;~a) = 18, (~x; b) = ¡9 è

(~x;~c) = ¡36. ~a

, ~

~

= f3; 0; 5g b

= f¡5; ¡1; 0g, ~c = f¡4; ¡5; ¡4g, (x;~a) = 18, (~x; b) = ¡9,

(~x;~c) = ¡36.

~

80.17. Найти значение скалярного произведения (2~u + 1~v)(4~u ¡ 1~v), åñëè ~u = ¡4~a + 3b,

= 4

¡ 2

j

j= 4 j b j= 3 ' = ( c ) cos

= 0 7

~v

~a

~

~a

,

~

,

~

:

b и известны

~a; b , '

e~2

0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3

0

= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g

0

3

1

11

A = B¡2

2

4C

B

C

B

C

@

A

80.21. Для векторов ~a

è ~

~

~

~

b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡1; ¯ =

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

245

Вариант

1 - 81

¯

¯¡2

6

¡6

6

81.1.

Вычислить определитель

¯

4

14

¡

12

12

¯

¯¡

¯

¯

4

12

15

12

¯

¯

¯

¯¡

6

¡

¯

¯

2

6

3¯

¯

¡

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯¡

¡

4

¡

6

3

¯

¡

¯

1

6¯

¯

1

¡

6

¡

6

3

¡

6

¯

¯¡

81.2.

Вычислить определитель

¯

1

6

4

3

6

¯

¯

¯

¯

1

6

6

¡

¯

¯

4

6¯

¯

¯

¯¡

¡

¡

9

¡

¯

¯

3

18

18

21

¯

¯

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

0

1

1

81.3. Вычислить определитель произведения

матриц

2

0

¡

2

1

,

1

AB

A = 0

B =

2 2 .

3

¡

3

¡

1

A

B

C

@

B2

0C

B

C

@

A

4

¡3

3

A = B0

4

2C

B4

2

3C

B

¡

C

@

A

81.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è

методом Гаусса.

0

1

0

4

2

1 0x11

2

B

0

0

¡3C ¢ Bx2C

=

B

9

C

B

1

2 3

C Bx3C

B

12C

B¡

¡

C B C

B¡

C

@

A @ A

@

A

81.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам

01 31 0x11 x121 0¡3 3 1

=

0¡27 421

@2 1A ¢ @x21 x22A ¢ @¡1 ¡4A

@ 1

4

A

1

0

¡2 ¡1 ¡2

0

¡1 3

81.7. Вычислить ранг матрицы

B

1

2

2

0

¡1 ¡10C

B

4

3

2

0

1

9

C

B

¡

2

1

0

2

¡

C

B

1

11

C

B

C

B

14

¡

¡

0

4

C

B

15

9

62C

B

C

@¡

¡

¡

A

246

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

81.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

0¡4 3 0 0 ¡11 0x11 001

B

4 ¡1 0 0 3

C Bx2C B0C

B

1 2 0 0 1

C Bx3C

=B0C

B¡