Добавил:

Valeriya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Типовой расчет №1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.06.2014

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

			"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"								91
29.15. Доказать, что векторы ~a = f¡1; ¡1; ¡2g								, ~
29.15. Доказать, что векторы ~a = f¡1; ¡1; ¡2g								b = f¡3; 1; 3g, ~c = f¡5; ¡2; ¡5g образу-
ют базис и найти координаты вектора ~
						d = f¡2; 11; 27g относительно этого базиса.
29.16. Найти координаты вектора ~x							по известным векторам ~a = f¡1; ¡4; 0g				, ~
29.16. Найти координаты вектора ~x							по известным векторам ~a = f¡1; ¡4; 0g				b =
										~
f¡3; 4; ¡2g è ~c = f3; 1; ¡1g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡21, (~x; b) = 21
è (~x;~c) = 10. ~a = f¡1; ¡4; 0g				,	~					~
è (~x;~c) = 10. ~a = f¡1; ¡4; 0g				b = f¡3; 4; ¡2g, ~c = f3; 1; ¡1g, (x;~a) = ¡21, (~x; b) = 21,
(~x;~c) = 10.
											~
29.17. Найти значение скалярного произведения (¡2~u + 1~v)(2~u ¡3~v), åñëè ~u = ¡4~a ¡2b,
= 3	¡ 2	j	j= 4 j b j= 4 ' = ( c ) cos						= 0 1
~v ~a	~	~a		,	~	,	~		:
~v ~a	b и известны	~a		,		,	~a; b , '		:

29.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму 5x2 + 7y2 + 7z2 + 6xy + 8xz + 6yz

29.19.Привести квадратичную форму 1x2 + 1y2 + 1z2 + 8xy + 12xz + 12yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

29.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3				0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	01	¡1	¡31
A = B0		2	3	C
	B3	1	2	C
	B	¡		C
	@			A

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

29.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = 1; ¯ =

¡1; ~a = f2; 2; ¡2g; b = f3; 0; 2g.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

Вариант

1 - 30

¯¡3

30.1.

Вычислить определитель

2¯

¯¡

3¯

¯¡

6¯

3¯

¯¡

30.2.

Вычислить определитель

6¯

¯¡

8¯

¯¡

30.3. Вычислить определитель произведения

матриц

A = 0¡

B =

1 .

B¡

30.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B	¡3	1	¡1	C
A = B	0	¡2	1	C
B				C
B				C
@				A

11 ¡1

30.5.Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы

0è	методом Гаусса.					0¡71
0è	¡2	¡1	¡21 0x11			0¡71
B	0	¡3	3	C ¢ Bx2C	=	B	15 C
B	4	0	2	C Bx3C		B	16 C
B				C B C		B	C
@				A @ A		@	A

30.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
02 ¡11 0x11 x121 0 3 1	1 =			021 111
@3 ¡3A ¢ @x21 x22A ¢ @¡3 ¡3A @36 12A														1
		0	13		3		¡2		0	0	0			1
30.7. Вычислить ранг матрицы		B	7		3		1		0	0	¡9 C
30.7. Вычислить ранг матрицы		B		7	¡	1	2		0	0	¡		4 C
		B¡			¡		2		0	0	¡			C
		B	5		3		2		0	0		12C
		B												C
		B	15			3		12	0	0	¡			C
		B	15			3		12	0	0	42			C
		B												C
		@			¡		¡							A

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

30.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

2 ¡11 0x11 001

2 ¡1 ¡1

C Bx2C B0C

1 3

C Bx3C =B0C

C B C

B C

2 1

1C Bx

C B0C

C B

B C

B¡

C B C

B C

26 5

3 14 13 C Bx

C B0C

C B

B C

30.9. Найти общее

A @ A

@ A

0x1

решение системы уравнений

0 3 ¡3 1 1 ¡31Bx2C = 0

2 1

B¡

Bx3C

B¡

CB C

AB C

30.10. Вычислить

@ A

A = 0¡1

собственные числа и собственные векторы матрицы

30.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

A = B1

B0 3 4C

30.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

¡!

ортогональны, а

¡!

2; 4; 1

¡! =

2; ; 2

векторы

3; 4; 2

¡!

!¡

¡! f

, b

¡!

, b , c компланарны. a

30.13. Даны 3 вершины треугольника A(1; 3; 3), B(¡2; 1; 2), C(¡2; 2; 0).

Вычислить: а) квадрат длины вектора

¡¡¡1 !2

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

30.14. Даны 4 точки A(2; 2; 1), B(¡1; 3; 2), C(¡2; ¡1; 0), D(1; ¡2; 1).

[¡¡!

[¡! ¡!]]

j ¡2¡!

¡ 4¡¡! j

(¡2¡! ¡4¡¡!)

[¡2¡! ¡4¡¡!]

Вычислить: а)

, á)

AB;

, â)

AB;

, ã) AD; AB; AC

д) квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани

ABC

¡¡! ¡!

, и) направляющие косинусы вектора AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

94		"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"
30.15. Доказать, что векторы ~a				= f4; ¡4; 1g			, ~		= f4; ¡1; ¡5g образуют
30.15. Доказать, что векторы ~a				= f4; ¡4; 1g			b = f¡2; 2; 5g, ~c		= f4; ¡1; ¡5g образуют
базис и найти координаты вектора ~
			d = f¡6; 9; ¡13g относительно этого базиса.
30.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f5; 4; ¡4g										, ~
										b = f1; 5; 3g è
									~
~c = f¡1; 5; 0g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡14, (~x; b) = 25 è (~x;~c) = 17.
	, ~							~	(~x;~c) = 17.
~a = f5; 4; ¡4g b = f1; 5; 3g, ~c = f¡1; 5; 0g,						(x;~a) = ¡14, (~x; b) = 25,			(~x;~c) = 17.
										~
30.17. Найти значение скалярного произведения (¡1~u ¡3~v)(1~u ¡4~v), åñëè ~u = ¡2~a ¡2b,
~v = 3~a + 1b		j ~a j= 5 j b j= 5 ' = ( c ) cos ' = 0:7
~	и известны	,	~		,	~
	и известны	,			,	~a; b ,

30.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡4x2 ¡ 5y2 ¡ 1z2 ¡ 6xy ¡ 2xz + 0yz

30.19.Привести квадратичную форму 2x2 + 2y2 + 2z2 + 8xy + 24xz + 24yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

30.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3				0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	0	0	¡2	11
A = B¡1			¡1	4C
	B			C
	B			C
	@			A

2¡2 1

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

30.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡2; ¯ =

¡3; ~a = f¡2; ¡2; 3g; b = f¡3; 3; 1g.

	"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"																95
		Вариант				1 - 31
		¯	1	3		¡1 ¡2¯
31.1.	Вычислить определитель	¯	1	4		¡	1	2¯
31.1.	Вычислить определитель	¯				¡		¡	¯
		¯	1	3		0			¯
		¯	1	3		0		2¯
		¯	1		3	1		¡	¯
		¯	1		3	1		3	¯
		¯		¡					¯
		¯¡		¡					¯
		¯							¯			¯
		¯	1	¡		¡		1	¯		4	¯
		¯	1	8		2		1			4	¯
		¯	1		6		2	1		4		¯
		¯¡						¡		¡		¯
31.2.	Вычислить определитель	¯	2	12		2		2			8	¯
31.2.	Вычислить определитель	¯	2	12		2		2			8	¯
		¯¡			6		2	¡		¡		¯
		¯	1		6		2	0		4		¯
		¯										¯
		¯	2	¡		¡		2				¯
		¯	2	12		4		2		10¯
		¯						¡		¡		¯
		¯¡						¡		¡		¯
		¯										¯
		¯										¯	3	3	B =	4	¡	1	1.
31.3. Вычислить определитель произведения AB матриц												A =	0	1,	B =	0	¡		1.
													@0	3A		@¡2	1		A

31.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

A = B	¡1 ¡2 ¡2			C
A = B	2	2	3	C
B	2	1	0	C
B				C
@				A

	31.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы
0è	методом Гаусса.					0¡121
0è	4		0	¡11 0x11		0¡121
B	0		0	¡1C ¢ Bx2C	=	B	¡4 C
B		1	4	4 C Bx3C		B	10 C
B¡				C B C		B	C
@				A @ A		@	A

	31.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
0¡1 0		1 0x11 x121 00 ¡11 =			0	4 ¡41
@	0 ¡2A ¢ @x21 x22A ¢ @2 ¡3A @¡8 16 A													1
			0	¡6 0 1					¡1 1			¡5		1
	31.7. Вычислить ранг матрицы		B¡12 0				3		¡1 1			¡11C
	31.7. Вычислить ранг матрицы		B		12	0	2			2	2		10C
			B¡			0		2		¡	3		¡	C
			B	5		0		2		1	3		12	C
			B											C
			B		75	0	¡			9	21			C
			B		75	0	12			9	21		42C
			B											C
			@¡							¡			¡	A

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

31.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

3 2 01 0x11 001

12 1

8 ¡1

1 2 0C Bx2C B0C

10 1

3 1 0C Bx3C

=B0C

C B C

B C

1 2

1 2 0C Bx

C B0C

C B

B C

B¡

C B C

B C

19 1

6 1 0C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

решение системы уравнений

31.9. Найти общее0x1

00 1 ¡3

0 221Bx2C =

0221

Bx3C

CB C

AB C

собственные числа и собственные векторы матрицы

31.10. Вычислить@ A

A =

0 1

@0 ¡5A

¡1

31.11. Вычислить сумму всех собственных чисел матрицы

A = B

B¡

31.12. Найти значения параметра

, при которых векторы

ортогональны, а

¡!

векторы

¡!

, b , c компланарны. a

0; 2; 1

, b

;

1; 4; 1

¡!

!¡

¡!

f¡

¡!

31.13. Даны 3 вершины треугольника A(¡3; 2; 3), B(¡2; 2; 3), C(1; 2; 3).

D D

, достроив треугольник до параллелограм-

Вычислить: а) квадрат длины вектора ¡¡¡1 !2

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

¡!

¡¡!

31.14. Даны 4 точки A(¡1; 1; ¡3), B(¡3; ¡2; 2), C(¡2; ¡3; 1), D(2; 2; 3).

, ä)

Вычислить: а)

, á)

AB; CD

, â)

AB; CD

, ã)

AD; AB; AC

j ¡2¡!

+ 2¡¡! j

(¡2¡! 2¡¡!)

[¡2¡!

2¡¡!]

[¡¡!

[¡! ¡!]]

квадрат площади грани ABC, е) объем тетраэдра ABCD, ж) достроить тетраэдр до параллелепипеда и найти квадрат длины его диагонали, идущей из вершины A, з) координаты вектора с единичной абсциссой, идущего из вершины D перпендикулярно грани ABC,

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

31.15. Доказать, что векторы ~a = f3; 2; 2g

, ~

b = f¡5; 5; ¡4g, ~c = f1; ¡4; 1g образуют

базис и найти координаты вектора ~

d = f34; ¡6; 25g относительно этого базиса.

31.16. Найти координаты вектора ~x

по известным векторам ~a = f¡5; ¡3; ¡1g

, ~

b =

f2; 3; ¡3g è ~c = f3; ¡3; ¡5g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡10, (~x; b) =

¡15 è (~x;~c)

= ¡2. ~a =

f¡5; ¡3; ¡1g

f2; 3; ¡3g,

~c = f3; ¡3; ¡5g, (x;~a) =

¡10,

b =

(~x;~c) = ¡2.

(~x; b) = ¡15,

31.17. Найти значение скалярного произведения (1~u + 3~v)(¡3~u + 3~v), åñëè ~u = ¡3~a + 3b,

и известны

~v = ¡2~a + 2b

j ~a j= 2

~a; b

cos

j b j= 5 ' = ( c )

= 0 7

31.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡3x2 ¡ 1y2 + 2z2 + 8xy + 6xz ¡ 10yz

31.19.Привести квадратичную форму ¡1x2 + 2y2 + 1z2 ¡ 12xy + 16xz + 12yz к канони- ческому виду методом Лагранжа.

31.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3					0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	0¡3	¡1		3	1
A = B¡3		1		¡2C
	B 4	¡	3	0	C
	B	¡			C
	@				A

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

31.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡2; ¯ =

¡2; ~a = f1; ¡2; ¡1g; b = f3; 1; ¡3g.

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

Вариант

1 - 32

¡6

¡3 ¡4¯

32.1.

Вычислить определитель

¯¡

2¯

¯¡

2¯

¯3

¯¡

32.2.

Вычислить определитель

1¯

¯¡

3¯

¯¡

0¡3

¡1 01,

32.3. Вычислить определитель произведения AB матриц

A =

B =

01.

3 3

B¡

32.4. Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение условия A ¢A¡1 = E, найти сумму0всех элементов1 обратной матрицы и величину, обратную ее определителю.

	1	1	1
A = B¡2		¡2 ¡3C
B	2	3	0	C
B				C
@				A

	32.5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы
0è	методом Гаусса.					0¡191
0è	3		4	¡21 0x11		0¡191
B¡1			¡3	¡1C ¢ Bx2C	=	B	13 C
B		2	4	1C Bx3C		B	¡	5 C
B¡				¡ C B C		B	¡	C
@				A @ A		@		A

	32.6. Решить матричное уравнение и записать элементы матрицы X по строкам
0¡3 01 0x11 x121 0¡4 ¡11 =					036 ¡151
@	0 2A ¢ @x21 x22A ¢ @¡4 1	A @24 2						A	3 181
			0¡19			¡2 0		¡2	3 181
	32.7. Вычислить ранг матрицы		B	¡5		¡2	0	2	1		2 C
	32.7. Вычислить ранг матрицы		B		1	1	0	2	¡	2	5 C
			B	¡		¡	0	¡	¡	1	C
			B		2	1	0	1		1	4 C
			B								C
			B	¡		¡	0	¡	¡		C
			B		44	5	0	2	11		31C
			B								C
			@¡			¡					A

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

32.8. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

уравнений

6 0 3 0 ¡11 0x11 001

B12 0 3 0 1

C Bx2C B0C

0 0 1 0

1C Bx3C =B0C

C B C

B C

0 0

1 0 1

C Bx

C B0C

C B

B C

C B C

B C

B54 0 18 0 0

C Bx

C B0C

C B

B C

A @ A

@ A

32.9. Найти общее

0x11

решение системы уравнений

0 4 ¡4 ¡6 ¡2 16

1Bx2C =

0¡101

B¡

1 3

Bx3C

3 1

CB C

CBx4C

B¡

CB C

AB C

32.10. Вычислить

@ A

A = 01

собственные числа и собственные векторы матрицы

@3 ¡7A

0¡2

¡21

32.11. Вычислить произведение всех собственных чисел матрицы

A = B

¡!

32.12. Найти значения параметра ¯, при которых векторы a è

векторы ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡!

a , b , c компланарны. a = f¡4; ¡5; 3g, b = f1; ¯; ¡4g c

1 3 2

¡!

b ортогональны, а

= f¡5; 0; 4g.

32.13. Даны 3 вершины треугольника A(2; 1; 1), B(1; 2; ¡1), C(3; 2; ¡1).

Вычислить: а) квадрат длины вектора ¡¡¡1 !2

D D , достроив треугольник до параллелограм-

ìîâ ABCD1 è ABD2C, б) координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма

ABCD1, в) координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, г) координаты век-

¡!

¡¡!

тора с началом в точке

, равного вектору BA, д) работу силы AD íà ïóòè ABCD.

32.14. Даны 4 точки A(3; ¡3; 1), B(3; ¡2; ¡1), C(¡3; ¡2; 0), D(2; 3; 2).

Вычислить: а)

j 3¡! ¡ 3¡¡! j

, á)

(3¡!

¡3¡¡!)

, â)

[3¡!

¡3¡¡!]

, ã)

[¡¡! [¡! ¡!]]

, ä)

AB;

AD; AB; AC

и) направляющие косинусы вектора	¡¡!	¡!
	AD, к) проекцию вектора AB íà CD, л) при каком

значении аппликаты точки D все 4 точки лежат в одной плоскости.

100

"ТР-11 Линейная и векторная алгебра"

32.15. Доказать, что векторы ~a

= f0; 3; ¡4g, ~c

= f5; 1; ¡3g образуют

= f¡4; 2; 4g

базис и найти координаты вектора ~

d = f28; ¡9; ¡8g относительно этого базиса.

32.16. Найти координаты вектора ~x по известным векторам ~a = f3; ¡5; 2g

, ~

b = f5; 5; 3g è

~c = f¡4; ¡4; 1g,если известны скалярные произведения (x;~a) = ¡24, (~x; b) = 0 è (~x;~c) = 0.

, ~

(~x;~c) = 0.

~a = f3; ¡5; 2g b = f5; 5; 3g, ~c = f¡4; ¡4; 1g, (x;~a) = ¡24, (~x; b) = 0,

32.17. Найти значение скалярного произведения (2~u + 3~v)(3~u + 1~v), åñëè ~u = 3~a + 2b,

~v = ¡2~a ¡ 4b

j= 3 j b j= 4 ' = ( c ) cos

= 0 2

и известны

~a; b ,

32.18.Используя критерий Сильвестра, исследовать на знакоопределенность квадратичную форму ¡5x2 ¡ 5y2 ¡ 5z2 ¡ 2xy + 4xz ¡ 8yz

32.19.Привести квадратичную форму ¡1x2 + 1y2 ¡ 1z2 ¡ 4xy + 12xz ¡ 8yz к канониче- скому виду методом Лагранжа.

32.20.Найти матрицу линейного оператора в базисе fe~10; e~10; e~10g, ãäå e~10 = e~1 ¡ e~2 + e~3,

e~2	0 = ¡e~1 + e~2 ¡ 2e~3, e~3					0	= ¡e~1 + 2e~2 + e~3, если она задана в базисе fe~1; e~1; e~1g
	0	3	1	2	1
A = B¡2			¡1 ¡1C
	B				C
	B				C
	@				A

4¡2 ¡2

(в ответ записать элементы главной диагонали новой матрицы).

32.21. Для векторов ~a	è ~	~	~	~
	b вычислить j ®~a + ¯b j, (®~a; ¯b) è [®~a; ¯b], åñëè ® = ¡1; ¯ =

3; ~a = f1; 1; ¡1g; b = f3; ¡2; 1g.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
20.06.2014122.37 Кб34Лабораторная работа №1 «Вычисление интеграла методом трех восьмых».doc
#
20.06.2014836.76 Кб9Лабораторная работа №1.doc
#
20.06.2014909.58 Кб358Оптимизация, численные методы.pdf
#
20.06.20141.32 Mб31Решенный ТР №3 Вариант 5.rar_31
#
20.06.2014282.42 Кб24Решенный ТР №3 Вариант 8.pdf
#
20.06.20141.23 Mб79Типовой расчет №1.pdf
#
20.06.2014988.13 Кб22Типовой расчет №1.rar_8
#
20.06.2014896.05 Кб23Типовой расчет №2.pdf
#
20.06.2014281.94 Кб22Типовой расчет №2.rar_23
#
20.06.2014471.32 Кб20Типовой расчет №3.rar_76
#
20.06.2014451.98 Кб19Типовой расчет №4.rar_79