46 |
Электрические колебания |
[ Гл. I |
Полное сопротивление контура при резонансе Zрез равно действительной части выражения (8.12), при этом выполняется условие (8.13). Найдем Zрез, используя в процессе вычислений равенства (8.13) и (8.14):
|
|
|
|
|
R/ω2C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z |
= Re Z = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
R2 + ωL − 1/ωC 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
рез |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||
|
2 2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
/ |
/ |
/ 2 2 |
|
= L . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
R |
= |
|
R |
|
|||||
|
|
|
|
|
ω C R + |
ω L |
|
− L C |
− L C |
+ 1 ω C |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − ω2LC 1 − 1/LC − R2/L2 LC |
|
RC |
|||||||||
Полученное резонансное сопротивление совпадает с ранее найденной величиной (см. (7.9)).
Вычислив модуль правой части выражения (8.12), можно найти значение полного сопротивления цепи Z не только при резонансе, но
ипри любом значении частоты ω. Аргумент правой части выражения (8.12) равен разности фаз ϕ между колебаниями внешнего напряжения
иполного тока в подводящих проводах параллельного контура. Рассмотренные примеры иллюстрируют эффективность метода ком-
плексных амплитуд и комплексных сопротивлений при расчете цепей переменного тока.
Задачи
1.1.В контуре, состоящем из конденсатора емкости C и катушки с индуктивностью L, совершаются свободные незатухающие колебания,
при которых амплитуда напряжения на конденсаторе равна Um. Найти связь между током I в контуре и напряжением U на конденсаторе.
1.2.В контуре, состоящем из плоского конденсатора и катушки индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением, происходят колебания с энергией W . Пластины конденсатора медленно
L
C
K
К задаче 1.3
раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в η раз. Какую работу совершили при этом против электрических сил?
C 1.3. Электрическая цепь имеет пренебрежимо малое активное сопротивление (см. рисунок). Левый конденсатор зарядили до напряжение U0 и затем — в момент t = 0 — замкнули ключ K. Найти зависимость от времени t напряжений на обоих конденсаторах.
1.4.Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L
иконденсатора емкости C. Сопротивление катушки и соединительных проводов пренебрежимо мало. Катушка находится в постоянном магнитном поле, так что суммарный магнитный поток, пронизывающий все витки катушки, равен Ф. В момент t = 0 магнитное поле выключили. Считая время выключения очень малым по сравнению с периодом
§ 8 ] |
Задачи |
47 |
собственных колебаний контура, найти ток в контуре как функцию времени t.
1.5.Катушка индуктивности L соединяет верхние концы двух вертикальных медных шин, отстоящих друг от друга на расстоянии l. Вдоль шин падает без начальной скорости горизонтальный проводникперемычка массы m (без нарушения контакта с шинами). Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией B, перпендикулярном к плоскости шин. Найти закон движения проводника x(t). Сопротивление всех проводников пренебрежимо мало.
1.6.В колебательном контуре с индуктивностью L и емкостью
C совершаются незатухающие колебания силы тока I = I cos ωt, где
√ m
ω = 1/ LC . Катушкой индуктивности служит длинная проволочная цилиндрическая спираль. Как изменятся частота, амплитуда и энергия
колебаний, если в момент времени t = 0 очень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
быстро (в течение времени, малого по сравне- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нию с периодом колебаний) растянуть спираль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до удвоенной длины? Объяснить, почему при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
этом меняется энергия колебаний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. К |
колебательному контуру, который |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
состоит из катушки индуктивности L, конден- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сатора емкости C, сопротивления R и харак- |
|
|
|
E |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
теризуется малым затуханием (см. рисунок), в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
||||
момент t = |
0 подключают источник постоян- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ной ЭДС |
с пренебрежимо малым внутрен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ним сопротивлением. Определить зависимость
К задаче 1.7
от времени напряжения U на конденсаторе. На какое минимальное напряжение должен быть рассчитан конденсатор?
1.8. После размыкания ключа в контуре, содержащем катушку индуктивности, конденсатор, омическое сопротивление и источник тока,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возникают |
медленно затухающие |
колебания, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
максимальная амплитуда напряжения которых в |
||
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
n = 100 раз превосходит напряжение источника. |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
Найти собственную частоту контура ω0, если |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уменьшение амплитуды колебаний в e раз про- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
E |
|
|
|
|
C исходит за время τ = 0, 1 с. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.9. Найти добротность контура |
с конден- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
L |
|
сатором емкости C = 2, 0 мкФ и катушкой ин- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дуктивности |
L = 5, 0 мГн, если на |
поддержа- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние в нем незатухающих колебаний с ампли- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тудой напряжения на конденсаторе Um = 1, 0 В |
||
|
|
|
К задаче 1.8 |
|
необходимо подводить среднюю мощность P = |
||||||||
=0, 10 мВт. Затухание считать малым.
1.10.Колебательный контур содержит конденсатор с утечкой, емкость конденсатора C, его активное сопротивление R, индуктивность катушки L. Сопротивление катушки и проводов пренебрежимо мало. Найти: а) частоту затухающих колебаний такого контура; б) его доб-
ротность.
48 |
Электрические колебания |
[ Гл. I |
1.11. |
В последовательном колебательном контуре с малым зату- |
|
ханием, содержащем катушку индуктивности, конденсатор, омическое сопротивление, одновременно увеличивают емкость конденсатора и индуктивность катушки в одно и то же число раз n. Увеличение производится в произвольный момент в те- 
чение времени, малого по сравнению с пери-
одом собственных колебаний контура. Най-
ти соотношение между амплитудами тока в
контуре I1 и I2 до и после изменения его параметров.
1.12.Конденсатор емкостью C =
|
|
|
= 0, 1 мкФ, подключенный |
к источнику с |
|
|
|
||
|
|
|||
|
|
|
ЭДС = 1 кВ, в момент |
времени t = 0 |
К задаче 1.12 |
|
замыкается с помощью ключа K на катушку |
||
|
индуктивности L = 100 мГн |
и сопротивле- |
||
|
|
|
||
ние, равное критическому для образовавшегося контура (см. рисунок). Определить время, за которое ток достигнет максимального значения,
ивычислить это значение.
1.13.Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкости C, сопротивления R и катушки с индуктивностью L и пренебрежимо малым активным сопротивлением подключена к генератору синусоидального напряжения, частоту которого можно менять при постоянной амплитуде. Найти частоту, при которой максимальна амплитуда напряжения на катушке.
1.14.Найти добротность колебательного контура, в который последовательно включен источник переменной ЭДС, если при резонансе напряжение на конденсаторе в n раз превышает напряжение на источнике.
1.15.Цепь переменного тока, состоящая из последовательно соединенных катушки и конденсатора, подключена к источнику переменной ЭДС, причем индуктивность катушки подобрана так, что ток в цепи максимален. Найти добротность системы, если известно, что при увеличении индуктивности в n раз ток в цепи уменьшается в η раз.
1.16.Для схемы, изображенной на рисунке, определить частоты подаваемого на вход переменного напряжения, соответствующие резонансам токов и напряжений. Построить график сдвига фазы тока I относительно напряжения U в зависимости от частоты источника.
|
|
|
I |
|
L |
L |
C |
L |
~ U |
|
||||
|
|
|||
C |
|
|
C |
|
|
|
К задаче 1.16 |
|
К задаче 1.17 |
§ 8 ] Задачи 49
1.17. Для схемы, изображенной на рисунке, определить частоты подаваемого на вход переменного напряжения, соответствующие резо-
нансам токов и напряжений. Постро- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ить график сдвига фазы тока I отно- |
|
|
L |
r |
|
|
|
|
||
сительно напряжения U в зависимо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сти от частоты источника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ U U0cos t |
C |
|
|
|
|
|||||
1.18. В |
цепи переменного тока, |
|
|
|
R |
|||||
|
|
|||||||||
показанной |
на рисунке, определить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) сдвиг фазы между напряжением на конденсаторе и током через сопротивление R; 2) сдвиг фазы между током
через конденсатор и током через сопротивление R; 3) сдвиг фазы между напряжением на сопротивлении R и напряжением U , подаваемым на вход цепи.