для угла ϕ, найдем ширину интерференционной полосы в опыте с бипризмой Френеля:

Как видно из рис. 97, ширина L той области экрана наблюдения, в которой перекрываются идущие от эффективных источников S и S световые пучки (ширина области перекрывания), равна

L ≈ 2b tg δ ≈ 2bδ = 2b(n − 1)θ.

Максимальное число N возникающих в рассматриваемом опыте интерференционных полос равно отношению ширины L области пере-

Задачи

5.1.Система состоит из двух точечных когерентных излучателей 1

и2, которые расположены в некоторой плоскости так, что их дипольные моменты перпендикулярны к этой плоскости. Расстояние между излучателями d, длина волны

=25 см? Рассмотреть два случая: а) расстояние от источников до линзы равно 2F ; б) источники находятся в фокальной плоскости линзы.

5.3.На тонкую пленку (n = 1, 33) падает параллельный пучок белого света. Угол падения θ1 = 52◦. При какой толщине пленки зеркально отраженный свет будет наиболее сильно окрашен в желтый цвет (λ =

=0, 6 мкм)?

5.4. Свет с длиной волны λ = 0, 55 мкм от удаленного точечного источника падает нормально на поверхность стеклянного клина. В отраженном свете наблюдают систему интерференционных полос, расстояние между соседними максимумами которых на поверхности

клина x = 0, 21 мм. Найти: а) угол между гранями клина; б) степень монохроматичности света ( λ/λ), если исчезновение интерференционных полос наблюдается на расстоянии l ≈ 1, 5 см от вершины клина.

5.5. Наблюдаются полосы равной толщины в воздушном клине между двумя плоскопараллельными стеклянными пластинками, образующими между собой очень малый угол. Клин освещается рассеянным светом. Наблюдение ведется невооруженным глазом с расстояния наилучшего зрения L = 25 см в направлении, перпендикулярном к поверхности клина. Оценить максимальное число интерференционных полос N на клине, которое может видеть глаз в монохроматическом свете при таком способе наблюдения, если диаметр зрачка глаза d = = 5 мм. Оценить степень монохроматичности света ( λ/λ), необходимую для того, чтобы такое максимальное число полос могло наблюдаться.

Принцип Гюйгенса–Френеля. Рассмотрим одну из волновых поверхностей S световой волны (рис. 99). Поверхность S задает положение в пространстве волнового фронта, которое тот занимал в некоторый момент времени t0. Мысленно разделим всю поверхность S на элементарные участки и рассмотрим один из них, площадь которого обозначим через dS.

сферической или плоской световой волны, P — точка наблюдения (рис. 101). Длина световой волны равна λ.

Зоной Френеля называется участок волновой поверхности, разность расстояний от краев которого до точки наблюдения равна половине

длины волны:

λ

rвнешн − rвнутр = 2 ,

где rвнешн и rвнутр — соответственно расстояния от внешнего и внутреннего краев зоны до точки наблюдения P .

Зоны Френеля сферической и плоской волновых поверхностей имеют форму колец (см. рис. 101). Параметр b, указанный на рисунке, —

Рис. 101

кратчайшее расстояние от волновой поверхности S до точки наблюдения P . Как следует из определения, форма и размеры зон Френеля определяются взаимным расположением волновой поверхности и точки наблюдения.

Радиус зоны Френеля. Зоны Френеля нумеруются в порядке возрастания радиуса соответствующего кольца. Радиусом зоны Френеля называется расстояние от прямой, перпендикулярной к волновой поверхности и проходящей через точку наблюдения P , до внешнего края зоны. Таким образом, радиус зоны Френеля — это внешний

Результирующий световой вектор E в точке P равен сумме световых векторов, возбуждаемых всеми элементарными зонами, на которые разделена волновая поверхность S:

Для сложения гармонических колебаний воспользуемся методом

ралеобразной ломаной линии, закручивающейся к некоторой точке C (рис. 105).

При устремлении к нулю ширины элементарных зон, на которые разбита волновая поверхность, будет стремиться к нулю величина амплитуды Ai каждого из суммируемых колебаний и длина соответствующего вектора. В результате спираль будет иметь форму гладкой

Диаметр внешнего витка спирали приблизительно равен 2A0. Определим взаимное соответствие участков векторной диаграммы

(спирали) и зон Френеля волновой поверхности.

§ 31 ] Принцип Гюйгенса–Френеля. Зоны Френеля 151

Элементарная зона, расположенная на волновой поверхности S в центре первой зоны Френеля на расстоянии b от точки наблюдения P (см. рис. 104), излучает вторичные волны, которые в точке P порож-

участок спирали (рис. 107). Элементарная зона, расположенная вблизи

Колебание, возбуждаемое вторичными волнами внеш-

него края 1-й зоны Френеля

E1ç.Ôð

C

E2ç.Ôð

Рис. 107

внешнего края первой зоны Френеля, находится от точки наблюдения P на расстоянии b + λ/2. Вторичные волны этой элементарной зоны в точке P порождают колебание светового вектора E1 з.Фр:

E1 з.Фр = A1 з.Фр cos (ωt − kb − kλ/2) = A1 з.Фр cos (ωt − kb − π).

в самой верхней части первого витка спирали (рис. 107). Векторы колебаний, соответствующие всем промежуточным участкам первой зоны Френеля между ее центром и внешним краем, образуют на векторной диаграмме правую половину первого витка спирали.

Элементарная кольцевая зона, расположенная вблизи внешнего края второй зоны Френеля (см. рис. 104), находится от точки наблюдения P на расстоянии b + λ. Колебание E2 з.Фр, возбуждаемое в точке P вторичными волнами указанной зоны, имеет вид

E2 з.Фр = A2 з.Фр cos (ωt − kb − kλ) = A2 з.Фр cos (ωt − kb − 2π).

Вектор колебания E2 з.Фр повернут на диаграмме на 180 ◦C по отношению к вектору E1 з.Фр и располагается в конце первого витка спирали. Следовательно, второй зоне Френеля соответствует вся левая половина первого витка спирали (рис. 107).

Аналогичные рассуждения можно провести для всех зон Френеля, на которые разделена волновая поверхность. Поскольку разность расстояний от внешнего и внутреннего краев каждой зоны Френеля до точки наблюдения равна половине длины волны, разность фаз колебаний светового вектора вторичных волн, пришедших в точку наблюдения от внешнего и внутреннего краев каждой зоны, составляет величину π. Следовательно, векторы соответствующих колебаний повернуты друг относительно друга на угол 180 ◦C, и каждой зоне Френеля на диаграмме соответствует в точности половина того или иного витка спирали.

§32. Дифракция Френеля от круглого отверстия

идиска

Пусть плоская световая волна падает на непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса r0 (рис. 108). Расстояние от центра отверстия до точки наблюдения P , расположенной на прямой, перпендикулярной плоскости экрана и проходящей через центр отверстия, равно b. Длина волны — λ. Определим интенсивность света в точке наблюдения.

С этой целью найдем число зон Френеля, которые благодаря отвер-

Значение m, вычисленное по формуле (32.1), может оказаться нецелым. В этом случае одна из зон Френеля открыта не полностью.

Значение m зависит от параметра b, то есть от места расположения точки наблюдения относительно экрана с отверстием. Если радиус отверстия r0 остается неизменным, при изменении положения точки наблюдения P число открытых зон меняется.

Интенсивность света в точке наблюдения P приближенно можно определить с помощью векторной диаграммы колебаний светового вектора.

§ 32 ] Дифракция Френеля от круглого отверстия и диска 153

Пусть m = 1, и экран с отверстием оставляет открытой только первую зону Френеля. Тогда на векторной диаграмме, построенной для

вторичных волн, порождающих в точке P световое колебание. Интенсивность света, пропорциональная квадрату амплитуды светового вектора, составит в точке P величину:

I = 4I0,

где I0 — интенсивность света в отсутствие экрана, равная интенсивности падающей волны.

Если m = 2, отверстие оставляет на волновой поверхности открытыми первую и вторую зоны Френеля. Векторная диаграмма содержит только один виток спирали, соответствующий двум первым зонам (рис. 110). Начало и конец первого витка практически совпадают.

Поэтому в точке P амплитуда A светового вектора и,

соответственно, интенсивность света I равны нулю. Если открыто четное число зон Френеля (m — чет-

ное), то векторная диаграмма содержит целое число витков спирали, интенсивность света в точке наблю- A 0 дения будет близка к нулю. Если открыто нечетное число зон Френеля (m — нечетное), то векторная диаграмма содержит полуцелое число витков спирали, и интенсивность света I в точке наблюдения превышает

интенсивность исходной световой волны I0 примерно в четыре раза. Эти утверждения справедливы при не слишком больших значениях m, когда диаметры всех m витков спирали приблизительно одинаковы и

равны 2A0.

Значительно большее усиление света в точке наблюдения P можно осуществить с помощью амплитудной зонной пластинки — стеклянной пластинки, на поверхность которой нанесено непрозрачное покрытие в виде колец, закрывающих только четные (либо только нечетные) зоны Френеля. Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга. Если перекрыть все четные (или все нечетные) зоны, такого ослабления не будет, и интенсивность света в точке P резко возрастет. Зонная пластинка действует на проходящий через нее свет подобно собирающей линзе.

Еще большего эффекта усиления света можно достичь, не перекрывая четные (или нечетные) зоны, а изменяя фазу их колебаний на π. Это можно осуществить с помощью прозрачной пластинки, толщина которой в местах, соответствующих четным и нечетным зонам, отличается ровно на такую величину, что соответствующая этой величине оптическая длина пути составляет половину длины световой волны λ/2 (если абсолютный показатель преломления стекла, из которого изготовлена пластинка равен n, то толщина стекла в области четных и нечетных зон Френеля должна отличаться на величину h, удовлетворяющую условию nh = λ/2). Тогда вторичные волны от четных и нечетных зон Френеля будут приходить в точку наблюдения не в противофазе, а в одинаковой фазе. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с амплитудной зонной пластинкой

фазовая дает дополнительное увеличение амплитуды светового вектора в два раза, а интенсивности

P света — в четыре раза.

Если на пути световой волны поместить непрозрачный диск, то в любой точке наблюдения P на прямой, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр, то есть в области геометрической тени, интенсивность света будет

отлична от нуля (рис. 111).

Пусть, например, радиус диска равен радиусу первой зоны Френеля. Тогда на векторной диаграмме колебаний светового вектора, построенной для точки P , отсутствует участок, соответствующий первой зоне Френеля, — правая часть первого витка спирали (рис. 112 б). При этом вектор результирующего колебания в точке P — вектор, соединяющий начало и конец оставшейся части спирали — отличен от нуля. Его длина прибли-

зительно равна A0 — амплитуде колебаний светового вектора в точке наблюдения при всех полно-

стью открытых зонах Френеля (рис. 112а).

Во всех случаях, когда диск закрывает m зон Френеля, на векторной диаграмме отсутствуют m полувитков спирали, начиная с первого. Если m не слишком велико, радиус остав-

шегося на диаграмме внешнего витка спирали, численно равный амплитуде колебания светового вектора в точке наблюдения, незначительно отличается от соответствующей величины при полностью от-