ПРИЛОЖЕНИЯ

I.Основные определения и формулы

Всжатой форме представлены практически все результаты, полученные в основном тексте книги. Приложение предназначено для повторения основных физических понятий, определений и законов разделов курса физики «Колебания и волны», «Оптика».

Электрические колебания

Электрические колебания представляют собой движение электрических зарядов, которое повторяется или приблизительно повторяется через определенные промежутки времени.

Колебательным контуром называется электрическая цепь, обладающая емкостью и индуктивностью.

Период колебаний T — промежуток времени, через который движение электрических зарядов повторяется.

Амплитуда колебаний — величина наибольшего отклонения физического параметра электрической цепи (заряда конденсатора, силы тока, напряжения) от своего равновесного значения.

Свободными называются колебания физической системы (в частности, электрической) около положения устойчивого равновесия после того, как система была выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе.

Если омическое сопротивление колебательного контура пренебрежимо мало, то свободные колебания являются гармоническими. Частота гармонических колебаний ω0 в контуре, омическое сопротивление которого равно нулю, называется собственной частотой контура.

Затухающими называются колебания при наличии в контуре омического сопротивления.

Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие

вэлектрической цепи в результате внешнего периодического воздействия и происходящие в такт с этим воздействием.

Ток в проводнике (в цепи, представляющей последовательное соединение проводников) называется квазистационарным при условии, что сила тока одинакова во всех поперечных сечениях проводника (цепи)

водин и тот же момент времени. Условие квазистационарности тока в электрической цепи:

τ= cl T ,

где τ — время распространения по цепи электромагнитного возмущения, T — период электрических колебаний, l — длина цепи, c — скорость распространения электромагнитного возмущения вдоль цепи (скорость света в вакууме).

Гармонические колебания

Уравнение гармонических колебаний в идеальном контуре, содержащем катушку индуктивности L и конденсатор емкости C (омическое сопротивление контура равно нулю):

q¨ + ω02q = 0,

√

где q — заряд конденсатора, ω0 = 1/ LC — собственная частота контура.

Решение этого уранения:

q = qm cos (ω0t + δ),

где амплитуда qm и начальная фаза δ определяются из начальных условий.

где Im = qmω0 — амплитуда тока.

Зависимость от времени напряжения на конденсаторе UC :

Затухающие колебания

Уравнение затухающих колебаний в контуре, который содержит последовательно соединенные катушку индуктивности L и конденсатор емкости C и обладает омическим сопротивлением R:

q¨ + 2βq˙ + ω02q = 0,

где β = R/(2L) — коэффициент затухания.

Решения уравнения затухающих колебаний. 1. β < ω0 (затухающие колебания).

Зависимость от времени заряда q конденсатора: q = qm0e−βt cos (ωt + δ),

где a(t) = qm0e−βt — амплитуда затухающих колебаний, qm0 — начальная амплитуда.

Циклическая частота затухающих колебаний

ω = ω02 − β2 .

Период затухающих колебаний

T = 2ωπ .

Напряжение на конденсаторе

UC = Cq = qCm0 e−βt cos (ωt + δ).

Сила тока

I = dqdt = qm0e−βtω0 cos (ωt + δ + ψ),

где tg ψ = −ω/β.

Величины, характеризующие затухание: коэффициент затухания

β = 2RL ;

время жизни колебаний τ , то есть время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз:

τ = β1 ;

логарифмический декремент затухания

a(t)

λ = ln a(t + T ) = βT ;

количество колебаний за промежуток времени, в течение которого их амплитуда уменьшается в e раз:

1

Ne = βT ;

С точностью до коэффициента 2π добротность Q контура равна отношению энергии затухающих колебаний W к величине убыли этой энергии | WT | за время одного периода колебаний:

2. β > ω0 (апериодичесий процесс перехода системы в равновесное

состояние):

q(t) = C1eλ1t + C2eλ2t,

226 Приложения

где ϕ = ψ − π/2— разность фаз колебаний внешнего напряжения и тока,

Напряжение на омическом сопротивлении

UR = ImR cos (ωt − ϕ),

где ImR = URm — амплитуда напряжения.

Векторная диаграмма напряжений в последовательном контуре (рис. П.1):

UR + UC + UL = Um cos ωt,

Переменный ток представляет собой вызванные внешним переменным напряжением вынужденные электрические колебания в цепи, обладающей индуктивностью, емкостью и активным сопротивлением.