§ 13 ] |
Характеристики звука. Эффект Доплера для звуковых волн |
67 |
волны, испытывают наибольшие по сравнению с другими частицами отклонения от положений равновесия.
Зависимость скорости ˙ частиц среды от координаты и времени
ξ x t
называется волной скорости и описывается выражением:
˙ |
∂ξ |
|
ξ = |
|
= −2ωa cos kx sin ωt. |
∂t |
Зависимость относительной деформации среды от координаты x и времени t называется волной деформации и описывается выражением:
∂x∂ξ = −2ka sin kx cos ωt.
Можно показать, что за период колебаний дважды происходит превращение энергии стоячей волны из полностью потенциальной, сосредоточенной в основном вблизи узлов волны, в полностью кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны. В результате энергия переходит от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии, переносимой стоячей волной, в любом перпендикулярном к оси x сечении волны равен нулю.
§ 13. Характеристики звука. Эффект Доплера для звуковых волн
Звуковыми волнами (звуком) называются упругие волны, частоты которых лежат в диапазоне от 16 до 20 000 Гц. Именно такие упругие волны, достигнув человеческого уха, вызывают ощущение звука. Всякий реально существующий звук представляет собой суперпозицию (наложение) гармонических колебаний различных частот.
Акустическим спектром называется набор частот колебаний, составляющих звуковую волну.
Звук со сплошным акустическим спектром, то есть спектром, в котором присутствуют все частоты некоторого конечного диапазона, называется шумом. Звук с линейчатым акустическим спектром, то есть спектром, набор частот которого является дискретным, называется
тональным.
Высота тонального звука определяется основной наименьшей частотой присутствующих в данном звуке колебаний.
Тембр (окраска) тонального звука зависит от относительной интенсивности обертонов (побочных частот колебаний).
Интенсивность звука, как любой упругой волны, представляет собой модуль среднего по времени вектора плотности потока энергии, переносимой звуковой волной. Напомним, что интенсивность упругой волны пропорциональна квадрату амплитуды колебаний частиц среды.
Порогом слышимости называется минимальная интенсивность звуковой волны, вызывающей звуковое ощущение. Порог слышимости
3*
68 |
Упругие волны |
[ Гл. II |
зависит от частоты. В наиболее чувствительной для человеческого
уха области частот от 1000 до 4000 Гц порог слышимости составляет 10−12 Вт/м2.
Порогом болевого ощущения называется интенсивность волны, при которой упругая волна перестает восприниматься как звук и вызывает в ухе ощущение боли. Порог болевого ощущения составляет 1–10 Вт/м2.
Уровнем громкости звука L называется логарифм отношения интенсивности I звука к некоторой интенсивности I0, принятой за исходную:
L = lg I .
I0
В качестве I0 обычно принимают порог слышимости: I0 = = 10−12 / 2. Поэтому уровень громкости L порога слышимости равен нулю.
Единицей уровня громкости является бел (Б). Один бел соответствует интенсивности, в десять раз превышающей порог слышимости. Обычно используют единицу уровня громкости, в десять раз меньшую
— децибел (дБ):
L [ ] = 10L( ) = 10 lg I .
I0
Приблизительно тиканью часов соответствует уровень громкости 20 дБ, человеческой рече — 60 дБ, шуму мотора самолета — 120 дБ.
Приведем без вывода формулу для скорости звука в газе:
V = γRTM ,
где γ — адиабатическая постоянная газа, R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура газа, M — молярная масса.
Для воздуха при 0 ◦C скорость звука примерно составляет 330 м/с (при расчете принимается γ = 1, 4; M = 0, 029 кг/моль; R = = 8, 31 Дж/(моль · К)). По порядку величины скорость звука в газе совпадает со средней Vср или среднеквадратичной Vкв скоростью теплового движения газовых молекул. Так, для среднеквадратичной скорости имеем
Vкв = |
3RT |
|
γRT |
= V. |
M |
M |
Эффект Доплера для звуковых волн. Пусть в газе или жидкости находятся источник и приемник звуковых волн, движущиеся в одном направлении вдоль некоторой прямой со скоростями Vист и Vпр соответственно (рис. 41). Частота волн, испускае-
|
мых источником, равна ν0. Частота волн, ре- |
|
гистрируемых приемником, может отличаться |
|
|
|
от ν0 вследствие движения как источника, так |
Рис. 41 |
и приемника. |
§ 13 ] Характеристики звука. Эффект Доплера для звуковых волн 69
Эффект Доплера состоит в изменении частоты звуковых волн, регистрируемых приемником, вследствие движения источника и приемника.
Вначале определим длину звуковой волны, испускаемой движущимся источником в направлении, противоположном направлению его
движения. За промежуток времени |
t = |
= 1 с источник переместится из |
свое- |
го исходного положения на расстояние, численно равное Vист. Фронт волны, по-
рожденной источником в момент времени t = 0, за тот же промежуток t =
= 1 с пройдет расстояние, равное скоро-
сти распространения волны V (рис. 42). В течение 1 с источник совершит ν0
колебаний, следовательно, на простран-
Рис. 42
ственном промежутке длиной V + Vист
уложится ровно ν0 полных длин волн. Искомая длина волны равна расстоянию между источником и фронтом (Vист + V ), деленному на
частоту источника ν0:
λ = Vист + V .
ν0
Теперь определим частоту звуковой волны, регистрируемую приемником. Для этого рассмотрим движение приемника в течение промежутка времени t = 1c, начиная с некоторого произвольного момента
времени t0. За промежуток времени |
t = 1 с приемник переместится на |
|||||||||||||||
расстояние, численно равное Vпр (рис. 43). В конце рассматриваемого |
||||||||||||||||
промежутка времени t = 1 с до |
приемника |
дойдет |
фронт |
волны, |
||||||||||||
располагавшийся в момент времени t0 на расстоянии V |
от того места, |
|||||||||||||||
где в момент времени t0 + |
t находится приемник. Таким образом, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
за время |
t = 1 |
приемник зарегистри- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
рует полное число длин волн, умеща- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ющихся |
на расстоянии, |
равном |
Vпр + |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ V . Это число равно регистрируемой |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
частоте звука: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν = |
Vпр + V |
|
= |
Vпр + V |
ν0. |
(13.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vист + V |
|
||||
приемника |
Полученная |
формула |
(13.1) |
пред- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ставляет собой математическое выра- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
жение эффекта Доплера. Если скоро- |
||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 43 |
сти приемника и источника совпадают |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(Vпр = Vист), то регистрируемая частота |
||||||||
ν равна частоте источника ν0. Если приемник «догоняет» источник (Vпр > Vист), то регистрируемая частота больше частоты источника, ν > > ν0; если приемник отстает от источника (Vпр < Vист), то регистрируемая частота уменьшается по сравнению с ν0, ν < ν0. Формулы, ана-
70 |
Упругие волны |
[ Гл. II |
логичные (13.1), можно получить для случаев движения источника и приемника навстречу друг другу или их движения в противоположных направлениях.
Задачи
2.1.Плоская гармоническая волна с частотой ω распространяется
ссо скоростью V в направлении, составляющем углы α, β, γ с осями x, y, z. Найти разность фаз колебаний в точках среды с координатами
x1, y1, z1 и x2, y2, z2.
2.2. Плоская гармоническая волна с частотой ω распространяется так, что некоторая фаза колебаний перемещается вдоль осей x, y, z со скоростями соответственно V1, V2, V3. Найти волновой вектор k, если орты координатных осей ι, γ, заданы.
2.3. Показать, |
что |
любая дифференцируемая функция вида |
f (t + αx), где α |
— |
постоянная, является решением волнового |
уравнения. Каков физический смысл постоянной α?
2.4.В однородной упругой среде распространяется плоская волна
ξ= a cos (ωt − kx). Изобразить для момента t = 0:
а) графики зависимостей от x величин ξ, ∂ξ/∂t и ∂ξ/∂x;
б) направление скорости частиц среды в точках, где ξ = 0, если волна продольная, поперечная;
в) примерный график распределения плотности среды ρ(x) для продольной волны.
2.5. Звуковая волна распространяется со скоростью V в положительном направлении оси x. В ту же сторону движутся наблюдатели со скоростями V1 и V2. Найти отношение частот ω2/ω1, которые зафиксируют наблюдатели.