Увеличение простых зрительных труб и биноклей составляет величину 20 ÷ 50.

Задачи

4.1.Найти среднюю освещенность облучаемой части непрозрачной сферы, если на нее падает параллельный световой поток, создающий в точке нормального падения освещенность E0.

4.2.Некоторая светящаяся поверхность подчиняется закону Ламберта. Ее яркость равна L. Найти:

а) световой поток, излучаемый элементом S этой поверхности внутрь конуса, ось которого нормальна к данному элементу, если угол полураствора конуса равен θ;

б) светимость такого источника.

4.3. На высоте h = 1, 0 м над центром круглого стола радиуса R = = 1, 0 м подвешен точечный источник, сила света которого I так зависит от направления, что освещенность всех точек стола оказывается одинаковой. Найти вид функции I(θ), где θ — угол между направлением излучения и вертикалью, а также световой поток, падающий на стол, если I(0) = I0 = 100 кд.

4.4.Ламбертовский источник имеет вид бесконечной плоскости. Его яркость равна L. Найти освещенность площадки, расположенной параллельно данному источнику.

4.5.Перед выпуклой поверхностью стеклянной выпукло-плоской линзы толщины d = 9, 0 см находится предмет. Изображение этого предмета образуется на плоской поверхности линзы, которая служит экраном. Определить:

а) поперечное увеличение, если радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R = 2, 5 см;

б) освещенность изображения, если яркость предмета L = = 7700 кд/м2 и диаметр входного отверстия выпуклой поверхности линзы D = 5, 0 мм; потери света пренебрежимо малы.

Г Л А В А V

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

§ 24. Интерференция световых волн от двух когерентных источников

Условия наблюдения интерференции. Две гармонические световые волны называются когерентными, если они имеют одинаковую частоту и постоянную разность фаз (речь идет о разности фаз колебаний векторов напряженности электрического поля — светового вектора, возбуждаемых волнами в какой-либо точке пространства).

Интерференцией называется перераспределение интенсивности света в пространстве в результате наложения когерентных волн.

Условиями, достаточными для наблюдения интерференции, являются следующие: 1) складываемые световые волны когерентны; 2) направления колебаний световых векторов в волнах параллельны.

Как будет показано ниже, волны от физически различных источников света не являются когерентными, поэтому при их наложении возникновение интерференционной картины невозможно. Интерференция возникает только при наложении в некоторой области пространства световых волн, полученных в результате деления на две части световой волны от одного источника. Рассматривая в настоящем параграфе интерференцию света от когерентных источников (источников когерентных волн), мы имеем ввиду идеализированную физическую модель, в рамках которой такие источники существуют.

Зависимость интенсивности света от разности фаз и оптической разности хода интерферирующих волн. Рассмотрим два

одинаковых точечных источника света S1 и S2, расположенных на расстоянии d друг от друга в среде с ε = 1 и μ = 1 и излучающих волны с одинаковыми амплитудой, цикличе-

источником и точкой наблюдения велико по сравнению с расстоянием между источниками:

В точке P колебания светового вектора E1 волны, испускаемой источником S1, описывается выражением:

E1 = A1 cos (ωt − kr1),

при этом A1 = |A1| — амплитуда светового вектора, ω — циклическая частота волны, k — волновое число.

Колебания светового вектора E2 волны, испускаемой источникам S2, в той же точке P описывается выражением:

E2 = A2 cos (ωt − kr2),

A2 = |A2| — амплитуда светового вектора.

Пусть векторы E1 и E2 параллельны друг другу. (Если, например, S1 и S2 — дипольные излучатели, колебания которых происходят в направлении, перпендикулярном к плоскости рис. 75, то плоскость, в которой расположены точки S1, S2 и P , — экваториальная плоскость дипольного излучения (см. § 18), так что векторы E1 и E2 в точке P перпендикулярны к плоскости рисунка и параллельны друг другу.)

Сложим колебания E1 и E2 с помощью векторной диаграммы (рис. 76). Амплитуда A светового вектора результи-

рующего колебания в точке P равна:

A2 = A21 + A22 + 2A1A2 cos δ, (24.2)

где δ = k(r2 − r1) — разность фаз волн от двух источников, пришедших в точку наблюдения P . Если обозначить че-

ческую разность хода световых лучей, пришедших в точку наблюдения от источников S2 и S1 (то есть разность оптических длин пути указанных лучей), то равенство (24.2) можно представить в следующем виде:

Отметим, что в оптике отставание по фазе одного колебания от другого (в частности, колебания E2 от колебания E1 на величину δ) на векторной диаграмме принято отображать поворотом вектора запаздывающего колебания относительно вектора опережающего колебания против часовой стрелки на угол, равный разности фаз колебаний. Так, вектор колебания E1 повернут относительно вектора колебания E2 на угол δ против часовой стрелки (рис. 76). Аналогично, колебание E1 = A2 cos (ωt − kr2) светового вектора волны от источника S2 в точке наблюдения P отстает по фазе на величину kr2 от колебаний светового вектора этой же волны в точке, где расположен источник S2 (здесь фаза волны равна ωt и совпадает с фазой самого источника). Соответственно, на диаграмме рис. 76 вектор колебания E1 повернут на угол kr2 против часовой стрелки по отношению к оси колебаний

§ 24 ] Интерференция световых волн от двух когерентных источников 115

источников. Напротив, в теории электрических цепей колебанию, отстающему по фазе от некоторого другого колебания, соответствует на диаграмме поворот вектора запаздывающего колебания относительно вектора опережающего колебания по часовой стрелке на угол, равный величине запаздывания (см., например, векторную диаграмму рис. 20, § 6, на которой графически отображено запаздывание на величину π/2 колебания напряжения на конденсаторе UC от колебания тока I, текущего через конденсатор.)

Интенсивности I1 и I2 света, пришедшего в точку наблюдения P от первого и второго источника, пропорциональны квадратам амплитуды A1 и A2 соответствующих световых векторов:

Интенсивности I1 и I2 — это такие интенсивности, которые наблюдались бы в точке P при условии, что каждый из источников S1 или S2 излучает свет в отсутствие другого источника.

Интенсивность I световой волны в точке P при наличии обоих источников связана с найденной выше амплитудой A этой волны, аналогичным соотношением:

Во всех трех формулах n — абсолютный показатель преломления среды, в которой распространяются световые волны; в рассматриваемом конкретном случае n = √εμ = 1.

Подставив в (24.2) и (24.3) амплитуды A1, A2, A, выраженные через соответствующие интенсивности I1, I2, I из соотношений (24.4) и (24.5), получим

плитуду, которая по мере удаления волны от источника уменьшается (в случае сферических волн — обратно пропорционально расстоянию r до источника). В силу того что расстояния r1 и r2 велики по сравнению с расстоянием d между источниками, и следовательно, по сравнению с разностью хода = r2 − r1 лучей, пришедших в точку P от источников S2 и S1, амплитуды волн A1 и A2 в точке P можно считать приблизительно одинаковыми. Введем обозначения:

A1 = A2 = A0,

I1 = I2 = I0.

Как следует из (24.6), в этом случае интенсивность результирую-

сивность света в некоторой точке области пространства, где имеет место наложение когерентных волн, от разности фаз волн δ и от оптической разности хода лучей, пришедших в точку наблюдения от когерентных источников.

В зависимости от значения δ (или Δ) величина cos δ в (24.7) может принимать значения от −1 до +1. Соответственно интенсивность света I, вычисленная по формуле (24.7), будет изменяется в пределах от нуля до 4I0. Поскольку в разных точках пространства параметр δ имеет различные значения, не одинаковой в них будет и интенсивность света I.

Таким образом, в результате наложения когерентных волн происходит перераспределение интенсивности света в пространстве: при переходе от одной точки к другой интенсивность меняется. Наблюдается интерференция волн. Если бы имело место наложение не когерентных волн, интенсивность света во всех точках в пространстве была бы одинаковой и равной сумме интенсивностей света от каждого из источников (I1 + I2 в случае различных источников, 2I0 в случае одинаковых источников).

Условия максимума интенсивности. Для того чтобы в точке наблюдения P интенсивность света I была максимальной (при этом говорят, что в точке P наблюдается интерференционный максимум), разность фаз δ интерферирующих волн должна удовлетворять условию:

В этом случае в (24.7) cos δ = 1, интенсивность I = 4I0.

Число m в выражении (24.8) называется порядком интерференционного максимума или иначе порядком интерференции.

Условие максимума интенсивности, записанное через оптическую разность хода интерферирующих лучей, имеет вид

точке максимума равна целому числу длин волн.

Найдем направление в пространстве прямой, проведенной от источников в точку P интерференционного максимума. Указанная прямая определяет направление на интерференционный максимум. Пусть

θ — угол между прямой S1P или S2P и перпендикуляром к линии источников S1S2 (рис. 77). Поскольку лучи S1P и S2P можно считать практически параллельными друг другу, что является следствием усло-

§ 24 ] Интерференция световых волн от двух когерентных источников 117

Выражение (24.10) определяет угол θ между перпендикуляром к линии источников S1S2 и направлением на интерференционный максимум интенсивности.

Условие минимума, выраженное через оптическую разность хода интерферирующих лучей, таково:

1

= m + 2 λ, m = 0, ±1, ±2, ...

Интерференция света от двух щелей. Пусть в среде с ε = μ = = 1 свет от источника в виде длинной светящейся нити падает на две узкие длинные щели S1 и S2 в непрозрачном экране, благодаря которым первичная световая волна, порождаемая источником, делится на две части. Щели можно рассматривать в качестве эффективных источников когерентных цилиндрических волн (рис. 78 а). За экраном со щелями на большом удалении от него располагается экран для наблюдения интерференционной картины. Схематическое изображение опыта по наблюдению интерференции от двух щелей представлено на рис. 78 б, плоскость рисунка перпендикулярна к направлению светящейся нити. Введены следующие обозначения: d — расстояние между щелями, l — расстояние от экрана со щелями до экрана наблюдения, x — координата точки наблюдения P (координатная ось x перпендикулярна к направлению щелей), θ — угол между нормалью к плоскости щелей и направлением на точку наблюдения, r1 и r2 — оптическая длина пути соответственно луча 1, идущего от щели S1, и луча 2, идущего от щели S2,, в точку наблюдения. Полагаем, что выполняется условие d l, то есть экран наблюдения удален от щелей на большое расстояние. Ввиду удаленности точки наблюдения от источников света лучи 1 и 2 можно считать параллельными друг другу.

118 Интерференция света [ Гл. V

Оптическая разность хода лучей 1 и 2 равна

dx

= r2 − r1 ≈ d sin θ ≈ l .

Найдем с помощью выражения (24.7) интенсивность света I в точке наблюдения P :

График функции I(x) (24.11) представлен на рис. 79. Интенсивность света I на экране наблюдения в зависимости от координаты x

Рис. 78

описывается законом квадрата косинуса и изменяется в пределах от нуля до 4I0, где I0 — интенсивность света от одной щели (приблизительно такая интенсивность света в любой точке экрана наблюдения имела бы место, если бы экран освещался одной из щелей S1 или S2 в отсутствие второй).

Таким образом, наблюдается чередование светлых и темных полос, называемых интерференционными полосами. Светлые полосы соответствуют большей, темные — меньшей интенсивности света в интерференционной картине.

Шириной интерференционной полосы называется расстояние между двумя соседними минимумами интенсивности.

Расстоянием между интерференционными полосами называется расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности.

§ 24 ] Интерференция световых волн от двух когерентных источников 119

В рассматриваемом примере интерференции света от двух щелей ширина полосы равна расстоянию между полосами.

Положения на экране интерференционных максимумов найдем из условия (24.10) равенства целому числу длин волн оптической разности хода лучей 1 и 2:

d sin θ = dxl = mλ, m = 0, ±1, ±2, ...

Ширина интерференционной полосы и расстояние между полосами

Влияние немонохроматичности света на интерференционную картину. При наблюдении интерференции света от двух щелей в

соответствии с (24.12) и (24.13) положения интерференционных максимумов xm (кроме центрального максимума нулевого порядка) и ширина интерференционной полосы x зависят от длины волны света λ. С увеличением длины волны максимум смещается от центра интерференционной картины к ее периферии, а ширина полосы возрастает. На рис. 80 показаны интерференционные картины в свете с двумя различными фиксированными длинами волн λ1 и λ2, причем λ2 > λ1.

Смещение друг относительно друга максимумов одного и того же порядка m света с длинами волн λ1 и λ2, равное величине xm(λ2) − xm(λ1), тем больше, чем больше номер максимума. Действительно, пользуясь формулой (24.12), найдем

то есть указанное смещение прямо пропорционально числу m.

120 Интерференция света [ Гл. V

Если свет, которым освещаются щели не монохроматический, т. е. имеется излучение с различными длинами волн, то интерференционные картины, возникающие для каждой компоненты света с фиксированной длиной волны, будут накладываться одна на другую. На-

mпред, называемый предельным, начиная с которого интерференция вообще перестает наблюдаться: светлые и темные полосы практически отсутствуют, освещенность экрана становится приблизительно равномерной. Полоса с номером mпред (а также симметричная ей относительно центра интерференционной картины полоса с номером −mпред) отделяет область экрана, где интерференция не наблюдается, от области, в которой интерференционные полосы еще различимы. Оценим число различимых полос и тем самым оценим предельный порядок интерференции.

Пусть в свете, используемом для освещения щелей в рассматриваемом интерференционном опыте, присутствует излучение со всеми длинами волн из интервала от λ до λ + λ. Будем полагать, что наблюдение интерференции становится невозможным (интерференционная картина полностью размывается) в той области экрана, где максимум

что смещение друг относительно друга интерференционных картин излучения с наименьшей и наибольшей из всех имеющихся длин волн составляет величину порядка ширины интерференционной полосы.

Направление в пространстве от источников света (щелей) на максимум m-го порядка излучения с длиной волны λ + λ определяется