§ 45 ] Элементарная теория дисперсии 211

§ 45. Элементарная теория дисперсии

Цель данного параграфа состоит в том, чтобы с помощью простой модели взаимодействия света с веществом объяснить зависимость показателя преломления n среды от длины световой волны λ (в настоящем параграфе λ — длина световой волны в вакууме). Согласно представлениям классической физики движущаяся ускоренно заряженная частица должна излучать электромагнитную волну. Воспользуемся представлениями о том, что в веществе имеются связанные заряженные частицы (атомные ядра, ионы, электроны), на которые при их смещении из положений равновесия действует квазиупругая сила: это сила существующего в веществе электрического поля, которое представляет собой суперпозицию полей всех заряженных частиц. Будучи выведенными из положения равновесия, частицы совершают свободные колебания под действием квазиупругой силы, постепенно теряя энергию на излучение электромагнитных волн.

Если в веществе распространяется световая волна, заряженные частицы совершают колебания около своих положений равновесия под действием сил электромагнитного поля волны (вынужденные колебания). Поскольку масса атомного ядра в тысячи раз превышает массу электрона, смещением ядер под действием сил поля волны можно пренебречь по сравнению со смещением электронов и считать ядра неподвижными.

Действующая на электрон со стороны электромагнитного поля световой волны сила имеет две составляющие — электрическую Fэл = |e|E

и магнитную Fмагн = |e|VэлB = |e|Vэлμ0H (здесь |e| — модуль заряда электрона, B — магнитная индукция, E и H — напряженность элек-

трического и магнитного поля волны соответственно, Vэл — скорость электрона). С учетом связи между E и H в электромагнитной волне (см. (15.1)), отношение модулей электрической и магнитной сил равно:

где c — скорость света в вакууме. Из полученного соотношения видно, что если скорость электрона Vэл мала по сравнению со скоростью света c, магнитной составляющей силы можно пренебречь по сравнению с электрической. Оценим среднюю скорость электрона, который совершает колебания под действием сил поля световой волны. Если электрон смещается на расстояние порядка размера атома l (l 10−10 м) за время одного периода колебаний поля световой волны T (T = 1/ν10−15 с), то средняя скорость электрона равна Vэл = l/T 105 м/с, что много меньше скорости света c = 3 · 108 м/с. Таким образом, в дальнейших выкладках магнитную составляющую Fмагн силы поля световой волны учитывать не будем.

Совершая вынужденные колебания под действием сил поля световой волны, электрон сам должен служить источником электромагнит-

212 Дисперсия света [ Гл. VIII

ных волн (вторичных волн), затрачивая на излучение свою энергию. Потери энергии на излучение вторичных волн можно учесть, вычислив работу действующей на электрон в процессе колебаний силы «трения». Однако чтобы упростить дальнейшие вычисления, действием силы

трения будем пренебрегать.

ния равновесия (координата r — алгебраическая величина, в положении равновесия r = 0), γ — коэффициент пропорциональности между силой и смещением r («коэффициент жесткости»);

2) сила электрического поля волны:

Fэл = eE = eEm cos (ωt + α),

где e — заряд электрона (e — отрицательная величина), E = = Em cos (ωt + α) — проекция светового вектора волны на направление колебаний электрона, ω — циклическая частота, α — начальная фаза.

Уравнение движения электрона под действием указанных сил имеет вид:

mr¨ = −γr + eEm cos (ωt + α),

Уравнение (45.1) представляет собой частный случай уравнения вынужденных колебаний r¨ + 2βr˙ + ω02r = (eEm/m) cos (ωt + α), в котором коэффициент затухания β положен равным нулю. Запишем решение уравнения вынужденных колебаний (45.1) сначала в общем виде:

m(ω02 − ω2)2 + 4β2ω2

Здесь ψ — разность фаз колебания силы поля световой волны Fэл и колебания смещения r электрона:

§ 45 ] Элементарная теория дисперсии 213

Учтем, что при β = 0 имеет место равенство tg ψ = 0, при этом возможны два случая: ψ = 0 или ψ = π.

Если собственная частота колебаний электрона ω0 превышает частоту световой волны ω, то как следует из равенства (45.3) разность фаз ψ = 0. Действительно, поскольку в природе не существует идеальных колебательных систем с нулевым затуханием (систем, для которых выполняется строгое равенство β = 0), то для величин, входящих в соотношение (45.3), имеем: β ≈ 0, β > 0, ω02 − ω2 > 0, отсюда tg ψ ≈ 0, tg ψ > 0 и ψ ≈ 0. Итак, при ω0 > ω полагаем ψ = 0, так что решение (45.2) имеет вид

Аналогично устанавливается, что при условии ω0 < ω имеет место: tg ψ ≈ 0, tg ψ < 0, ψ = π, так что решение уравнения вынужденных колебаний представляется в виде

Из сравнения (45.4) и (45.5) следует, что при любом соотношении между ω0 и ω зависимость от времени смещения электрона r из положения равновесия определяется единым выражением:

Вещество в целом является электрически нейтральным, суммарный заряд всех частиц равен нулю. Можно считать, в частности, что движение отрицательно заряженного электрона происходит вблизи неподвижного (см. выше) положительно заряженного атомного ядра с зарядом |e| (рис. 162); положения равновесия этих заряженных частиц совпадают друг с другом и с началом координат (точка r = 0). Тогда дипольный момент рассматриваемой системы из двух частиц — совершающего колебания электрона и покоящегося ядра — равен:

p = er,

где r — радиус-вектор, проведенный к электрону из начала координат. Проекция вектора дипольного момента p на направление движения электрона с учетом (45.6) равна

Пусть каждый атом вещества представляет собой простейшую систему из двух частиц — положительного ядра и отрицательного электрона. Обозначим через N число атомов в единице объема вещества. Дипольный момент единицы объема вещества (или иначе поляризо-

ванность P ) равен произведению дипольного момента p одного атома (45.7) на число атомов N в единице объема:

Поляризованность P связана с напряженностью электрического поля E в веществе соотношением:

где κ — диэлектрическая восприимчивость (см. в кн. 3 «Электромагнетизм», § 16, формула (16.3)).

Диэлектрическая проницаемость вещества с учетом выраженной из

Абсолютный показатель преломления n среды связан с диэлек-

√

трической проницаемостью соотношением: n = ε (см. начало § 19). Отсюда с учетом (45.10):

Подставив в (45.11) поляризованность P из (45.8), получим

или после извлечения корня

N e2

n = 1 + . (45.12)

ε0m(ω02 − ω2)

Равенство (45.12) устанавливает зависимость абсолютного показателя преломления среды n от частоты ω распространяющейся в этой среде световой волны.

Несмотря на то, что при выводе (45.12) была использована крайне простая модель взаимодействия света с веществом, это соотношение верно описывает наблюдаемую в опыте нормальную дисперсию вещества. Как видим из (45.12), с увеличением частоты ω световой волны абсолютный показатель преломления n возрастает (рис. 163 а).

Если в рассматриваемой модели взаимодействия света с веществом учесть потери энергии колеблющегося электрона на излучение вторичных электромагнитных волн (учет этого фактора предполагает, что при записи уравнения вынужденных колебаний электрона необходимо коэффициент затухания β считать отличным от нуля, см. (45.1) и нижеследующий текст), а также потери энергии световой волны на возбуждение колебаний атомов в целом, а не только электронов, можно найти зависимость n(ω), которая отражает и аномальную дисперсию