Г Л А В А II

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

§ 9. Волновое уравнение и его решения

Атомы и молекулы всякого вещества — жидкого, твердого, газообразного — находятся в состоянии непрерывного хаотического теплового движения. Характер теплового движения зависит от агрегатного состояния вещества. Так, тепловое движение частиц твердой среды представляет собой колебания вблизи положений равновесия. Молекулы жидкости б´ольшую часть времени находятся вблизи того или иного равновесного положения, совершая тепловые колебания, но время от времени скачкообразно перемещаются из одного равновесного положения в другое. Молекулы газа, средние расстояния между которыми велики, участвуют в поступательном движении, перемещаясь по всему заполненному газом объему, беспорядочно меняя направление движения в результате столкновений друг с другом и со стенками сосуда. Во всех случаях общей особенностью теплового движения частиц вещества является его хаотичность, которая подразумевает, что не существует выделенного (преимущественного) направления движения частиц, при этом движения различных частиц никак не согласованы между собой.

Существуют различные способы вызвать согласованное колебательное движение частиц вещества. Именно так обстоит дело при распространении звука в твердой, жидкой или газообразной среде. Например, колебания упругой мембраны громкоговорителя или голосовых связок человека порождают согласованное колебательное движение расположенных рядом с источником звука молекул воздуха. Возникают сменяющие друг друга состояния сжатия и разряжения газовой среды, которые передаются в другие области заполненного воздухом объема. Говорят, что в воздухе распространяется звуковая волна.

Ниже в этой главе мы будем полагать следующее. Мельчайшие структурные единицы вещества (атомы, молекулы, ионы и т. д.) расположены настолько близко друг к другу, что среду можно считать сплошной, непрерывной, а именно: в любом элементарном объеме содержится огомное количество структурных единиц вещества (так называемый физически бесконечно малый объем), а в любой произвольно выбранной точке заполненного веществом пространства обязательно имеется частица вещества (не заполненные веществом промежутки отсутствуют). Среда является упругой: она оказывает сопротивление растяжению и сжатию, и возможно сдвигу — относительному переме-

Плоская волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси x, описывается уравнением:

ξ = a cos (ωt + kx + α).

На рис. 33 представлены графики зависимости функции ξ (9.1) от времени t и от координаты x. Период функции ξ по переменной t равен периоду гармонических колеба-

равна ω(t − r/V ) + α. Временн´ая задержка τ = r/V равна промежутку времени, затрачиваемому волной на прохождение расстояния r от источника до рассматриваемой волновой поверхности.

где a0/r — амплитуда сферической волны, которая убывает обратно пропорционально расстоянию r до источника, a0 — числовой коэффициент. Приведенная здесь зависимость амплитуды сферической волны от расстояния r будет обоснована ниже.

Уравнение цилиндрической волны. Цилиндрическую волну можно создать, разместив на прямой линии бесконечно большое число одинаковых колеблющихся в одинаковой фазе точечных источников сферических волн. Складываясь между собой, сферические волны создадут в пространстве цилиндрическую волну. Если волна распространяется со скоростью V , то колебания частиц среды, расположенных на расстоянии r от линии расположения источников, будут отставать по времени на величину τ = r/V от колебаний самих

§ 9 ] Волновое уравнение и его решения 55

источников. С учетом этого уравнение цилиндрической волны имеет следующий вид:

Зависимость амплитуды цилиндрической волны a0/√r от расстояния r будет обоснована ниже.

Уравнения плоской, сферической и цилиндрической волн в поглощающей среде. Уравнения волн (9.1)–(9.3) были получены в

предположении, что частицы упругой среды совершают гармонические колебания. Если в процессе движения частицы испытывают на себе действие сил трения (сопротивления среды), то колебания будут затухающими. При этом энергия колебаний превращается во внутреннюю энергию вещества среды (энергию теплового движения). Такая среда называется поглощающей. Все реально существующие среды в большей или меньшей степени поглощают энергию распространяющихся в них волн. Рассматривая затухающие колебания, мы указывали, что амплитуда затухающих колебаний экспоненциально уменьшается

стечением времени (см. в кн. 1 «Механика», § 44). Аналогично амплитуда волны в поглощающей среде экспоненциально уменьшается

срасстоянием, пройденным волной. Уравнения плоской, сферической и цилиндрической волн в поглощающей среде представлены формулами (9.4), (9.4), (9.6) соответственно:

Рассмотрим плоскую волну. Пусть волновой вектор k, перпендикулярный к волновой по-

верхности и определяющий направление распространения волны в пространстве, состав-

ляет с осями x, y, z декартовой прямоугольной системы координат соответственно углы α, β, γ. Колебание частиц, расположенных на волновой поверхности, проходящей через начало координат (рис. 34), описывается гармонической функцией:

ξ0 = a cos (ωt + α).

Колебания частиц, положения равновесия которых принадлежат другой волновой поверхности, отстоящей на расстояние l от первой, запаздывают по времени на величину τ = l/V , где V — скорость распространения волны, и описываются функцией

l ω

ξ = a cos ω t − V + α = a cos ωt − V l + α = a cos (ωt − kl + α).

Поскольку расстояние l можно представить в виде l = rn, где r — радиус-вектор произвольной точки рассматриваемой волновой поверхности, расстояние от которой до начала координат равно l, n — единичный вектор нормали к волновой поверхности, то уравнение волны принимает следующий вид:

ξ = a cos (ωt − krn + α) = a cos (ωt − kr + α) =

= a cos (ωt − kxx − ky y − kz z + α), (9.7)

где kx, ky , kz — проекции на координатные оси волнового вектора k. Итак, уравнение плоской гармонической волны, распространяющей-

ся в произвольном направлении, заданном единичным вектором n или волновым вектором k, имеет вид (9.7).

Уравнение волны в комплексной форме. Прибавив к правой части равенства ξ = a cos (ωt − kr + α) выражение i sin (ωt − kr + α), получим комплексную форму уравнения волны:

ξ = a [cos (ωt − kr + α) + i sin (ωt − kr + α)] = aeiαei(ωt−kr) = aei(ωt−kr).

(9.8) В этой записи a = aeiα — так называемая комплексная амплитуда волны. Модуль комплексной амплитуды равен амплитуде a волны,

аргумент — начальной фазе α.

Чтобы перейти от комплексной формы уравнения волны к обычной, нужно взять действительную часть:

ξ = Re ξ.

Волновое уравнение. Волновым уравнением называется дифференциальное уравнение, решением которого является уравнение распространяющейся в пространстве волны (плоской, сферической и т. д.). Получим волновое уравнение путем дифференцирования одного из его решений, а именно, уравнения плоской волны (9.7), распространяющейся в произвольном направлении:

ξ = a cos (ωt − kr + α) = a cos (ωt − kxx − ky y − kz z + α).

Вычислим вторую производную смещения ξ по времени:

2

∂ ξ = −ω2ξ, (9.9)

∂t2