§ 34 ] Дифракция Фраунгофера от щели 159

§ 34. Дифракция Фраунгофера от щели

Пусть на большом удалении друг от друга располагаются источник монохроматического света, непрозрачный экран с длинной узкой щелью и экран наблюдения (рис. 118).

Если лучи, идущие от источника к препятствию (краям щели) и от препятствия к произвольной точке на экране наблюдения, образуют пучки почти параллельных лучей, то возникающая на экране дифракционная картина называется дифракцией Фраунгофера (1787–1826). Дифракция Фраунгофера — это дифракция в параллельных лучах. Если же описанные световые лучи нельзя считать параллельны-

ми, то наблюдается дифракция Френеля. Количественный кри-

терий различных видов дифракции будет рассмотрен ниже.

Будем полагать, что вследствие удаленности точечного ис-

точника света лучи 1 и 2, идущие к щели, можно считать параллельными, а падающую на препятствие световую волну плоской (см. рис. 118). Волновая поверхность падающей волны параллельна плоскости щели и экрану наблюдения.

Любые два луча, идущие от поверхности щели в произвольную точку P на экране наблюдения, также можно считать параллельными благодаря большому расстоянию между щелью и экраном. Пусть ширина щели равна b. Определим распределение интенсивности света вдоль экрана наблюдения — дифракцию от щели.

Заметим, что поскольку щель длинная, картина, наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к плоскости щели, будет одинакова. Поэтому достаточно исследовать характер распределения интенсивности световой волны вдоль экрана наблюдения в одной такой плоскости, например, в плоскости рис. 119.

Положение точки наблюдения P на экране задается углом ϕ между нормалью к плоскости щели и направлением QP от середины щели к точке P ; за положительное направление отсчета угла ϕ примем поворот отрезка QP по часовой стрелке.

Направим координатную ось y перпендикулярно краям щели и примем за начало отсчета y середину щели — точку Q. Тогда координаты краев щели равны −b/2 и b/2. Мысленно разделим поверхность щели на узкие элементарные полосы шириной dy, края которых параллельны краям щели. Каждая такая полоса характеризуется координатой y и расстоянием r до точки наблюдения P . Обозначим через r0 длину отрезка QP от середины щели до точки наблюдения. Тогда в силу параллельности всех лучей, идущих от щели к точке наблюдения,

160 Дифракция света [ Гл. VI

расстояние r от элементарной полосы с координатой y до точки P приблизительно равно (см. рис. 119):

r ≈ r0 + y sin ϕ.

Все вторичные волны, излучаемые одной элементарной полосой, приходят в точку наблюдения, имея одинаковую фазу, и возбуждают в

Рис. 119

этой точке колебание светового вектора dE, которое можно представить в следующем виде:

где a dy — амплитуда колебания. Выражение (34.1) предполагает, что фаза колебаний светового вектора на волновой поверхности, совпадающей с плоскостью щели, равна ωt. В соответствии с принципом Гюйгенса–Френеля амплитуда a dy колебания светового вектора dE вторичной волны в точке наблюдения P пропорциональна площади излучающего участка волновой поверхности.

В рассматриваемом случае амплитуда колебания dE пропорциональна площади, а, следовательно, и ширине dy элементарной полосы, которая служит источником вторичных волн; пропорциональность dy и отражена в формуле (34.1).

Поскольку расстояние от любой точки щели до точки наблюдения P значительно больше разности расстояний до точки P от любых двух точек поверхности щели, амплитуды a dy вторичных волн, излучаемых всеми элементарными полосами поверхности щели, в точке P можно считать приблизительно одинаковыми. Поэтому величина a в выражении (34.1) не зависит от координаты y элементарной полосы.

Результирующее колебание E светового вектора в точке наблюдения P представляет собой сумму колебаний, порожденных всеми элементарными полосами, на которые мысленно разделена щель. Ре-

Опустим из точки B перпендикуляр BC на луч AP (рис. 122). Лучи AP и BP можно считать параллельными, если выполняется приближенное равенство:

(Строгое равенство означало бы, что отрезок AB и выходящие из точек A и B два рассматриваемых луча пересекаются с экраном наблюдения не в одной P , в двух разных точках — P и P , и что четырехугольник ABP P — параллелограмм.)

Следовательно, условие параллельности рассматриваемых лучей AP и BP состоит в том, что вклад величины b2/2r в оптическую разность хода , вычисляемую по формуле (35.3), пренебрежимо мал. В этом случае справедливо соотношение (35.4). Однако сравнивать величину b2/2r со вторым слагаемым правой части (35.3) — величиной b sin ϕ — не имеет смысла, так как сама эта величина, зависящая от переменного параметра ϕ, может быть сколь угодно малой.

Если оптическая разность хода любых двух интерферирующих лучей, в том числе рассматриваемых лучей AP и BP, изменяется на величину порядка длины световой волны λ, а соответствующая разность фаз — на величину порядка π, то интенсивность результирующей световой волны претерпевает значительные изменения (см., например, формулу (24.7)).

Соответственно, для того чтобы вклад величины b2/2r в оптическую разность хода лучей AP и BP можно было считать пренебрежимо малым, необходимо выполнение условия:

Неравенство (35.6) — искомый критерий параллельности лучей AP и BP, а значит, и любых других лучей, идущих от щели в точку P .

Волновым параметром p называется величина, равная:

√

p = bλl ,

§ 35 ] Количественный критерий вида дифракции 165

где λ — длина световой волны, b — характерный размер неоднородности среды, в которой распространяется волна (размер щели, отверстия, непрозрачной преграды на пути света и т. д.), l — расстояние от области локализации неоднородности среды до области наблюдения дифракции (например, расстояние от щели до экрана наблюдения).

Физический смысл волнового параметра p заключается в следую-

√

щем. Поскольку величина λl равна радиусу первой зоны Френеля для точки наблюдения, расположенной на расстоянии l от неоднородности среды, волновой параметр p показывает, во сколько раз размер зоны Френеля превышает характерный размер b неоднородностей среды, благодаря наличию которых возникает дифракция.

Основываясь на неравенстве (35.6), покажем, что значение волнового параметра p может служить количественным критерием вида дифракции.

Если выполняется условие:

которое является следствием неравенства (35.6), то любые два луча, идущие от щели к точке наблюдения, можно считать параллельными. В этом случае наблюдается дифракция Фраунгофера.

Если выполняется условие:

это означает, что ширина щели сравнима с радиусом первой зоны Френеля, и наблюдается дифракция Френеля.

Если выполняется условие:

то, как можно показать, длина световой волны много меньше ширины щели, и становятся справедливыми законы геометрической оптики. Действительно, из (35.9) следует:

2

λ bl .

Поскольку размер щели b много меньше расстояния l от щели до экрана наблюдения, т.е. b l, то длина волны λ удовлетворяет

условию:

λ b bl b.

Следовательно, если волновой параметр p удовлетворяет неравенству (35.9), то длина волны λ много меньше ширины щели b. В этом случае дифракция не возникает, а свет распространяется в пространстве, подчиняясь законам геометрической оптики.