40 Электрические колебания [ Гл. I

В соответствии с (7.2) при условии R = 0 имеем: tg ϕ = ∞, ϕ = = π/2, то есть колебания тока I2 отстают по фазе от колебания внешнего напряжения U = Um cos ωt на вели-

проводах идеального параллельного контура становится равной нулю. При этом полное сопротивление контура Zрез стремится к бесконечности (см. (7.9)).

§ 8. Метод комплексных амплитуд

Пусть некоторая физическая величина, например, поданное на вход колебательного контура напряжение U, изменяется с течением времени по гармоническому закону, то есть представляет собой гармоническое

колебание:

U = Um cos (ωt + α),

где Um — амплитуда колебания, ω — циклическая частота, α — начальная фаза.

Каждое гармоническое колебание может быть представлено в комплексной форме. Это означает что вещественной гармонической функции U ставится в соответствие комплексная функция времени следующего вида:

U = Um[cos (ωt + α) + i sin (ωt + α)] =

= Umei(ωt + α) = Umeiαeiωt = U meiωt, (8.1)

§ 8 ] Метод комплексных амплитуд 41

где величина U m = Umeiα называется комплексной амплитудой колебания (в данном случае это комплексная амплитуда напряжения).

Если комплексная функция U известна, то напряжение U можно вычислить как вещественную часть этой функции:

U = Re U .

Комплексная амплитуда физической изменяющейся по гармоническому закону величины обладает следующими свойствами.

1. Модуль комплексной амплитуды равен вещественной амплитуде колебания физической величины:

mod U m = mod (Umeiα) = Um.

2. Аргумент комплексной амплитуды равен начальной фазе соответствующего колебания:

arg U m = arg(Umeiα) = α.

Рассмотрим произвольный участок цепи переменного тока, в состав которого могут входить конденсаторы, катушки индуктивности, резисторы в любой комбинации. Пусть напряжение на концах участка равно

U= Um cos (ωt + α),

азависимость от времени силы тока, текущего по участку, описывается

функцией

I = Im cos (ωt + β).

Представим колебания напряжения и тока в комплексной форме:

U = U meiωt,

= Umeiα — комплексная амплитуда напряжения;

I = Imeiωt,

где Im = Imeiβ — комплексная амплитуда тока.

Комплексным сопротивлением Z участка цепи переменного тока называется величина, равная отношению комплексных амплитуд на-

Комплексное сопротивление обладает следующими свойствами.

1. Модуль комплексного сопротивления Z представляет собой полное сопротивление Z участка цепи, которое равно отношению амплитуд напряжения и тока на участке (определение полного сопротивления см. в § 6):

2.Аргумент комплексного сопротивления ϕ равен разности фаз α и

βколебаний напряжения и тока на участке:

ϕ = arg Z = arg Um ei(α−β) = α − β.

Im

Величина ϕ показывает, на сколько колебания тока отстают по фазе от колебаний приложенного к концам участка напряжения.

Определим величину комплексного сопротивления для трех элементов цепи переменного тока — конденсатора емкости C, катушки индуктивности L и сопротивления R.

Комплексное сопротивление конденсатора. Пусть к концам участка цепи, содержащего только конденсатор емкости C, приложено напряжение: U = Um cos ωt. Амплитуда тока с учетом величины ем-

опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2. Поэтому сила тока на участке описывается выражением: I = UmωC cos (ωt + π/2). Комплексные амплитуды напряжения и тока равны: U m = Um; Im = = UmωCeiπ/2. Вычислим комплексное сопротивление участка:

Комплексное сопротивление конденсатора емкости C, через который течет переменный ток с циклической частотой ω, равно

i

ZC = −ωC . (8.3)

Комплексное сопротивление катушки индуктивности. Пусть к концам участка цепи, содержащего только катушку индуктивности L, приложено переменное напряжение U = Um cos ωt. Амплитуда тока с учетом величины индуктивного сопротивления катушки XL = ωL (6.9)

равна: Im = Um = Um . Ток отстает по фазе от напряжения на катушке

XL ωL

на величину π/2. Поэтому сила тока описывается выражением: I =

Комплексное сопротивление катушки индуктивности L, по которой течет переменный ток с циклической частотой ω, равно:

Комплексное сопротивление участка цепи, не содержащего индуктивности и емкости. Пусть участок цепи переменного тока со-

держит только сопротивление R. По участку течет ток I = Im cos ωt; к концам участка приложено напряжение U = Um cos ωt. Фазы колебаний тока и напряжения совпадают. Комплексные амплитуды тока и напряжения равны вещественным амплитудам Im и Um тока и напряжения соответственно. Комплексное сопротивление такого участка равно:

Комплексное сопротивление участка совпадает с активным сопротивлением R.

Расчет комплексных сопротивлений сложных цепей. Вновь обратимся к вещественным параметрам электрических цепей — сопротивлению R, напряжению U и силе тока I. Сопротивление R однородного участка цепи определяется через закон Ома: величина R равна отношению приложенного к концам участка напряжения U и силы тока

Используя закон Ома можно доказать, что при последовательном соединении проводников с сопротивлениями R1 и R2 их сопротивления складываются, так что величина эквивалентного сопротивления цепи равна сумме сопротивлений каждого из проводников: Rэкв = R1 + R2; при параллельном соединении проводников складываются величины, обратные сопротивлениям, так что эквивалентное сопротивление участка, содержащего параллельно включенные сопротивления R1 и R2, находится из соотношения:

1 = 1 + 1 .

Rэкв R1 R2

Определение комплексного сопротивления Z участка цепи переменного тока (см. (8.2)) по форме совпадает с законом Ома (8.6) для одно-

лениями Z1 и Z2 включены параллельно (рис. 28), то для вычисления эквивалентного комплексного сопро-

тивления Z нужно сложить величины, обратные комплексным сопротивлениям каждого участка:

44 Электрические колебания [ Гл. I

Если участки цепи с комплексными сопротивлениями Z1 и Z2 включены последовательно (рис. 29), то эквивалентное комплексное сопротивление цепи равно сумме комплексных

Рис. 29

Таким образом, смысл введения комплексных сопротивлений состоит в следующем. При расчете комплексного сопротивления сложной цепи переменного тока, содержащей катушки индуктивности, конденсаторы, сопротивления, можно пользоваться простыми приемами вычисления эквивалентных сопротивлений, разработанными для цепей постоянного тока. Зная комплексное сопротивление Z сложной цепи, можно вычислить: а) полное сопротивление z этой цепи (z = mod Z); б) разность фаз ϕ между током в цепи и

приложенным напряжением (ϕ = arg Z).

П р и м е р 1. В качестве примера рассчитаем комплексное сопротивление последовательного колебательного контура, в состав которого входят конденсатор емкости C, катушка индуктивности L и сопротивление R (см. рис. 8). На вход контура подано переменное напряжение U = Um cos ωt. Так как элементы соединены последовательно, комплексное сопротивление цепи равно сумме комплексных сопротивлений каждого элемента:

i 1

Z = ZC + ZL + ZR = −ωC + iωL + R = R + i ωL − ωC . (8.9)

Полное сопротивление контура равно модулю комплексного сопротивления:

Фазовый сдвиг ϕ между колебаниями приложенного напряжения и тока в цепи вычисляется как аргумент комплексного сопротивления:

Величины полного сопротивления Z последовательного контура и разности фаз ϕ между током и напряжением, вычисленные двумя способами — методом комплексных сопротивлений (8.11), (8.11) и методом векторных диаграмм (3.8), (3.9) — совпадают между собой.

Найдем резонансную частоту последовательного контура. В условиях резонанса сдвиг по фазе между током в цепи и внешним напряжением равен нулю, то есть цепь представляет собой чисто активное сопротивление. Это означает, что мнимая часть комплексного сопротивления Z в выражении (8.6) должна быть равна нулю:

ωL − ωC1 = 0.

§ 8 ] Метод комплексных амплитуд 45

Из этого равенства определяется резонансная частота

величина которой также совпадает с ранее найденным значением (3.21).

П р и м е р 2. В качестве второго примера рассмотрим параллельный колебательный контур, на вход которого подано переменное на-

Второй участок содержит последовательно соединенные катушку индуктивности L и сопротивление R. Комплексное со-

противление второго участка равно

Рис. 30

Z2 = iωL + R.

Комплексное сопротивление контура Z равно эквивалентному сопротивлению двух параллельно включенных участков цепи с сопротивлениями Z1 и Z2:

=−(i/ωC)(R + iωL) = −(i/ωC)(R + iωL)[R − i(ωL − 1/ωC)] = R + i(ωL − 1/ωC) [R + i(ωL − 1/ωC)][R − i(ωL − 1/ωC)]

= R/(ω2C2) − (i/ωC) R2 + ω2L2 − L/C . (8.12) R2 + ωL − 1/ωC 2

Найдем резонансную частоту параллельного контура. В условиях резонанса контур представляет собой чисто активное сопротивление. Следовательно, мнимая часть комплексного сопротивления (8.12) при резонансе должна быть равна нулю: Im z = 0. Для этого достаточно выполнения равенства:

Оно совпадает с полученной ранее методом векторных диаграмм величиной (7.6).