в рассматриваемый момент времени t (объем фрагмента настолько мал, что плотность ρ можно считать одинаковой в любой точке фрагмента), S — площадь поперечного сечения стержня, то условие постоянства массы фрагмента можно записать в следующем виде:

Из равенства (10.21) определим плотность ρ среды в произвольный момент времени t:

Производная по координате x смещения ξ = a cos (ωt − kx) равна

∂x∂ξ = ka sin (ωt − kx) .

Подставив это выражение в (10.11), найдем зависимость плотности среды ρ от координаты x и времени t:

Функция sin (ωt − kx) в знаменателе выражения (10.12) периодически меняет знак и испытывает колебания около нулевого значения как в зависимости от времени t при

фиксированном x, так и в зависимости от координаты x в фиксиро-

ванный момент времени t. Соответственно плотность среды ρ также периодически изменяется, испытывая колебания вокруг своего сред-

него значения ρ — плотности среды в состоянии равновесия в отсутствие волны (рис. 37). Выражение

(10.12) представляет собой волну плотности, распространяющуюся в однородной упругой среде.

§ 11. Перенос энергии упругой волной

Пусть в пространстве распространяется упругая волна и задана некоторая поверхность S. Частицы упругой среды, вовлеченные в волновой процесс, обладают дополнительной (по сравнению с энергией теплового движения) энергией, обусловленной их упорядоченным согласованным колебательным движением. Таким образом, энергия упругой волны — это энергия согласованного колебательного движения частиц среды. Величина объемной плотности энергии волны w была вычислена выше (см. формулы (10.8) и (10.9)). В процессе своего

распространения волна переносит энергию из областей пространства, вовлеченных в волновой процесс, в области, где колебания частиц среды еще не возникли. Таким образом, имеет место процесс переноса энергии. Для количественного описания этого процесса вводятся понятия потока энергии, вектора плотности потока энергии и интенсивности волны.

Потоком энергии Φ называется количество энергии, переносимой волной за единицу времени через заданную поверхность S:

где dWS — количество энергии, перенесенной волной через поверхность S за промежуток времени dt.

Единица потока энергии — ватт (Вт), 1 Вт = 1 Дж/с.

Вектор плотности потока энергии j определим как произведение объемной плотности энергии волны w, скорости распространения волны V и единичного вектора n в направлении распространения волны:

Единица плотности потока энергии — ватт на метр в квадрате (Вт/м2).

Общие представления о потоке энергии в пространстве были введены Н. А. Умовым (1846–1915). Вектор плотности потока энергии без конкретизации ее физической природы называется вектором Умова.

Установим связь между вектором j и потоком Φ. Для этого рассчитаем величину dΦ потока энергии через произвольным образом ориентированную в пространстве элементарную площадку dS (элементарный участок поверхности площади dS). Пусть угол между вектором dS элементарной площадки и вектором n, определяющим направление

распространения в пространстве упругой волны, равен ϕ (рис. 38). За промежуток времени dt через элементарную площадку dS волна перенесет энергию dW, заключенную в объеме наклонного цилиндра, основанием которого служит площадка dS, а образующая цилиндрической поверхности

параллельна направлению распространения волны и имеет длину Vdt. (Величина Vdt равна расстоянию, на которое успевает распространяется волна за промежуток времени dt.) Объем рассматриваемого косого цилиндра равен V dtdS cos ϕ (см. рис. 38). Итак, энергия dW может быть представлена в виде

dW = wV dtdS cos ϕ = wV ndSdt = jdSdt,

где произведение dS cos ϕ представлено в виде скалярного произведения: dS cos ϕ = ndS, а величина wV n согласно определению (11.2) представляет собой вектор плотности потока энергии j.

С учетом полученного соотношения поток энергии dΦ через элементарную площадку dS равен

Если площадка dS располагается перпендикулярно направлению распространения волны, то есть ϕ = 0, то из (11.3) получаем

dΦ = jdS,

где j — модуль вектора плотности потока энергии j. В этом случае выполняется скалярное равенство

Формула (11.4) иллюстрирует физический смысл понятия плотности потока энергии: модуль вектора плотности потока энергии j равен потоку энергии, переносимому волной через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

Формула (11.3) позволяет вычислить поток энергии через произвольную поверхность S, если известен вектор j в каждой точке этой поверхности:

S

Здесь интеграл вычисляется по поверхности S.

Интенсивностью волны I называется величина, равная модулю среднего по времени вектора плотности потока энергии:

где угловые скобки < > обозначают усреднение по времени. Преобразуем выражение (11.6), учитывая при усреднении вектора j,

что скорость распространения волны V и направление распространения (вектор n) от времени не зависят:

где j = |wV n| = wV .

Выражение (11.7) означает, что интенсивность волны I равна произведению средней по времени объемной плотности энергии волны w и скорости волны V или, иначе, среднему по времени значению модуля плотности потока энергии j.

В качестве примера, вычислим интенсивность упругой волны. Согласно (10.9) средняя объемная плотность энергии упругой волны

равна:

w = 12 ρa2ω2,

где ρ — плотность среды, a — амплитуда, ω — циклическая частота волны.

из которого можно определить положение пучностей в пространстве:

где λ — длина волны.

Как следует из (12.5), геометрическое место пучностей стоячей волны — это плоскости, перпендикулярные к оси x и расположенные на расстояниях друг от друга в полдлины волны.

Узлы стоячей волны — это точки пространства, которые являются положениями равновесия частиц упругой среды с нулевой амплитудой колебаний. Амплитуда колебаний |2a cos kx| обращается в нуль при

выполнении условия

|cos kx| = 0,

из которого определяется положение узлов в пространстве:

Как и в случае пучностей, геометрическое место узлов стоячей волны — это плоскости, перпендикулярные к оси x и расположенные на расстоянии в полдлины волны друг от друга.