§ 14. Векторное волновое уравнение для электромагнитного поля

72 Электромагнитные волны [ Гл. III

Возьмем ротор от обеих частей уравнения (14.1). Ротор левой части:

rot rot E = [ [ E]] = ( , E) − 2E = − E,

где = ∂x∂ ι + ∂y∂ γ + ∂z∂ — оператор набла (ι, γ, — орты коорди-

при вычислении ротора двойное векторное произведение раскрыто по известному правилу и в соответствии с уравнением (14.4) учтено, что div E = ( , E) = 0.

Ротор правой части уравнения (14.1) вычисляется с учетом уравнения (14.3):

Равенство (14.5) представляет собой волновое уравнение для вектора напряженности электрического поля E (электрической составляющей электромагнитной волны). Волновое уравнение для вектора напряженности магнитного поля H (магнитной составляющей волны) получается аналогично с помощью применения операции ротора к обеим частям уравнения (14.3) с учетом уравнений (14.1) и (14.2):

Множитель при второй производной по времени векторов E и H в уравнениях (14.5) и (14.6) равен квадрату величины, обратной фазовой скорости волны (см. пояснения к формуле (9.11)):

1

ε0εμ0μ = V 2 .

Отсюда фазовая скорость электромагнитной волны равна

V = √ε0εμ1 0μ = √cεμ = nc .

§ 15 ] Плоская электромагнитная волна и ее свойства 73

Здесь введены следующие обозначения: c = 1/√ε0μ0 — фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме (действительно, в вакууме,

личина, которая называется абсолютным показателем преломления среды. Величина n показывает, во сколько раз фазовая скорость электромагнитной волны в среде меньше ее скорости в вакууме.

§ 15. Плоская электромагнитная волна и ее свойства

Покажем, что из уравнений Максвелла вытекает существование в пространстве плоских электромагнитных волн, обладающих следующими свойствами.

С в о й с т в о 1. Электромагнитная волна является поперечной: векторы E и H в волне перпендикулярны к направлению ее распространения.

С в о й с т в о 2. Векторы E, H и k (k — волновой вектор) электромагнитной волны взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку (рис. 44).

С в о й с т в о 3. В любой момент времени модули электрической составляющей E и магнитной составляющей H волны связаны соотношением:

Ниже будет показано, что в плоской гармонической электромагнитной волне, распространяющейся вдоль одной из

координатных осей, например, вдоль оси x, изменение векторов E и H во времени и в пространстве описывается уравнениями:

где ω — циклическая частота волны, k — волновое число (k = ω/V ), α — начальная фаза волны в точке с координатой x = 0.

Для доказательства свойств 1–3 предположим, что электромагнитное поле существует в виде плоской волны, распространяющейся вдоль оси x. Тогда векторы E и H электромагнитного поля зависят только от координаты x, и не зависят от y и z:

E = E(x), H = H(x).

При этом производные по координатам y, z всех компонент Ex, Ey , Ez вектора E и всех компонент Hx, Hy , Hz вектора H равны нулю, например, ∂Ex/∂y = 0, ∂Hz /∂z = 0 и т. д. Используем это обстоятель-

ство для «упрощения» оператора набла = ∂x∂ ι + ∂y∂ γ + ∂z∂ , ι, γ,

— орты координатных осей x, y, z сооответственно. Будем считать,

что оператор содержит только одну компоненту, а именно ∂/∂x, при этом остальные его компоненты, а именно, ∂/∂y, ∂/∂z, равны нулю или просто не существуют. (Во избежание недоразумений еще раз подчеркнем, что в действительности равен нулю результат действия компонент ∂/∂y, ∂/∂z оператора набла на любые компоненты векторов E и H в плоской волне, распространяющейся вдоль оси x). Итак, оператор набла в применении к плоской волне, распространяющейся вдоль оси x, можно представить в форме:

Подставим в уравнения Максвелла (14.1)–(14.4) векторы напряжен-

rot H = [ , H] в виде определителей, дивергенцию векторов — в виде скалярных произведений div E = ( , E), div H = ( , H). После этого уравнения (14.1)–(14.4) будут выглядеть так:

Вычислив определители и перемножив соответствующие компоненты векторов в скалярных произведениях, получим систему из восьми уравнений:

§ 15 ] Плоская электромагнитная волна и ее свойства 75

и(15.8) следует, что компонента Hx магнитного поля не зависит от координаты x и от времени t, то есть Hx = const. Из уравнений (15.9)

и(15.12) следует, что компонента Ex электрического поля не зависит от x и от t, то есть Ex = const. Поскольку Ex и Hx не меняются с течением времени и одинаковы во всех точках пространства, поля Ex

иHx являются статическими. Электромагнитная волна представляет собой колебательный процесс и не должна содержать статических электрического и магнитного полей. Следовательно, Hx = 0 и Ex = 0. Таким образом, в плоской электромагнитной волне, распространяющейся вдоль оси x, могут быть отличны от нуля только следующие

компоненты поля: Ey , Ez , Hy , Hz , а составляющие электрического и магнитного поля, параллельные направлению распространения волны отсутствуют. Это означает, что плоская электромагнитная волна является поперечной.

Взаимная перпендикулярность векторов E, H и k в электромагнитной волне. Не использованные пока четыре уравнения системы (15.5)–(15.12), а именно уравнения (15.6), (15.7), (15.10) и (15.11) содержат четыре переменные величины Ey , Ez , Hy , Hz и могут быть представлены в виде двух независимых систем уравнений (I) и (II), каждая из которых содержит только две переменные:

Системы (I) и (II) описывают электромагнитные волны, которые возникают и существуют независимо одна от другой. Для изучения свойств волны достаточно ограничиться решением одной из систем. Рассмотрим систему (II).

Дифференцируя первое уравнение системы (II) по переменной x и

76 Электромагнитные волны [ Гл. III

Уравнение (15.13) — это волновое уравнение для компоненты Ey электромагнитного поля.

Дифференцируя второе уравнение системы (II) по переменной x с учетом выражения для ∂Ey /∂x из первого уравнения этой же системы, получим волновое уравнение для компоненты Hz электромагнитного

поля:

2

= ε0εμ0μ ∂ Hz . (15.14)

∂t2

Уравнения (15.13) и (15.14) представляют собой частные случаи векторных волновых уравнений (14.5) и (14.6). Из сравнения (15.13) с (15.14) видно, что компоненты поля Ey и Hz удовлетворяют одному

итому же волновому уравнению. Электромагнитное поле, которое яв-

ляется решением этих уравнений, представляет собой плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x со скоростью V = c/√εμ , где c = = 1/√ε0μ0 — скорость электромагнитной волны в вакууме; волновой вектор k волны коллинеарен оси x.

Электрическую и магнитную составляющие рассматриваемой волны

можно представить в виде E = Ey γ, H = Hz , где γ и — орты координатных осей y и z. Таким образом, векторы E и H перпендикулярны

друг к другу и к направлению распространения волны (волновому вектору k). Тем самым взаимная перпендикулярность векторов E, H

иk доказана.

Аналогично показывается, взаимно перпендикулярными являются векторы E, H и k в плоской электромагнитной волне, которая является решением системы (I). В этом случае E = Ez , H = Hy γ, вектор k коллинеарен оси x.

Соотношение между модулями электрической E и магнитной H составляющих волны. Решениями волновых уравнений (15.13) и

(15.14) являются, в частности, гармонические функции:

где ω — циклическая частота, k = ω/V — волновое число, V — фазовая скорость, α1 и α2 — начальные фазы волны в точках c координатой x = = 0. Функции (15.15) и (15.16) описывают плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x. Найдем соотношение между величинами Ey и Hz . С этой целью подставим выражения Ey и Hz из (15.15) и (15.16) в первое уравнение системы (II), в результате получим

§ 15 ] Плоская электромагнитная волна и ее свойства 77

Для того чтобы уравнение (15.17) удовлетворялось при любых значениях t и x, должно выполняться условие α1 = α2, которое означает равенство фаз гармонических колебаний компонент поля Ey и Hz , заданных уравнениями (15.15) и (15.16). Следовательно, фазы колебаний электрической составляющей E = Eyγ и магнитной составляющей H = = Hz плоской электромагнитной волны совпадают друг с другом.

Подставив в (15.17) волновое число k в виде:

ω √

k = V = ω ε0εμ0μ ,

найдем соотношение между амплитудами Em и Hm электрической и

Очевидно, что аналогичное соотношение выполняется и для модулей E и H в любой момент времени (см. (15.1)).

Правовинтовая система векторов E, H и k. Как показано выше, фаза гармонических колебаний компонент поля Ey и Hz , заданных уравнениями (15.15) и (15.16), одинаковая. Это означает, что в рас-

H либо одновременно направлены к положительным концам координатных осей y и z, либо одновременно направлены к отрицательным концам координатных осей y и z. В противном случае, если, например, одновременно Ey > 0 и Hz < 0, колебания (15.15) и (15.16) противоположны по фазе, что противоречит доказанному выше утверждению.

Докажем теперь правовинтовое соотношение между векторами E, H и k в плоской волне, распространяющей в отрицательном направлении оси x. Вместо функций (15.15) и (15.16), которые описывают плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x, возьмем в качестве решения волновых уравнений (15.13) и

которые соответствуют плоской волне, распространяющейся в отрицательном направлении оси x. Подставив Ey и Hz из (15.19) и (15.20) в первое уравнение системы (II), получим

−kEm sin (ωt + kx + α1) = μ0μωHm sin (ωt + kx + α2),

или:

kEm sin (ωt + kx + α1 + π) = μ0μωHm sin (ωt + kx + α2). (15.21)

Для того чтобы уравнение (15.21) удовлетворялось при любых значениях t и x, должно выполняться условие α1 + π = α2. Отсюда сле-