172 |
Дифракция света |
[ Гл. VI |
4. Предельный (наибольший возможный) порядок главного максимума mпред в дифракционной картине зависит от геометрических параметров решетки.
Из выражения (37.4) найдем
m = d sin θ .
λ
Поскольку синус угла не превышает единицы, предельный порядок равен
mпред = |
d |
. |
(37.7) |
|
|||
|
λ |
|
|
Как следует из (37.7), mпред равно целому числу длин волн λ, укладывающихся на расстоянии d. Период решетки d равен наибольшей
возможной оптической разности хода интерферирующих лучей, идущих от двух соседних щелей. При этом лучи распространяются вдоль поверхности решетки (угол, определяющий направление наблюдения, равен θ = π/2).
§ 38. Дифракционная решетка как спектральный прибор
При нормальном падении света с длиной волны λ на дифракцион-
ную решетку положение в пространстве главных максимумов интен- |
|
|
сивности в дифракционной |
|
картине определяется усло- |
m 2 |
вием (37.4): |
|
|
m 1 |
d sin θ = mλ, |
|
где d — период решетки, |
||
|
||
m 0 I |
m — порядок максимума, |
|
θ — угол между нормалью |
||
m 1 |
к поверхности решетки и |
|
|
направлением на максимум |
|
m 2 |
(см. (37.4) и рис. 130). На- |
|
|
правление на главный мак- |
|
|
симум (угол θ) и положе- |
|
Рис. 130 |
ние максимума на экране |
|
наблюдения зависят от дли- |
||
|
ны световой волны λ: чем больше λ, тем больше угол θ и тем дальше от центра дифракционной картины располагается соответствующий максимум интенсивности. От длины световой волны не зависит положение только одного главного максимума — центрального (m = 0, θ = 0).
Пусть в свете, падающем на решетку, присутствует излучение с двумя длинами волн λ1 и λ2, причем λ2 > λ1. Дифракционная картина будет выглядеть, как показано на рис. 131. Поскольку углы θ,
§ 38 ] Дифракционная решетка как спектральный прибор 173
определяющие направления от решетки на главные максимумы одного и того же порядка m излучения с разными длинами волн λ1 и λ2,
m 2 |
2 |
|
1 |
||
|
||
m 1 |
2 |
|
I ( ) |
1 |
|
m 0 |
1 |
|
m 1 |
||
2 |
||
|
||
m 2 |
1 |
|
|
2 |
Рис. 131
различны, то и положения указанных максимумов на экране наблюдения не совпадают. Все имеющиеся максимумы, кроме центрального, раздваиваются.
Если пропускать через дифракционную решетку белый свет (в нем имеется излучение со всеми возможными длинами волн видимого диапазона), то каждый максимум m-го порядка в дифракционной картине будет представлять собой совокупность смещенных один относительно другого вдоль экрана наблюдения дифракционных максимумов этого же порядка, каждый из которых соответствует определенной длине волны излучения. Поскольку длина волны изменяется непрерывно, совокупность всех максимумов m-го порядка, соответствующих разным длинам волн, образует окрашенную в разные цвета — от фиолетового до красного — полосу, причем ее фиолетовый край располагается ближе к центру дифракционной картины, чем красный (рис. 132).
|
m 2 |
Красный |
|
|
Фиолетовый |
||
|
|
||
|
m 1 |
Красный |
|
I ( ) |
Фиолетовый |
||
|
|||
|
m 0 |
Фиолетовый |
|
|
m 1 |
||
|
Красный |
||
|
|
||
|
m 2 |
Фиолетовый |
|
|
Красный |
||
|
|
||
|
|
Рис. 132 |
Таким образом, пропускаемый через решетку белый свет раскладывается ею в спектр.
174 Дифракция света [ Гл. VI
Благодаря этому свойству решетка может рассматриваться как
спектральный прибор. |
|
Дисперсионная область решетки. Дисперсионной |
областью |
спектрального прибора называется наибольший интервал |
λ длин |
волн света, который с помощью данного прибора может быть разложен в спектр.
Ограничение ширины спектрального интервала λ при использовании решетки в качестве спектрального прибора обусловлено следующим обстоятельством. Если интервал λ слишком велик, то в дифракционной картине максимум m-го порядка излучения с наибольшей имеющейся длиной волны перекрывается с максимумом (m + 1)-го порядка излучения с наименьшей длиной волны. В этих условиях наблюдение спектра становится невозможным. При этом говорят, что спектры m-го и (m + 1)-го порядков не разрешаются. Перекрывание спектров соседних переходов при увеличении интервала λ иллюстрируется рис. 133.
Рис. 133
Обозначим наименьшую длину волны в падающем на решетку свете через λ, наибольшую — через (λ + λ), тогда ширина спектрального интервала составит λ. Угол θλ+Δλ, определяющий направление на
максимум m-го порядка для света с длиной волны λ + |
λ, удовлетво- |
ряет условию (см. 37.4)): |
|
d sin θλ+Δλ = m(λ + λ). |
(38.1) |
Аналогично, угол θλ, определяющий направление на максимум (m + 1)-го порядка для света с длиной волны λ, удовлетворяет усло-
§ 38 ] |
Дифракционная решетка как спектральный прибор |
175 |
вию: |
d sin θλ = (m + 1)λ. |
(38.2) |
|
Если рассматриваемые максимумы m-го и (m + 1)-го порядков перекрываются, то углы θλ+Δλ и θλ равны друг другу. Следовательно, равны и правые части выражений (38.1) и (38.2):
m(λ + λ) = (m + 1)λ.
Отсюда находим значение λ, при котором начинается перекрывание максимумов интенсивности соседних порядков в дифракционной
картине: |
λ . |
|
λ = |
(38.3) |
|
|
m |
|
Выражение (38.3) определяет дисперсионную область дифракционной решетки. Как видим, дисперсионная область зависит от порядка главного максимума m, который используется для получения спектра: с ростом m дисперсионная область уменьшается, то есть перекрывание спектров соседних порядков наступает раньше — при меньшей ширине спектрального интервала λ пропускаемого через решетку света.
Зная ширину спектрального интервала λ падающего на решетку света, с помощью (38.3) можно оценить порядок главного максимума m, наиболее удобный для наблюдения спектра. Пусть, например, белый свет содержит волны в диапазоне от 400 до 760 нм, то есть λ = = 360 нм. Тогда порядок m главного максимума, который начинает перекрываться с соседним (m + 1)-м максимумом, равен:
λсредн ≈ 600
m 2.
λ 360
Следовательно, разложение белого света в спектр с помощью дифракционной решетки возможно лишь в первом или, в крайнем случае, втором порядке главного максимума.
Угловая дисперсия решетки. В зависимости от природы источника света спектр электромагнитного излучения — набор характеризующих излучение частот или длин волн — может быть непрерывным или дискретным. Дискретный спектр, наблюдаемый с помощью дифракционной решетки, представляется в виде системы окрашенных (каждый в определенный цвет) главных максимумов интенсивности в дифракционной картине.
Спектральной линией будем называть излучение с определенной длиной волны, а также соответствующий этому излучению дифракционный максимум интенсивности света в виде окрашенный в определенный цвет полосы на экране наблюдения.
Например, на рис. 134 показаны две спектральные линии с длинами волн λ1 и λ2, которые представляют собой главные дифракционные максимумы некоторого порядка m.
176 Дифракция света [ Гл. VI
Угловым расстоянием между двумя спектральными линиями назовем угол δθ между направлениями на главные дифракционные максимумы интенсивности, соответствующие этим спектральным линиям (рис. 134).
Обозначим через dθ угловое расстояние между двумя спектраль-
ными линиями с близкими друг другу длинами волн λ1 и λ2, а через |
|||||||
|
|
|
|
|
dλ = λ2 − λ1 — разность длин |
||
|
|
|
|
|
волн этих линий. Угловой дис- |
||
|
|
|
|
|
2 персией решетки называется ве- |
||
|
|
личина, равная |
|||||
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
D = |
dθ |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
I ( ) |
|
dλ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Физический смысл угловой дисперсии состоит в следующем: величина D численно равна угло-
вому расстоянию между двумя спектральными линиями, длины волн которых отличаются на единицу.
Вычислим угловую дисперсию решетки. Направление θ на главный максимум интенсивности света с длиной волны λ определяется выражением (37.4):
d · sin θ = mλ,
где d — период решетки.
Продифференцируем обе части этого равенства:
d · cos θ · dθ = mdλ.
Отсюда получим |
|
|
|
|
|
D = |
dθ |
= |
m |
. |
(38.4) |
dλ |
|
||||
|
|
d cos θ |
|
||
При разложении света в спектр с помощью решетки, как правило, используются максимумы не слишком высокого порядка m (см. выше обсуждение дисперсионной области), что соответствует малым углам θ. Поэтому cos θ в (38.4) можно положить равным единице, так что угловая дисперсия решетки приблизительно равна:
D ≈ |
m |
. |
(38.5) |
d |
Оценим величину cos θ. Пусть, например, m = 2. Если длина волны света λ = 550 нм, а период решетки d 10−2 мм, что соответствует приблизительно N = 100 штрихам (щелям) на один миллиметр, то
2 |
|
|
10−4 |
9 |
cos θ = |
1 |
− |
sin2 θ |
≈ |
1 |
− |
sin θ = mλ/d |
|
, а искомая величина |
|
|
|
||||||
− 0, 5 sin |
θ = 1 − 5 · 10− с очень высокой точностью равна единице. |
|
|||||||||
§ 38 ] |
Дифракционная решетка как спектральный прибор |
177 |
Разрешающая сила решетки. Разрешающей силой спектрального прибора, в частности, дифракционной решетки, называется величи-
на
R = λ ,
δλmin
где δλmin — наименьшая разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно (разрешаются), λ — длина волны одной из линий или средняя длина волны.
Критерий разрешения Рэлея (1842–1919). Две спектральные линии воспринимаются раздельно (разрешаются), если расстояние между соответствующими этим линиям максимумами интенсивности света в дифракционной картине равно полуширине каждого максимума. (Развернутая формулировка критерия спектрального разрешения Рэлея такова: две спектральные линии с близкими длинами волн λ и λ считаются разрешенными, если главный максимум дифракционной картины для одной длины волны совпадает по своему положению с первым дифракционным минимумом в том же порядке для другой длины волны.)
В приведенной выше краткой формулировке критерия разрешения под расстоянием между максимумами интенсивности и полушириной максимума следует понимать либо угловые, либо линейные величины. Угловое расстояние между максимумами интенсивности равно углу θ между направлениями от решетки на соответствующие дифракционные максимумы, локализованные на экране наблюдения. Угловая полуширина максимума — это угол θ между направлениями от решетки на максимум и ближайший к нему (первый) минимум интенсивности. Соответствующие линейные величины — это измеренные вдоль экрана наблюдения расстояние между максимумами и расстояние между максимумом и ближайшим к нему (первым) минимумом интенсивности. Необходимые пояснения и примеры содержатся на рис. 135.
|
|
|
Угловое расстояние меж- |
|
|
|
|
|
Линейное расстояние |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ду максимумами |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
между максимумами |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейная полуши- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рина максимума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ( ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решетка Угловая полуширина глав- |
Экран |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ного максимума ãë. ìàêñ |
наблюдения |
|||||||
Рис. 135
Рисунок 136, на котором показана зависимость интенсивности света от угла θ, определяющего направление наблюдения, или от линейной координаты точки наблюдения на экране, иллюстрирует критерий
178 |
Дифракция света |
[ Гл. VI |
Рэлея. Если угловое расстояние δθ между максимумами интенсивности двух спектральных линий больше угловой полуширины каждого мак-
симума δθгл.макс, то распределение интенсивности света в пространстве и соответствующее распределение освещенности на экране наблюдения
воспринимается как две отдельно расположенные линии (рис. 136 а).
I(
ãë. ìàêñ.
ãë. ìàêñ. |
ãë. ìàêñ. |
||||
|
20% |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100%
à |
á |
â |
Рис. 136
Если δθ = δθгл.макс, то между двумя максимумами интенсивности имеется минимум, относительная глубина которого приблизительно со-
ставляет 20 % (рис. 136 б). Согласно критерию Рэлея спектральные линии в этом случае считаются разрешенными, то есть воспринимаются
раздельно. Если δθ < δθгл.макс, то наблюдается один общий для двух линий максимум (рис. 136 в). В этом случае спектральные линии не
разрешаются.
Вычислим разрешающую силу дифракционной решетки. Угловое расстояние δθ между двумя спектральными линиями, длины волн которых отличаются на δλ, равно
δθ = Dδλ = md δλ,
где D = m/d — угловая дисперсия, m — порядок максимума, d — период решетки. Согласно (37.5) угловая полуширина главного максимума в дифракционной картине решетки равна
λ
δθгл.макс = N d ,
где N — число щелей в решетке (число штрихов на поверхности стекла, из которого изготовлена решетка).
Две линии являются разрешенными, если выполняется нестрогое неравенство (знак равенства соответствует критерию Рэлея):
δθ δθгл.макс, |
(38.6) |
||||
|
m |
δλ |
λ |
. |
(38.7) |
|
d |
|
|||
|
|
N d |
|
||