Поляризация света при отражении и преломлении

194 Поляризация света [ Гл. VII

Коэффициенты отражения ρ и ρ для рассматриваемых волн вычисляются с помощью формул Френеля (§ 20):

Здесь θ1 и θ2 — углы падения и преломления, соответственно.

Как следует из анализа формул (41.2) и (41.3) и видно из представленных на рис. 61 (см. § 20) графиков зависимости ρ и ρ от θ1,

Применяя последовательно равенства (41.2), (41.1) и (41.3), с учетом (41.4) получим

Соотношение (41.5) между I и I показывает, что интенсивность I отраженной волны, в которой световой вектор параллелен плоскости падения, меньше интенсивности I отраженной волны, в которой световой вектор перпендикулярен плоскости падения. Следовательно, в отраженном свете, который является суперпозицией рассматриваемых волн, колебания светового вектора, перпендикулярные плоскости падения, преобладают над колебаниями другого направления, то есть отраженный свет частично поляризован.

Имея ввиду сохранение энергии волны при переходе ее через границу двух сред, можно утверждать, что в преломленной волне имеет место обратное соотношение: интенсивность I преломленной волны, световой вектор которой параллелен плоскости падения, больше интенсивности I преломленной волны, в которой световой вектор перпендикулярен плоскости падения. Преломленная волна, как и отраженная, частично поляризована, в ней преобладают световые колебания, параллельные плоскости падения.

Если свет падает на границу раздела под углом Брюстера (θ1 = θБр), то, как следует из (41.2) при условии θ1 + θ2 = π/2, коэффициент отражения ρ равен нулю. Это означает, что отраженная волна полностью поляризована, в ней колебания светового вектора перпендикулярны к плоскости падения (см. закон Брюстера, § 20).

где Imax и Imin— наибольшее и наименьшее значения интенсивности пре-

ломленного и затем прошедшего через поляризатор света, регистрируемые при вращении поляризатора вокруг направления луча (рис. 150). Поскольку

преломленный свет представляет собой суперпозицию двух поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях некогерентных волн с интенсивностями I и I и при этом I > I , то наибольшее и наименьшее значения интенсивности равны:

При падении под углом Брюстера волна, в которой световой вектор параллелен плоскости падения, полностью переходит во вторую среду (ρ = 0), при этом интенсивность не изменяется:

I = I .

Используя последнее равенство, а также (41.1), (41.7), получим для преломленной волны:

Интенсивность преломленной волны, в которой световой вектор перпендикулярен плоскости падения, равна

I = τ I = (1 − ρ )I ,

где τ = (1 − ρ ) — коэффициент пропускания. Используя последнее равенство, а также (41.1), (41.8), получим для преломленной волны:

7*

чается изотропность кристалла в отношении электрических свойств), причем векторы P и D сонаправлены с вектором E.

В анизотропных кристаллах, помещенных в электрическое поле, векторы P и D, вообще говоря, не коллинеарны с вектором E. Связь между D и E следующая:

Здесь элементами матрицы размером 3 × 3 являются компоненты εij

так называемого тензора диэлектрической проницаемости. Всегда можно направить оси x, y, z декартовой прямоугольной системы координат таким образом, что матрица станет диагональной:

Такие направления координатных осей x, y, z в кристалле, для которых матрица тензора диэлектрической проницаемости является диагональной, называются главными направлениями.

Если вектор E совпадает с одним из главных направлений, то векторы D и E являются коллинеарными. Как следует из равенства (42.3) при условии, что матрица диагональная, для направленного вдоль оси x вектора E (E = Eι, где ι — орт оси x) вектор D представляется в виде D = ε0εxEι = ε0εxE, то есть D и E коллинеарны друг другу. Аналогично, если E направлен вдоль оси y и E = Eγ, где γ — орт оси y, то D = ε0εy Eγ = ε0εy E; если E направлен вдоль оси z и E = E , где

— орт оси z, то D = ε0εz E = ε0εz E.

Трем компонентам εx, εy , εz диагонального тензора диэлектриче-

ской проницаемости соответствуют три главных показателя преломления nx = √εx , ny = √εy , nz = √εz . Фазовая скорость волны, в

которой электрический вектор E параллелен оси x, равна: Vx = c/nx; если E параллелен оси y, то фазовая скорость волны равна Vy = c/ny ; если E параллелен оси z, то фазовая скорость волны равна Vz = c/nz . Кристаллы, для которых все три главных показателя преломления различны, называются двуосными (например, слюда, гипс). Кристаллы, для которых nx = ny, но nx = nz , называются одноосными (например, кварц, исландский шпат, турмалин). В одноосных кристаллах ось z, которой соответствует отличный от двух других одинаковых главных показателей преломления nx, ny главный показатель преломления nz , называется оптической осью кристалла.

Главный показатель преломления nz обозначается символом ne. Таким образом, ne — показатель преломления для распространяющихся в кристалле волн, у которых колебания светового вектора E происходят параллельно оптической оси.

Два других одинаковых главных показателя преломления nx = ny обозначают символом no. Итак, no — показатель преломления для волн

198 Поляризация света [ Гл. VII

в кристалле, у которых колебания светового вектора E происходят в перпендикулярном к оптической оси направлении.

Положительными называют кристаллы, у которых ne > no; отрицательными — кристаллы, у которых ne < no. Для кварца ne − no ≈ ≈ 0, 01, для исландского шпата ne − no ≈ −0, 2.

Главной плоскостью или главным сечением кристалла называется плоскость, в которой лежит оптическая ось. Очевидно, что главных плоскостей бесконечно много. Часто главным сечением называют плоскость, в которой лежат оптическая ось и световой луч. Если вектор E волны принадлежит главному сечению, волна называется необыкновенной, соответствующий луч также называется необыкновенным и обозначается буквой e; волна, в которой колебания вектора E происходят в направлении, перпендикулярном главному сечению, называется обыкновенной, обыкновенной волне соответствует так называемый обыкновенный луч, обозначаемый буквой o.

Пусть в точке O внутри кристалла находится точечный источник естественного света, через точку O проходит оптическая ось кристалла — ось z, и при этом плоскость чертежа является одним из главных

(на рис. 152 направления колебаний вектора E необыкновенных лучей изображены двусторонними стрелками).

Поскольку по определению в обыкновенном луче колебания светового вектора происходят в направлении, перпендикулярном главному сечению кристалла, то при любом направлении обыкновенного луча вектор E образует с оптической осью прямой угол; скорость обыкновенной световой волны будет одинаковой для всех направлений ее распространения и равной Vo = c/no. Если изобразить скорости обыкновенного луча в виде отрезков, отложенных из точки O по разным направлениям, геометрическое место концов этих отрезков образует сферическую поверхность. Следовательно, волновая поверхность порождаемых точечным источником света обыкновенных волн — сферическая.

§ 42 ] Двойное лучепреломление 199

Сечение сферической волновой поверхности плоскостью чертежа (см. рис. 152) — окружность, которая обозначена буквой o. Такая же как на рис. 152 картина для обыкновенных лучей наблюдается в любом главном сечении.

Колебания светового вектора в необыкновенном луче происходят в главном сечении кристалла. Для разных по направлению необыкновенных лучей направления колебаний вектора E образуют с оптической осью разные углы. Так например, в идущем вдоль оптической оси необыкновенном луче, обозначенном O1 на рис. 152, вектор E перпендикулярен к оптической оси, поэтому скорость необыкновенной волны в указанном направлении совпадает со скоростью Vo обыкновенной волны. В перпендикулярном к оптической оси необыкновенном луче, обозначенном O2 на том же рисунке, вектор E оказывается параллельным оптической оси, поэтому скорость волны в указанном направлении равна Ve = c/ne и не совпадает со скоростью обыкновенной волны. В частности, для положительного кристалла Ve < Vo, что соответствует рис. 152. Для необыкновенных лучей других направлений, кроме O1 и O2, фазовая скорость имеет промежуточные между Vo и Ve значения. Если изобразить скорость необыкновенного луча в виде отрезков, отложенных из точки O по разным направлениям, геометрическое место концов этих отрезков будет эллипсоидом вращения, ось которого совпадает с оптической осью кристалла. Следовательно, волновая поверхность порождаемых точечным источником света необыкновенных волн — эллипсоид. Сечение эллипсоида плоскостью чертежа (см. рис. 152) — эллипс, обозначенный буквой e. Такая же, как на рис. 152, картина для необыкновенных лучей наблюдается в любом главном сечении.

Поскольку скорости обыкновенного и необыкновенного лучей, распространяющихся из точки O вдоль оптической оси кристалла, одинаковы, в местах пересечения с оптической осью волновые поверхности необыкновенных и обыкновенных лучей — эллипсоид и сфера — соприкасаются.

Примеры двойного лучепреломления. П р и м е р 1. Пусть на поверхность кристалла нормально падает естественная световая волна (рис. 153); оптическая ось кристалла лежит в плоскости чертежа, образуя угол с преломляющей поверхностью кристалла; таким образом, плоскость чертежа — это главное сечение кристалла. Падающий на кристалл естественный свет представим как совокупность волн, поляризованных в двух взаимно перпендикулярных плоскостях: в одной волне световой вектор лежит в плоскости чертежа, так что внутри кристалла эта волна является необыкновенной и ей соответствуют необыкновенные лучи; в другой волне колебания светового вектора происходят в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, так что внутри кристалла эта волна является обыкновенной, ей соответствуют обыкновенные лучи. Ход лучей в кристалле можно опреде-

иθ2 — углы падения и преломления. Противоречие не возникает, если под θ1 и θ2 понимать углы между нормалью к поверхности раздела сред

иволновыми векторами падающей и преломленной волн. При нормаль-

ном падении света на поверхность кристалла (θ1 = 0) волновые векторы преломленных волн, как обыкновенной ko, так и необыкновенной ke, остаются перпендикулярными преломляющей поверхности, то есть для обоих лучей — обыкновенного и необыкновенного — угол преломления необходимо считать равным нулю, θ2 = 0.

Пр и м е р 2. Пусть оптическая ось кристалла параллельна его преломляющей поверхности (рис. 154). На кристаллическую пластинку толщиной d, вырезанную параллельно оптической оси кристалла, нормально падает плоскополяризованная волна, которую можно

Поверхность кристалла

Рис. 154

представить как совокупность двух когерентных волн одинаковой фазы (синфазных), поляризованных в двух взаимно перпендикулярных плоскостях: направление колебаний светового вектора одной из волн лежит в плоскости чертежа (обозначено двусторонними стрелками) и принадлежит главному сечению кристалла, этой волне соответствует распространяющийся в кристалле необыкновенный луч; в другой волне направление колебаний светового вектора перпендикулярно плоскости чертежа (обозначено точками), второй волне соответствует распространяющийся в кристалле обыкновенный луч. Как видно из основанного на принципе Гюйгенса построения, обыкновенный и необыкновенный лучи идут по одному и тому же направлению, но распространяются с разной скоростью. Если в момент падения света на преломляющую поверхность кристалла поляризованные в двух взаимно перпендикулярных плоскостях волны обладали одинаковой фазой, то при выходе из кристаллической пластинки между волнами, соответствующими необыкновенному и обыкновенному лучу, возникает разность фаз δ:

2π

δ = k(ne − no)d = λ0 (ne − no)d,

где d — пройденный волнами в кристалле путь (толщина кристаллической пластинки); ne и no — показатели преломления для необыкновенного и обыкновенного лучей; (ne − no)d — оптическая разность хода необыкновенного и обыкновенного лучей; k — волновое число, λ0 — длина волны в вакууме. В частности, если δ = π/2, то на выходе из