§ 3. Вынужденные колебания. Резонанс

самоиндукции с-и, а также зависимость от времени внешнего напряжения U в выражение закона Ома для участка цепи 1–2:

Учтем связь между силой тока I и зарядом конденсатора q: I = = dq/dt и, выполнив преобразования, получим из (3.1) уравнение вынужденных колебаний:

q¨ + RL q˙ + LC1 q = ULm cos ωt.

Это уравнение можно представить в следующей форме:

где q˙ и q¨ — первая и вторая производные по времени величины заряда

собственная частота контура.

Как следует из теории линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (3.2) имеет вид

q = qm0e−βt cos (ω t + δ) + qm cos (ωt − ψ).

Здесь первое слагаемое представляет собой затухающее колебание

с частотой ω = ω02 − β2 , начальной амплитудой qm0 и начальной

фазой δ (qm0 и δ можно определить из начальных условий). Второе слагаемое — это вынужденное колебание с циклической частотой ω, равной частоте приложенного напряжения, и амплитудой qm. Вынужденное колебание заряда q отстает по фазе от колебания приложенного напряжения U на величину ψ. Амплитуда вынужденного колебания qm равна

ω02 − ω2 2 + 4β2ω2

Разность фаз колебаний заряда q и внешнего напряжения U определяется выражением

По истечении достаточно продолжительного времени амплитуда затухающего колебания qm0e−βt станет малой по сравнению с амплитудой qm вынужденного колебания, так что слагаемым, соответствующим затухающему колебанию, в решении уравнения вынужденных колебаний можно пренебречь. В этих условиях решение уравнения (3.2) имеет вид

где величины qm и ψ определяются формулами (3.3) и (3.4).

20 Электрические колебания [ Гл. I

Приведенные здесь выражения для qm и tg ψ (3.3) и (3.4) аналогичны формулам для амплитуды колебаний координаты тела и тангенса разности фаз колебаний внешней силы и координаты тела при вынужденных механических колебаниях, см. кн. 1 «Механика», § 46, настоящего курса.

Обычно на практике с помощью амперметра и вольтметра измеряют силу тока и напряжение в различных участках цепи, а не величину заряда конденсатора. Получим выражения для силы тока I и напряжений на конденсаторе UC , катушке UL и сопротивлении UR. Кроме того, при описании вынужденных колебаний чаще используют параметр ϕ — разность фаз колебаний приложенного напряжения U и тока I в контуре, а не величину ψ, равную разности фаз колебаний приложенного

где Im = qmω — амплитуда тока, ϕ = ψ − π/2 — разность фаз колебаний поданного на вход колебательного контура внешнего напряжения U = Um cos ωt и тока I в контуре.

Амплитуда тока в контуре, выраженная через собственную частоту ω0 и коэффициент затухания β, равна

Формула (3.7) получена путем умножения правой части равенства (3.3) на ω.

Выражение для амплитуды тока Im в контуре через параметры цепи R, L и C имеет вид

Формула (3.8) получена подстановкой в формулу (3.7) выражений

Разность фаз ϕ внешнего напряжения и тока определяется через

Таким образом, тангенс разности фаз ϕ колебаний поданного на вход контура напряжения U = Um cos ωt и силы тока в контуре

22 Электрические колебания [ Гл. I

откуда получаем

dI d

UL = ϕнач − ϕкон = − с-и = L dt = L dt [Im cos (ωt − ϕ)] =

где ULm — амплитуда колебаний напряжения на катушке (амплитуда напряжения).

Амплитуда напряжения на катушке, выраженная через амплитуду тока Im, равна

Как следует из (3.15) с учетом (3.7), амплитуда напряжения на катушке, выраженная через собственную частоту контура ω0 и коэффициент затухания β, имеет вид

тока в цепи (3.6) на величину π/2.

Напряжение на сопротивлении R. Падение напряжения UR на участке колебательного контура, содержащего сопротивление R, равно, согласно закону Ома, произведению силы тока (3.6) на сопротивление R:

Амплитуда напряжения на сопротивлении, выраженная через амплитуду тока, равна

Колебания напряжения на сопротивлении (3.18) совпадают по фазе с колебаниями тока (3.6).

Амплитудные и фазовые резонансные кривые. Явление резонанса. Амплитудными резонансными кривыми называют графики зависимости от частоты ω амплитуды тока Im и амплитуды напряжения на конденсаторе UCm. Фазовая резонансная кривая — это

§ 3 ] Вынужденные колебания. Резонанс 23

график зависимости от частоты ω разности фаз ϕ между колебаниями внешнего напряжения U и тока I в колебательном контуре.

Зависимость амплитуды UCm напряжения на конденсаторе от ча-

Как видно из (3.20), частота ωmax отличается от собственной частоты контура ω0, однако это отличие не велико в условиях слабого затухания, когда β ω0.

Из формулы (3.11) видно, что если частота внешнего напряжения ω стремиться к нулю, амплитуда напряжения на конденсаторе становится равной амплитуде внешнего напряжения:

UCm(ω = 0) = Um.

Зависимость амплитуды тока Im от частоты ω поданного на вход колебательного контура напряжения U = Um cos ωt описывается выражениями (3.7) и (3.8) и представ-

венства (3.8). В результате найдем, что амплитуда тока в цепи является максимальной, если частота внешнего напряжения ω совпадает с соб-