166 |
|
Дифракция света |
[ Гл. VI |
||
|
|
§ 36. Многолучевая интерференция |
|||
|
Рассмотрим интерференцию волн, излучаемых несколькими точеч- |
||||
ными когерентными источниками света — многолучевую интерферен- |
|||||
цию. |
|
|
|
|
|
|
Пусть в однородной изотропной среде с ε = μ = 1 всего имеется |
||||
N расположенных вдоль одной прямой когерентных источников све- |
|||||
та, колебания которых происходят с одинаковой фазой ωt, где ω — |
|||||
циклическая частота. Расстояние между соседними источниками рав- |
|||||
но d. Определим интенсивность излучения в точке наблюдения P , |
|||||
которая находится на большом удалении от источников, так что все |
|||||
лучи, идущие от источников в точку P , можно считать практически |
|||||
параллельными один другому. Амплитуды волн от всех источников |
|||||
в точке P также будем полагать приблизительно одинаковыми. Угол |
|||||
между |
нормалью к линии, |
вдоль |
которой расположены источники, |
||
и направление от любого источника на точку P |
обозначим через θ |
||||
|
|
|
|
(рис. 123). Считаем положи- |
|
N |
|
|
|
тельным направление отсчета |
|
|
|
|
|
угла θ по часовой стрелке. |
|
3 |
|
|
|
Если расстояние от первого |
|
2 |
|
|
источника до точки P обозна- |
||
|
|
|
|||
d |
|
|
|
чить через r1, то расстояние до |
|
1 |
|
|
точки P от источника с поряд- |
||
|
|
|
|||
|
|
|
P |
ковым номером i 1 равно |
|
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 123 |
|
ri = r1 |
+ (i − 1)d sin θ, |
|
|
|
|
||
где d sin θ — оптическая разность хода лучей от двух соседних источни- |
|||||
ков до точки P . Каждый источник с порядковым номером i порождает |
|||||
вточке P колебание светового вектора Ei, которое можно представить
вследующем виде:
E1 = A1 cos (ωt − kr1),
E2 = A1 cos (ωt − kr1 − kd sin θ), E3 = A1 cos (ωt − kr1 − 2kd sin θ),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (36.1)
Ei = A1 cos [ωt − kr1 − (i − 1)kd sin θ],
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EN = A1 cos [ωt − kr1 − (N − 1)kd sin θ],
где A1 — амплитуда колебания, возбужденного в точке P волной от одного источника и одинаковая для всех источников.
Результирующее колебание E светового вектора в точке P равно
сумме всех колебаний (36.1): |
|
E = E1 + E2 + E3 + ... + Ei + ... + EN . |
(36.2) |
§ 36 ] Многолучевая интерференция 167
Для вычисления суммы (36.2) воспользуемся методом векторных диаграмм. Все складываемые колебания имеют одинаковую амплитуду A1; разность фаз колебаний, порожденных двумя соседними
источниками, |
составляет вели- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
чину |
kd sin θ. Поэтому |
век- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тор |
каждого |
колебания |
име- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ет длину A1 и повернут на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
угол |
|
δ = kd sin θ против |
часо- |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вой стрелки (как это приня- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то в оптике) по отношению к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вектору |
предыдущего колеба- |
|
|
2 N |
|
C |
|
|
||||||||||||
ния (рис. 124). Векторная диа- |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
грамма суммы колебаний (36.2) |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
представляет |
собой часть |
пра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
A1 |
|||||||||
вильного N -угольника, стороны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
которого — векторы складывае- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
мых колебаний. Длина стороны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
правильного N -угольника |
рав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
O |
D |
|
|
|||||||||||||||
на A1. Результирующее колеба- |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ние |
E в |
точке P изображает- |
|
|
|
|
|
|
Рис. 124 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся на диаграмме вектором OB, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
длина которого обозначена буквой A. Из простых геометрических со- |
||||||||||||||||||||
ображений ясно, что амплитуда A результирующего колебания равна: |
||||||||||||||||||||
|
|
# |
|
|
2π − N δ |
|
OD |
|
|
2π |
− N δ |
|
|
|
|
|
||||
A = |
OB = 2(OC) sin |
= 2 |
sin |
= |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
sin(δ/2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= 2 |
A1 |
sin |
2π − N δ |
= A1 |
sin(N δ/2) |
. (36.3) |
||||||||||
|
|
|
|
sin(δ/2) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 sin(δ/2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Интенсивность света в точке P пропорциональна квадрату амплитуды A колебаний светового вектора (см. (19.2)) и представляется в
виде |
|
|
|
|
|
I = I1 |
sin2(N δ/2) |
= I1 |
sin2[(N kd sin θ)/2] |
, |
(36.4) |
sin2(δ/2) |
|
||||
|
|
sin2[(kd sin θ)/2] |
|
||
где I1 — интенсивность световой волны, пришедшей в точку P от каждого из N источников и пропорциональная квадрату амплитуды A1. Как следует из (36.4), результирующая интенсивность I света в той или иной точке P интерференционной картины зависит от угла θ, определяющего направление наблюдения. Отметим, что интенсивность I1 света каждого из источников также может зависеть от направления излучения (то есть I1 является функцией θ).
График зависимости I(sin θ) (36.4) представлен на рис. 125. На нем имеются резко выраженные максимумы функции I(sin θ) — так называемые главные интерференционные максимумы интенсивности, между которыми располагаются минимумы (I = 0) и промежуточные
168 |
Дифракция света |
[ Гл. VI |
максимумы. Положения главных максимумов определяются из условия равенства нулю знаменателя в выражении (36.4):
sin |
kd sin θ |
= 0, |
|
||
|
|
||||
2 |
|
|
|
||
|
kd sin θ |
= mπ, |
|
||
2 |
|
||||
|
|
|
|||
или |
|
|
|
||
d sin θ = mλ, m = 0, ±1, ±2, ... |
(36.5) |
||||
Целое число m называется порядком главного интерференционного максимума.
Итак, углы θ = θmax, определяющие направления на главные максимумы интенсивности в интерференционной картине от N когерентных источников света, должны удовлетворять условию:
λ
sin θmax = m d ,
где m — целое число.
Отметим, что условие (36.5) по форме совпадает с условием (24.10) наблюдения максимума интенсивности при интерференции волн от двух когерентных источников света, расположенных на расстоянии d
Рис. 125
друг от друга. Это совпадение не является случайным. Действительно, если при наложении волн от каждой пары расположенных рядом источников наблюдается возрастание интенсивности света (интерференционный максимум), то интенсивность результирующей волны от всех источников также максимальна.
Найдем значение интенсивности света в главном максимуме нулевого порядка (m = 0), который называется центральным максимумом. Направлению на центральный максимум соответствует угол θmax = 0 и значение разности фаз складываемых колебаний, равное нулю δ = = kd sin θmax = 0. Зависимость интенсивности I от величины δ дает выражение (36.4). Вычислим искомую интенсивность центрального
§ 37 ] Дифракционная решетка 169
максимума как предел функции I(δ) при стремлении δ к нулю:
I |
|
= I |
|
lim |
sin2(N δ/2) |
|
≈ |
I |
|
(N δ/2)2 |
= N 2I |
. |
(36.6) |
|
|
|
1 (δ/2)2 |
||||||||||
|
max |
|
1 |
δ→0 sin2(δ/2) |
|
1 |
|
|
|||||
В силу периодичности функции I(sin θ) интенсивность света в главном максимуме любого порядка m равна интенсивности света в центральном максимуме и находится по формуле (36.6). Интенсивность света в главном максимуме в N 2 раз превышает интенсивность света I1 от одного отдельно взятого источника.
Оценим угловую полуширину δθ центрального максимума, то есть угловое расстояние между направлением на центральный максимум (θmax = 0) и направлением на первый (ближайший к центральному максимуму) минимум интенсивности (θ = θmin):
δθ = θmin − θmax = θmin.
Положение указанного минимума определяется из условия обращения в ноль числителя в выражении (36.4):
sin N kd sin θmin = 0,
2
N kd sin θmin = π,
2
λ
sin θmin = N d .
При малых углах θmin синус приблизительно равен самому углу, выраженному в радианах. Поэтому угловая полуширина центрального максимума, обозначаемая через δθ, равна
λ
δθ = θmin ≈ sin θmin = N d . (36.7)
Угловая полуширина главных интерференционных максимумов порядка m > 1 приближенно может рассчитываться по формуле (36.7) для центрального максимума с m = 1.
§ 37. Дифракционная решетка
Дифракционная решетка представляет собой совокупность большого количества одинаковых, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга длинных щелей в непрозрачном экране. Периодом решетки называется расстояние между серединами соседних щелей (обозначается через d). Дифракция света, прошедшего через решетку, — это дифракция Фраунгофера.
На рис. 126 представлена одна из возможных схем проведения дифракционного опыта с использованием решетки. Плоская световая волна падает на решетку по нормали к ее поверхности. За решеткой на
170 Дифракция света [ Гл. VI
большом удалении располагается экран для наблюдения дифракционной картины. Если расстояние между решеткой и экраном недостаточно велико для наблюдения ди-
|
|
фракции Фраунгофера, меж- |
|
|
|
ду решеткой и экраном поме- |
|
|
|
щают собирающую линзу, ко- |
|
|
|
||
|
|
торая сводит на экране лу- |
|
|
|
чи, пересекающиеся в отсут- |
|
|
|
ствие линзы на бесконечно- |
|
|
|
||
|
|
сти. Тем самым обеспечивают- |
|
Рис. 126 |
ся условия для возникновения |
||
дифракции Фраунгофера. |
|||
|
|
||
Пусть период решетки равен d, ширина каждой щели b, число щелей N . Определим угловое распределение интенсивности света после
прохождения решетки. Решим задачу в два |
|
|
|
|
|
этапа. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим сначала одну отдельно рас- |
|
|
|
|
|
положенную в непрозрачном экране щель |
|
|
|
||
|
b |
|
|
||
|
|
||||
шириной b, на которую падает плоская |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
световая волна (рис. 127). Обозначим че- |
|
|
|
|
|
рез I1(θ) интенсивность света, испускае- |
|
|
|
|
Рис. 127 |
мого поверхностью щели в направлении, |
|
|
|
|
|
составляющем угол θ с нормалью к поверх- |
|
|
|
|
|
ности щели. Согласно результатам § 34 (см. (34.2)) при наблюдении дифракции Фраунгофера от щели интенсивность света в направлении, определяемом углом θ, равна:
|
|
|
|
|
I1 |
(θ) = I0 sin2[(kb sin θ)/22] , |
(37.1) |
|
|
|
|
|
|
[(kb sin θ)/2] |
|
где I0 — интенсивность света в направлении нормали к поверхности |
|||||||
|
|
|
|
|
|
щели (θ = 0). |
|
|
|
|
N |
|
|
Пусть теперь свет |
пада- |
b |
|
|
|
|
ет на решетку, состоящую из |
||
|
|
|
|
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
N одинаковых щелей. Щели |
||
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
||||||
d |
|
|
|
|
|
можно рассматривать |
как N |
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
P когерентных источников све- |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
та, расположенных на рас- |
|
|
|
|
|
|
Рис. 128 |
стоянии d друг от друга |
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 128). В соответствии с |
|
формулой (36.4) интенсивность I(θ) результирующей световой волны, возникающей в результате наложения волн от N источников, в направлении, составляющем угол θ с нормалью к линии расположения
§ 37 ] Дифракционная решетка 171
источников, равна:
I(θ) = I1 |
(θ) sin2[(N kd sin θ)/2] , |
(37.2) |
|
sin2[(kd sin θ)/2] |
|
где I1 — интенсивность света одного отдельно взятого источника в заданном направлении.
Подставив выражение для I1(θ) из формулы (37.1) в (37.2), получим
I(θ) = I0 sin2[(kb sin θ)/2] |
sin2[(N kd sin θ)/2] |
. |
(37.3) |
|
|||
[(kb sin θ)/2]2 sin2[(kd sin θ)/2] |
|
||
Согласно полученной формуле (37.3) дифракционная картина, возникающая при прохождении света через решетку, представляет собой наложение двух картин: дифракции Фраунгофера от щели и интерференционной картины, возникающей при наложении волн от N когерентных источников (рис. 129).
Рис. 129
Перечислим основные особенности дифракционной картины от решетки.
1. Углы θ, определяющие направления на главные интерференционные максимумы, удовлетворяют условию, аналогичному (36.5):
d sin θ = mλ, m = 0, ±1, ±2, ... , |
(37.4) |
где m — порядок максимума.
2. Угловая полуширина главного максимума в соответствии с (36.7) равна:
δθ ≈ Nλd . |
(37.5) |
3. Интенсивность света Imax(θ) в главном максимуме решетки в N 2 раз превышает интенсивность I1(θ) света, испускаемого одной отдельно расположенной щелью (см. (36.6)):
Imax(θ) = N 2I1(θ). |
(37.6) |