24 Электрические колебания [ Гл. I

ственной частотой контура ω0:

Резонансом называется явление, когда при некоторой определенной частоте ω внешнего переменного напряжения U амплитуда тока Im в колебательном контуре достигает максимального значения. Соответствующая частота ω называется резонансной частотой ωрез.

Согласно данному определению и с учетом соотношения (3.21) явление резонанса в последовательном колебательном контуре возникает при частоте внешнего напряжения, равной

ωрез = ωmax = ω0 = √ 1 .

LC

Амплитуда тока при резонансе вычисляется по формуле (3.22). Зависимость от частоты ω тангенса разности фаз ϕ между внешним

напряжением U и током I в контуре описывается выражением (3.9).

Таким образом, важной чертой явления резонанса в колебательном контуре является следующая: при резонансе разность фаз ϕ колебаний поданного на вход контура напряжения U и силы тока I в контуре равна нулю.

§ 4. Векторная диаграмма напряжений

Запишем закон Ома (3.1) для последовательного колебательного контура (см. рис. 8) в следующей форме:

где UR = IR — падение напряжения на активном сопротивлении кон-

тура, UC = Cq —напряжение на конденсаторе, UL = L dIdt — напряжение

на катушке. Равенство (4.1) означает, что в каждый рассматриваемый момент времени сумма напряжений на отдельных элементах контура равна внешнему приложенному напряжению U . Подставив в (4.1) выражения для UR, UC и UL из формул (3.18), (3.10) с учетом (3.13), (3.14) с учетом (3.15), получим

ImR cos (ωt − ϕ) + ωCIm cos ωt − ϕ − π2 + ImωL cos ωt − ϕ + π2 =

= Um cos ωt. (4.2)

Первое слагаемое в левой части полученного уравнения — это колебание напряжения UR на сопротивлении R, второе слагаемое — колебание напряжения UC на конденсаторе, третье слагаемое — колебание напряжения UL на катушке индуктивности. Правая часть уравнения (4.2) представляет собой колебание поданного на вход контура внешнего напряжения U .

Наглядную геометрическую интерпретацию равенств (4.1) и (4.2) позволяет получить метод векторных диаграмм (рис. 12). Каждому колебанию в левой части (4.2) можно поставить в соответствие вектор, длина которого пропорциональна амплитуде колебания; угол между любыми двумя векторами равен разности фаз соответствующих колебаний.

Колебание тока в контуре описывается выражением (3.6): I = = Im cos (ωt − ϕ). Отложим вектор колебания тока длины Im вдоль горизонтальной оси, которая называется

ние напряжения UL на катушке опере-

жает по фазе на π/2 колебание тока. Вектор длины ULm колебания напряжения на катушке индуктивности повернут на угол π/2 против часовой стрелки по отношению к горизонтальной оси тока. Cумма векторов колебаний UR, UC и UL равна вектору колебаний внешнего напряжения U , длина которого равна амплитуде Um.

Сдвиг по фазе ϕ между колебаниями внешнего напряжения U и тока I имеет наглядную интерпретацию на диаграмме. Он равен углу

между осью тока и вектором колебания внешнего напряжения U . Из диаграммы следует, что тангенс угла ϕ равен

Это выражение совпадает с полученной выше формулой (3.9).

Векторная диаграмма колебаний в условиях резонанса представ-

√

лена на рис. 13. При резонансе, когда ω = ω0 = 1/ LC , амплитуды напряжений на конденсаторе UCm и на катушке индуктивности ULm, вычисляемые по формулам (3.13) и (3.15), равны друг другу:

Соответственно векторы колебаний напряжения на конденсаторе и напряжения на катушке индуктивности, угол между которыми равен π, имеют одинаковую длину: UCm = ULm. Сумма указанных векторов равна нулю. В этих условиях внешнее напряжение U равно падению напряжения UR на сопротивлении R, а векторы колебаний внешнего

(разность фаз равна π). Соответствующие векторы колебаний равны по длине и противоположны по направлению. В связи с этим явление резонанса в последовательном контуре называют резонансом напряжений.

§ 5. Связь добротности с формой резонансных кривых

Предположим, что величина коэффициента затухания β последовательного колебательного контура (см. рис. 8) мала:

график зависимости амплитуды напряжения UCm на конденсаторе, включенном в последовательный колебательный контур, от частоты ω напряжения, поданного на вход контура (см. рис. 9).

Относительная высота максимума амплитудной резонансной кривой. Если выполнено условие β ω0, то частота ωmax, при кото-

рой функция UCm(ω) достигает наибольшего значения, приблизительно равна собственной частоте контура ω0:

ωmax = ω02 − 2β2 ≈ ω0.

В соответствии с (3.11) значение функции UCm(ω) в точке максимума при ω = ωmax ≈ ω0, равно

него напряжения U = Um cos ωt величина UCm(ω) становится равной амплитуде внешнего напряжения Um:

UCm(ω = 0) = Um.

Вычислим отношение значений функции UCm(ω) в двух точках — в точке максимума при ω ≈ ω0 и в точке ω = 0:

Из полученного равенства следует, что добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда напряжения на конденсаторе UCm(ω) в условиях резонанса (ω = ωmax ≈ ω0) превышает величину напряжения на конденсаторе при ω ≈ 0 (см. рис. 9). Добротность контура Q характеризует относительную высоту максимума амплитудной резонансной кривой.

Если частота ω внешнего напряжения U = Um cos ωt близка к нулю, ω ≈ 0, то на вход колебательного контура подается практически постоянное напряжение величины Um. Такое же напряжение возникает при этом и на обкладках конденсатора: UCm(0) = Um. Если же частота ω внешнего напряжения становится близкой к резонансной ω ≈ ω0, то напряжение на конденсаторе UCm(ω0), согласно (5.4), возрастает приблизительно в Q раз. Таким образом, добротность Q позволяет оценить, во сколько раз за счет явления резонанса в колебательном

контуре можно увеличить амплитуду поданного на вход контура напряжения Um.

Ширина амплитудной резонансной кривой. Оценим ширину

ω амплитудной резонансной кривой. Пусть ω — это диапазон частот

колебаний внешнего напряжения U , границам которого соответству-

√

ют значения напряжения на конденсаторе UCm(ω) в 2 раз меньше

резонансного. Иначе говоря, ω — ширина амплитудной резонансной

√

кривой на такой ее высоте, где значения функции UCm(ω) в 2 раз меньше ее максимального значения UCm max (рис. 14).

√ Частота ω, при которой амплитуда напряжения на конденсаторе в 2 раз меньше максимального резонансного значения, должна удовле-

творять условию

Используя формулу (3.11) и учитывая, что при резонансе ω = ωрез = = ωmax ≈ ω0, получим

Сделаем предположение о том, что резонансная кривая является достаточно узкой. Это означает, что величина |ω0 − ω| мала по сравне-

нию с ω0:

вой части неравенства (5.8) берется по модулю, поскольку удовлетворяющая уравнению (5.4) частота ω может быть больше или меньше ω0 (рис. 14).

С учетом (5.8) сомножитель в правой части (5.6) можно предста-

вить в виде: (2ω02 − ω2) = (ω02 + ω02 − ω2) ≈ ω02, а само равенство (5.6) преобразовать следующим образом: