36 |
Электрические колебания |
[ Гл. I |
трической цепи с сопротивлением R, эффективное значение напряжения Uэф определяется из соотношения
|
Uэф2 |
|
U (t)2 |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|||
|
|
|
ср |
|
1 |
|
(t)2 |
|
||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
U |
dt, |
(6.22) |
|
|
R |
|
R |
T |
R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
2 |
= |
|
U (t)2dt. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
эф |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где T — период колебаний напряжения. Соотношение (6.22) подразумевает равенство на участке цепи с сопротивлением R мощности постоянного тока, выраженного через напряжение Uэф, и средней мощности переменного тока, вычисляемой через напряжение U (t). В случае синусоидального напряжения из (6.22) вытекает определенное выше формулой (6.20) эффективное значение напряжения.
§ 7. Вынужденные колебания в параллельном контуре
Рассмотрим вынужденные колебания в так называемом параллельном колебательном контуре, одна из возможных схем которого представлена на рис. 24. В этой схеме конден-
|
|
I0 |
|
|
|
|
|
сатор емкости C подключен параллельно с |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
последовательно соединенными между со- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бой катушкой индуктивности L и активным |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сопротивлением R. На вход контура пода- |
|
I2 |
|
|
|
|
I1 |
но переменное напряжение U = Um cos ωt. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
Обозначим силу тока в подводящих прово- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U ~ |
|
|
C |
|
|
|
|
дах через I0; силу тока на участке цепи, со- |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
держащем конденсатор, через I1; силу тока |
Rна участке цепи, содержащем катушку ин-
дуктивности, через I2. Найдем, чему равны амплитуды и фазы токов I0, I1, I2 и полное
сопротивление рассматриваемой цепи. Применим к каждому из двух парал-
лельно включенных участков рассматриваемой цепи — участку, в состав которого входит только конденсатор C и по которому течет ток силой I1, и
участку, в состав которого входят катушка индуктивности L и сопротивление R и по которому течет ток силой I2, — формулы (6.2) и (6.3), позволяющие вычислить амплитуду тока и разность фаз колебаний внешнего напряжения и тока.
Участок, содержащий катушку индуктивности L и сопротивление R, можно рассматривать как последовательный контур, в котором отсутствует конденсатор (электроемкость бесконечно велика,
§ 7 ] Вынужденные колебания в параллельном контуре 37
1/Cуч = 0), на вход которого подано переменное |
напряжение U = |
|||
= Um cos ωt. С учетом (6.2) и (6.3) получаем: |
|
|||
I2 = |
|
Um |
cos (ωt − ϕ), |
(7.1) |
|
|
|||
|
R2 + ω2L2 |
|||
|
по фазе от внешнего напряжения на величи- |
|||
Причем ток I2 отстает |
|
|
||
ну ϕ, определяемую равенством |
|
|
||
|
|
tg ϕ = |
ωL . |
(7.2) |
|
|
|
R |
|
Участок, содержащий только конденсатор C, можно рассматривать как последовательный контур, активное сопротивление и индуктивность которого равны нулю, на вход которого подано переменное на-
пряжение U = Um cos ωt. С учетом (6.2) и |
(6.3) для этого |
участка |
||
получаем |
π |
|
|
|
I1 = UmωC cos ωt + |
. |
(7.3) |
||
2 |
||||
Здесь учтено, что разность фаз ϕ между поданным на вход участка |
||
напряжением U и током I1 в соответствии с (6.3) составляет величину |
||
(−π/2), то есть колебания тока I1 опережают |
|
|
по фазе колебания внешнего напряжения U |
|
|
на π/2. |
|
|
Ток I0 в подводящих проводах равен сумме |
|
|
токов I1 и I2, определяемых по формулам (7.1) |
|
|
и (7.3). Для вычисления I0 сложим колебания |
|
|
(7.1) и (7.3) с помощью векторной диаграммы |
|
|
токов (рис. 25). |
|
|
По горизонтальной оси отложим вектор дли- |
|
|
ны Um колебания внешнего напряжения U = |
|
|
= Um cos ωt, которое одинаково для обоих рас- |
|
|
сматриваемых участков. Поскольку ток I1 опе- |
|
|
режает по фазе на π/2 напряжение U (см. (7.3)), |
|
|
вектор колебания тока I1, имеющий длину |
|
|
/ |
|
|
Im1 = UmωC, повернут на угол π 2 против ча- |
|
|
совой стрелки относительно вектора Um. По- |
Рис. 25 |
|
скольку ток I2 отстает по фазе от напряжения |
||
|
||
U на величину ϕ, определяемую выражением |
|
|
(7.2), вектор колебания тока I2, имеющий длину Im2 = |
|
|
Um |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
R2 + ω2L2 |
|||
повернут на угол ϕ по часовой стрелке относительно |
вектора |
Um. |
||||
|
|
|||||
Из диаграммы следует, что вектор колебания тока I0 в подводящих проводах составляет с вектором колебания внешнего напряжения U = = Um cos ωt некоторый угол ϕ0, численно равный разности фаз колебаний тока I0 и напряжения U.
Резонанс в параллельном колебательном контуре представляет собой явление, когда при некоторой определенной частоте ωрез поданного на вход контура напряжения U = Um cos ωt разность фаз ϕ0
38 Электрические колебания [ Гл. I
колебаний напряжения U и тока I0 в подводящих проводах равна нулю. Таким образом, в условиях резонанса контур обладает только активным сопротивлением.
Резонанс в параллельном контуре характеризуется следующими
особенностями. В условиях резонанса амплитуда тока Iрез 0 |
в подво- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
дящих проводах принимает наименьшее значе- |
||||||
|
|
|
|
|
ние по сравнению с амплитудой этого тока I0 |
|||||||
m |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
при любых значениях частоты ω, отличных от |
||||||
|
|
|
|
|
|
резонансной. Соответственно, полное сопротив- |
||||||
|
|
|
|
|
|
ление параллельного контура в условиях резо- |
||||||
|
|
|
|
|
|
нанса Zрез максимально. Указанные особенно- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
m |
|
|
сти будут проиллюстрированы ниже на примере |
||||||
|
|
|
|
|
резонанса в идеальном параллельном контуре, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
m |
то есть при условии R = 0. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Найдем резонансную частоту контура, по- |
||||||
|
|
|
|
|
|
казанного на рис. 24. При резонансе угол ϕ0 |
||||||
|
|
|
m |
|
|
между векторами колебаний тока I0 |
и напря- |
|||||
|
|
|
|
|
жения U по определению равен нулю. Соответ- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Рис. 26 |
|
|
ствующая векторная диаграмма представлена на |
|||||||
|
|
|
|
|
|
рис. 26. Из рисунка видно, что в условиях ре- |
||||||
зонанса угол ϕ (разность фаз колебаний напряжения U и тока I2) |
||||||||||||
удовлетворяет условию |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Im1 |
|
Um ωC |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
sin ϕ = |
|
= Um |
|
|
= ωC R2 + ω2L2 . |
(7.4) |
|||
|
|
|
Im2 |
|
||||||||
|
|
|
R2 + ω2L2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, величину sin ϕ можно выразить через величину tg ϕ, определяемую выражением (7.2):
sin ϕ = |
|
tg ϕ |
|
= |
|
|
ωL |
(7.5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 + tg2ϕ |
|
R2 + ω2L2 |
||||||||||||
Приравняем правые части равенств (7.4) и (7.5): |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωL |
|
||||
ωC R2 + ω2L2 |
= |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
R2 + ω2L2 |
|
|
||||||||||||
Решив полученное уравнение относительно ω, найдем резонансную частоту параллельного контура:
1 |
|
R2 |
|
||
ωрез = |
|
− |
|
. |
(7.6) |
LC |
L2 |
||||
Если активное сопротивление R достаточно мало (R L/C), то, как следует из (7.6), резонансная частота параллельного контура приблизительно равна
1 |
|
||
ωрез ≈ ω0 = |
√ |
|
, |
LC |
|||
§ 7 ] Вынужденные колебания в параллельном контуре 39
то есть совпадает с собственной частотой ω0 последовательного колебательного контура.
Из векторной диаграммы на рис. 26 следует, что амплитуда тока
Im0 в подводящих проводах в условиях резонанса равна |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Im0 = Im2 cos ϕ. |
|
|
|
|
|
|
|
(7.7) |
|||||||||
Выразим cos ϕ через tg ϕ с помощью выражения (7.2): |
|
||||||||||||||||||||
cos ϕ = |
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
R |
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 + tg2 ϕ |
|
R2 + ω2L2 |
|
|||||||||||||||||
Подставив в равенство (7.7) |
|
сначала полученное выражение для |
|||||||||||||||||||
cos ϕ и амплитуду тока Im2 = |
|
|
Um |
|
|
из (7.1), а затем значение |
|||||||||||||||
|
|
R2 + ω2L2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
резонансной частоты ωрез из |
(7.6), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Im0 рез = |
|
|
Um |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
= |
|
|
UmR |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
R2 + ω2L2 |
|
|
ω2L2 |
m |
|
|
+ ω L |
|
||||||||||||
|
|
|
|
R2 + |
|
R |
|
|
|||||||||||||
|
Im0 рез = |
|
|
UmR |
= |
U R |
. |
|
|
|
(7.8) |
||||||||||
|
R2 + ωрез2 L2 |
|
L |
|
|
|
|||||||||||||||
Равенство (7.8) позволяет вычислить величину тока в подводящих проводах параллельного контура в условиях резонанса.
Рассматривая формально равенство (7.8) как закон Ома, связывающий между собой амплитуды тока в подводящих проводах Im0 рез и приложенного к контуру напряжения Um, найдем полное сопротивление параллельного контура при резонансе:
Zрез = |
Um |
= |
L |
. |
(7.9) |
|
|
||||
|
Im0 |
RC |
|
||
Как указывалось выше, в условиях резонанса в параллельном контуре разность фаз колебаний внешнего напряжения U и тока I0 в подводящих проводах равна нулю: ϕ0 = 0 (см. рисунки 25 и 26), то есть контур обладает только активным сопротивлением. Теперь величина этого сопротивления Zрез найдена, оно вычисляется с помощью формулы (7.9). Интересно отметить, что полное сопротивление Zрез, которое представляет собой чисто активное сопротивление, не равно омическому сопротивлению R контура.
Резонанс в идеальном параллельном контуре. Рассмотрим резонанс в идеальном параллельном контуре, то есть в контуре, активное сопротивление которого равно нулю: R = 0.
В этом случае в соответствии с (7.6) резонансная частота равна:
ωрез = √ 1 .
LC