14 Электрические колебания [ Гл. I

мальному значению энергии тока в катушке LIm2 /2, где Im = qmω0. Действительно, имеет место равенство

§ 2. Затухающие колебания

Всякий реально существующий колебательный контур обладает омическим сопротивлением. Вследствие этого энергия электрических колебаний постепенно переходит в тепло,

расположенного между точками контура с потенциалами ϕ1 и ϕ2 и содержащего катушку индуктивности L и сопротивление R, можно написать: dI

IR = ϕ1 − ϕ2 − L dt ,

где слагаемое −L dIdt представляет собой величину ЭДС самоиндукции, действующей в контуре.

Из теории дифференциальных уравнений следует, что в зависимости от соотношения между параметрами β и ω0 существуют три типа решений уравнения (2.1).

1. Если β < ω0, то зависимость от времени t заряда q на обкладках

где величина a(t) = qm0e−βt называется амплитудой затухающих колебаний, qm0 — начальной амплитудой. В отличие от гармонических

§ 2 ] Затухающие колебания 15

колебаний, амплитуда затухающих колебаний зависит от времени — она уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону.

она не совпадает с собственной частотой контура ω0.

Периодом затухающих колебаний по определению называется ве-

ψ заключено в пределах от π/2 до π. Следовательно, при наличии затухания сила тока I опережает по фазе напряжение на конденсаторе UC более, чем на π/2 (при гармонических колебаниях опережение составляет ровно π/2).

Величины, характеризующие затухание. Коэффициент затухания β = 2RL (R — омическое сопротивление контура, L — индук-

тивность катушки), согласно (2.2), определяет скорость уменьшения амплитуды колебаний a(t).

По определению время жизни колебаний τ — это промежуток, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз:

a(t)

a(t + τ )

= e.

Подставив выражение для амплитуды a(t), получим

Логарифмическим декрементом затухания λ называется натуральный логарифм отношения амплитуд затухающего колебания в моменты времени, разделенные промежутком в один период T :

Пусть Ne — количество колебаний за промежуток времени, в течение которого их амплитуда уменьшается в e раз. Поскольку время одного колебания — это период T , а промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз, составляет τ ,

Добротностью Q электрического колебательного контура называется умноженное на число π количество колебаний за время, в течение которого их амплитуда уменьшается в раз:

каждое из двух указанных слагаемых пропорционально квадрату ам-

плитуды затухающих колебаний a(t)2 = qm2 0e−2βt (см. формулы (2.2) и (2.6)). Приближенно зависимость энергии затухающих колебаний от времени можно представить в следующем виде:

где W0 — энергия колебаний в момент времени t = 0. Прологарифмируем уравнение (2.7) и найдем дифференциалы от

другу модули обеих частей уравнения (2.8) и заменив дифференциалы конечными приращениями (|dW| на | WT |, dt на T ), получим

Равенство (2.9) означает, что с точностью до коэффициента 2π добротность контура Q равна отношению энергии затухающих колебаний W к величине убыли этой энергии | WT | за один период T . Таким образом, добротность позволяет грубо оценить число периодов колебаний, в течение которых практически вся энергия колебаний превращается в теплоту.

Наконец, рассмотрим два других решения уравнения (2.1), которые описывают апериодическое (не колебательное) приближение системы к равновесию после того, как она была выведена из равновесного состояния.

2. Если коэффициент затухания β превышает собственную частоту контура ω0, то есть β > ω0, то решение уравнения (2.1) имеет вид

рицательными числами, а функция q(t) представляет собой сумму убывающих экспонент. При этом величина q заряда конденсатора с

значения которых можно определить из начальных условий. Если β = = ω0, то поведение колебательного контура называют критическим режимом, а параметр β — критическим значением коэффициента