§ 20 ] Формулы Френеля. Закон Брюстера 93

Законы отражения (19.9) и преломления (19.10) доказаны.

Явление полного внутреннего отражения. Рассмотрим световую волну, которая переходит из среды с показателем преломления n1 в среду с показателем преломления n2, причем n1 > n2 (рис. 57). При указанном соотношении абсолютных показателей преломления принято говорить, что первая среда является оптически более плотной, чем вторая.

Предельным углом полного внутреннего отражения θпред называется такой угол падения, для которого угол преломления равен 90 ◦.

При углах падения, превышающих предельный угол, световая вол-

на проникает во вторую среду лишь на расстояния порядка длины волны λ и возвращается в первую среду. В этом случае преломленный луч во второй среде не распространяется. Это явление называется полным внутренним отражением. Явление полного внутреннего отражения можно наблюдать только при переходе света из оптически более плотной в оптически менее плотную среду.

§ 20. Формулы Френеля. Закон Брюстера

Формулы Френеля. Снова обозначим через n1 и n2 абсолютные показатели преломления двух однородных изотропных прозрачных диэлектрических сред, имеющих плоскую поверхность раздела. Плоская световая волна переходит из первой среды во вторую, при этом углы падения и отражения равны θ1, а угол преломления θ2. Установим соотношения между амплитудами колебаний светового вектора в падающей, отраженной и преломленной волнах.

Ниже будет показано, что как естественный, так и поляризованный свет может быть представлен как наложение (суперпозиция) световых волн, поляризованный в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Учитывая это обстоятельство, достаточно рассмотреть закономерности отражения и преломления света на поверхности раздела диэлектриков только для двух типов волн: 1) волна, в которой колебания светового вектора происходят в плоскости падения; 2) волна, в которой направление колебаний светового вектора перпендикулярно плоскости падения.

С л у ч а й 1 (плоскость колебаний светового вектора совпадает с плоскостью падения). На рис. 58 изображены в некоторый момент

верхности раздела диэлектриков, их тангенциальные компоненты Hτ , Hτ , Hτ равны модулям H, H , H соответствующих векторов, что и отражено во втором уравнении системы (I).

Подставим в первое уравнение системы (I) вытекающие из чертежа на рис. 58 соотношения:

Eτ = E cos θ1, Eτ = −E cos θ1, Eτ = E cos θ2,

где E, E и E — модули векторов E, E и E соответственно. Учитывая связь (19.1) между амплитудами электрической и маг-

нитной составляющей электромагнитной волны, подставим во второе уравнение системы (I) следующие выражения:

Воспользовавшись законом преломления света (19.10), заменим показатель преломления n2 через: n2 = n1sin θ1/sin θ2.

В результате выполненных подстановок и преобразований системы (I) получим

E cos θ1 − E cos θ1 = E cos θ2,

E sin θ2 + E sin θ2 = E sin θ1.

Отсюда найдем соотношения между модулями векторов E, E , E :

Поскольку в рассматриваемом случае векторы E, E и E параллельны поверхности раздела диэлектриков, их

тангенциальные компоненты Eτ , Eτ иEτ совпадают с модулями E, E и E соответствующих векторов, что учтено при записи первого уравнения системы (II).

Подставим во второе уравнение системы (II) соотношения:

Hτ = H cos θ1, Hτ = −H cos θ1, Hτ = H cos θ2,

которые вытекают из чертежа рис. 59.

После замены напряженности магнитного поля через напряженность электрического поля:

и подстановки показателя преломления n2

sin θ1 n2 = n1 sin θ2 ,

система (II) будет иметь следующий вид:

E + E = E ,

E sin θ2 cos θ1 − E sin θ2 cos θ1 = E sin θ1 cos θ2.

Выразив отсюда E и E через E, найдем соотношения между модулями (а также и амплитудами) световых векторов в падающей,

96 Введение в оптику [ Гл. IV

отраженной и преломленной волнах на поверхности раздела диэлектриков:

Соотношения (20.1)–(20.4) называются формулами Френеля (1788–1827).

Формулы Френеля не только устанавливают связь между модулями световых векторов в падающей, отраженной и преломленной волнах на границе двух сред, но и содержат информацию о фазовых соотношениях этих волн.

Рассмотрим в качестве примера формулу (20.1). Пусть световая волна, вектор E в которой лежит в плоскости падения, переходит из оптически менее плотной среды с показателем n1 в оптически более плотную среду c показателем n2 (n1 < n2), причем падение света на поверхность раздела почти нормальное. В этих условиях углы θ1 и

Если модуль светового вектора падающей волны E — наперед заданная положительная величина, то, как следует из равенства (20.5) с учетом соотношения n2 − n1 > 0, модуль светового вектора отраженной волны E — также положительная величина. Таким образом, определенные с помощью формул Френеля знаки величин E и E не противоречат исходному предположению о том, как направлены векторы E и E (иначе говоря, направления изображенных на рис. 58 векторов E и E были выбраны правильно).

Как видно из рис. 58, при стремлении угла падения θ1 к нулю векторы E и E направлены навстречу друг другу, что означает скачкообразное изменение фазы электромагнитной волны на величину π при ее отражении.

Итак, из формул Френеля, в частности, следует: при отражении света под малыми углами от оптически более плотной среды фаза волны скачком меняется на величину π. Это утверждение будет использоваться в дальнейшем.

98 Введение в оптику [ Гл. IV

Для доказательства утверждения проведем тождественные преобразования и воспользуемся определением (20.7):

π

π − (θБр + θ2) = 2 .

Последнее равенство означает, что угол между отраженным и преломленным лучами прямой (см. рис. 60).

Закон Брюстера состоит в следующем. Если угол падения неполяризованного света на плоскую поверхность раздела двух диэлектриков равен углу Брюстера, то отраженная световая волна является плоско поляризованной: плоскость колебаний светового вектора в ней перпендикулярна плоскости падения. Если угол падения отличен

световой вектор параллелен плоскости падения, учитывая при этом, что при падении под углом Брюстера выполняется соотношение (20.10) для углов падения θБр и преломления θ2:

Из (20.11) следует, что амплитуда светового вектора E в отраженной волне равна нулю, иначе говоря, отраженной волны в этом случае просто не существует, свет, преломляясь, полностью переходит во вторую среду.