9.2. Критерій крайнього оптимізму (кращий із кращих)

Якщо дана матриця виграшів, тоді формально критерій оптимізму буде виглядати так:

H_{o =} max_i max_j a_ij

H_o= max_i α_i

α_{i =} max_j a_ij

Відповідно до критерію крайнього оптимізму, якщо розглядається матриця виграшів гравця А, то найкращим рішенням буде те, для якого виграш виявиться максимальним із усіх максимальних, при різних варіантах умов.

Для матриці збитків:

H_{o =} min_i min_j a_ij

H_{o =} min_i β_i

β_{i =} min_j a_ij

Приклад 3

Для матриці прибутку

	Р1	Р2	Р3	αi
А1	5	2	1	5
А2	7	5	1	7
А3	2	9	4	9

Одержимо Н_о = max_i max_j a = 9, отже, слід вибрати стратегію А .

Приклад 4

Для матриці збитків

	Р1	Р2	Р3	βi
А1	5	8	9	5
А2	7	5	1	1
А3	1	9	4	1

Одержимо Н_о = min_i min_j a = 1, виходить отже, слід вибрати стратегію Н_о = 1, слід вибирати стратегію А чи А .

9.3. Мінімаксний критерій Севіджа

У загальному випадку втрати прибутку р_ij визначаються, як різниця між максимальним виграшем і виграшем щодо конкретного рішення за даної обстановки.

p_ij = max_i a_ij - a_ij

Відповідно до критерію Севіджа, перевагу слід віддавати рішенню, для якого втрати максимальні за різних варіантів умов виявляються мінімальними.

H_{s =} min_i max_j p_ij

H_{s =} min_i α_i

α_{i =} max_j p_ij

де p_ij- втрати, що відповідають і-тому ішенню, при j - тому варіанті обстановки.

Якщо як вихідні дані розглядається матриця програшів (збитків), то для розрахунку за критерієм Севіджа потрібно побудувати матрицю ризику.

Ризиком називається різниця між мінімальним програшем, який сплатив би статистик, знаючи ситуацію Р_i і фактичним програшем при рішенні А_і.

r_ij = a_ij – min_i a_ij

Критерій мінімального ризику Севіджа рекомендує вибирати стратегію, при якій величина ризику набирає найменше значення у найнесприятливішій ситуації, тобто min_i max_j; r_ij

H_{s =} min_i max_j r_ij

H_{s =} min_i β_i

β_{i =} max_j r_ij

Приклад 5

Знайти оптимальне рішення, скориставшись критерієм Севіджа, якщо відома матриця прибутку:

5	3	1
6	4	8
2	9	6

Розв'язання:

Побудуємо спочатку матрицю прибутку. Далі знайдемо максимальні елементи в кожному стовпці:

	Р1	Р2	Р3
А1	5	3	1
А2	6	4	8
А3	2	9	6
maxі	6	9	8

Тепер побудуємо матрицю втрат: p_ij = max_i a_ij - a_ij.

Тоді:

			maxj
6-5=1	9-3=6	8-1=7	7
6-6=0	9-4=5	8-8=0	5
6-2=4	9-9=0	8-6=2	4

Відповідно до критерію Севіджа, перевагу слід надавати рішенню, для якого втрати, максимальні за різних варіантів умов, виявляються мінімальними.

Тоді Н_s = min (7, 5, 4) = 4 - найбільш сприятлива стратегія Р₃ => А₃. Вибір рішення А₃ гарантує, що у випадку несприятливої обстановки, утрати не перевищать 4 одиниці.

Приклад 6

Знайти оптимальне рішення, скориставшись критерієм Севіджа, якщо відома матриця збитків:

2	4	9
1	7	2
8	9	1

Розв'язання:

Побудуємо спочатку матрицю збитків. Знайдемо мінімальні елементи в кожному стовпці:

	Р1	Р2	Р3
А1	2	4	9
А2	1	7	2
А3	8	9	1
minі	1	4	1

Оскільки як вихідні дані розглядається матриця програшів, то для розрахунку за критерієм Севіджа потрібно побудувати матрицю ризику:

_{rij = a ij- mini aij}

			maxj
2-1=1	4-4=0	9-1=8	8
1-1=0	7-4=3	2-1=1	3
8-1=7	9-4=5	1-1=0	7

За критерієм мінімального ризику Севіджа потрібно вибрати стратегію, при якій величина ризику набирає найменше значення в найбільш несприятливій ситуації, тобто min_i max_j r_ij. Н_s = 3, що відповідає стратегії А_2.