Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

å ®â¨ç¥áª¨¥, ª®«¥¡ ­¨ï. ⥬ â¨ç¥áª ï ¬®¤¥«ì 楯¨ ã

( z = ;qy

£¤¥ x y z { ¡¥§à §¬¥à­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥, ¯à®¯®à樮­ «ì­ë¥ ­ -

¯à殮­¨ï¬ ­ ¥¬ª®áâïå ¨ ⮪ã ç¥à¥§ ¨­¤ãªâ¨¢­®áâì\

f(x) = M0x + 0 5(M1 ; M0)(jx + 1j ; jx ; 1j). ਠp = 9 q = 14 286 M1 = ;1=7 M0 = 2=7 âà ¥ªâ®à¨¨ á¨á⥬ë (13.29) ¤¥- ¬®­áâà¨àãîâ å ®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥.

ਬ¥à 2. §­®®¡à §­ë¥ å ®â¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ­¨ï ¬®¦­® £¥­¥à¨à®¢ âì, ¯®¤ ¢ ï £ ମ­¨ç¥áª¨© ᨣ­ « ­ ¢å®¤ ­¥«¨-

­¥©­ëå ®á樫«ïâ®à®¢, ­ ¯à¨¬¥à, § ¬¥­ïï ­®«ì ¢ ¯à ¢ëå ç - áâïå ãà ¢­¥­¨© (13.23){(13.26) ᨭãᮨ¤ «ì­®© ä㭪樥©

ਠ­¥ª®â®àëå §­ 祭¨ïå ç áâ®âë ¨ ¬¯«¨âã¤ë ¢®§¡ã¦¤¥­¨ï ¯à®¨á室¨â "à §¬ §ë¢ ­¨¥" ¯à¥¤¥«ì­®£® 横« ¨ ª®«¥¡ ­¨ï ¢ ­¥«¨­¥©­®© á¨á⥬¥ áâ ­®¢ïâáï å ®â¨ç¥áª¨¬¨.

«ï ¤¨áªà¥â­®£® ¢à¥¬¥­¨ ¯à¨¬¥àë å ®â¨ç¥áª¨å á¨á⥬ áã- é¥áâ¢ãîâ ¤«ï «î¡®© à §¬¥à­®á⨠á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë, ¤ ¦¥

£¤¥ ç¥à¥§ fAg ®¡®§­ ç ¥âáï ¤à®¡­ ï ç áâì ¢¥é¥á⢥­­®£® ç¨- á« A, ï¥âáï å ®â¨ç¥áª®© ¯à¨ «î¡®¬ M > 1. ¨á⥬

(13.32) ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï £¥­¥à 樨 ¯á¥¢¤®á«ãç ©­ëå ç¨á¥« { ¢®§¬®¦­®, ¯¥à¢®£® ¯à ªâ¨ç¥áª®£® ¯à¨¬¥­¥­¨ï å ®á .â® ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ®á­®¢ ­® ­ ⮬, çâ® ¯à¨ «î¡®¬ ­ ç «ì­®¬ ãá«®¢¨¨ x0, ­¥á®¨§¬¥à¨¬®¬ á M, ¤®«ï â®ç¥ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì- ­®á⨠(13.32), ¯®¯ ¢è¨å ¢ ­¥ª®â®àë© ¨­â¥à¢ «, «¥¦ 騩 ¢ ®â-

372

१ª¥ [0 1] ¯à®¯®à樮­ «ì­ ¤«¨­¥ í⮣® ¨­â¥à¢ « [92]. - ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ç áâ®âã ¯®¯ ¤ ­¨ï â®ç¥ª ¢ ¨­â¥à¢ « áç¨- â âì ®æ¥­ª®© ­¥ª®â®à®© ¢¥à®ïâ­®áâ¨, ⮠ᮢ®ªã¯­®áâì â ª¨å ¢¥à®ïâ­®á⥩ ¡ã¤¥â § ¤ ¢ âì à ¢­®¬¥à­®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ­ [0 1].

13.3.3.à¨â¥à¨¨ å ®â¨ç­®áâ¨

¡à ⨬áï ⥯¥àì ª ªà¨â¥à¨ï¬ å ®â¨ç­®áâ¨.

ª 㦥 ¡ë«® ᪠§ ­®, ®á­®¢­ë¬ ªà¨â¥à¨¥¬ å ®â¨ç­®á⨠ï¥âáï «®ª «ì­ ï ­¥ãá⮩稢®áâì, â.¥. à §¡¥£ ­¨¥ ¡«¨§ª¨å ¢­ ç «¥ âà ¥ªâ®à¨©. ®®â¢¥âá⢥­­®, ®á­®¢­®© å à ªâ¥à¨- á⨪®© å ®â¨ç­®á⨠ï¥âáï ᪮à®áâì à §¡¥£ ­¨ï, ®¯à¥¤¥- «ï¥¬ ï â ª ­ §ë¢ ¥¬ë¬ áâ à訬 ¯®ª § ⥫¥¬ ï¯ã­®¢ .

®ª § в¥«¨ п¯г­®¢ ®¯а¥¤¥«повбп ¤«п § ¤ ­­®© "®¯®а- ­®©" ва ¥ªв®а¨¨ x(t) á¨á⥬ë (13.27) á ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ x(0) = x0. «ï í⮣® á®áâ ¢«ï¥âáï ãà ¢­¥­¨¥ ¢ ¢ ਠæ¨ïå (á¨á⥬ , «¨­¥ ਧ®¢ ­­ ï ¢¡«¨§¨ x(t))

(13.27) (¬ âà¨æ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ®â ¯à ¢ëå ç á⥩), ¢ë-

ç¨á«¥­­ ï ¢¤®«ì à¥è¥­¨ï x(t). ।¯®« £ ¥âáï, çâ® ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ®â F (x) áãé¥áâ¢ãîâ, â.¥. ¯à ¢ë¥ ç á⨠(13.27) - £« ¤ª¨¥ ä㭪樨. ¤ ¢ ­ ç «ì­®¥ ®âª«®­¥­¨¥ z = x(0), ¬®¦­® ¢ëç¨á«¨âì ¢¥«¨ç¨­ã

­¨© (13.33) ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ z ¨ ­ §ë¢ ¥¬ãî å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥-

᪨¬ ¯®ª § ⥫¥¬ («ï¯ã­®¢áª®© íªá¯®­¥­â®©) ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ z [34, 65, 68].

é¥ . . ï¯ã­®¢ ¯®ª § «, çâ® ¯à¨ ­¥¡®«ìè¨å ¤®¯®«­¨- ⥫ì­ëå ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ïå ¯à¥¤¥« ¢ (13.34) áãé¥áâ¢ã¥â, ª®­¥- 祭 ¤«ï «î¡®£® z 2 Rn ¨ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ­ ç «ì­®£® ¢ë¡®à â®çª¨ x0 ­ âà ¥ªâ®à¨¨ x(t). ®«¥¥ ⮣®, ç¨á«® à §«¨ç­ëå å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ¯®ª § ⥫¥© ª®­¥ç­®, ¨å ¬®¦­® ¯à®­ã- ¬¥à®¢ âì ¢ ¯®à浪¥ ã¡ë¢ ­¨ï: 1 2 ::: n ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡ §¨á zi 2 Rn i = 1 ::: n, ¤«ï ª®â®à®£® (x0 zi) = i i = 1 ::: n.

373

â®à ï¥âáï áâà ­­ë¬. ਠí⮬ ¢¥«¨ç¨­ 1 å à ªâ¥à¨§ã- ¥â á⥯¥­ì ­¥ãá⮩稢®áâ¨, ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, { á⥯¥­ì íªá- ¯®­¥­æ¨ «ì­®© çã¢á⢨⥫쭮á⨠ª ­ ç «ì­ë¬ ¤ ­­ë¬. «ï «¨­¥©­®© á¨á⥬ë á ¯®áâ®ï­­®© ¬ âà¨æ¥© x = Ax ¨ ­ã«¥¢®-

á।­¥¥ ¯à ¢ëå ç á⥩ (13.35) ¯à¨ à §­ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®- ¢¨ïå x0, ¢§ïâëå ­ âà ¥ªâ®à¨¨ x(t). ®£¤ t ­¥®¡ï§ ⥫쭮 ¡à âì ®ç¥­ì ¡®«ì訬 [68].

®ª § ⥫¨ ï¯ã­®¢ å à ªâ¥à¨§ãî⠯ண­®§¨à㥬®áâì âà ¥ªâ®à¨© á¨á⥬ë. ¥©á⢨⥫쭮, âà ¥ªâ®à¨ï x(t) ¯- ¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ç¥à¥§ ¢à¥¬ï T ¤à㣮© âà ¥ªâ®à¨¥© á ¯®£à¥è- ­®áâìî , ¥á«¨

T 1 ln (13.36)

1

£¤¥ { ­ ç «ì­ ï ¯®£à¥è­®áâì. «¥¤®¢ ⥫쭮, å ®â¨ç¥áªãî âà ¥ªâ®à¨î ¬®¦­® á¯à®£­®§¨à®¢ âì á § ¤ ­­®© â®ç­®áâìî ­ ­¥ª®â®à®¥ ¢à¥¬ï ¢¯¥à¥¤. â® ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­® ®â«¨ç ¥â å ®- â¨ç¥áª¨¥ á¨áâ¥¬ë ª ª ¬®¤¥«¨ ­¥®¯à¥¤¥«¥­­®á⨠®â áâ®å áâ¨- ç¥áª¨å á¨á⥬, ¢ ª®â®àëå ®è¨¡ª ¯à®£­®§ ¬®¦¥â, ¢®®¡é¥

£®¢®àï, ¯à¨­¨¬ âì ᪮«ì 㣮¤­® ¡®«ì訥 §­ 祭¨ï ¤ ¦¥ ¯à¨ ᪮«ì 㣮¤­® ¬ «®¬ £®à¨§®­â¥ (¢à¥¬¥­¨ ¯à®£­®§ ).

à㣮© ¢ ¦­®© å à ªâ¥à¨á⨪®© å ®â¨ç¥áª®© á¨á⥬ë ï- ¥âáï äà ªâ «ì­ ï à §¬¥à­®áâì ââà ªâ®à , å à ªâ¥à¨§ãî-

( ᫨ ¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â® ¢ (13.37) ¡¥à¥âáï ­¨¦­¨© ¯à¥- ¤¥« { ­ ¨¬¥­ì訩 ¨§ ç áâ­ëå ¯à¥¤¥«®¢ ¯® ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì- ­®áâï¬). ®¦­® ¯®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® df > 0 â ª®¥,

çâ® ( d) = +1 ¯à¨ d < df ( d) = 0 ¯à¨ d > df . â® ç¨á«® ­ §ë¢ ¥âáï äà ªâ «ì­®© à §¬¥à­®áâìî ¨«¨ ¥¬ª®áâìî ¬­®¦¥-

®¦­® ¯®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ¬­®¦¥á⢮ ¥áâì â®çª , £« ¤- ª ï ªà¨¢ ï ¨«¨ ¤¢ã¬¥à­ ï ¯®¢¥àå­®áâì, â® df ¡ã¤¥â à ¢­

0, 1 ¨«¨ 2, ᮮ⢥âá⢥­­®. ¤­ ª® ¥áâì ¬­®¦¥á⢠, ã ª®â®- àëå df { ¤à®¡­ ï ¢¥«¨ç¨­ . ª¨¥ ¬­®¦¥á⢠¡ë«¨ ­ §¢ ­ë. ­¤¥«ì¡à®â®¬ äà ªâ «ì­ë¬¨, ¨«¨ äà ªâ « ¬¨. à¨-

­ë ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ १ã«ìâ âë, ã⢥ত î騥, çâ® ¬­®¦¥-

á⢮ á äà ªâ «ì­®© à §¬¥à­®áâìî df ¬®¦¥â ¡ëâì à §¬¥é¥­® ¡¥§ á ¬®¯¥à¥á¥ç¥­¨© ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥, ¨¬¥î饬 à §¬¥à­®áâì ­¥ ¢ëè¥, 祬 2df + 1. ᫨ ¦¥ à §à¥è¨âì á - ¬®¯¥à¥á¥ç¥­¨ï, â® à §¬¥à­®áâì ®¡ê¥¬«î饣® ¯à®áâà ­á⢠¬®¦¥â ¡ëâì á­¨¦¥­ ¤® df + 1. ⨠१ã«ìâ âë ¢ ¦­ë ¯à¨ ¯®áâ஥­¨¨ ¬®¤¥«¨ á¨áâ¥¬ë ¯® íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¬ ¤ ­­ë¬\

®­¨ ®§­ ç îâ, çâ® ¯®¢¥¤¥­¨¥ âà ¥ªâ®à¨© ­ ââà ªâ®à¥, ¨¬¥- î饬 äà ªâ «ì­ãî à §¬¥à­®áâì df ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯¨á ­® ¬®- ¤¥«ìî ¢ ¯à®áâà ­á⢥ á®áâ®ï­¨© á à §¬¥à­®áâìî, ­¥ ¯à¥¢ë- è î饩 2df + 1. ®«¥¥ ¯®¤à®¡­® ® à §«¨ç­ëå ¢¨¤ å äà ª- â «ì­®© à §¬¥à­®á⨠¨ ® ᯮᮡ å ¥¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï ¬®¦­® ¯à®- ç¥áâì ¢ [65, 68].

375

13.3.4.ਬ¥­¥­¨ï å ®â¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥©

áâ ­®¢¨¬áï ­ ®¡« áâïå ¯à¨¬¥­¥­¨ï å ®â¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥©.§ ¯à¥¤ë¤ã饣® ïá­®, çâ® å ®â¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ á«¥¤ã¥â

¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ®¯¨á ­¨ï ­¥¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ⥫ì­ëå ¯à®æ¥áᮢ á ­¥¯®áâ®ï­­ë¬¨, ¬¥­ïî騬¨áï å à ªâ¥à¨á⨪ - ¬¨ (­ ¯à¨¬¥à, ç áâ®â®© ¨ ä §®©). ãé¥áâ¢ãî騥 ¬¥â®¤ë ¯®§¢®«ïî⠮業¨¢ âì í⨠å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯® १ã«ìâ â ¬ ¨§- ¬¥à¥­¨©. ਠí⮬ â ª ï ¢¥«¨ç¨­ , ª ª ç áâ®â ª®«¥¡ ­¨ï, áâ ­®¢¨âáï "­¥ç¥âª®©" ¨ ãáâ㯠¥â ¬¥á⮠ᯥªâàã, ª®â®àë©

ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬. ¢®¤ïâáï ­®¢ë¥ ¢ ¦­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë:

áâ à訩 «ï¯ã­®¢áª¨© ¯®ª § ⥫ì (á⥯¥­ì ­¥ãá⮩稢®áâ¨), å à ªâ¥à¨§ãî騩 ᪮à®áâì à §¡¥£ ­¨ï âà ¥ªâ®à¨© ¨, á«¥¤®- ¢ ⥫쭮, ¢à¥¬ï ¯à®£­®§¨à㥬®á⨠¯à®æ¥áá \ äà ªâ «ì­ ï à §¬¥à­®áâì, å à ªâ¥à¨§ãîé ï "¯®à¨áâ®áâì" ª«ã¡ª âà ¥ª- â®à¨©. ¦­®, çâ® ¨§¢¥áâ­ë¥ å ®â¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¨¬¥îâ ­¥-

¡®«ì讥 ç¨á«® ¯ à ¬¥â஢, ¯à®æ¥ááë ¢ ­¨å ®¡« ¤ îâ ¬ -

«®© (­¥бª®«мª® ¥¤¨­¨ж) да ªв «м­®© а §¬¥а­®бвмо. в® ¯®- ¢ли ¥в ­ ¤¥¦­®бвм ¨ ¯а®£­®§¨агойго б¨«г ¬®¤¥«¥©. ¥а¥- з¨б«¨¬ ­¥ª®в®ал¥ ¨§ г¦¥ ¨§¢¥бв­ле ¯а¨¬¥­¥­¨© е ®в¨з¥бª¨е ¬®¤¥«¥©.

1. ¯¨á ­¨¥ ­¥à¥£ã«ïà­®£® ¯®¢¥¤¥­¨ï ॠ«ì­ëå á¨-

á⥬. ᥣ®¤­ïè­¨© ¤¥­ì ¨§¢¥á⥭ æ¥«ë© àï¤ à¥ «ì­ëå 䨧¨ç¥áª¨å ãáâனá⢠¨ ¯à®æ¥áᮢ, ¯à®ï¢«ïîé¨å ¯à¨ ­¥ª®- â®àëå ãá«®¢¨ïå å ®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥. ਢ¥¤¥¬ ­¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢ [61, 65, 68, 85]:

{£ §®¢ë¥ ¨«¨ ¯®«ã¯à®¢®¤­¨ª®¢ë¥ « §¥àë ¢ â ª ­ §ë¢ ¥- ¬ëå ¬­®£®¬®¤®¢ëå ०¨¬ å \

{¬¥å ­¨ç¥áª¨¥ á¨á⥬ë, á®áâ®ï騥 ¨§ ­¥áª®«ìª¨å á¢ï§ ­-

­ëå ®á樫«ïâ®à®¢ (­ ¯à¨¬¥à, ¬ ïâ­¨ª®¢), â ª¦¥ á¨á⥬ë á ã¤ à ¬¨ ¨ «îäâ ¬¨\

{ í«¥ªâà®­­ë¥ á奬ë á ªâ¨¢­ë¬¨ í«¥¬¥­â ¬¨, ­ ¯à¨- ¬¥à ¯®«ã¯à®¢®¤­¨ª®¢ë¬¨ ¯à¨¡®à ¬¨ á ®âà¨æ ⥫ì­ë¬ ¤¨ä-

ä¥à¥­æ¨ «ì­ë¬ ᮯà®â¨¢«¥­¨¥¬ (â ª¨¬¨, ª ª âã­­¥«ì­ë¥ ¤¨- ®¤ë, ¤¨®¤ë ­­ ¨ â.¯.)\

{娬¨ç¥áª¨¥ ¨ 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª¨¥ ॠªæ¨¨ á ­¥«¨­¥©­®© ª¨­¥â¨ª®© (­ ¯à¨¬¥à, â ª ­ §ë¢ ¥¬ ï ॠªæ¨ï ¥«®ãᮢ {

¡®â¨­áª®£®

{¢à¥¬¥­­ë¥ àï¤ë ¢ íª®­®¬¨ª¥ ¨ 䨭 ­á å (­ ¯à¨¬¥à,

¡¨§­¥á-横«ë, æ¥­ë ­ ªæ¨¨, ®¡¬¥­­ë¥ ªãàáë ¢ «îâ [133]).¬¥â¨¬, çâ® ¢ íª®­®¬¨ç¥áª¨å ¨ 䨭 ­á®¢ëå ¯à¨«®¦¥­¨ïå

376

å ®â¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¢ ¯®á«¥¤­¨¥ £®¤ë ¯®â¥á­¨«¨ âà ¤¨æ¨®­- ­ë¥ ¤«ï íâ¨å ®¡« á⥩ áâ®å áâ¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨.

2. ¥­¥à æ¨ï ­¥à¥£ã«ïà­ëå ᨣ­ «®¢. ® ¬­®£¨å â¥å- ­¨ç¥áª¨å á¨á⥬ å ¢®§­¨ª ¥â ­¥®¡å®¤¨¬®áâì ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ¯á¥¢¤®á«ãç ©­ëå ç¨á¥« ¨ ᨣ­ «®¢ [92]. ª ç¥á⢥ £¥­¥à â®- ஢ ¯á¥¢¤®á«ãç ©­ëå ç¨á¥« ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì å ®â¨ç¥áª¨¥ á¨á⥬ë.

à®á⥩訩 ¯®¤å®¤ ª ¯®áâ஥­¨î å ®â¨ç¥áª¨å £¥­¥à â®- ஢ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¡¥à¥âáï ¤¨­ ¬¨ç¥áª ï á¨á⥬ , ®¯¨áë-

¢ ¥¬ ï ®¤­®© ¨§ ⨯®¢ëå å ®â¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥©, ¨ ¯® ¢­¥è­¥- ¬ã ¢¨¤ã âà ¥ªâ®à¨© ¢ë¡¨à ¥âáï â , ¢ ª®â®à®© ª ç¥á⢥­­ë© å à ªâ¥à ª®«¥¡ ­¨© ­ ¨¡®«¥¥ ¡«¨§®ª ª ¦¥« ¥¬®¬ã. ®á«¥ í⮣® ¯ã⥬ ¯®¤¡®à ¯ à ¬¥â஢ ¬®¤¥«¥© ãáâ ­ ¢«¨¢ îâáï ¦¥« ¥¬ë¥ ª ç¥á⢥­­ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ª®«¥¡ ­¨© ( ¬¯«¨- â㤠, ᯥªâà ¨ â.¤.). ᯮ«ì§®¢ ­¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪ å ®â¨ç¥- ᪮© ¤¨­ ¬¨ª¨ (¯®ª § ⥫¥© ï¯ã­®¢ , äà ªâ «ì­ëå à §¬¥à- ­®á⥩ ¨ â.¯.) ¯®§¢®«ï¥â § ¤ ¢ âì ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ ᢮©á⢠è㬮¢ ¨ ¯®¬¥å ¯à¨ ¨å £¥­¥à 樨. ¬¥â¨¬, çâ® "­ £« §" ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ­¨ï á ¡®«ì訬 ç¨á«®¬ á®áâ ¢«ï- îé¨å £ ମ­¨ª ¨ å ®â¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ­¨ï ¡ë¢ ¥â âà㤭® à §-

«¨ç¨âì. â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ª ª ¨ ¯à¨ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¨ ­¥à¥£ã- «ïà­ëå ¯à®æ¥áᮢ, ¬ « ï à §¬¥à­®áâì ¨ ¬ «®¥ ç¨á«® ¯ à ¬¥- â஢ å ®â¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥© ¤ îâ ¨¬ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ ¯à¥¨¬ã-

¢«¥­¨¥ ¨¬¨. ¢®©á⢥­­®áâì ¯à¨à®¤ë å ®â¨ç¥áª¨å á¨á⥬ (¤¥â¥à¬¨­¨à®¢ ­­ë¥ á¨á⥬ë á å ®â¨ç¥áª¨¬ ¯®¢¥¤¥­¨¥¬) ¯à¨- ¢®¤¨â ª ­®¢ë¬ ­¥®¦¨¤ ­­ë¬ ¨å ¯à¨¬¥­¥­¨ï¬. ¯à¨¬¥à, ¯®- ª § ­® [156, 159, 181], çâ® ¤¢¥ å ®â¨ç¥áª¨¥ á¨áâ¥¬ë ¬®¦­® § - áâ ¢¨âì ª®«¥¡ âìáï ᨭåà®­­® (¢ ®¤­®© ä §¥), ¥á«¨ ¯®¤ ¢ âì ­ ®¤­ã ¨«¨ ­ ®¡¥ á¨á⥬ë ᨣ­ « ®¡à â­®© á¢ï§¨ ¯® ®è¨¡- ª¥ à áᮣ« ᮢ ­¨ï. ᯮ«ì§®¢ ­¨¥ í⮣® íä䥪⠢ â¥å­¨ª¥ á¢ï§¨ ¯®§¢®«ï¥â ¯à¨¬¥­ïâì å ®â¨ç¥áª¨© ­¥áã騩 ᨣ­ « ¢¬¥- áâ® ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®£®, çâ® ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì ¤ ¥â ¢®§¬®¦­®áâì ¯®¢ëá¨âì ­ ¤¥¦­®áâì ¨ áªàëâ­®áâì ¯à®æ¥áá ¯¥à¥¤ ç¨ á®®¡- 饭¨©. ®¤à®¡­¥¥ § ¤ ç ã¯à ¢«ï¥¬®© ᨭåà®­¨§ 樨 à á- ᬮâ७ ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥, (á¬. â ª¦¥ [135, 153]).

⬥⨬, ç⮠ᨭåà®­¨§ æ¨ï { íâ® «¨èì ®¤¨­ (å®âï ¨ ¢¥áì- ¬ ¢ ¦­ë©) ª« áá § ¤ ç ã¯à ¢«¥­¨ï å ®â¨ç¥áª¨¬¨ ª®«¥¡ ­¨-

377

ﬨ. ।áâ ¢«ïîâ â ª¦¥ ¨­â¥à¥á § ¤ ç¨, £¤¥ 楫ìî ã¯à ¢- «¥­¨ï ï¥âáï ¤®á⨦¥­¨¥ § ¤ ­­®£® §­ 祭¨ï ª ª®©-«¨¡® å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯à®æ¥áá : í­¥à£¨¨, í­âய¨¨, äà ªâ «ì­®© à §¬¥à­®á⨠¨ â.¤. ¤àã£¨å § ¤ ç å 楫ìî ï¥âáï ¨§¬¥- ­¥­¨¥ å à ªâ¥à ª®«¥¡ ­¨© (¬®¤¨ä¨ª æ¨ï ââà ªâ®à®¢, á¬. 13.1.). ¯à¨¬¥à, å ®á ¬®¦¥â ¡ëâì ­¥¦¥« ⥫ì­ë¬ ¨ á¨á⥬ã âॡã¥âáï áâ ¡¨«¨§¨à®¢ âì ¢¡«¨§¨ à ¢­®¢¥á¨ï ¨«¨ ¢¡«¨§¨ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© ®à¡¨âë (¢ ¡¨®«®£¨¨ íâ® § ¤ ç¨ áâ ¡¨«¨§ 樨 ¡¨®à¨â¬®¢ [61], ¢ íª®­®¬¨ª¥ { ¯®¢ë襭¨¥ ¯à®£­®§¨à㥬®á⨠¡¨§­¥á-横«®¢ [133]). ­®£¤ , ­ ®¡®à®â, å ®á ¬®¦¥â ®ª § âìáï ¯®«¥§­ë¬ (­ ¯à¨¬¥à, å ®â¨ç¥áª®¥ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ­¨¥ ã᪮àï- ¥â 室 娬¨ç¥áª®© ॠªæ¨¨ ¨ ¯®¢ëè ¥â ª ç¥á⢮ ¥¥ ¯à®¤ãª- ⮢). â ª¨å á«ãç ïå 楫ì ã¯à ¢«¥­¨ï á®á⮨⠢ ᮧ¤ ­¨¨ å ®â¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ­¨© á § ¤ ­­ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨.

é¥ à § ¯®¤ç¥àª­¥¬ å à ªâ¥à­ãî ®á®¡¥­­®áâì § ¤ ç ã¯à ¢- «¥­¨ï ª®«¥¡ ⥫ì­ë¬¨, ¢ ⮬ ç¨á«¥ å ®â¨ç¥áª¨¬¨, ¯à®æ¥áá - ¬¨. ­ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® § ¢à¥¬ï ¯à®æ¥áá ã¯à ¢«¥­¨ï ¢ á¨á⥬¥ ¬®¦¥â ¯à®¨á室¨âì ¡®«ì讥 ç¨á«® ª®«¥¡ ­¨© ¨, §­ ç¨â, í­¥à£¨î ã¯à ¢«¥­¨ï § ®¤¨­ ¯¥à¨®¤ (â.¥. á।­îî ¬®é­®áâì ã¯à ¢«ïî饣® ᨣ­ « ) á«¥¤ã¥â áç¨â âì ¤®áâ â®ç-

­® ¬ «®©. ­â¥à¥á­®, ¢ ç áâ­®áâ¨, ¢ë¤¥«¨âì § ¤ ç¨, à¥è ¥- ¬ë¥ á ¯®¬®éìî ã¯à ¢«¥­¨ï ᪮«ì 㣮¤­® ¬ «®© ¬®é­®á⨠(á¬. ¯. 13.2, â ª¦¥ ¯. 13.4). ¤à㣮© áâ®à®­ë, å ®â¨ç­®áâì á¨áâ¥¬ë ®§­ ç ¥â ᨫì­ãî çã¢á⢨⥫쭮áâì ¥¥ ª ¨§¬¥­¥­¨î ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨© ¨ ¢­¥è­¨å ¢®§¤¥©á⢨©. ⮠ᯮᮡáâ¢ã- ¥â á­¨¦¥­¨î âॡ㥬®© ¬®é­®á⨠ã¯à ¢«¥­¨ï, ­® § âà㤭ï¥â

®¡¥á¯¥ç¥­¨¥ ãá⮩稢®á⨠§ ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë.

13.4. ¤ ¯â¨¢­®¥ ã¯à ¢«¥­¨¥ å ®â¨ç¥áª¨¬¨ á¨á⥬ ¬¨ ­ ®á­®¢¥ «¨­¥ ਧ 樨 ®â®¡à ¦¥­¨ï ã ­ª ॠ¨ ¬¥â®¤ 楫¥¢ëå ­¥à ¢¥­áâ¢

13.4.1. ®áâ ­®¢ª § ¤ ç¨ ¨ ¬¥â®¤ à¥è¥­¨ï

¤¥ï ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ®â®¡à ¦¥­¨ï ã ­ª ॠ(â®ç¥ç­®£® ®â®- ¡à ¦¥­¨ï) ¤«ï ã¯à ¢«¥­¨ï å ®â¨ç¥áª¨¬¨ ª®«¥¡ ­¨ï¬¨ ¡ë«

¯à¥¤«®¦¥­ â⮬, ॡ®¤¦¨ ¨ ®àª¥ [180] ¨ « áì ®á­®- ¢®© §­ ç¨â¥«ì­®£® ª®«¨ç¥á⢠¯ã¡«¨ª 権. ¤­ ª®, àï¤ § - ¤ ç ®áâ «¨áì ­¥à¥è¥­­ë¬¨, ¢ ç áâ­®áâ¨, ­¥ ¡ë«¨ à áᬮâà¥- ­ë § ¤ ç¨ ¤ ¯â¨¢­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï ¯® ¢ë室ã. ¨¦¥ ¨§«®- ¦¥­® à¥è¥­¨¥ í⮩ § ¤ ç¨, ®á­®¢ ­­®¥ ­ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ¬¥-

378

⮤ ४ãà७â­ëå 楫¥¢ëå ­¥à ¢¥­á⢠[103], ¯à¥¤«®¦¥­­®£®. . ªã¡®¢¨ç¥¬ ¢ 1966 £. (á¬. ਫ®¦¥­¨¥ B).

áᬮâਬ ­¥«¨­¥©­ãî ã¯à ¢«ï¥¬ãî á¨á⥬ã, ®¯¨á ­- ­ãî ¬®¤¥«ìî á®áâ®ï­¨ï

£¤¥ x = x(t) { n-¬¥à­ë© ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï\ u = u(t) { ᪠«ïà- ­ë© ¢å®¤ (ã¯à ¢«ïî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥)\ y = y(t) { ᪠«ïà­ ï

u,u] ¯à¨ u>0. ॡã¥âáï ®¡¥á¯¥ç¨âì ¤®á⨦¥­¨¥ á«¥¤ãî饩 楫¨ ã¯à ¢«¥­¨ï

ਨ (®à¡¨â¥) x (t) á¨á⥬ë (13.39) ¤«ï u(t) u . ¯®¬­¨¬, çâ® âà ¥ªâ®à¨ï x(t) ­ §ë¢ ¥âáï ४ãà७⭮©, ¥á«¨ ¤«ï ª - ¦¤®£® " >0 ®­ ¢®§¢à é ¥âáï ¢ "-®ªà¥áâ­®áâì ᢮¥© ¯à®¨§- ¢®«ì­®© â®çª¨ ­¥ ¯®§¦¥, 祬 ç¥à¥§ ­¥ª®â®à®¥ ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¢à¥¬ï T". ( ¢®©á⢮ ४ãà७⭮á⨠¡ë«® ¢¢¥¤¥­® ¦. ¨àª- £®ä®¬ ¢ 1927 £., [45].

à㤭®áâì ¯®áâ ¢«¥­­®© § ¤ ç¨ ¢ë§¢ ­ ¥¥ áãé¥á⢥­­®© ­¥«¨­¥©­®áâìî. ®«¥¥ ⮣®, ¢® ¬­®£¨å ¯à¨«®¦¥­¨ïå ­¥ª®â®- àë¥ ¨§ ¯ à ¬¥â஢ á¨á⥬ë (13.39) ­¥¨§¢¥áâ­ë, â.¥. ¦¥« ¥¬ ï ®à¡¨â x (t) ¨ "¨¤¥ «ì­®¥" ã¯à ¢«¥­¨¥ u â ª¦¥ ­¥¨§¢¥áâ­ë.ª®­¥æ, ¨­®£¤ §­ 祭¨ï y (t) ®¯à¥¤¥«¥­ë ¨ y(t) ¤®áâ㯭® ¨§¬¥à¥­¨î ⮫쪮 ¢ ­¥ª®â®àë¥ ¬®¬¥­âë tk k=1 2 :::

«ï à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ¬ë ä®à¬ã«¨à㥬 ¥¥ ¤¨áªà¥â¨§®¢ ­- ­ë© ¢ ਠ­â. ®«®¦¨¬, çâ® ¢ ¯à®áâà ­á⢥ á®áâ®ï­¨© á¨áâ¥- ¬ë § ¤ ­ £¨¯¥à¯®¢¥àå­®áâì Su , ª®â®à ï § ¢¨á¨â ®â §­ 祭¨ï ã¯à ¢«¥­¨ï, ª ª ®â ¯ à ¬¥âà , ¨ ¯¥à¥á¥ª ¥â ¤ ­­ãî ®¯®à­ãî âà ¥ªâ®à¨î x(t) âà ­á¢¥àá «ì­®, â.¥. ­¥ ª á ïáì ¥¥ ¢ â®çª¥ x0 = x(0) ¤«ï ¢á¥å u 2U. Su âà ­á¢¥àá «ì­® ª x(t). ®¦­® ¯®ª § âì, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ áãé¥áâ¢ã¥â (¬¥­ì襥) ®âªàë⮥

¬­®¦¥á⢮ Su Su â ª®¥, çâ® ª ¦¤ ï âà ¥ªâ®à¨ï (13.39), ­ - 稭 îé ïáï ¢ â®çª¥ x 2 Su ¯¥à¥á¥ç¥âáï á­®¢ á ¯®¢¥àå­®áâìî

379

Su ¢ â®çª¥ x0=P (x u). â®¡à ¦¥­¨¥ P : Su U ! Su ­ §ë¢ - ¥âáï ã¯à ¢«ï¥¬ë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬ ã ­ª à¥. ­® ®¯à¥¤¥«ï¥â ­®¢ãî ¤¨áªà¥â­ãî á¨á⥬ã ã¯à ¢«¥­¨ï:

ª x. à ¥ªâ®à¨ï (13.41) ᮢ¯ ¤ ¥â á âà ¥ªâ®à¨¥© ¨á室­®©

á¨á⥬ë (13.39) ¢ ¬®¬¥­âë tk ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï x(t) á ¯®¢¥àå­®áâìî Suk , ¥á«¨ ã¯à ¢«ïî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥ ªãá®ç­®-¯®áâ®ï­­® ¬¥¦¤ã ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï¬¨: u(t) = uk, tk t < tk+1. ãáâì z 2 Rn;1 { ¢¥ªâ®à ª®®à¤¨­ â ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠S ¢ â®çª¥ x0 ¢ ­¥ª®â®à®¬ ª®®à¤¨­ â­®¬ ¡ §¨á¥ z(x). ¥§ ¯®â¥à¨ ®¡é­®á⨠¬ë ¬®¦¥¬

£¤¥ ai bi { ª®íää¨æ¨¥­âë ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 «¨­¥ ਧ®- ¢ ­­®© á¨á⥬ë (13.42) :

¢¥ªâ®à ­ ¡«î¤ ¥¬ëå ¢¥«¨ç¨­ (ॣà¥áá®à)

!k = col fy yk : : : yk;n+2 uk;1 : : : uk;n+2g 2 R2n;2

¨ ¢ë¡¥à¥¬ § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬

«£®à¨â¬ë ¤ ¯â 樨 ®á­®¢ ­ë ­ ¬¥â®¤¥ 楫¥¢ëå ­¥à - ¢¥­á⢠¨ ᮤ¥à¦ â §®­ë ­¥çã¢á⢨⥫쭮áâ¨, ª®â®àë¥ ¯ à¨- àãîâ ¢«¨ï­¨¥ ª ª ¢®§¬ã饭¨ï, â ª ¨ ®è¨¡®ª ¨§¬¥à¥­¨ï. ®§- ¬ã饭¨¥ ¬®¤¥«¨ (13.43) áâ ­®¢¨âáï áãé¥á⢥­­ë¬ ¢­¥ ­¥ª®- â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠®¯®à­®© âà ¥ªâ®à¨¨ x(t). ®í⮬ã, ¯à¥¤- áâ ¢«ï¥âáï ®¯à ¢¤ ­­ë¬ ¢¢¥¤¥­¨¥ ¨­¢¥àá­ëå, ¨«¨ ¢­¥è­¨å,

騩 ¢ ਠ­â ᢮©á⢠­ ¡«î¤ ¥¬®áâ¨: ¤¨áªà¥â­ ï ­¥«¨­¥©- ­ ï á¨á⥬ (13.42) ­ §ë¢ ¥âáï N-­ ¡«î¤ ¥¬®©, ¥á«¨

8" > 0 9 > 0 : jyk+ij < i = 0::N ; 1 ) kzkk < ": (13.47)

¥§ã«ìâ â ® á室¨¬®á⨠¯à¥¤«®¦¥­­®£® ¤ ¯â¨¢­®£® ॣã- «ïâ®à ᮤ¥à¦¨âáï ¢ á«¥¤ãî饬 ã⢥ত¥­¨¨.

¥®à¥¬ [148]. ãáâì F ¢ (13.39) { ¤¢ ¦¤ë ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 , h { ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 . ।- ¯®«®¦¨¬, çâ®

381