Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

11.-

11.1. ¤ ç¨ ¨ ¬¥â®¤ë ⥮ਨ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬

¬¥îâáï ¤¢¥ ®á­®¢­ë¥ § ¤ ç¨ â¥®à¨¨ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ ã¯à ¢«¥­¨ï.

¥à¢ ï ®á­®¢­ ï § ¤ ç { ­ «¨§. ­ «¨§ á®á⮨⠢ ¨áá«¥- ¤®¢ ­¨¨ ¨§¢¥áâ­®© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¬®¤¥«¨ á¨á⥬ë á 楫ìî ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¥¥ ᢮©á⢠¨ ãáâ ­®¢«¥­¨ï § ¢¨á¨¬®á⨠íâ¨å

᢮©á⢠®â ¯ à ¬¥â஢ á¨á⥬ë. §«¨ç îâ á«¥¤ãî騥 § - ¤ ç¨ ­ «¨§ .

­ «¨§ ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­ëå ¯ à ¬¥âà å. ਠ¨áá«¥- ¤®¢ ­¨¨ ᢮¡®¤­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï á¨á⥬ë ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï à §-

(ª ª®в®ал¬ ®в­®бпвбп б®бв®п­¨п а ¢­®¢¥б¨п, ¯а¥¤¥«м­л¥ ж¨- ª«л), ¢лпб­повбп ®¡« бв¨ ¯а¨вп¦¥­¨п нв¨е а¥¦¨¬®¢. а®- ¨§¢®¤¨вбп ®ж¥­ª ª з¥бв¢ ¯¥а¥е®¤­ле ¯а®ж¥бб®¢.

믮«­ï¥âáï ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ å à ªâ¥à ¢ë­ã¦¤¥­­ëå ०¨- ¬®¢ ¯à¨ ¢«¨ï­¨¨ ­ á¨á⥬㠢­¥è­¨å ¢®§¤¥©á⢨©. ¤¥áì âॡã¥âáï ãç¨âë¢ âì ¢¨¤ë ¨ ã஢­¨ ¢®§¤¥©á⢨©, ¢®§­¨ª -

îé¨å ¢ ¯à®æ¥áᥠíªá¯«ã â 樨 á¨á⥬ë.

­ «¨§ ¯à¨ à §«¨ç­ëå ¯ à ¬¥âà å. áᬠâਢ ¥âáï ª« áá ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ ®¤¨­ ª®¢®© áâàãªâãàë, ­® ®¡« ¤ - îé¨å à §«¨ç­ë¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨ f 1 2 : : : kg: ®çª ¢ ¯à®- áâà ­á⢥ ¯ à ¬¥â஢ f g ®â¢¥ç ¥â ª®­ªà¥â­®© á¨á⥬¥ ¨§

¤ ­­®£® ª« áá . à®áâà ­á⢮ ¯ à ¬¥â஢ à §¡¨¢ ¥âáï ­ ®¡« á⨠á ⮯®«®£¨ç¥áª¨ íª¢¨¢ «¥­â­ë¬¨ ä §®¢ë¬¨ ¯®àâà¥- â ¬¨. à ­¨æë íâ¨å ®¡« á⥩ ­ §ë¢ îâáï ¡¨äãઠ樮­­ë¬¨ ¯®¢¥àå­®áâﬨ, ¯®áâ஥­¨¥ ª®â®àëå ¨ ¢å®¤¨â ¢® ¢â®àãî § - ¤ çã ­ «¨§ .

â®à ï ®á­®¢­ ï § ¤ ç { ᨭ⥧. ¨­в¥§ § ª«оз ¥вбп ¢ ®¯а¥¤¥«¥­¨¨ § ª®­ г¯а ¢«¥­¨п, ®¡¥б¯¥з¨¢ ой¥£® ва¥¡г¥- ¬®¥ (­ ¯а¨¬¥а, ®¯в¨¬ «м­®¥, ¢ ª ª®¬-«¨¡® б¬лб«¥) ª з¥бв¢® а ¡®вл б¨бв¥¬л. ¨­в¥§ ¬®¦¥в ¢л¯®«­пвмбп ¯а¨ § ¤ ­­®©

¨«¨ ᢮¡®¤­®© áâàãªâãॠॣã«ïâ®à .

¨­â¥§ ¯à¨ § ¤ ­­®© áâàãªâãॠॣã«ïâ®à . ¨¤ § ª®- ­ ã¯à ¢«¥­¨ï áç¨â ¥âáï § ¤ ­­ë¬, § ¤ ç á®á⮨⠢ ¯ à -

¬¥âà¨ç¥áª®¬ ᨭ⥧¥, â.¥. ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¯ à ¬¥â஢ ॣã- «ïâ®à , ®¡¥á¯¥ç¨¢ îé¨å ­ ¨«ãç襥 §­ 祭¨¥ § ¤ ­­®£® ¯®-

242

ª§ â¥«ï ª ç¥á⢠.

¨¡®«¥¥ ¯à®á⮩ á â®çª¨ §à¥­¨ï ¯à¨¢«¥ª ¥¬®© ⥮ਨ ï¥âáï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨© ᨭ⥧. ­ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¯®á।-

á⢮¬ ­ «¨§ ¨ ®â¡®à ¢ ਠ­â®¢ á ¯®¬®éìî ¨§¢¥áâ­ëå ¢ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨¨ «£®à¨â¬®¢ ®¯â¨¬¨§ - 樨. ¤¥áì, ¯à ¢¤ , á«¥¤ã¥â ãç¨âë¢ âì, çâ® ®¡ê¥¬ à ¡®â ¯à¨

­ «¨§¥ ¬®¦¥â ®ª § âìáï ­¥¤®¯ãá⨬® ¡®«ì訬 ¤«ï ¥£® ¬­®- £®ªà â­®£® ¢ë¯®«­¥­¨ï. ஬¥ ⮣®, ¢ ¦­® ¯à ¢¨«ì­® ¯®- áâநâì äã­ªæ¨î ª ç¥á⢠á¨á⥬ë, ª®â®à ï ¡ë ¤¥ª¢ â­® ®âà ¦ « å à ªâ¥à­ãî ¤«ï ¯à ªâ¨ª¨ ¬­®£®ªà¨â¥à¨ «ì­®áâì ¯à¨ ä®à¬ «¨§ 樨 § ¤ ç¨. ®í⮬㠯ਠ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ᨭ⥧¥ ¨¬¥îâ ¡®«ì讥 §­ 祭¨¥ ¨ ⥮à¥â¨ç¥áª¨¥ ¨áá«¥¤®- ¢ ­¨ï.

¨­â¥§ ¯à¨ ᢮¡®¤­®© áâàãªâãॠॣã«ïâ®à . ¨¤ § - ª®­ г¯а ¢«¥­¨п ­¥ § ¤ ­ ¨ ¤®«¦¥­ ¡лвм ¯®«гз¥­ ¢ а¥§г«м- в в¥ б¨­в¥§ . а¨ в ª®© ¯®бв ­®¢ª¥ § ¤ з¨ ¨б¯®«м§говбп ¬¥в®¤л ¯¥а¥з¨б«¥­­ле ¢ ¯. 10.1. ­ ¯а ¢«¥­¨© в¥®а¨¨ б¨бв¥¬ (®¯в¨¬ «м­®¥, ¤ ¯в¨¢­®¥ ¨ нªбва¥¬ «м­®¥ г¯а ¢«¥­¨¥, ¬¥- в®¤л ­¥«¨­¥©­®© ª®аа¥ªж¨¨, б¨бв¥¬ б ¯¥а¥¬¥­­®© бвагªвг- а®© ¨ в.¤.). ®¯а®б ®¡ ¨б¯®«м§®¢ ­¨¨ в®£®, ¨«¨ ¨­®£®, ¬¥в®¤

à¥è ¥âáï ­ ®á­®¢¥ ¯à¥¤ê¥­­ëå ª á¨á⥬¥ âॡ®¢ ­¨© ¨ ᢥ¤¥­¨© ®¡ ãá«®¢¨ïå ¥¥ à ¡®âë.

¥á¬®âàï ­ â® ç⮠ᨭ⥧ ¯à¨ ᢮¡®¤­®© áâàãªâãॠà¥- £ã«ïâ®à ª ¦¥âáï ¥é¥ ¡®«¥¥ á«®¦­ë¬, 祬 ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨© ᨭ⥧, ­ ¤® § ¬¥â¨âì, çâ® ¢ ⥮ਨ ¨§¢¥áâ­ë ­¥ª®â®àë¥ ¯®¤- 室ë, ¯à¨ ª®â®àëå áâàãªâãà , ¨­®£¤ ¨ ¯ à ¬¥âàë § ª®-

­ ã¯à ¢«¥­¨ï, ¯®«ãç îâáï " ¢â®¬ â¨ç¥áª¨" ¨áå®¤ï ¨§ æ¥- «¨ ã¯à ¢«¥­¨ï. â® ®â­®á¨âáï, ­ ¯à¨¬¥à, ª à¥è¥­¨î àï¤ ®¯â¨¬¨§ 樮­­ëå § ¤ ç [76, 94], ª ᨭ⥧㠤 ¯â¨¢­ëå § ª®- ­®¢ ã¯à ¢«¥­¨ï [103, 106] ¨ ॣã«ïâ®à®¢ á ¯¥à¥¬¥­­®© áâàãªâãன ­ ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬ å [102, 191]. ¥ª®â®àë¥ ¨§ ¯¥à¥- ç¨á«¥­­ëå ¬¥â®¤®¢ à áᬠâਢ îâáï ­¨¦¥.

¥®а¨п ­¥«¨­¥©­ле б¨бв¥¬ ¯а®и« ¤«¨в¥«м­л© ¯гвм бв - ­®¢«¥­¨п ¨ ¯а®¤®«¦ ¥в ¨­в¥­б¨¢­® а §¢¨¢ вмбп ¢ ­ бв®пй¥¥ ¢а¥¬п. в в¥®а¨п ¯®бв®п­­® ®¡®£ й ¥вбп а¥§г«мв в ¬¨, ¢ ¥¥ а ¬ª е ¯®п¢«повбп ­®¢л¥ ­ ¯а ¢«¥­¨п.

¥â®¤ë ⥮ਨ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ ¬®¦­® à §¡¨âì ­ ­ - «¨â¨ç¥áª¨¥ ¨ ç¨á«¥­­ë¥. ­ «¨â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë ¢ á¢®î ®ç¥-

à¥¤ì ¬®¦­® à §¤¥«¨âì ­ â®ç­ë¥ ¨ ¯à¨¡«¨¦¥­­ë¥. ।¨ ç¨- á«¥­­ëå ¬¥â®¤®¢ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ®á­®¢­ãî à®«ì ¨£à îâ ᥩç á

243

¬ 設­ë¥ ¬¥â®¤ë, á¢ï§ ­­ë¥ á ¨§ã祭¨¥¬ ᢮©á⢠­¥«¨­¥©- ­ëå á¨á⥬ ­ , å®âï ­ 室ï⠯ਬ¥­¥­¨¥ ¨ £à ä¨ç¥áª¨¥, ¨«¨ £à ä®- ­ «¨â¨ç¥áª¨¥, ¬¥â®¤ë.

®ç­ë¥ ¬¥â®¤ë ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¯à¨¡«¨¦¥­­ëå ¨¬¥îâ áâண®¥ ⥮à¥â¨ç¥áª®¥ ®¡®á­®¢ ­¨¥, ïá­ ®¡« áâì ¨å ¯à¨¬¥­¥­¨ï, ¯®- «ã祭­ë¥ á ¯®¬®éìî íâ¨å ¬¥â®¤®¢ १ã«ìâ âë ¤ îâ â®ç­ë¥ (á ãç¥â®¬ ¢ë¯®«­¥­­ëå ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­ëå ¤®¯ã饭¨©) ᢥ¤¥- ­¨ï ® á¨á⥬¥. ­¥¤®áâ ⪠¬ íâ¨å ¬¥â®¤®¢ ®â­®á¨âáï ®¡ëç­® áà ¢­¨â¥«ì­® 㧪 ï ®¡« áâì ¯à¨¬¥­¥­¨ï { ­¥ª®â®àë¥ ãá«®¦- ­¥­¨ï ¬®¤¥«¨ á¨áâ¥¬ë ¬®£ã⠯ਢ¥á⨠ª ­¥¢®§¬®¦­®á⨠­ ©- ⨠¯®¤å®¤ï騩 â®ç­ë© ¬¥â®¤. à㣨¬ ¨å ­¥¤®áâ ⪮¬ ¬®- £ãâ ®ª § âìáï ¢ë᮪¨¥ âॡ®¢ ­¨ï ª ⥮à¥â¨ç¥áª®© ¯®¤£®â®¢- ª¥ ¨áá«¥¤®¢ ⥫ï. ਡ«¨¦¥­­ë¥ ¬¥â®¤ë ¬¥­¥¥ § ¢¨áïâ ®â á«®¦­®á⨠à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¨ ¨, ªà®¬¥ ⮣®, ®à¨¥­â¨- ஢ ­ë ­ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ ¨­¦¥­¥à­ëå ¬¥â®¤¨ª ¯à®¥ªâ¨à®¢ - ­¨ï.

­ «¨â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë ¢ ¯à¨­æ¨¯¥ ¯®§¢®«ïîâ ¯®«ãç¨âì १ã«ìâ â ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ { ¢ ä®à¬¥ ᮮ⭮襭¨©, á¢ï§ë¢ î- é¨å ¯ à ¬¥âàë á¨á⥬ë á ¥¥ å à ªâ¥à¨á⨪ ¬¨. â® ã¯à®- é ¥â ¯à®æ¥¤ãàã ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®£® ᨭ⥧ . ® ­ «¨â¨ç¥-

᪨¥ ¬¥â®¤ë ®¡« ¤ îâ ¬¥­ì襩 ã­¨¢¥àá «ì­®áâìî, 祬 ç¨á- «¥­­ë¥. â® á¢ï§ ­® á ¨§¢¥áâ­®© á«®¦­®áâìî ­ «¨â¨ç¥- ᪮£® ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬. à㣮© ¯à®¡«¥¬®©, ¢®§­¨ª î饩 ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ­ «¨â¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢, ¬®- ¦¥â áâ âì á«®¦­®áâì ¯®«ã祭­ëå ¢ëà ¦¥­¨© ¤«ï ¯®á«¥¤ãî- 饣® ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï. í⮬ á«ãç ¥ ¬®¦¥â ®ª § âìáï, çâ® ­¥-

¯®á।á⢥­­®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ç¨á«¥­­ëå ¬¥â®¤®¢ ¯®§¢®«ï¥â á ¬¥­ì訬¨ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­ë¬¨ § âà â ¬¨ ¨ ¤®¯ã饭¨ï¬¨ ¯®- «ãç¨âì âà¥¡ã¥¬ë© à¥§ã«ìâ â.

¨¦¥ ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥­ë ­¥ª®â®àë¥ ¨§¢¥áâ­ë¥ ¬¥â®¤ë ¨á- á«¥¤®¢ ­¨ï ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬.

11.2. ¥â®¤ë ä §®¢®£® ¯à®áâà ­áâ¢

¥в®¤л д §®¢®£® ¯а®бва ­бв¢ ®в­®бпвбп ª ­ ¨¡®«¥¥ а ­­¨¬ в®з­л¬ ­ «¨в¨з¥бª¨¬ ¬¥в®¤ ¬ в¥®а¨¨ ­¥«¨­¥©­ле б¨бв¥¬.

­¨¬ ®â­®á¨âáï ¬¥â®¤ ä §®¢®© ¯«®áª®á⨠( ¥®â¥, 1885) ¨

¬¥â®¤ â®ç¥ç­ëå ®â®¡à ¦¥­¨© ( ã ­ª à¥, ¨àª£®ä) [79].

244

11.2.1. ¥â®¤ ä §®¢®© ¯«®áª®áâ¨

¥â®¤ ä §®¢®© ¯«®áª®á⨠¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¢- â®­®¬­ëå á¨á⥬ ¢â®à®£® ¯®à浪 ¨ § ª«îç ¥âáï ¢ ¯®áâ஥-

­¨¨ д §®¢ле ¯®ава¥в®¢. «п нв®£® ¨§ га ¢­¥­¨© б®бв®п­¨п ¨бª«оз ¥вбп ¢а¥¬п ¨ ®¯а¥¤¥«повбп га ¢­¥­¨п д §®¢ле ªа¨- ¢ле. а¨ ¨б¯®«м§®¢ ­¨¨ нв®£® ¬¥в®¤ ж¥«¥б®®¡а §­® ¯а¨¢¥- ¤¥­¨¥ га ¢­¥­¨© б¨бв¥¬л ª ª ­®­¨з¥бª®© д®а¬¥.

à §­ëå ®¡« áâïå ¯à®áâà ­á⢠á®áâ®ï­¨© á¨á⥬ ®¯¨áë¢ ¥- âáï «¨­¥©­ë¬¨ ãà ¢­¥­¨ï¬¨, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ª®â®à묨 áâà®- ïâáï ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨. «¥¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï "á訢 ­¨¥" âà ¥ªâ®à¨© ¯® «¨­¨ï¬ ¯¥à¥ª«î祭¨ï, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ ¢¨¤®¬ ­¥«¨­¥©­®© § ¢¨á¨¬®áâ¨. â® ¯®§¢®«ï¥â ¯®áâநâì ä §®¢ë© ¯®àâà¥â ¨áá«¥¤ã¥¬®© ­¥«¨­¥©­®© á¨á⥬ë.1 «¥¥, ¯®áª®«ìªã

á®áâ®ï­¨ï ­ £à ­¨æ å ¨­â¥à¢ «®¢ ®¯à¥¤¥«¥­ë, ¬®¦­® ¯®«ã- ç¨âì ¨ ¢¨¤ ¯¥à¥å®¤­ëå ¯à®æ¥áᮢ ¢ á¨á⥬¥ (¬¥â®¤ ¯à¨¯ á®-

¢ë¢ ­¨ï).

®âï íâ®â ¬¥â®¤ ¨¬¥¥â ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥, ®­ ®áâ ¥- âáï 㤮¡­ë¬ á।á⢮¬ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ ­¥- ¢ë᮪®£® ¯®à浪 á "¯à®áâ묨" ­¥«¨­¥©­ë¬¨ å à ªâ¥à¨áâ¨- ª ¬¨.

11.2.2. ¥â®¤ â®ç¥ç­ëå ®â®¡à ¦¥­¨©

¥â®¤ â®ç¥ç­ëå ®â®¡à ¦¥­¨©, ¨«¨ ®â®¡à ¦¥­¨© ã ­ª à¥, á®á⮨⠢ ¯®áâ஥­¨¨ ­¥ª®â®à®© ᥪã饩 ¯®¢¥àå­®á⨠L ¨ âà - ¥ªâ®à¨©, ¢ë¯ã饭­ëå ¨§ L. ¤­® ¨§ ®á­®¢­ëå ¯à¨¬¥­¥­¨© ¬¥â®¤ { ­ «¨§ ãá⮩稢®á⨠¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯ à ¬¥â஢ (ç - áâ®âë ¨ ¬¯«¨âã¤ë) ¯à¥¤¥«ì­ëå 横«®¢ ¯à¨ n = 2: §«®¦¨¬ ¢ªà âæ¥ ®á­®¢­ë¥ ¯®«®¦¥­¨ï ¤ ­­®£® ¬¥â®¤ , á«¥¤ãï [79].

1 ¤¥áì ¨á¯®«ì§ã¥âáï ᢮©á⢮, ᮣ« á­® ª®â®à®¬ã ª®­¥ç­ë¥ §­ 祭¨ï á®áâ®ï­¨ï á¨áâ¥¬ë ­ ­¥ª®â®à®¬ ¨­â¥à¢ «¥ ¬®£ã⠨ᯮ«ì§®¢ âìáï ¢ ª - ç¥á⢥ ­ ç «ì­ëå ¤«ï á«¥¤ãî饣® ¨­â¥à¢ « , á¬. 1.1.

245

¦¥­¨¥, ¯¥à¥¢®¤ï饥 ¨á室­ãî â®çªã ¯à®áâà ­á⢠á®áâ®ï- ­¨© ¢ ¤àã£ãî ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ãà ¢­¥­¨ï¬¨ á¨á⥬ë. ®çª

ᯮ«ì§ãï â®ç¥ç­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥, ¯®«ãç ¥¬ äã­ªæ¨î ¯®á«¥-

à ä¨ç¥áª¨ à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ®âë᪠­¨¥ â®ç¥ª ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï ¡¨áᥪâà¨áë ª®®à¤¨­ â­®© ¯«®áª®á⨠(g h) á ä㭪樥© ¯®á«¥¤®¢ ­¨ï h = '(g): §ãç¥- ­¨¥ ¯®¢¥¤¥­¨ï ä㭪樨 ¯®á«¥¤®¢ ­¨ï ¢ â®çª å ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï

­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ [79]). ¨¡®«ìèãî á«®¦­®áâì ¢ ¨á- ¯®«ì§®¢ ­¨¨ ¬¥â®¤ â®ç¥ç­ëå ®â®¡à ¦¥­¨© ¢ë§ë¢ ¥â ®¯à¥- ¤¥«¥­¨¥ ä㭪樨 ¯®á«¥¤®¢ ­¨ï.

ਬ¥à ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ¬¥â®¤ â®ç¥ç­ëå ®â®¡à ¦¥­¨© ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï £¥­¥à â®à ª®«¥¡ ­¨© à áᬮâ७ ¢ ¯. 11.3.4.

á.256.

¯®á«¥¤­¥¥ ¢à¥¬ï ¯®ï¢¨«¨áì ¯ã¡«¨ª 樨, ¢ ª®â®àëå ¬¥- ⮤ â®ç¥ç­ëå ®â®¡à ¦¥­¨© ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï å ®â¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ, á¬. [72] ¨ ¯. 13.3.

11.2.3.á«®¢¨ï áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¯à¥¤¥«ì­ëå 横«®¢ ¤«ï á¨- á⥬ ¢â®à®£® ¯®à浪

а ¬ª е ¬¥в®¤ д §®¢®© ¯«®бª®бв¨ ¯®«гз¥­л б«¥¤гой¨¥ а¥- §г«мв вл, ¨¬¥ой¨¥ ¢ ¦­®¥ §­ з¥­¨¥ ¯а¨ ¨бб«¥¤®¢ ­¨¨ ­ «¨- з¨п ¯а¥¤¥«м­ле ж¨ª«®¢ г б¨бв¥¬ ¢в®а®£® ¯®ап¤ª [94]. ­¨¬, ¢ ¯¥а¢го ®з¥а¥¤м, ®в­®бпвбп в¥®а¥¬л г ­ª а¥{ ¥­¤¨ªб®­ .

246

11.3.¥â®¤ £ ମ­¨ç¥áª®© «¨­¥ ਧ 樨 (£ ମ­¨ç¥- ᪮£® ¡ « ­á )

¥â®¤ £ ମ­¨ç¥áª®© «¨­¥ ਧ 樨 (¯® ¤à㣮© â¥à¬¨­®«®£¨¨ { £ ମ­¨ç¥áª®£® ¡ « ­á ) ®â­®á¨âáï ª ¯à¨¡«¨¦¥­­ë¬ ­ «¨- â¨ç¥áª¨¬ ¬¥â®¤ ¬ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬. â®â ¬¥â®¤ ¨¬¥¥â ¤ ¢­îî ¨áâ®à¨î. ­ ¢®á室¨â ª à ¡®â ¬. . àë«®¢ ¨ . . ®£®«î¡®¢ (1934), . . ®«ì¤ä à¡

(1957), . ®ç¥­¡ãࣥà (1950), . . ®¯®¢ (1960). ¥â®¤ è¨- ப® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ¨­¦¥­¥à­®© ¯à ªâ¨ª¥, ¯à¨¬¥­ï¥âáï ¢ â¥- ®à¥â¨ç¥áª¨å ¨áá«¥¤®¢ ­¨ïå ¨ ¯à®¤®«¦ ¥â à §¢¨¢ âìáï.

¥â®¤ £ ମ­¨ç¥áª®© «¨­¥ ਧ 樨 ¯à¥¤­ §­ 祭 ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ( ¢â®ª®«¥¡ ⥫ì­ëå)

2 ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¯à¥¤¥«ì­®£® 横« .

3 ®ç­¥¥ { ®à¡¨â «ì­® ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢ë¬, á¬. á. 264.

247

¯à®æ¥áᮢ ¢ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ å, ®¤­ ª® ¨§¢¥áâ­® ¯à¨¬¥­¥-

[15, 76, 84, 94, 113].

11.3.1. á­®¢­ë¥ ¯®«®¦¥­¨ï. " ¢®©á⢮ 䨫ìâà "

áᬮâਬ § ¬ª­ãâãî ­¥«¨­¥©­ãî á¨á⥬ã á ®¤­¨¬ ­¥«¨- ­¥©­ë¬ ¡«®ª®¬, ãà ¢­¥­¨ï ª®â®à®© ¨¬¥îâ ¢¨¤ (á¬. â ª¦¥ ¯.

10.7)

¢ ª®â®à®¬ ª®íää¨æ¨¥­âë ®¯¥à â®à­ëå ¬­®£®ç«¥­®¢ A(p) B(p)

ᮢ¯ ¤ îâ á ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ¬­®£®ç«¥­®¢ A(s) B(s) ¯¥à¥¤ - â®ç­®© ä㭪樨 (11.2).

ãáâì ¢ á¨á⥬¥ (11.3) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨© ¯à®- æ¥áá á ­¥ª®â®à®© ç áâ®â®© (¨ ¯¥à¨®¤®¬ T = 2 = ). á

4 ­ ª "¬¨­ãá" ¯à¨ ¢å®¤­®¬ ¯à®æ¥áᥠ¢ ¯¥à¢®¬ ãà ¢­¥­¨¨ ¢§ïâ ¤«ï ⮣®, ç⮡ë á®åà ­¨âì âà ¤¨æ¨®­­®¥ ¤«ï ª« áá¨ç¥áª®© ⥮ਨ «¨­¥©­ëå á¨á⥬ ¯à ¢¨«® §­ ª®¢ ¢ £« ¢­®© ®¡à â­®© á¢ï§¨ á¨á⥬ë.

5 ¬¥â¨¬, çâ® â ª ï ä®à¬ § ¯¨á¨ ï¥âáï, ¯® áãé¥áâ¢ã, ª®¬¯ ªâ- ­®© § ¯¨áìî ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï n-£® ¯®à浪 , ¯®«ã祭­®£® ¨§ (11.2).

248

¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¡ã¤¥â ¨­â¥à¥á®¢ âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪

á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¤«ï ¬¯«¨â㤭®-ç áâ®â­®© å à ªâ¥à¨áâ¨-

­®© ç áâ®â¥ §­ ç¨â¥«ì­® ¯à¥¢®á室¨â ª®íää¨æ¨¥­â ¯¥à¥¤ ç¨ ¤«ï ¢ëáè¨å ç áâ®â. 6

«ì­¥©è¨© ¯« ­ ¤¥©á⢨© á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. ।- ¯®« £ ï £¨¯®â¥§ã 䨫ìâà ¢ë¯®«­¥­­®©, § ¬¥â¨¬, çâ® ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì á®áâ ¢«ïî騬¨ ¯à®æ¥áá ­ ¢ë室¥ «¨­¥©­®© ç - áâ¨ á ¢ëá訬¨ ç áâ®â ¬¨ 2 3 : : : (¢¢¨¤ã ¬ «®á⨠¤«ï ­¨å ª®íää¨æ¨¥­â ¯¥à¥¤ ç¨) ¨ áç¨â âì, çâ® ­ ¢ë室¥ «¨­¥©­®©

з бв¨ ¨¬¥¥вбп £ ମ­¨з¥бª¨© б¨£­ « б з бв®в®© . ¢л- 室¥ ­¥«¨­¥©­®© з бв¨ б¨бв¥¬л ª®­¥з­® ¯®п¢пвбп б®бв ¢«по- й¨¥ б ¢лби¨¬¨ з бв®в ¬¨ (­¥ ¢лбª §л¢ ¥вбп ¯а¥¤¯®«®¦¥­¨© ® д¨«мвагой¨е б¢®©бв¢ е ­¥«¨­¥©­®£® §¢¥­ ). ® ¨§-§ в®£® зв® ¢лби¨¥ £ ମ­¨ª¨ ­¥ ¢л§л¢ ов бгй¥бв¢¥­­®© а¥ ªж¨¨ ­ ¢л室¥ «¨­¥©­®© з бв¨ б¨бв¥¬л, ¬®¦­® ­¥ гз¨вл¢ вм ¨е

¢«¨п­¨п ­ ¤¨­ ¬¨ªг § ¬ª­гв®© б¨бв¥¬л. «¥¤®¢ в¥«м­®, ¯а¨ ¨бб«¥¤®¢ ­¨¨ § ¬ª­гв®© б¨бв¥¬л (11.2) ¬®¦­® ¯а¨¡«¨- ¦¥­­® бз¨в вм, зв® ª ª ¢е®¤, в ª ¨ ¢л室 ­¥«¨­¥©­®£® §¢¥­ п¢«повбп £ ମ­¨з¥бª¨¬¨ ª®«¥¡ ­¨п¬¨, 7 ¡« £®¤ àï 祬㠨 ¢ë¯®«­ï¥âáï (£ ମ­¨ç¥áª ï) «¨­¥ ਧ æ¨ï ­¥«¨­¥©­®áâ¨.

6 ª ¢¨¤­®, ¤ ­­®¥ ᢮©á⢮ ä®à¬ã«¨àã¥âáï ¢ ­¥ç¥âª¨å â¥à¬¨­ å.஬¥ ⮣®, ¤«ï ¥£® ¯à®¢¥àª¨ á«¥¤ã¥â §­ âì ®á­®¢­ãî ç áâ®âã, ª®â®à ï ¥é¥ ¯®¤«¥¦¨â ®¯à¥¤¥«¥­¨î. ®í⮬㠬®¦­® áç¨â âì ᢮©á⢮ 䨫ìâà a priori ¢ë¯®«­¥­­ë¬, § ⥬ ¯à®¢®¤¨âì ­ «¨§ H(!) ¤«ï ­ ©¤¥­­®© ®á­®¢- ­®© ç áâ®âë, á¬. â ª¦¥ [113].

7 ®§¬®¦­®, зв® нв¨ ª®«¥¡ ­¨п ­¥б¨¬¬¥ва¨з­л¥ ¨ ᮤ¥а¦ в ¯®бв®п­- ­го б®бв ¢«пойго. ¥в®¤ £ ମ­¨з¥бª®© «¨­¥ а¨§ ж¨¨ ¯а¨¬¥­п¥вбп ¨ ¤«п ¨бб«¥¤®¢ ­¨п в ª¨е ¯а®ж¥бб®¢ [15, 76, 94, 113], ®¤­ ª® ¤«п ¯а®бв®вл ¨§«®¦¥­¨п ¬л §¤¥бм бз¨в ¥¬ ª®«¥¡ ­¨п б¨¬¬¥ва¨з­л¬¨.

249

11.3.2. ®íää¨æ¨¥­âë £ ମ­¨ç¥áª®© «¨­¥ ਧ 樨

®£« á­® ᤥ« ­­®¬ã ¢ëè¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î, ª ª ­ ¢å®¤¥, â ª ¨ ­ ¢ë室¥ ­¥«¨­¥©­®£® §¢¥­ ¨¬¥îâáï £ ମ­¨ç¥áª¨¥ ¯à®-

æ¥ááë ®¤¨­ ª®¢®© ç áâ®âë : ª®© ¢ë¢®¤ ¬®¦­® ᤥ« âì ®â- ­®á¨â¥«ì­® ᢮©á⢠í⮣® §¢¥­ ?

áᬮâਬ á«¥¤ãî騥 ¯à¨¬¥àë.

ਬ¥à 1. ãáâì (t) = A sin t { £ ମ­¨ç¥áª¨© ¯à®æ¥áá á ¬¯«¨â㤮© A = 0 ¨ ç áâ®â®© : ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¢ë-

6

室­®© ¯à®æ¥áá ¤ ­­®£® §¢¥­ ¥áâì ⮦¥ £ ମ­¨ª ç áâ®âë

, ᮢ¯ ¤ îé ï ¯® ä §¥ á® ¢å®¤­ë¬ ¯à®æ¥áᮬ, ­® ¨¬¥îé ï

§¢¥­® (t) = q (t) á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ ¯¥à¥¤ ç¨ q: ª®¥ §¢¥­®

­(s) = q:

¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ . ®«ã祭­ë© १ã«ìâ â ­¥ ¯®§¢®«ï¥â ᤥ-

«âì ¢ë¢®¤ ® ⮬, çâ® ¤ ­­®¥ §¢¥­® ï¥âáï «¨­¥©­ë¬ ¨ ¡¥-

§ë­¥à樮­ë¬, â ª ª ª ­¥ à áᬮâà¥­ë ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ¢å®¤­ë¥ ¯à®æ¥ááë. ⢥ত ¥âáï «¨èì, çâ® ¯® ®â­®è¥­¨î ª® ¢å®¤­®- ¬ã £ ମ­¨ç¥áª®¬ã ¢å®¤­®¬ã ¯à®æ¥ááã á ¤ ­­ë¬¨ ç áâ®â®© ¨ ¬¯«¨â㤮© à áᬠâਢ ¥¬®¥ §¢¥­® ¢¥¤¥â á¥¡ï ª ª «¨­¥©­- ®¥.

ë᪠§ ­­®¬ã ¤®¯ã饭¨î ® ¢®§¬®¦­®á⨠ãç¨âë¢ âì ⮫ì-

ª® ®á­®¢­ãî £ ମ­¨ªã ­¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â § ¢¨á¨¬®áâì ®â­®- 襭¨ï ¬¯«¨â㤠A1 ¨ A ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, â ª¦¥ ª®íää¨- 樥­â ¯¥à¥¤ ç¨ q ®â ¬¯«¨âã¤ë ¨«¨ ®â ç áâ®âë ¢å®¤­®£® ¯à®æ¥áá : q = q(A) q = q(A ): ®®â¢¥âá⢥­­® ¯®«ã稬 W­(s A) = q(A) W­ (s A ) = q(A ) { ¯¥à¥¤ â®ç­ë¥ ä㭪樨 £ ମ­¨ç¥áª¨ «¨­¥ ਧ®¢ ­­ëå §¢¥­ì¥¢ § ¢¨áïâ ®â A (¨«¨ ®â

A ¨ ), ª ª ®â ¯ à ¬¥âà . â ª®© § ¢¨á¨¬®á⨠¨ ¯à®ï¢«ï¥â- áï ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­®¥ ®â«¨ç¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪ «¨­¥©­ëå §¢¥­ì¥¢ ®â ­¥«¨­¥©­ëå.

ਬ¥à 2. ãáâì ⥯¥àì ¯à¨ â®¬ ¦¥ ¢å®¤­®¬ ¯à®æ¥áá¥(t) = A sin t ¢ë室­®© ¯à®æ¥áá ¨¬¥¥â ä §®¢ë© ᤢ¨£, â.¥.(t) = A1 sin t+B1 cos t: ¨ää¥à¥­æ¨àãï ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï (t)

250

(t) = q (t) + q0 (t):

ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯à¨¬¥à¥, ª®íää¨æ¨¥­âë q, q0, ­ §ë¢ - ¥¬ë¥ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ £ ମ­¨ç¥áª®© «¨­¥ ਧ 樨 ­¥«¨­¥©- ­ëå §¢¥­ì¥¢, ¬®£ãâ § ¢¨á¥âì ®â ¬¯«¨âã¤ë ¨ ç áâ®âë ¢å®¤­®-

£® ¯à®æ¥áá : q = q(A) q0 = q0(A) ¨«¨ q = q(A ) q0 = q0(A ):

®«ã祭­®¬ã ¢ëà ¦¥­¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯¥à¥¤ â®ç­ ï äã­ª- q0 (A)

s: 8

áᬮâਬ ⥯¥àì "â¥å­¨ªã" ¢ëç¨á«¥­¨ï ª®íää¨æ¨¥­â®¢

£à¬®­¨ç¥áª®© «¨­¥ ਧ 樨. ãáâì ¯®-¯à¥¦­¥¬ãæ¨ï §¢¥­ )= ( )+ä®àá¨àãî饣® ⨯ : W (

(t) = A sin t: ।áâ ¢¨¬ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨© ¢ë室­®© ¯à®æ¥áá(t) ¢ ¢¨¤¥ àï¤ ãàì¥ [15, 66, 76, 94]:

®£« á­® ¯à¨­ï⮩ £¨¯®â¥§¥, ®£à ­¨ç¨¬áï á« £ ¥¬ë¬¨ á ç - áâ®â®© ­¥ ¢ëè¥ ç áâ®âë ®á­®¢­®© £ ମ­¨ª¨, â.¥. ¯à¨¬¥¬

(t) A0 + A1 sin t + B1 cos t £¤¥ ª®íää¨æ¨¥­âë à §«®¦¥­¨ïãàì¥ ®¯а¥¤¥«повбп ¢ла ¦¥­¨п¬¨ [66]

®¤áâ ­®¢ª®© ¯®«ã祭­ëå §­ 祭¨© ¢ ¢ëà ¦¥­¨ï ¤«ï q(A)

8 «ï §¢¥­ì¥¢ á ¯ áᨢ­®© £¨áâ¥à¥§¨á­®© å à ªâ¥à¨á⨪®© q0(A) < 0 ¯®í⮬㠫¨­¥ ਧ®¢ ­­®¥ §¢¥­®, ª ª ¯à ¢¨«®, ­¥¬¨­¨¬ «ì­®-ä §®¢®¥.

251