Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления
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®áâ â®ç® ¯à®áâ® ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢¨¤ ä §®¢ëå âà ¥ª- â®à¨© ¨ ¤«ï á¨á⥬ âà¥â쥣® ¯®à浪 . ਠ¯à®áâëå ª®àïå å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬®£®ç«¥ ¨¬¥îâáï ¨«¨ âਠᮡá⢥- ë¥ ¯àï¬ë¥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¢¥ªâ®à ¬¨ x01 x02 x03 «¨¡® ᮡ- á⢥ ï ¯àï¬ ï ¨ ¯«®áª®áâì, ¯®à®¦¤¥ ï ¢¥ªâ®à ¬¨ h1 h2 (ª ª ®¯¨á ® ¢ 4.3.). ¢¨¦¥¨¥ â®çª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¯®«ãç - ¥âáï ª ª á㯥௮§¨æ¨ï ¤¢¨¦¥¨© ¯® 㪠§ ë¬ ¯®¤¯à®áâà - á⢠¬. ®«¥¥ ¤¥â «ìë¥ á¢¥¤¥¨ï ¯® í⮬㠢®¯à®á㠯ਢ¥¤¥- ë ¢ [12].
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2. «ï á¨á⥬ âà¥â쥣® ¯®à浪 , ä §®¢ë¥ ¯®àâà¥âë ª®â®- àëå ¯à¨¢¥¤¥ë à¨á. 5.4, ª ç¥á⢥® ¯®ª § âì à ᯮ«®¦¥-
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6.1. ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï. ®à¬ã« ®è¨
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6.1.1. ¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï |
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(6.2) |
x(t) 2 Rn: ãáâì ¬ ¨§¢¥áâ® n à¥è¥¨© (6.2) ®â®á¨â¥«ì- ® ¥ª®â®à®£® ¬®¬¥â t0 : xi (t0) = x0 i i = 1 2 : : : n : ¡ê-
¥¤¨¨¬ í⨠à¥è¥¨ï xi(t) ¢ n n-¬ âà¨çãî äãªæ¨î X(t) =
[x1(t). x2(t). : : : . xn(t)]: § ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥- ¨© ¨§¢¥á⥠᫥¤ãî騩 १ã«ìâ â [12, 79, 97] (" «ìâ¥à â¨-
¢ à®áª®£®"): «¨¡® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì à®áª®£® W(t)=det X (t) 0 (¤«ï ¢á¥å t), «¨¡®W(t)6=0 (¨ ¯à¨ ª ª®¬t). ®í⮬㠥᫨ ¢¥ª-
â®àë x0 i «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë, â® ¬ âà¨æ X(t) ¡ã¤¥â ¥¢ëà®- ¦¤¥®© ¯à¨ ¢á¥å t: ®«ãç¥ ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ âà¨æ X (t)
§ë¢ ¥âáï ä㤠¬¥â «ì®© ¬ âà¨æ¥© á¨á⥬ë (6.2). â®
§¢ ¨¥ á¢ï§ ® á ⥬, çâ® ¢¥ªâ®à-äãªæ¨¨ xi(t) ®¡à §ãîâ
ä㤠¬¥â «ìãî á¨á⥬ã à¥è¥¨© ¤ ®£® ãà ¢¥¨ï: à¥- 襨¥ § ¤ ç¨ ®è¨ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ìëå ç «ìëå ãá«®¢¨ïå
x0 ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëà ¦¥® ¢ ¢¨¤¥ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 äãª- 権 xi(t) : x(t) = Pni=1 ixi(t) £¤¥ i ¥áâì ª®íää¨æ¨¥âë à §- «®¦¥¨ï ç «ì®£® ¢¥ªâ®à x0 ¯® á¨á⥬¥ ¡ §¨áëå ¢¥ªâ®- ஢ x0 i ( â.¥. x0 = Pni=1 ix0 i): ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ä㤠¬¥- ⠫쮩 ¬ âà¨æë X(t) íâ® ä ªâ ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¥ªâ®à®©
1 ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ ¯à®æ¥áá x(t) ¯®«ãç¥, â® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ë室 á¨á⥬ë y(t) ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á«®¦®á⨠¨ ¢ë¯®«ï¥âáï ¥¯®á।á⢥® ¯® ãà ¢¥¨î ¢ë室 y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t):
128
ä®à¬¥: x(t) = X(t)C £¤¥ ¢¥ªâ®à C = [ 1 : : : n]T ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï x0 = X0C: ¬¥â¨¬, çâ® ¬ âà¨æ -äãªæ¨ï X(t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î
X_ (t) = A(t)X(t) X(t0) = X0:
¥¯¥àì ¢¢¥¤¥¬ ¬ âà¨æã (t t0) = X(t)X0;1 §ë¢ ¥¬ãî ¯¥- à¥å®¤®©, ¨«¨ ¨¬¯ã«ìᮩ, ¬ âà¨æ¥©. 祢¨¤®, çâ® (t0 t0 ) =
In - ¥¤¨¨ç ï ¬ âà¨æ . ªâ¨ç¥áª¨ (t t0 ) ¥áâì ä㤠¬¥- â «ì ï ¬ âà¨æ , ¯®«ãç¥ ï, ¥á«¨ ¢ ª ç¥á⢥ ç «ìëå ¢¥ªâ®à®¢ x0 i ¨á¯®«ì§®¢ âì ¥¤¨¨çë¥ ¢¥ªâ®àë
ei = [0 : : : 1 |
: : : 0]T |
: |
|{z} |
|
|
i |
|
|
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ¯¥à¥å®¤®© ¬ âà¨æë ¢ë¯®«¥® ãà ¢¥- ¨¥
(t t0) = A(t) (t t0) (t0 t0) = In: |
(6.3) |
ãç¥â®¬ ⮣® çâ® à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ®¯à¥¤¥- «ï¥âáï ç¥à¥§ ä㤠¬¥â «ìãî ¬ âà¨æã ¨ çâ® ª®íää¨æ¨¥âë à §«®¦¥¨ï x0 ¯® á¨á⥬¥ ¥¤¨¨çëå ¢¥ªâ®à®¢ ᮢ¯ ¤ îâ á ª®¬¯®¥â ¬¨ x(0i) ¢¥ªâ®à x0 ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (6.2) ç¥à¥§ ¯¥à¥å®¤ãî ¬ âà¨æã ¢ ¢¨¤¥
x(t) = (t t0)x0: |
(6.4) |
â®¡ë ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯®«ãç¥ë¬ ¢ëà ¦¥¨¥¬, á«¥¤ã¥â à ᯮ« £ âì ᯮᮡ®¬ ¢ëç¨á«¥¨ï ¯¥à¥å®¤®© ¬ âà¨æë. ᮦ «¥¨î, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¥â «¨â¨ç¥áª®£® ¢ëà ¦¥¨ï
¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï (t t0 ): ¥ª®â®àëå ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç å ¬®¦® à¥è¨âì (6.3) ç¨á«¥®, § ⥬ ¨á¯®«ì§®¢ âì (6.4) ¯à¨ à §«¨çëå ç «ìëå ãá«®¢¨ïå. ¤ ª® â ª®© ᯮᮡ á¢ï§ á åà ¥¨¥¬ ¡®«ìè¨å ®¡ê¥¬®¢ ¤ ëå ¨ ¨¬¥¥â ®£à ¨ç¥®¥ ¯à¨¬¥¥¨¥. ¥ª®â®àëå á«ãç ïå 楫¥á®®¡à §® ¢ëà ¦ âì à¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ à冷¢ [25]. ãé¥á⢥®¥ ã¯à®é¥¨¥ ¯®«ã-
ç ¥âáï ¢ áâ 樮 ஬ á«ãç ¥, â.¥. ¯à¨ ¯®áâ®ï®© ¬ âà¨æ¥ A(t) A: «ï â ª¨å á¨á⥬ ¬ âà¨æ (t t0 ) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ®¤®£® à£ã¬¥â = t ; t0 ¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬ âà¨ç®© íªá- ¯®¥â®© (t t0 ) = eA = t ; t0 ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¢ ¢¨¤¥ àï¤
|
(A )2 |
(A )k |
1 |
(A )k |
|
|
|
eA =In+A + |
|
+ + k! + In+ |
X |
|
: |
(6.5) |
|
2 |
k! |
||||||
k=1 |
|||||||
|
|
129 |
|
|
|
|
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï áâ 樮 àëå ®¤®à®¤ëå «¨¥©ëå á¨- á⥬ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ®è¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
x(t) = eA x0 = t ; t0 : |
(6.6) |
¬¥â¨¬, çâ® ¯®¢¥¤¥¨¥ â ª¨å á¨á⥬ ¥ § ¢¨á¨â ®â ç «ì- ®£® ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t0 ( ⮫쪮 ®â ¢à¥¬¥®£® ¯à®¬¥¦ãâª= t ; t0), ¯®í⮬㠢 áâ 樮 ஬ á«ãç ¥ 㤮¡® áç¨â âì t0 = 0 ¨ ¢ëà ¦¥¨¥ (6.6) § ¯¨áë¢ âì ¢ ¢¨¤¥
x(t) = eAtx0 : |
(6.7) |
ëç¨á«¥¨¥ ¬ âà¨ç®© íªá¯®¥âë ï¥âáï § ç¨â¥«ì® ¡®- «¥¥ ¯à®á⮩ § ¤ 祩, 祬 宦¤¥¨¥ ¯¥à¥å®¤®© ¬ âà¨æë ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥. ª, ¤«ï ¤¨ £® «ì®© ¬ âà¨æë A = diagfs1 s2 : : : sng ¬ âà¨æ eAt â ª¦¥ ¤¨ £® «ì ï ¨ á®á⮨⠨§ ᪠- «ïàëå íªá¯®¥â: eAt = diagfes1t es2t : : : esntg: ®áâ â®ç® ¯à®á⮩ ¢¨¤ ¬ âà¨ç ï íªá¯®¥â ¨¬¥¥â ¨ ¤«ï ¡®«¥¥ ®¡é¥©, ¦®à¤ ®¢®©, ä®à¬ë ¬ âà¨æë A. ¥ª®â®àë¥ á¯¥ªâë ¢ëç¨- á«¥¨ï ¬ âà¨ç®© íªá¯®¥âë ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¡ã¤ãâ à áᬮ- âà¥ë ¨¦¥ (¢ 6.5.), ᥩç á ®¡à ⨬áï ª à¥è¥¨î ¥®¤®- த®£® ãà ¢¥¨ï (6.1).
6.1.2. ¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï
ª ¨§¢¥áâ®, à¥è¥¨¥ «î¡®£® ¥®¤®à®¤®£® «¨¥©®£® ãà ¢-
¥¨ï (6.1) ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ x(t) = x¯(t) + x¢ (t) £¤¥ x¯(t) { ¯¥à¥å®¤ ï á®áâ ¢«ïîé ï { à¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî- 饣® ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (6.2) ¯à¨ § ¤ ëå ç «ìëå ãá«®¢¨ïå\ x¢ (t) { ¢ë㦤¥ ï á®áâ ¢«ïîé ï - à¥è¥¨¥ ãà ¢- ¥¨ï (6.1) ¯à¨ ã«¥¢ëå ç «ìëå ãá«®¢¨ïå. ® ¨¬¥¥â ¢¨¤
[3, 47, 94, 66] |
|
|
|
t |
|
|
|
x¢ (t) = Zt0 |
(t )B( )u( )d : |
|
|
з¨вл¢ п ¢ла ¦¥¨¥ (6.4), § ¯¨и¥¬ б«¥¤гойго ä®à¬ã«ã ®- |
|||
è¨: |
t |
|
|
|
|
|
|
x(t) = (t t0)x0 + Zt0 |
(t )B( )u( )d : |
(6.8) |
|
«ï áâ 樮 àëå á¨á⥬ íâ ä®à¬ã« ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ |
|
||
|
|
t |
|
x(t) = eA(t;t0)x0 + Zt0 eA(t; )Bu( )d |
(6.9) |
||
|
130 |
|
|
¨«¨, ¯à¨ t0 |
= 0 |
{ |
x(t) = eAtx0 + t eA(t; )Bu( )d : áᬮâਬ |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
¥¡®«ì让 ¯à¨¬¥à. |
|
R |
|
|
|
|||
ਬ¥à. |
®«ã稬 ¯¥à¥å®¤ãî å à ªâ¥à¨á⨪㠯¥à¨®- |
|||||||
¤¨ç¥áª®£® §¢¥ |
¯¥à¢®£® ¯®à浪 , § ¤ ®£® ¯¥à¥¤ â®ç®© |
|||||||
äãªæ¨¥© W(s) = |
1 |
: ⮬㠧¢¥ã ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ãà ¢- |
||||||
T s + 1 |
||||||||
¥¨ï á®áâ®ï¨ï x(t) = |
Ax(t) + Bu(t) |
y(t) = Cx(t) |
£¤¥ |
|||||
A = ;1=T B = 1=T C = 1: ®« £ ï x0 = 0 u(t) |
1 |
|||||||
¯®«ã稬 ¯® ä®à¬ã«¥ (6.9) |
|
|
|
|||||
x(t) = |
1 |
Z0 t e;(t; )=T d = e;t=T e =T |
0t = 1 ; e;t=T |
|
||||
T |
|
|||||||
ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨§¢¥áâë¬ ¢ëà ¦¥¨¥¬ ¤«ï |
¯¥à¥å®¤®© å - |
à ªâ¥à¨á⨪¨.
6.1.3. ¢®©á⢠¯¥à¥å®¤®© ¬ âà¨æë
ਢ¥¤¥¬ ¯¥à¥ç¥ì ®á®¢ëå ᢮©á⢠¯¥à¥å®¤®© ¬ âà¨æë.
1.«ï ¢á¥å t0 ¢ë¯®«¥® (t0 t0 ) = In:
2.à ¢¨«® ª®¬¯®§¨æ¨¨: ¤«ï ¢á¥å t0 t1 t ¢ë¯®«¥®
(t t0 ) = (t t1) (t1 t0):
3. |
det (t t0 ) 6= 0 ¤«ï ¢á¥å t0 t: |
|
|
|
4. |
(t t0 ) = X(t)X(t0 );1 £¤¥ X(t) { «î¡ ï ä㤠¬¥â «ì- |
|||
ï ¬ âà¨æ . |
|
|
|
|
5. |
(t t0 );1 = (t0 t) ¤«ï ¢á¥å t0 |
t: |
||
6. |
¯à ¢¥¤«¨¢® ãà ¢¥¨¥ |
|
|
|
|
(t t0) = A(t) (t t0 ) |
(t0 t0 ) = In: |
||
7. |
âà¨æ (t0 t)T 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãî饬ã ᮯàï- |
|||
¦¥®¬ã ãà ¢¥¨î |
|
|
|
|
|
d (t0 t)T = |
A(t)T (t t0)T |
|
(t0 t0) = In: |
|
dt |
; |
|
|
®¥ ᢮©á⢮ ¯®«¥§® ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ¥áâ 樮 àëå á¨á⥬, â ª ª ª ¤ ¥â ᯮᮡ ¯®«ã票ï "á¥ç¥¨©" ¯¥à¥å®¤®©
¬ âà¨æë ¯® à£ã¬¥âã t0:
131