Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

.pdf
Скачиваний:
54
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.56 Mб
Скачать

­ 祭¨¥ ª®­áâ ­âë C ¢ (5.4) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ­ ç «ì­ëå

;s2

ãá«®¢¨© C = jx2 0j jx1 0j s1 : ਠ¯®áâ஥­¨¨ ä §®¢®£® ¯®àâà¥- â íâã á¢ï§ì ¬®¦­® ­¥ à áᬠâਢ âì, ¨á¯®«ì§®¢ âì ­ ¡®à à §«¨ç­ëå §­ 祭¨© C:

ëà ¦¥­¨¥ (5.4) ¯à¨¬¥­¨¬® â ª¦¥, ¥á«¨ ®¤¨­ ¨§ ª®à­¥© (¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­­®á⨠{ s2) ®¡à é ¥âáï ¢ ­®«ì. ®£¤ (5.4) ®¯¨áë¢ ¥â ¬­®¦¥á⢮ ¯ à ««¥«ì­ëå ®á¨ ¡áæ¨áá ¯àï¬ëå.¢¨¦¥­¨¥ ¯® í⨬ ¯àï¬ë¬ ­ ¯à ¢«¥­® «¨¡® ª ®á¨ ®à¤¨­ â (s1 < 0) «¨¡® ®â ­¥¥. ® ¢ëà ¦¥­¨î (5.4) ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢¨¤ âà ¥ªâ®à¨© ¯à¨ ªà â­ëå ª®à­ïå, ¥á«¨ A = diagfs1 s1g: ®«ã- ç ¥âáï "¯ã箪" ¯àï¬ëå, ¯à®å®¤ïé¨å ç¥à¥§ ­ ç «® ª®®à¤¨­ â.

áì ®à¤¨­ ⠯।áâ ¢«ï¥â ¬­®¦¥á⢮ á®áâ®ï­¨© à ¢­®¢¥á¨ï.

s1

1

¢¨¤ âà ¥ª-

«ï ¢¥é¥á⢥­­®© ¦®à¤ ­®¢®© ª«¥âª¨ A= 0

s1

â®à¨© ¡®«¥¥ á«®¦­ë© [79] ¨ ä®à¬ã« (5.4) ­¥ ¯à¨¬¥­¨¬ .

2. ã«¥¢ë¥ ªà â­ë¥ ª®à­¨. ।áâ ¢«ï¥â ¨­â¥à¥á ¢â®- ன ¨§ à áᬮâ७­ëå ¢ ¯ã­ªâ¥ 5 ¯. 5.3. á«ãç ¥¢ ¤¢®©­®£® ¨­-

⥣à¨àãî饣® §¢¥­ , ãà ¢­¥­¨ï ª®â®à®£® ¢ ¦®à¤ ­®¢®© ä®à-

¬¥ ¨¬¥îâ ¬ âà¨æã A =

 

0

1

: à ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï ⮣¤

¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

dx1

 

=

 

x2(t)

x1 (0) = x1 0

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.5)

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> dx2

 

=

 

0

 

x2 (0) = x2 0:

 

 

 

âáî¤

 

 

>

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: -

¯®«ãç:¥¬ à¥è¥­¨ï x1(t) = x1 0 + x2 0t x2(t) = x2 0

§®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ { ¯àï¬ë¥, ¯ à ««¥«ì­ë¥ ®á¨

¡áæ¨áá, ­®

¤¢¨¦¥­¨¥ ¯® ­¨¬ ­ ¯à ¢«¥­® "¢¯à ¢®" ¯à¨ x2 0

> 0 ¨ "¢«¥-

¢®" ¯à¨ x2 0

> 0: ®çª¨ ­

 

®á¨

¡áæ¨áá á«ã¦ â á®áâ®ï­¨ï¬¨

à ¢­®¢¥á¨ï á¨á⥬ë.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

­¨¬ë¥ ª®à­¨. ®ªãá ¨ 業âà. ãáâì ⥯¥àì å à ª-

â¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ ¨¬¥¥â ª®à­¨ s1 2

= | ¯à¨ç¥¬

> 0: ®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ¢¥é¥á⢥­­ ï ¦®à¤ ­®¢

ä®à¬

¬ -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

âà¨æë

A = ;

 

 

ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï {

 

 

 

<

dx1

=

x1(t) + x2 (t)

x1(0) = x1 0

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.6)

 

8 dx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

=

 

x (t) + x (t)

x (0) = x

 

:

 

 

> dt

 

;

 

1

 

 

2

2

 

2 0

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

122

 

 

 

 

 

ਠ= 0 ¯®á«¥ ¨áª«î祭¨ï t ¨ ­¥á«®¦­ëå ¯à¥®¡à §®- ¢ ­¨© ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ª®­æ¥­âà¨ç¥áª¨å ®ªà㦭®á⥩ á 業â஬ ¢ ­ ç «¥ ª®®à¤¨­ â x21 + x22 = C C 0 ( 業âà).ਠ¢ë¡à ­­®¬ §­ ª¥ ( > 0) ¤¢¨¦¥­¨¥ ¨§®¡à ¦ î饩 â®ç- ª¨ ¡ã¤¥â ¯à®¨á室¨âì ¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥. í⮬ ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, à áᬠâਢ ï, ­ ¯à¨¬¥à, ¢¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®-

á⨠¯à¨ x1 > 0 x2 = 0:

ਠ6= 0 ¢¨¤ ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ãá«®¦­ï¥âáï. ­¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨¥ á¯¨à «¨, ãà ¢­¥­¨ï

ª®â®àëå 㤮¡­¥¥ § ¯¨áë¢ âì ¢ ¯®«ïà­ëå ª®®à¤¨­ â å. ¢¥- ¤¥¬ 0 { à ááâ®ï­¨¥ ®â ­ ç « ª®®à¤¨­ â ¤® â®çª¨ ­ ªà¨¢®©, = jxj ' { 㣮« ¬¥¦¤ã í⮩ â®çª®© ¨ ®áìî ¡áæ¨áá.®£¤ ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ãà ¢­¥­¨ï [79]

(t)

=

(0)et

(0) =

x(0)

 

(5.7)

'

=

'(0) ; t

j

 

j

 

 

 

 

®¯¨áë¢ î騥 ¤¢¨¦¥­¨¥ ¨§®¡à ¦ î饩 â®çª¨ ¢ ¯ à ¬¥âà¨- ç¥áª®© ä®à¬¥. ᪫î稢 ¯ à ¬¥âà t (­ ¯à¨¬¥à, ¢ëà §¨¢ ¥£® ¨§ ¢â®à®£® ãà ¢­¥­¨ï), ¯®«ã稬 ãî á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¯®«ïà- ­ë¬¨ ª®®à¤¨­ â ¬¨. ਠ< 0 ¢á¥ â®çª¨ ¡ã¤ãâ ¤¢¨£ âìáï ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ ª ­ ç «ã ª®®à¤¨­ â (ãáâ®©ç¨¢ë© ä®ªãá), ¯à¨ > 0 { "à §¡¥£ âìáï" ®â ­¥£® ( ­¥ãáâ®©ç¨¢ë© ä®ªãá).

¡à ⨬áï ⥯¥àì ª ¤à㣮© ä®à¬¥ { ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ä §®¢®© ¯¥à¥¬¥­­®©.

5.3.2.§®¢ë¥ ¯®àâà¥âë ¯à¨ ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ä §®¢®© ¯¥- ६¥­­®©

â ä®à¬

ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥-

­¨ï¬ ¨ (ª®â®àë¥ ¤«ï

¢â®­®¬­ëå á¨á⥬ ¤ îâ ®¤¨-

­ ª®¢ë¥ ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï).

 

âà¨æ

A ¢ ¤ ­­®¬ ¡ §¨á¥

¨¬¥¥â ¢¨¤ ¬ âà¨æë ஡¥­¨ãá

 

(2.10). «ï á¨á⥬ ¢â®à®£®

¯®à浪 íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® A =

 

 

0

1

 

£¤¥ a1 a2 { ª®íä-

 

;a2

;a1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+a1s+a2:

ä¨æ¨¥­âë å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ A(s)=s

ª®© ¬ âà¨æ¥ ®â¢¥ç îâ ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï

 

 

 

8

dx1

=

x2 (t)

 

 

 

 

 

 

x1

(0) = x1 0

 

(5.8)

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

dx2

=

 

a x

(t)

 

a

x (t)

x

(0) = x

2 0

:

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

1

2

2

 

 

 

 

<

 

 

;

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

123

 

 

 

 

 

 

¥à¥ç¨á«¨¬ ­¥ª®â®àë¥ ®á®¡¥­­®áâ¨ ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ¢ 㪠§ ­­®¬ ¡ §¨á¥.

®áª®«ìªã ¯¥à¥¬¥­­ ï x2(t) ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®¨§¢®¤­®© ¯® ¢à¥¬¥­¨ ®â x1(t) ¨§®¡à ¦ îé ï â®çª ¡ã¤¥â ¤¢¨£ âìáï ⮫쪮 "¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥", â.¥. ¢ áâ®à®­ã ¢®§à áâ ­¨ï x1 ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠(£¤¥ x2 > 0) ¨ ¢ áâ®à®­ã ã¡ë¢ ­¨ï x1

¢­¨¦­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠(£¤¥ x2 < 0):

§®¢ë¥ ªà¨¢ë¥, ¯¥à¥á¥ª î騥 ®áì ¡áæ¨áá (®áì x1), ¨¬¥îâ ¢ â®çª å ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­ë¥ ª ­¥© ª á -

⥫ì­ë¥.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï á¨áâ¥¬ë ¬®£ãâ à ᯮ« £ âìáï

⮫쪮 ­

®á¨

¡áæ¨áá.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®çª ¬ ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¥© ®á¨

¡áæ¨áá

ᮮ⢥âáâ¢ãîâ íªáâ६ã¬ë ¯¥à¥å®¤­®£® ¯à®æ¥áá

x1(t):

 

 

 

 

áᬮâਬ ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­® á«ãç © ¯à®áâëå ¢¥é¥á⢥­-

­ëå ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥«. ãáâì s1 6= s2

s1 s2

2 R: ª ®â-

¬¥ç¥­® ¢ëè¥, ¯à¨ ¢¥é¥á⢥­­ëå ª®à­ïå å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®-

£® ¬­®£®ç«¥­

¨¬¥îâáï ᮡá⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë x0

= col 1 s

1g

 

x

0

= col 1 s

«¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯à¨

s

1

s

:

f

 

 

=

®®â¢¥â-

 

2

 

f

2g

 

1

6

2

 

 

 

 

áâ¢ãî騥 ¨¬ ᮡá⢥­­ë¥ ¯àï¬ë¥ «¥¦ â ¢ ¯¥à¢®¬ ¨ âà¥â쥬

ª¢ ¤à ­â å (si > 0 { ¯à®æ¥áá à á室¨âáï) ¨«¨ ¢® ¢â®à®¬ ¨ ç¥â¢¥à⮬ ª¢ ¤à ­â å (si < 0 { à¥è¥­¨¥ ¢¤®«ì ¯àאַ© § âã- å ¥â). ®®â¢¥âá⢥­­®, ¯®«ãç ¥¬ ãáâ®©ç¨¢ë© ¨«¨ ­¥ãá⮩ç¨- ¢ë© 㧥«, ¨«¨ ᥤ«®. à¨á. 5.3 ¯®ª § ­ë ä §®¢ë¥ ¯®àâà¥âë

¨ ¯¥à¥å®¤­ë¥ ¯à®æ¥ááë ⨯

"ᥤ«®" ( ), s1 = 1 s2

= ;3 ¨

"ãáâ®©ç¨¢ë© ä®ªãá" (¡), s1 2

= | = ;0:2

= 1 ¤«ï

á¨á⥬ë (5.8). ¤¨­ ª®¢ë¬¨ ¡ãª¢ ¬¨ ®â¬¥ç¥­ë ᮮ⢥âáâ¢ã- î騥 â®çª¨ ­ ä §®¢®© ¯«®áª®á⨠¨ ­ £à 䨪¥ ¯¥à¥å®¤­®£® ¯à®æ¥áá .

«ï ¢ë¯®«­¥­¨ï ¢ëç¨á«¥­¨© ¯. ¡) ¨á¯®«ì§®¢ ­ á«¥¤ãîé ï ¯à®£à ¬¬ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï «¨­¥©­®© á¨á⥬ë:

al=-0.2v beta=1v

{ § ¤ ­¨¥ ¯ à ¬¥â஢ á¨á⥬ë\

{ä®à¬¨à®¢ ­b¨¥ ¬ âà¨æëb A\ x0=[0.5, 0.3]\

{§ ¤ ­¨¥ ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨©\ t=0:0.05:15v

{§ ¤ ­¨¥ ¢à¥¬¥­¨ ¨ è £ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï\ u=zeros(size(t))vA=[0 1v -(al 2+beta 2) 2*al]

124

¨á. 5.3. §®¢ë¥ ¯®àâà¥âë ¨ ¯¥à¥å®¤­ë¥ ¯à®æ¥ááë ¢ (5.8).

{§ ¤ ­¨¥ ­ã«¥¢®£® ¢å®¤­®£® ¢®§¤¥©á⢨ï\ y=lsim(A,B,C,D,u,t,x0)v

{¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¥ á¨á⥬ë\ plot(y(:,1),y(:,2),'w'),grid

{¢ë¢®¤ ä §®¢®£® ¯®àâà¥â \ plot(t,y(:,1),'w'),grid

{¢ë¢®¤ ¯¥à¥å®¤­®£® ¯à®æ¥áá .

¯à®£à ¬¬¥ ¨á¯®«ì§®¢ ­ ®¯¨á ­­ ï ¢ ਫ®¦¥­¨¨ 3 ¯à®- 楤ãà ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï «¨­¥©­ëå ­¥¯à¥à뢭ëå á¨á⥬ lsim.

¤ ­­®¬ ¡ §¨á¥ ¯® ¢¨¤ã ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¨ ¬®¦­® ¯®«ã- ç¨âì ¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ãî ¨­ä®à¬ æ¨î ® ᪮à®á⨠¯à®â¥ª ­¨ï ¯à®æ¥áá . ¯à¨¬¥à, ¢à¥¬ï ¤¢¨¦¥­¨ï â®çª¨ ¯® ®â१ªã ¯ -

à««¥«ì­®© ®á¨ ¡áæ¨áá ¯àאַ© à ¢­® ®â­®è¥­¨î ¤«¨­ë íâ®-

£® ®â१ª (¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ¬ áèâ ¡¥) ª §­ 祭¨î ®à¤¨- ­ âë x2: «¥¥, ¥á«¨ à áᬠâਢ îâáï ¤¢¥ ªà¨¢ë¥ ­ ãç áâ- ª å á ®¤¨­ ª®¢ë¬¨ ¡áæ¨áá ¬¨, â® ¢à¥¬ï ¤¢¨¦¥­¨ï ¬¥­ìè¥ ¯® ⮩ ¨§ ­¨å, ª®â®à ï ­ ¨¡®«¥¥ 㤠«¥­ ®â ®á¨ ¡áæ¨áá.

­­ë¥ à áá㦤¥­¨ï, ¢¬¥áâ¥ á ¯à¨¢¥¤¥­­ë¬¨ ¢ ¯. 5.3. ¯®-

125

§¢®«ïîâ ¯®«ãç¨âì ¤®áâ â®ç­® ­ £«ï¤­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ® ä - §®¢ëå ¯®àâà¥â å ¢ 㪠§ ­­®¬ ¡ §¨á¥, ­® ¤«ï â®ç­®£® ¯®áâà®- ¥­¨ï âà ¥ªâ®à¨© ¨å ­¥¤®áâ â®ç­®. ¤¥áì ¬®¦¥â ®ª § âìáï 㤮¡­ë¬ á«¥¤ãî騩 ¬¥â®¤. ëç¨á«ï¥âáï ¬ âà¨æ ¯à¥®¡à - §®¢ ­¨ï T ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï ª ª ­®­¨ç¥áª®© ¦®à¤ ­®¢®© ä®à¬¥, ¤«ï ª®â®à®© áâநâáï ä §®¢ë© ¯®àâà¥â (ª ª 㪠§ - ­® ¢ 5.3.1.). ⥬ â®çª¨ ­ ¯®«ã祭­ëå âà ¥ªâ®à¨ïå ®¡à â- ­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬ á ¬ âà¨æ¥© T ;1 ¯¥à¥¢®¤ïâáï ­ ¨á室- ­ãî ¯«®áª®áâì. ¬¥â¨¬, çâ® ¤ ­­ë© ¬¥â®¤ ¬®¦­® ¨á¯®«ì- §®¢ âì ¤«ï ¯®áâ஥­¨ï ä §®¢ëå ¯®àâà¥â®¢ ¢ «î¡®¬ ¡ §¨á¥, ­¥ ⮫쪮 ¢ ¡ §¨á¥ ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬ë ä §®¢®© ¯¥à¥¬¥­­®©.

®áâ â®ç­® ¯à®áâ® ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢¨¤ ä §®¢ëå âà ¥ª- â®à¨© ¨ ¤«ï á¨á⥬ âà¥â쥣® ¯®à浪 . ਠ¯à®áâëå ª®à­ïå å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ ¨¬¥îâáï ¨«¨ âਠᮡá⢥­- ­ë¥ ¯àï¬ë¥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¢¥ªâ®à ¬¨ x01 x02 x03 «¨¡® ᮡ- á⢥­­ ï ¯àï¬ ï ¨ ¯«®áª®áâì, ¯®à®¦¤¥­­ ï ¢¥ªâ®à ¬¨ h1 h2 (ª ª ®¯¨á ­® ¢ 4.3.). ¢¨¦¥­¨¥ â®çª¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ ¯®«ãç - ¥âáï ª ª á㯥௮§¨æ¨ï ¤¢¨¦¥­¨© ¯® 㪠§ ­­ë¬ ¯®¤¯à®áâà ­- á⢠¬. ®«¥¥ ¤¥â «ì­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ¯® í⮬㠢®¯à®á㠯ਢ¥¤¥- ­ë ¢ [12].

5.4. ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦­¥­¨ï

1. «ï ¢ ਠ­â®¢

 

) { £) á¨á⥬ ¢â®à®£® ¯®à浪

x = Ax

¯à¨

) A =

0:875

;1:125

 

 

¡)

A =

 

1

;4

 

 

 

 

 

1:125

;1:675

 

 

 

2

;5

 

¢)

A =

 

;7:9

2:6

 

 

£)

A =

;50:8 26

 

 

 

;22:9

7:5

 

 

 

 

;101

51:2

¯®áâநâì ä §®¢ë¥ ¯®àâà¥âë ¢ ¨á室­®¬ ¨ ᮡá⢥­­®¬ (á. 121) ¡ §¨á å, ¢ ¡ §¨á¥ ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬ë ä §®¢®© ¯¥à¥¬¥­- ­®© (á. 123), ¨á¯®«ì§ãï ¬¥â®¤, ®¯¨á ­­ë© ¢ ª®­æ¥ ¯à¥¤ë¤ãé¥- £® ¯ à £à ä .

2. «ï á¨á⥬ âà¥â쥣® ¯®à浪 , ä §®¢ë¥ ¯®àâà¥âë ª®â®- àëå ¯à¨¢¥¤¥­ë ­ à¨á. 5.4, ª ç¥á⢥­­® ¯®ª § âì à ᯮ«®¦¥-

­¨¥ ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥« ­ ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®á⨠(¬ áèâ ¡ë ¯® ¢á¥¬ ®áï¬ ®¤¨­ ª®¢ë¥).

126

¨á. 5.4. §®¢ë¥ ¯®àâà¥âë ª § ¤ ç¥ 2.

127

6.- .

6.1. ¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï. ®à¬ã« ®è¨

áᬮâਬ «¨­¥©­ãî á¨á⥬ã, § ¤ ­­ãî ãà ¢­¥­¨¥¬ á®áâ®- ï­¨ï

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) x(t0) = x0

(6.1)

£¤¥ x(t)2Rn u(t)2Rm: á ¨­â¥à¥áã¥â à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ®è¨ { â.¥. ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ä㭪樨 x(t) ¯® § ¤ ­­®¬ã ­ ç «ì­®¬ã á®áâ®ï­¨î x0 ¯à¨ ¨§¢¥áâ­®¬ ¢å®¤­®¬ ¯à®æ¥áᥠu(t): 1 áᬮâ- ਬ ¢­ ç «¥ à¥è¥­¨¥ ®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï.

6.1.1. ¥è¥­¨¥ ®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï

 

áᬮâਬ ãà ¢­¥­¨¥

 

x(t) = A(t)x(t)

(6.2)

x(t) 2 Rn: ãáâì ­ ¬ ¨§¢¥áâ­® n à¥è¥­¨© (6.2) ®â­®á¨â¥«ì- ­® ­¥ª®â®à®£® ¬®¬¥­â t0 : xi (t0) = x0 i i = 1 2 : : : n : ¡ê-

¥¤¨­¨¬ í⨠à¥è¥­¨ï xi(t) ¢ n n-¬ âà¨ç­ãî äã­ªæ¨î X(t) =

[x1(t). x2(t). : : : . xn(t)]: § ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥- ­¨© ¨§¢¥á⥭ á«¥¤ãî騩 १ã«ìâ â [12, 79, 97] (" «ìâ¥à­ â¨-

¢ ஭᪮£®"): «¨¡® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ஭᪮£® W(t)=det X (t) 0 (¤«ï ¢á¥å t), «¨¡®W(t)6=0 (­¨ ¯à¨ ª ª®¬t). ®í⮬㠥᫨ ¢¥ª-

â®àë x0 i «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë, â® ¬ âà¨æ X(t) ¡ã¤¥â ­¥¢ëà®- ¦¤¥­­®© ¯à¨ ¢á¥å t: ®«ã祭­ ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ âà¨æ X (t)

­§ë¢ ¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¬ âà¨æ¥© á¨á⥬ë (6.2). â®

­§¢ ­¨¥ á¢ï§ ­® á ⥬, çâ® ¢¥ªâ®à-ä㭪樨 xi(t) ®¡à §ãîâ

äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî á¨á⥬ã à¥è¥­¨© ¤ ­­®£® ãà ¢­¥­¨ï: à¥- 襭¨¥ § ¤ ç¨ ®è¨ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå

x0 ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëà ¦¥­® ¢ ¢¨¤¥ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ 樨 äã­ª- 権 xi(t) : x(t) = Pni=1 ixi(t) £¤¥ i ¥áâì ª®íää¨æ¨¥­âë à §- «®¦¥­¨ï ­ ç «ì­®£® ¢¥ªâ®à x0 ¯® á¨á⥬¥ ¡ §¨á­ëå ¢¥ªâ®- ஢ x0 i ( â.¥. x0 = Pni=1 ix0 i): ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ äã­¤ ¬¥­- â «ì­®© ¬ âà¨æë X(t) íâ® ä ªâ ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¥ªâ®à­®©

1 ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ ¯à®æ¥áá x(t) ¯®«ã祭, â® ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¢ë室 á¨á⥬ë y(t) ­¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á«®¦­®á⨠¨ ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥¯®á।á⢥­­® ¯® ãà ¢­¥­¨î ¢ë室 y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t):

128

ä®à¬¥: x(t) = X(t)C £¤¥ ¢¥ªâ®à C = [ 1 : : : n]T ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãà ¢­¥­¨ï x0 = X0C: ¬¥â¨¬, çâ® ¬ âà¨æ -äã­ªæ¨ï X(t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î

X_ (t) = A(t)X(t) X(t0) = X0:

¥¯¥àì ¢¢¥¤¥¬ ¬ âà¨æã (t t0) = X(t)X0;1 ­ §ë¢ ¥¬ãî ¯¥- à¥å®¤­®©, ¨«¨ ¨¬¯ã«ìá­®©, ¬ âà¨æ¥©. 祢¨¤­®, çâ® (t0 t0 ) =

In - ¥¤¨­¨ç­ ï ¬ âà¨æ . ªâ¨ç¥áª¨ (t t0 ) ¥áâì äã­¤ ¬¥­- â «ì­ ï ¬ âà¨æ , ¯®«ã祭­ ï, ¥á«¨ ¢ ª ç¥á⢥ ­ ç «ì­ëå ¢¥ªâ®à®¢ x0 i ¨á¯®«ì§®¢ âì ¥¤¨­¨ç­ë¥ ¢¥ªâ®àë

ei = [0 : : : 1

: : : 0]T

:

|{z}

 

i

 

 

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ¯¥à¥å®¤­®© ¬ âà¨æë ¢ë¯®«­¥­® ãà ¢­¥- ­¨¥

(t t0) = A(t) (t t0) (t0 t0) = In:

(6.3)

ãç¥â®¬ ⮣® çâ® à¥è¥­¨¥ ®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï ®¯à¥¤¥- «ï¥âáï ç¥à¥§ äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¬ âà¨æã ¨ çâ® ª®íää¨æ¨¥­âë à §«®¦¥­¨ï x0 ¯® á¨á⥬¥ ¥¤¨­¨ç­ëå ¢¥ªâ®à®¢ ᮢ¯ ¤ îâ á ª®¬¯®­¥­â ¬¨ x(0i) ¢¥ªâ®à x0 ¯®«ã稬 à¥è¥­¨¥ ®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï (6.2) ç¥à¥§ ¯¥à¥å®¤­ãî ¬ âà¨æã ¢ ¢¨¤¥

x(t) = (t t0)x0:

(6.4)

â®¡ë ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯®«ã祭­ë¬ ¢ëà ¦¥­¨¥¬, á«¥¤ã¥â à ᯮ« £ âì ᯮᮡ®¬ ¢ëç¨á«¥­¨ï ¯¥à¥å®¤­®© ¬ âà¨æë. ᮦ «¥­¨î, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ­¥â ­ «¨â¨ç¥áª®£® ¢ëà ¦¥­¨ï

¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï (t t0 ): ­¥ª®â®àëå ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç å ¬®¦­® à¥è¨âì (6.3) ç¨á«¥­­®, § ⥬ ¨á¯®«ì§®¢ âì (6.4) ¯à¨ à §«¨ç­ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå. ¤­ ª® â ª®© ᯮᮡ á¢ï§ ­ á åà ­¥­¨¥¬ ¡®«ìè¨å ®¡ê¥¬®¢ ¤ ­­ëå ¨ ¨¬¥¥â ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥. ­¥ª®â®àëå á«ãç ïå 楫¥á®®¡à §­® ¢ëà ¦ âì à¥è¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥ à冷¢ [25]. ãé¥á⢥­­®¥ ã¯à®é¥­¨¥ ¯®«ã-

ç ¥âáï ¢ áâ 樮­ à­®¬ á«ãç ¥, â.¥. ¯à¨ ¯®áâ®ï­­®© ¬ âà¨æ¥ A(t) A: «ï â ª¨å á¨á⥬ ¬ âà¨æ (t t0 ) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ®¤­®£® à£ã¬¥­â = t ; t0 ¨ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬ âà¨ç­®© íªá- ¯®­¥­â®© (t t0 ) = eA = t ; t0 ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¢ ¢¨¤¥ àï¤

 

(A )2

(A )k

1

(A )k

 

 

eA =In+A +

 

+ + k! + In+

X

 

:

(6.5)

2

k!

k=1

 

 

129

 

 

 

 

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï áâ 樮­ à­ëå ®¤­®à®¤­ëå «¨­¥©­ëå á¨- á⥬ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ®è¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©

x(t) = eA x0 = t ; t0 :

(6.6)

¬¥â¨¬, çâ® ¯®¢¥¤¥­¨¥ â ª¨å á¨á⥬ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ­ ç «ì- ­®£® ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t0 ( ⮫쪮 ®â ¢à¥¬¥­­®£® ¯à®¬¥¦ãâª= t ; t0), ¯®í⮬㠢 áâ 樮­ à­®¬ á«ãç ¥ 㤮¡­® áç¨â âì t0 = 0 ¨ ¢ëà ¦¥­¨¥ (6.6) § ¯¨áë¢ âì ¢ ¢¨¤¥

x(t) = eAtx0 :

(6.7)

ëç¨á«¥­¨¥ ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë ï¥âáï §­ ç¨â¥«ì­® ¡®- «¥¥ ¯à®á⮩ § ¤ 祩, 祬 ­ 宦¤¥­¨¥ ¯¥à¥å®¤­®© ¬ âà¨æë ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥. ª, ¤«ï ¤¨ £®­ «ì­®© ¬ âà¨æë A = diagfs1 s2 : : : sng ¬ âà¨æ eAt â ª¦¥ ¤¨ £®­ «ì­ ï ¨ á®á⮨⠨§ ᪠- «ïà­ëå íªá¯®­¥­â: eAt = diagfes1t es2t : : : esntg: ®áâ â®ç­® ¯à®á⮩ ¢¨¤ ¬ âà¨ç­ ï íªá¯®­¥­â ¨¬¥¥â ¨ ¤«ï ¡®«¥¥ ®¡é¥©, ¦®à¤ ­®¢®©, ä®à¬ë ¬ âà¨æë A. ¥ª®â®àë¥ á¯¥ªâë ¢ëç¨- á«¥­¨ï ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¡ã¤ãâ à áᬮ- âà¥­ë ­¨¦¥ (¢ 6.5.), ᥩç á ®¡à ⨬áï ª à¥è¥­¨î ­¥®¤­®- த­®£® ãà ¢­¥­¨ï (6.1).

6.1.2. ¥è¥­¨¥ ­¥®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï

ª ¨§¢¥áâ­®, à¥è¥­¨¥ «î¡®£® ­¥®¤­®à®¤­®£® «¨­¥©­®£® ãà ¢-

­¥­¨ï (6.1) ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ x(t) = x¯(t) + x¢ (t) £¤¥ x¯(t) { ¯¥à¥å®¤­ ï á®áâ ¢«ïîé ï { à¥è¥­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî- 饣® ®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï (6.2) ¯à¨ § ¤ ­­ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå\ x¢ (t) { ¢ë­ã¦¤¥­­ ï á®áâ ¢«ïîé ï - à¥è¥­¨¥ ãà ¢- ­¥­¨ï (6.1) ¯à¨ ­ã«¥¢ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå. ­® ¨¬¥¥â ¢¨¤

[3, 47, 94, 66]

 

 

 

t

 

 

 

x¢ (t) = Zt0

(t )B( )u( )d :

 

з¨вл¢ п ¢ла ¦¥­¨¥ (6.4), § ¯¨и¥¬ б«¥¤гойго ä®à¬ã«ã ®-

è¨:

t

 

 

 

 

 

x(t) = (t t0)x0 + Zt0

(t )B( )u( )d :

(6.8)

«ï áâ 樮­ à­ëå á¨á⥬ íâ ä®à¬ã« ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤

 

 

 

t

 

x(t) = eA(t;t0)x0 + Zt0 eA(t; )Bu( )d

(6.9)

 

130

 

 

¨«¨, ¯à¨ t0

= 0

{

x(t) = eAtx0 + t eA(t; )Bu( )d : áᬮâਬ

 

 

 

 

 

0

 

 

 

­¥¡®«ì让 ¯à¨¬¥à.

 

R

 

 

 

ਬ¥à.

®«ã稬 ¯¥à¥å®¤­ãî å à ªâ¥à¨á⨪㠯¥à¨®-

¤¨ç¥áª®£® §¢¥­

¯¥à¢®£® ¯®à浪 , § ¤ ­­®£® ¯¥à¥¤ â®ç­®©

ä㭪樥© W(s) =

1

: ⮬㠧¢¥­ã ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ãà ¢-

T s + 1

­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï x(t) =

Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

£¤¥

A = ;1=T B = 1=T C = 1: ®« £ ï x0 = 0 u(t)

1

¯®«ã稬 ¯® ä®à¬ã«¥ (6.9)

 

 

 

x(t) =

1

Z0 t e;(t; )=T d = e;t=T e =T

0t = 1 ; e;t=T

 

T

 

ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¨§¢¥áâ­ë¬ ¢ëà ¦¥­¨¥¬ ¤«ï

¯¥à¥å®¤­®© å -

à ªâ¥à¨á⨪¨.

6.1.3. ¢®©á⢠¯¥à¥å®¤­®© ¬ âà¨æë

ਢ¥¤¥¬ ¯¥à¥ç¥­ì ®á­®¢­ëå ᢮©á⢠¯¥à¥å®¤­®© ¬ âà¨æë.

1.«ï ¢á¥å t0 ¢ë¯®«­¥­® (t0 t0 ) = In:

2.à ¢¨«® ª®¬¯®§¨æ¨¨: ¤«ï ¢á¥å t0 t1 t ¢ë¯®«­¥­®

(t t0 ) = (t t1) (t1 t0):

3.

det (t t0 ) 6= 0 ¤«ï ¢á¥å t0 t:

 

 

4.

(t t0 ) = X(t)X(t0 );1 £¤¥ X(t) { «î¡ ï äã­¤ ¬¥­â «ì-

­ ï ¬ âà¨æ .

 

 

 

5.

(t t0 );1 = (t0 t) ¤«ï ¢á¥å t0

t:

6.

¯à ¢¥¤«¨¢® ãà ¢­¥­¨¥

 

 

 

(t t0) = A(t) (t t0 )

(t0 t0 ) = In:

7.

âà¨æ (t0 t)T 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãî饬ã ᮯàï-

¦¥­­®¬ã ãà ¢­¥­¨î

 

 

 

 

d (t0 t)T =

A(t)T (t t0)T

 

(t0 t0) = In:

 

dt

;

 

 

­­®¥ ᢮©á⢮ ¯®«¥§­® ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ ­¥áâ 樮­ à­ëå á¨á⥬, â ª ª ª ¤ ¥â ᯮᮡ ¯®«ã祭¨ï "á¥ç¥­¨©" ¯¥à¥å®¤­®©

¬ âà¨æë ¯® à£ã¬¥­âã t0:

131