Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

áᬮâਬ ⥯¥àì ­¥ª®â®àë¥ á«¥¤áâ¢¨ï ¨§ ä®à¬ã«ë ®- è¨.

6.2. ëç¨á«¥­¨¥ ä㭪樨 ¢¥á

¥á®¢ ï (¨¬¯ã«ìá­ ï) äã­ªæ¨ï w(t) ®¡ëç­® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï, ª ª ॠªæ¨ï á¨áâ¥¬ë ­ -®¡à §­®¥ ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ¯à¨ ­ã- «¥¢ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå [15, 66, 76, 95]. â äã­ªæ¨ï ¨¬¥¥â ¬­®£® à §­ëå ¯à¨¬¥­¥­¨© ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ á¨á⥬ ¢â®¬ - â¨ç¥áª®£® ã¯à ¢«¥­¨ï ( ), ¨ § ¤ ç ¥¥ ¯®«ã祭¨ï, ­ ¯à¨- ¬¥à { ç¨á«¥­­ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨, ï¥âáï ªâã «ì­®©. 祢¨¤-

­ ï âà㤭®áâì á®á⮨⠢ ⮬, çâ® -äã­ªæ¨ï ¨à ª ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ॠ«¨§®¢ ­ ­ ­ «®£®¢ëå ¨«¨ æ¨ä஢ëå ¬®¤¥«¨àãî- é¨å ãáâ ­®¢ª å. áᬮâਬ à¥è¥­¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ ¡¥§ ¢¢¥- ¤¥­¨ï -ä㭪権 ¢® ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥.

।¢ à¨â¥«ì­® ᤥ« ¥¬ á«¥¤ãî饥 § ¬¥ç ­¨¥. ë室- diyi dt

¬®£ãâ ¨¬¥âì à §àë¢ë ¯à¨ à §à뢭®¬ ¢å®¤­®¬ ¢®§¤¥©á⢨¨ u(t). ®í⮬㠯ਠ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ w(t) 㪠§ë¢ îâáï ­ ç «ì­ë¥

­ã«ì ¯à¨ à ¢¥­á⢥ ¢¥àå­¥£® ¨ ­¨¦­¥£® ¯à¥¤¥«®¢ ¨­â¥£à¨à®- ¢ ­¨ï. ®í⮬㠢 ¨­â¥à¥áãî饬 ­ á á«ãç ¥ x(0) = x(0;):ਠ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ w(t) ¯®« £ ¥¬ x0 = 0: ®áª®«ìªã ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ u(t) = (t) ¨¬¥¥â à §àë¢ ¢â®à®£® த , §­ ç¥-

­¨¥ x(0+) = limtt>!00 x(t) ¡ã¤¥â ®â«¨ç âìáï ®â x0: â®¡ë ®¯à¥- ¤¥«¨âì x(0+) ¨á¯®«ì§ã¥¬ ®á­®¢­®¥ ᢮©á⢮ -ä㭪権: ¤«ï

132

«î¡®© ­¥¯à¥à뢭®© ¯à¨ t = 0 ä㭪樨 f(t) ¨ t 0 ¢ë¯®«-

­¥­® R0t f ( ) ( )d = f (0): ᯮ«ì§ãï í⮠᢮©á⢮ ¢ ä®à¬ã«¥ (6.9) ¯à¨ u(t) = (t) x0 = 0 ¯®«ã稬 x(t) = eAtB: ¥¯¥àì ¨§ ãà ¢­¥­¨ï ¢ë室 y(t) = Cx(t) ¯®«ã稬 ¨áª®¬ãî ¢¥á®- ¢ãî äã­ªæ¨î ¢ ¢¨¤¥ w(t) = CeAtB: «ï ­¥á®¡á⢥­­ëå á¨á⥬ w(t) = CeAtB + D (t): 2

¬¥â¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¯®«ã祭­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï x(t) ᮢ-

¯¤ ¥â á ᮡá⢥­­ë¬ ¤¢¨¦¥­¨¥¬ á¨áâ¥¬ë ¯à¨ ­ ç «ì­®¬ á®-

áâ®ï­¨¨ x0 = B: ­ ç¨â, ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ¢¥á®¢®© ä㭪樨 ¬®¦­® à¥è¨âì ®¤­®à®¤­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ x(t) = Ax(t) ¯à¨ ­ - ç «ì­®¬ ãá«®¢¨¨ x0 = B ¨ ¢ëç¨á«¨âì w(t) = Cx(t)\ ¨­ ç¥ £®¢®àï, á«¥¤ã¥â ¯à®¬®¤¥«¨à®¢ âì ¨á室­ãî á¨á⥬㠯ਠ­ã- «¥¢®¬ ¢å®¤­®¬ ¢®§¤¥©á⢨¨ ¨ ­¥­ã«¥¢®¬ ­ ç «ì­®¬ á®áâ®ï- ­¨¨. ª®© ᯮᮡ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ä㭪樨 ¢¥á ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¨­ï⮬㠢 à ¡®â å ¯® ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥- ­¨© ¯®¤å®¤ã, ᮣ« á­® ª®â®à®¬ã íâ äã­ªæ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª à¥è¥­¨¥ ®¤­®à®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå, ¢¨¤ ॠªæ¨¨ á¨áâ¥¬ë ­ -äã­ªæ¨î ¢ë¢®¤¨âáï ¢ ª ç¥á⢥ á«¥¤á⢨ï.

6.3.¯à¥¤¥«¥­¨¥ ­ ç «ì­®£® á®áâ®ï­¨ï ¯® ­ ç «ì­®¬ã §­ 祭¨î ¢ë室 ¨ ¥£® ¯à®¨§¢®¤­ëå

à拉 á«ãç ¥¢ ¨á室­®¥ ®¯¨á ­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤ ¤¨ää¥- à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï n-£® ¯®à浪 :

íª¢¨¢ «¥­â­®¥ ¤ ­­ë¬ ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨ï¬ á â®çª¨ §à¥­¨ï ॠªæ¨¨ ­ ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥.

2 ¤¥áì ¯à¥¤¯®« £ «®áì, çâ® ¢å®¤­®© ¯à®æ¥áá ᪠«ïà­ë©, u(t)2R á«¥- ¤®¢ ⥫쭮, B { ®¤­®á⮫¡æ®¢ ï ¬ âà¨æ . ­­ë© १ã«ìâ â «¥£ª® ®¡®¡- é ¥âáï ­ ¢¥ªâ®à­ë© á«ãç ©, ¢ ª®â®à®¬ ¯®¤áâ ­®¢ª®© i-£® á⮫¡æ ¬ âà¨- æë B ¢ ­ ©¤¥­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï w(t) ¯®«ã稬 ­ ¡®à ¢¥á®¢ëå ä㭪権 wi(t) ¯® ª ¦¤®¬ã ¢å®¤ã ui :

133

«ï ¯à®áâ®âë ¨§«®¦¥­¨ï ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® u(t) 0 ¯à¨ t < 0 ¨ çâ® ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ­¥ ᮤ¥à¦¨â (t): ãç¥â®¬ í⮣®, ¤«ï t < 0 ¨§ (6.11) ¯®«ã稬

y(0;) = Cx0 y(0;) = x(0) = CAx0 : : : yn;1(0;) = CAn;1x0:

ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ ¬¨ ­ ©¤¥­ á¨á⥬ n ãà ¢­¥­¨© ®â­®á¨-

âà¨æ Q ­¥¢ë஦¤¥­­ ï det Q = 0: ª ¡ã¤¥â ¯®ª § ­® ­¨¦¥, ¢

7.3., ¤ ­­®¥ ãá«®¢¨¥ ®§­ ç ¥â 6 á¨á⥬ë

¯®«­ãî ­ ¡«î¤ ¥¬®áâì

(6.11). â® ¯à¨¢®¤¨â ª ­¥ª®â®àë¬ ®£à ­¨ç¥­¨ï¬ ¢ ¢ë¡®à¥ ¡ -

§¨á ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ (6.11) ¨¬¥¥â ¢¨¤(á¬. 2.3.), â® Q = In ¯à¨ «î¡ëå ª®íää¨æ¨¥­â å ãà ¢­¥- ­¨ï (6.10), á«¥¤®¢ ⥫쭮, x0 = z:

¬¥â¨¬, ªà®¬¥ ⮣®, çâ® ¯à¨ ­ã«¥¢ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨-

6.4. ¨áªà¥â­ë¥ ¬®¤¥«¨ ­¥¯à¥à뢭ëå á¨á⥬

¦­л¬ б«¥¤бв¢¨¥¬ ¨§ д®а¬г«л ®и¨ п¢«повбп «£®а¨в¬л ¯а¥®¡а §®¢ ­¨п ¬®¤¥«¥© б¨бв¥¬, § ¤ ­­ле ¢ ¢¨¤¥ ¤¨дд¥а¥­- ж¨ «м­ле га ¢­¥­¨©, ª а §­®бв­л¬ га ¢­¥­¨п¬. в® ¯а¥- ®¡а §®¢ ­¨¥ б¢п§ ­® б § ¤ з¥© ¯®бва®¥­¨п ¤¨бªа¥в­ле ¬®- ¤¥«¥© ­¥¯а¥ал¢­ле б¨бв¥¬. бᬮва¨¬ ¥¥ ¡®«¥¥ ¯®¤а®¡­®.

134

6.4.1. ®áâ ­®¢ª § ¤ ç¨ ¤¨áªà¥â¨§ 樨

ãáâì ¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ¬®¤¥«ì á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤

x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) t2R: (6.13)

ॡã¥âáï ¯®«ãç¨âì íª¢¨¢ «¥­â­ãî á¨á⥬ã à §­®áâ­ëå ãà ¢- ­¥­¨©: 3

x[k + 1]=P x[k]+Qu[k] y[k]=C0x[k]+D0u[k] k=0 1 : : : :(6.14)ª¢¨¢ «¥­â­®áâì á¨á⥬ ¯®­¨¬ ¥âáï ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ¯à¨

ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå ¨å ॠªæ¨¨ ­ ®¤­® ¨ â® ¦¥ ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ᮢ¯ ¤ îâ. ®«¥¥ ¯®¤à®¡­®, íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® ¯à¨ u[k] = u(tk ) £¤¥ tk = kT0 T0 = const {

¨­â¥à¢ « ª¢ ­â®¢ ­¨ï, ¨«¨ ¯¥à¨®¤ ¤¨áªà¥â­®áâ¨, ¢ë¯®«­¥­® y[k] = y(tk ) { à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© (6.13) ¨ (6.14) ᮢ¯ ¤ îâ ¯à¨

tk = kT0:

¥à¥ç¨á«¨¬ àï¤ ¯à¨«®¦¥­¨©, ¤«ï ª®â®àëå à¥è¥­¨¥ í⮩

§¤ ç¨ ªâã «ì­®.

1.áá«¥¤®¢ ­¨¥ ¨¬¯ã«ìá­ëå á¨á⥬. ¬¯г«мб­л¥ б¨бв¥¬л д ªв¨з¥бª¨ п¢«повбп б¨бв¥¬ ¬¨ ­¥¯а¥ал¢­®£® ¤¥©- бв¢¨п, ­® ¢ б¨«г ¯а¥ал¢ ­¨п ¨§¬¥а¥­¨© б¨£­ « ¨¬¯г«мб­л¬ н«¥¬¥­в®¬ ®­¨ ¢¥¤гв б¥¡п, ª ª ­¥бв ж¨®­ а­л¥ б ¯¥а¨®¤¨-

ç¥áª¨ ¨§¬¥­ï¥¬ë¬ ª®íää¨æ¨¥­â®¬. ãé¥á⢥­­® ã¯à®áâ¨âì ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ â ª¨å á¨á⥬ ¬®¦­®, ¥á«¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ¨å ¤¨á- ªà¥â­ë¬¨ ¬®¤¥«ï¬¨, ®¯¨áë¢ î騬¨ ¯à®æ¥ááë ®â­®á¨â¥«ì­® ¬®¬¥­â®¢ "áà ¡ âë¢ ­¨ï" ¨¬¯ã«ìá­®£® §¢¥­ .

2. áá«¥¤®¢ ­¨¥ æ¨ä஢ëå á¨á⥬ ã¯à ¢«¥­¨ï. â® ¯à¨«®¦¥­¨¥ ï¥âáï ®¤­¨¬ ¨§ ­ ¨¡®«¥¥ ªâã «ì­ëå ¢ á¢ï- §¨ á è¨à®ª¨¬ ¯à¨¬¥­¥­¨¥¬ æ¨ä஢ëå ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ëå ãáâà- ®©á⢠¢ .

â ª¨å á¨á⥬ å ã¯à ¢«ïîé ï à ¡®â ¥â ¢ ०¨¬¥ ॠ«ì­®£® ¢à¥¬¥­¨ ᮢ¬¥áâ­® á ã¯à ¢«ï¥¬®© (­¥¯à¥à뢭®©) á¨á⥬®©. ® ¯à¨­æ¨¯ã ¤¥©á⢨ï ï¥âáï ãáâனá⢮¬ ¤¨áªà¥â­®£® ¢à¥¬¥­¨ ¨ ¯à®æ¥áá ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¢ ­¥© ᨣ­ - « ®¯¨áë¢ ¥âáï à §­®áâ­ë¬¨ ãà ¢­¥­¨ï¬¨. ª¨¬ ®¡à §®¬,

3 ¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ ¯à¨ 㪠§ ­¨¨ ­ §­ 祭¨¥ ä㭪樨 ¤¨áªà¥â­®£® à£ã- ¬¥­â k = 0 1 : : : ¯®á«¥¤­¨© ¯®¬¥é ¥âáï ¢ ª¢ ¤à â­ë¥ ᪮¡ª¨. ­ 祭¨ï ®¤­®¨¬¥­­®© ä㭪樨 ¢¥é¥á⢥­­®£® à£ã¬¥­â t 2 R ¯à¨ § ¯¨á¨ ª®â®- àëå ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ªàã£«ë¥ áª®¡ª¨, ¬®£ãâ ¡ëâì, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¤à㣨¬¨.

135

¨¬¥¥âáï "£¨¡à¨¤­ ï" á¨á⥬ , ¬®¤¥«ì ª®â®à®© ¨¬¥¥â ¢¨¤ ¤¨- ää¥à¥­æ¨ «ì­®-à §­®áâ­ëå ãà ¢­¥­¨©. á¯à®áâà ­¥­­ë¬ ¬¥â®¤®¬ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï â ª¨å á¨á⥬ ï¥âáï ¯¥à¥å®¤ ª ¥¤¨-

­®© ä®à¬¥ ®¯¨á ­¨ï ª ª ॣã«ïâ®à (§ ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï), â ª ¨ ®¡ê¥ªâ ¢ ¢¨¤¥ à §­®áâ­ëå ãà ¢­¥­¨©. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ âॡã¥âáï ­ ©â¨ ¤¨áªà¥â­ãî ¬®¤¥«ì ã¯à ¢«ï- ¥¬®£® ®¡ê¥ªâ .

3. ¨­â¥§ æ¨ä஢ëå á¨á⥬ ã¯à ¢«¥­¨ï ¯® ­¥¯à¥- à뢭®© ¬®¤¥«¨. ­­ë© ¯®¤å®¤ ï¥âáï ¢ ­¥ª®â®à®¬ á¬ë-

á«¥ «ìâ¥à­ ⨢­ë¬ ¯à¥¤ë¤ã饬ã. ᮮ⢥âá⢨¨ á ­¨¬ á¨- á⥬ ¢ 楫®¬ à áᬠâਢ ¥âáï á­ ç « ª ª ­¥¯à¥à뢭 ï ¨ ¤«ï ­¥¥ ¨§¢¥áâ­ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ ⥮ਨ ­¥¯à¥à뢭ëå á¨á⥬ à §à ¡ âë¢ ¥âáï § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï. ⥬ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¯¥- à¥å®¤ ª ®¯¨á ­¨î ¯®«ã祭­®£® § ª®­ à §­®áâ­ë¬¨ ãà ¢- ­¥­¨ï¬¨ ¤«ï æ¨ä஢®© ॠ«¨§ 樨. ®á«¥ í⮣® ¯à®¨§¢®- ¤¨âáï ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ ᨭ⥧¨à®¢ ­­®© ­¥¯à¥à뢭®-¤¨áªà¥â­- ®© á¨á⥬ë, ª®â®à®¥ ¯®§¢®«ï¥â ãáâ ­®¢¨âì, ­ ᪮«ìª® áãé¥- á⢥­­ë¬ ï¥âáï ª¢ ­â®¢ ­¨¥ ¯à®æ¥áá ã¯à ¢«¥­¨ï ­ ¤¨- ­ ¬¨ªã. ⬥⨬, çâ® ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¬ «®¬ (¯® áà ¢­¥- ­¨î á® ¢à¥¬¥­¥¬ t¯ ¯¥à¥å®¤­ëå ¯à®æ¥áᮢ ¢ § ¬ª­ã⮩ á¨-

á⥬¥) ¨­â¥à¢ «¥ T0 íâ® ¢«¨ï­¨¥ ®¡ëç­® ®ª §ë¢ ¥âáï ­¥§­ - ç¨â¥«ì­ë¬ ¨ â ª®© ¯®¤å®¤ ®¯à ¢¤ ­. 4 ­­ë© ¬¥â®¤ ­ å®- ¤¨â è¨à®ª®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¢ ¡«¨§ª®© § ¤ ç¥ á¨­â¥§ æ¨ä஢ëå ç áâ®â­®-¨§¡¨à ⥫ì­ëå 䨫ìâ஢ ¯® ­ «®£®¢®¬ã ¯à®â®â¨- ¯ã [26].

¡®á­®¢ ­¨¥ ¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠í⮣® ¬¥â®¤ ¤«ï è¨à®ª®£® ª« áá ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ ¤ ­® ¢ à ¬ª å â ª

­§ë¢ ¥¬®£® "¬¥â®¤ ­¥¯à¥à뢭ëå ¬®¤¥«¥©" [36].

4.¨á«¥­­®¥ à¥è¥­¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥- ­¨©. ਠà¥è¥­¨¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© ­ ॠ«¨§ã¥âáï ­¥ª®â®à ï ४ãàà¥­â­ ï ¯à®æ¥¤ãà . â ¯à®æ¥- ¤ãà ®¯¨áë¢ ¥âáï ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 à §­®áâ­ë¬ ãà ¢­¥­¨-

¥¬, ª®â®à®¥ ¬®¦¥â à áᬠâਢ âìáï ¢ ª ç¥á⢥ ¤¨áªà¥â­®© ¬®¤¥«¨ ¨á室­®© ­¥¯à¥à뢭®© á¨á⥬ë.

«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¯®áâ ¢«¥­­ ï ¢ë-

4 æ¨ä஢ëå á¨á⥬ å ã¯à ¢«¥­¨ï ­¥¯à¥à뢭묨 ®¡ê¥ªâ ¬¨ ४®- ¬¥­¤ã¥âáï ¢ë¯®«­¥­¨¥ ᮮ⭮襭¨ï T0 < 0:05t¯ â ª ª ª ¢ ¯à®â¨¢­®¬ á«ã- ç ¥ §­ 祭¨ï ­¥¯à¥à뢭®£® ¯à®æ¥áá ¬¥¦¤ã "㧫 ¬¨" ª¢ ­â®¢ ­¨ï ¬®£ãâ áãé¥á⢥­­® ®â«¨ç âìáï ®â à ááç¨â ­­®© ¤¨áªà¥â­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮- áâ¨. à㣨¬ ®£à ­¨ç¥­¨¥¬ ­ T0 ï¥âáï âॡ®¢ ­¨¥ ¯®¤ ¢«¥­¨ï ¢®§¬ã- 饭¨© ¨ ¯®¬¥å.

136

è¥ § ¤ ç ­¥ ¨¬¥¥â â®ç­®£® à¥è¥­¨ï. â® á¢ï§ ­® á ⥬, çâ® ¯à¨ ¤¨áªà¥â¨§ 樨 ¢å®¤­®£® ¯à®æ¥áá â¥àï¥âáï ¨­ä®à¬ æ¨ï ® ¥£® §­ 祭¨ïå ¬¥¦¤ã 㧫 ¬¨ ª¢ ­â®¢ ­¨ï. «¥¤®¢ ⥫ì- ­®, ¢ë室 ¤¨áªà¥â­®© ¬®¤¥«¨ ®â íâ¨å §­ 祭¨© § ¢¨á¥âì ­¥ ¬®¦¥â, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ॠªæ¨ï ¨á室­®© ­¥¯à¥à뢭®© á¨áâ¥- ¬ë, ¥áâ¥á⢥­­®, § ¢¨á¨â ®â ¢á¥å §­ 祭¨© ¢å®¤­®£® ¯à®æ¥áá .®í⮬㠢 ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ­¥¨§¡¥¦­ «£®à¨â¬¨ç¥áª ï ®è¨¡- ª . ¤­ ª® ¨¬¥îâáï á¨âã 樨, ¢ ª®â®àëå ¤¨áªà¥â­ ï ¬®¤¥«ì, ¢ ¯à¨­æ¨¯¥, ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®áâ஥­ â®ç­®. «ï í⮣® âॡã¥â-

¢®£® த , â ª¦¥ ¤«ï æ¨ä஢ëå á¨á⥬ ã¯à ¢«¥­¨ï, ¥á«¨ ¢ ª ç¥á⢥ ¢å®¤­®£® ¯à®æ¥áá à áᬠâਢ ¥âáï ã¯à ¢«ïî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥ ®â . ¥©á⢨⥫쭮, ¢ ¯®á«¥¤­¥¬ á«ãç ¥ ¨á- 室­ë¬ ï¥âáï ¤¨áªà¥â­ë© ¯à®æ¥áá u[k] ª®â®àë© ¯à¥®¡à - §ã¥âáï ¢ ­¥¯à¥àë¢­ë© ¢å®¤­®© ᨣ­ « u(t) á ¯®¬®éìî íªáâà ¯®«ïâ®à . ®í⮬ã, §­ ï ¯à®æ¥áá u[k] ¬®¦­® ®¤­®§­ ç­® ¢®ááâ ­®¢¨âì u(t): «ï ¤à㣨å á«ãç ¥¢ å à ªâ¥à­ ¬¥â®¤¨ç¥- áª ï ®è¨¡ª . ¥ §­ 祭¨¥ ¡ã¤¥â ⥬ ¬¥­ìè¥, 祬 ¬¥¤«¥­­¥¥ ¨§¬¥­ï¥âáï ¢å®¤­®© ¯à®æ¥áá ¨«¨ 祬 ¬¥­ìè¥ §­ 祭¨¥ T0:

¥à¥©¤¥¬ ª ¨§«®¦¥­¨î ­¥ª®â®àëå १ã«ìâ ⮢. ¯¨á ­- ­ë© ­¨¦¥ ¬¥â®¤ ¯à¨¬¥­¨¬ ¤«ï à §«¨ç­ëå ᯮᮡ®¢ íªáâà ¯®- «ï樨 ¯à®æ¥áá u(t): áâ ­®¢¨¬áï ­ ¯à®á⥩襬 ¨ ­ ¨¡®«¥¥ à á¯à®áâà ­¥­­®¬ á«ãç ¥ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï íªáâà ¯®«ïâ®à ­ã- «¥¢®£® ¯®à浪 ("䨪á â®à "), ¤«ï ª®â®à®£®

u(t) = u(tk) ¯à¨ tk t < tk+1 tk = kT0 k = 0 1 2 : : : : (6.15)

6.4.2. ®à¬ã«ë ¯¥à¥å®¤ ª à §­®áâ­ë¬ ãà ¢­¥­¨ï¬

áᬮâਬ § ¤ çã ¢ëç¨á«¥­¨ï ¬ âà¨æ P Q C0 D0 ¢ (6.14)

¯® § ¤ ­­ë¬ ¬ âà¨æ ¬ A B C D ¢ (6.13), ¨áå®¤ï ¨§ áä®à- ¬ã«¨à®¢ ­­®£® ¢ ¯. 6.4.1. âॡ®¢ ­¨ï íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠㪠- § ­­ëå á¨á⥬ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¢å®¤­®¬ã ¯à®æ¥ááã u(t): «ï ¯à®áâ®âë ¨§«®¦¥­¨ï ®£à ­¨ç¨¬áï ªãá®ç­®-¯®áâ®ï­­ë¬¨ ¯à®- æ¥áá ¬¨ ¢¨¤ (6.15). ª« áá¨ç¥áª®© ⥮ਨ ã¯à ¢«¥­¨ï ¨§-

®â¢¥âá⢨¨ á ­¨¬ ¯¥à¥¤ â®ç­ ï äã­ªæ¨ï ¤¨áªà¥â­®© ¬®¤¥- 137

®¯®áâ ¢¨¬ ­ ©¤¥­­ë¬ ¤«ï ¬®¬¥­â®¢ tk §­ 祭¨ï¬ ­¥¯à¥-

(6.14) á ¯®«ã祭­ë¬ ¢ëà ¦¥­¨¥¬ (6.16), ­ 室¨¬, çâ® ¬ âà¨- æë P Q C0 D0 ®¯а¥¤¥«повбп а ¢¥­бв¢ ¬¨ (¯а¨ det A 6= 0)

P = eAT0 Q = A;1(P ; In) B C0 = C D0 = D: (6.17)

®£¤ ¢ë¯®«­¥­ ¯¥à¥å®¤ ª (6.14), ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¯¥à¥¤ - â®ç­ãî äã­ªæ¨î ¤¨áªà¥â­®© á¨áâ¥¬ë ¯® ¯à¨¢¥¤¥­­®© ¢ £« ¢¥ 1.5. ä®à¬ã«¥:

â®â १ã«ìâ â ᮢ¯ ¤ ¥â á 㪠§ ­­ë¬ ¢ëè¥ á®®â­®è¥­¨¥¬ ¤«ï WD(z) ¯®«ã祭­®¬ ­ ®á­®¢¥ ¨§®¡à ¦¥­¨ï ¯¥à¥å®¤­®© ä㭪樨, ­® ®­ ®á­®¢ ­ ­ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ¬ âà¨ç­ëå ®¯¥à - 権 ¨ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï. ¨à®ª®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¨§« £ ¥- ¬®£® ¢ ­ áâ®ï饬 ¯ à £à ä¥ ¬¥â®¤ ®¡ãá«®¢«¥­® ­ «¨ç¨¥¬

138

¤®áâ â®ç­® íä䥪⨢­ëå ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ëå «£®à¨â¬®¢ ¨ ¨å ¯à®£à ¬¬­®© ॠ«¨§ 樨.

ਠ¢ë¢®¤¥ ä®à¬ã«ë (6.17) ¤«ï ¬ âà¨æë Q ᤥ« ­® ¯à¥¤- ¯®«®¦¥­¨¥ ® ­¥¢ë஦¤¥­­®á⨠¬ âà¨æë A ª®â®à®¥ ï¥âáï ᨫ쭮 ®£à ­¨ç¨¢ î騬. ०¤¥ 祬 ®¡á㤨âì ¯ã⨠¯à¥®¤®- «¥­¨ï ¢®§­¨ª îé¨å ¯à¨ í⮬ âà㤭®á⥩, à áᬮâਬ ­¥ª®- â®àë¥ ¬¥â®¤ë ¢ëç¨á«¥­¨ï ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë.

6.5. ¥â®¤ë ¢ëç¨á«¥­¨ï ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë

ª ¢¨¤­® ¨§ ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¯ à £à 䮢, ¬ âà¨ç­ ï äã­ªæ¨ï eAt ­ 室¨â è¨à®ª®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¯à¨ à¥è¥­¨¨ à §«¨ç­ëå § - ¤ ç ⥮ਨ á¨á⥬\ á«¥¤®¢ ⥫쭮, ­¥®¡å®¤¨¬® à ᯮ« £ âì ¤®áâ â®ç­® íä䥪⨢­ë¬¨ «£®à¨â¬ ¬¨ ¥¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï. ­¥ª®â®à®© ãá«®¢­®áâìî, ¬¥â®¤ë ¢ëç¨á«¥­¨ï ¬ âà¨ç­®© íªá- ¯®­¥­âë ¬®¦­® à §¡¨âì ­ â®ç­ë¥ ¨ ¯à¨¡«¨¦¥­­ë¥. ®ç­ë¥ ¬¥â®¤ë ¯à¥¤¯®« £ îâ ¯®«ã祭¨¥ â®ç­ëå ¢ëà ¦¥­¨© ¤«ï ¬ - âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë ç¥à¥§ ᪠«ïà­ë¥ ­ «¨â¨ç¥áª¨¥ äã­ª-

樨. ਡ«¨¦¥­­ë¥ ¬¥â®¤ë ®á­®¢ ­ë ­ ¥¥ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¨ ᮤ¥à¦ â «£®à¨â¬¨ç¥áªãî ®è¨¡ªã (§­ 祭¨¥ ª®â®à®© § - ¢¨á¨â ®â ᯮᮡ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¨ ¯ à ¬¥â஢ «£®à¨â¬ ).

6.5.1. ®ç­ë¥ ¬¥â®¤ë

­ «¨â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë eAt ç¥- १ ᪠«ïà­ë¥ í«¥¬¥­â à­ë¥ ä㭪樨 ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭® ¤®áâ â®ç­® ¯à®áâ®, ¥á«¨ ¨á室­ ï ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â ª ­®­¨- ç¥áªãî ä®à¬ã ®à¤ ­ , â.¥. á¨á⥬ (6.13) ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ ᮡá⢥­­®¬ ¡ §¨á¥. ¥ ¯à¨¢®¤ï í⨠ä®à¬ã«ë ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥, à áᬮâਬ ­¥áª®«ìª® ¢ ¦­ëå ç áâ­ëå á«ãç ¥¢ (á¬., ­ ¯à¨-

(6.5), ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ëà ¦¥­¨¥

«¥¤®¢ ⥫쭮, àï¤ (6.5) â®ç­® ¢ëà ¦ ¥âáï ª®­¥ç­ë¬ ç¨á«®¬

á¯à ¢¥¤«¨¢® ⮫쪮 ¤«ï ª®¬¬ãâ ⨢­ëå ª¢ ¤à â­ëå ¬ âà¨æ, â.¥. â ª¨å, çâ® AB = BA:

6 ¢ ¤à â­ë¥ ¬ âà¨æë, ®¡« ¤ î騥 â ª¨¬ ᢮©á⢮¬, ­ §ë¢ îâáï ­¨«ì¯®â¥­â­ë¬¨ [53, 115]. §¢¥áâ­®, çâ® ¢á¥ ¨å ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á« à ¢­ë ­ã«î.

140

᫨ ⥯¥àì à áᬮâà¥âì ¡®«¥¥ ®¡é¨© á«ãç © ªà â­ëå ¢¥-

室¨âáï ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ íªá¯®­¥­â ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬ âà¨æ.ª®­ç ⥫쭮 ¯®«ãç ¥¬

¤«ï ¬ âà¨ç­®© íªá¯®­¥­âë ¯à¨ ¦®à¤ ­®¢®© ä®à¬¥ ¬ âà¨æë ¨¬¥îâ ¤®áâ â®ç­® ¯à®á⮩ ¢¨¤. ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ª®£¤

­®¢ . ®£¤ , ¯® ᢮©áâ¢ã 8 ¯¥à¥å®¤­®© ¬ âà¨æë (á¬. 6.1.3.), 141