
Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления
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133

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á⥬¥) ¨â¥à¢ «¥ T0 íâ® ¢«¨ï¨¥ ®¡ëç® ®ª §ë¢ ¥âáï ¥§ - ç¨â¥«ìë¬ ¨ â ª®© ¯®¤å®¤ ®¯à ¢¤ . 4 ë© ¬¥â®¤ å®- ¤¨â è¨à®ª®¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¢ ¡«¨§ª®© § ¤ ç¥ á¨â¥§ æ¨ä஢ëå ç áâ®â®-¨§¡¨à ⥫ìëå 䨫ìâ஢ ¯® «®£®¢®¬ã ¯à®â®â¨- ¯ã [26].
¡®á®¢ ¨¥ ¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¯à¨¬¥¨¬®á⨠í⮣® ¬¥â®¤ ¤«ï è¨à®ª®£® ª« áá ¥«¨¥©ëå á¨á⥬ ¤ ® ¢ à ¬ª å â ª
§ë¢ ¥¬®£® "¬¥â®¤ ¥¯à¥àë¢ëå ¬®¤¥«¥©" [36].
4.¨á«¥®¥ à¥è¥¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥- ¨©. ਠà¥è¥¨¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ॠ«¨§ã¥âáï ¥ª®â®à ï ४ãàà¥â ï ¯à®æ¥¤ãà . â ¯à®æ¥- ¤ãà ®¯¨áë¢ ¥âáï ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 à §®áâë¬ ãà ¢¥¨-
¥¬, ª®â®à®¥ ¬®¦¥â à áᬠâਢ âìáï ¢ ª ç¥á⢥ ¤¨áªà¥â®© ¬®¤¥«¨ ¨á室®© ¥¯à¥à뢮© á¨á⥬ë.
«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¯®áâ ¢«¥ ï ¢ë-
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136
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¢®£® த , â ª¦¥ ¤«ï æ¨ä஢ëå á¨á⥬ ã¯à ¢«¥¨ï, ¥á«¨ ¢ ª ç¥á⢥ ¢å®¤®£® ¯à®æ¥áá à áᬠâਢ ¥âáï ã¯à ¢«ïî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥ ®â . ¥©á⢨⥫ì®, ¢ ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥ ¨á- å®¤ë¬ ï¢«ï¥âáï ¤¨áªà¥âë© ¯à®æ¥áá u[k] ª®â®àë© ¯à¥®¡à - §ã¥âáï ¢ ¥¯à¥àë¢ë© ¢å®¤®© ᨣ « u(t) á ¯®¬®éìî íªáâà ¯®«ïâ®à . ®í⮬ã, § ï ¯à®æ¥áá u[k] ¬®¦® ®¤®§ ç® ¢®ááâ ®¢¨âì u(t): «ï ¤à㣨å á«ãç ¥¢ å à ªâ¥à ¬¥â®¤¨ç¥- áª ï ®è¨¡ª . ¥ § 票¥ ¡ã¤¥â ⥬ ¬¥ìè¥, 祬 ¬¥¤«¥¥¥ ¨§¬¥ï¥âáï ¢å®¤®© ¯à®æ¥áá ¨«¨ 祬 ¬¥ìè¥ § 票¥ T0:
¥à¥©¤¥¬ ª ¨§«®¦¥¨î ¥ª®â®àëå १ã«ìâ ⮢. ¯¨á - ë© ¨¦¥ ¬¥â®¤ ¯à¨¬¥¨¬ ¤«ï à §«¨çëå ᯮᮡ®¢ íªáâà ¯®- «ï樨 ¯à®æ¥áá u(t): áâ ®¢¨¬áï ¯à®á⥩襬 ¨ ¨¡®«¥¥ à á¯à®áâà ¥®¬ á«ãç ¥ ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï íªáâà ¯®«ïâ®à ã- «¥¢®£® ¯®à浪 ("䨪á â®à "), ¤«ï ª®â®à®£®
u(t) = u(tk) ¯à¨ tk t < tk+1 tk = kT0 k = 0 1 2 : : : : (6.15)
6.4.2. ®à¬ã«ë ¯¥à¥å®¤ ª à §®áâë¬ ãà ¢¥¨ï¬
áᬮâਬ § ¤ çã ¢ëç¨á«¥¨ï ¬ âà¨æ P Q C0 D0 ¢ (6.14)
¯® § ¤ ë¬ ¬ âà¨æ ¬ A B C D ¢ (6.13), ¨áå®¤ï ¨§ áä®à- ¬ã«¨à®¢ ®£® ¢ ¯. 6.4.1. âॡ®¢ ¨ï íª¢¨¢ «¥â®á⨠㪠- § ëå á¨á⥬ ¯® ®â®è¥¨î ª ¢å®¤®¬ã ¯à®æ¥ááã u(t): «ï ¯à®áâ®âë ¨§«®¦¥¨ï ®£à ¨ç¨¬áï ªãá®ç®-¯®áâ®ï묨 ¯à®- æ¥áá ¬¨ ¢¨¤ (6.15). ª« áá¨ç¥áª®© ⥮ਨ ã¯à ¢«¥¨ï ¨§-
¢¥áâ® à¥è¥¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¯¯ à â |
¯¥- |
। â®çëå äãªæ¨© ¨ z-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï [15, 76, 95]. |
á®- |
®â¢¥âá⢨¨ á ¨¬ ¯¥à¥¤ â®ç ï äãªæ¨ï ¤¨áªà¥â®© ¬®¤¥- 137
Ǭ WD(z) = (1 ; z;1) Z |
W(s) |
|
|
£¤¥ Z ®§ ç ¥â ®¯¥à æ¨î |
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s |
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z-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯¥à¥å®¤®©n |
äãªæ¨¨o |
¨á室®© ¥¯à¥àë¢- |
|||||||||
®© á¨á⥬ë. áᬮâਬ à¥è¥¨¥ «®£¨ç®© § ¤ ç¨ |
|||||||||||
®á®¢¥ ¬¥â®¤ ¯à®áâà á⢠|
á®áâ®ï¨©. |
|
|
|
|||||||
ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã ®è¨ (6.9), ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ãà ¢¥- |
|||||||||||
¨¥ (6.13) ¨â¥à¢ «¥ [tk |
tk+1] ¯®« £ |
ï |
¥¬ u(t) u(tk) |
||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
eA(tk+1; )Bu( )d = |
|||||||||
|
|
tk+1 |
eA(tk+1; )d Bu(tk): |
||||||||
= eAT0 x(tk) + Ztk |
|
|
|||||||||
«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¨â¥£à « |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
¢¢¥¤¥¬ ®¢ãî ¯¥à¥¬¥ãî = |
|||||||||||
|
|
|
tk+1 |
|
|
|
|
|
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|
|
tk+1; : ®£¤ = tk+1 |
; ¨ Ztk |
|
|
eA(tk+1; )d = Z0 |
eA d : ®« - |
||||||
£ ï ¢ ç «¥ ¬ âà¨æã |
A ¥¢ë஦¤¥®© (det A = 0), ¯®«ã稬 |
||||||||||
çâ® Z0 T0 eA d = A;1(eAT0 ; In) á«¥¤®¢ ⥫ì®, |
6 |
|
|||||||||
x(tk+1) = eAT0x(tk) + A;1(eAT0 |
; |
In)Bu(tk ) |
det A = 0: (6.16) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
®£« á® ãà ¢¥¨î ¢ë室 |
¢ (6.13), y(tk ) = Cx(tk ) + Du(tk): |
®¯®áâ ¢¨¬ ©¤¥ë¬ ¤«ï ¬®¬¥â®¢ tk § ç¥¨ï¬ ¥¯à¥-
à뢮£® ¯à®æ¥áá |
§ ç¥¨ï ¯¥à¥¬¥ëå ¤¨áªà¥â®© ¬®¤¥«¨: |
|
|
|
|
x[k] = x(tk ) u[k] = u(tk ) |
y[k] = y(tk): à ¢¨¢ ï ãà ¢¥¨¥ |
(6.14) á ¯®«ãç¥ë¬ ¢ëà ¦¥¨¥¬ (6.16), 室¨¬, çâ® ¬ âà¨- æë P Q C0 D0 ®¯а¥¤¥«повбп а ¢¥бв¢ ¬¨ (¯а¨ det A 6= 0)
P = eAT0 Q = A;1(P ; In) B C0 = C D0 = D: (6.17)
®£¤ ¢ë¯®«¥ ¯¥à¥å®¤ ª (6.14), ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¯¥à¥¤ - â®çãî äãªæ¨î ¤¨áªà¥â®© á¨áâ¥¬ë ¯® ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ £« ¢¥ 1.5. ä®à¬ã«¥:
WD(z) = C (zIn ; P );1Q + D: |
(6.18) |
â®â १ã«ìâ â ᮢ¯ ¤ ¥â á 㪠§ ë¬ ¢ëè¥ á®®â®è¥¨¥¬ ¤«ï WD(z) ¯®«ã祮¬ ®á®¢¥ ¨§®¡à ¦¥¨ï ¯¥à¥å®¤®© äãªæ¨¨, ® ® ®á®¢ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¬ âà¨çëå ®¯¥à - 権 ¨ ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï. ¨à®ª®¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¨§« £ ¥- ¬®£® ¢ áâ®ï饬 ¯ à £à ä¥ ¬¥â®¤ ®¡ãá«®¢«¥® «¨ç¨¥¬
138
¤®áâ â®ç® íä䥪⨢ëå ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå «£®à¨â¬®¢ ¨ ¨å ¯à®£à ¬¬®© ॠ«¨§ 樨.
ਠ¢ë¢®¤¥ ä®à¬ã«ë (6.17) ¤«ï ¬ âà¨æë Q ᤥ« ® ¯à¥¤- ¯®«®¦¥¨¥ ® ¥¢ë஦¤¥®á⨠¬ âà¨æë A ª®â®à®¥ ï¥âáï á¨«ì® ®£à ¨ç¨¢ î騬. ०¤¥ 祬 ®¡á㤨âì ¯ã⨠¯à¥®¤®- «¥¨ï ¢®§¨ª îé¨å ¯à¨ í⮬ âà㤮á⥩, à áᬮâਬ ¥ª®- â®àë¥ ¬¥â®¤ë ¢ëç¨á«¥¨ï ¬ âà¨ç®© íªá¯®¥âë.
6.5. ¥â®¤ë ¢ëç¨á«¥¨ï ¬ âà¨ç®© íªá¯®¥âë
ª ¢¨¤® ¨§ ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¯ à £à 䮢, ¬ âà¨ç ï äãªæ¨ï eAt 室¨â è¨à®ª®¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¯à¨ à¥è¥¨¨ à §«¨çëå § - ¤ ç ⥮ਨ á¨á⥬\ á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥®¡å®¤¨¬® à ᯮ« £ âì ¤®áâ â®ç® íä䥪⨢묨 «£®à¨â¬ ¬¨ ¥¥ ¢ëç¨á«¥¨ï. ¥ª®â®à®© ãá«®¢®áâìî, ¬¥â®¤ë ¢ëç¨á«¥¨ï ¬ âà¨ç®© íªá- ¯®¥âë ¬®¦® à §¡¨âì â®çë¥ ¨ ¯à¨¡«¨¦¥ë¥. ®çë¥ ¬¥â®¤ë ¯à¥¤¯®« £ îâ ¯®«ã票¥ â®çëå ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï ¬ - âà¨ç®© íªá¯®¥âë ç¥à¥§ ᪠«ïàë¥ «¨â¨ç¥áª¨¥ äãª-
樨. ਡ«¨¦¥ë¥ ¬¥â®¤ë ®á®¢ ë ¥¥ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¨ ᮤ¥à¦ â «£®à¨â¬¨ç¥áªãî ®è¨¡ªã (§ 票¥ ª®â®à®© § - ¢¨á¨â ®â ᯮᮡ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¨ ¯ à ¬¥â஢ «£®à¨â¬ ).
6.5.1. ®çë¥ ¬¥â®¤ë
«¨â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¬ âà¨ç®© íªá¯®¥âë eAt ç¥- १ ᪠«ïàë¥ í«¥¬¥â àë¥ äãªæ¨¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 ¤®áâ â®ç® ¯à®áâ®, ¥á«¨ ¨á室 ï ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â ª ®¨- ç¥áªãî ä®à¬ã ®à¤ , â.¥. á¨á⥬ (6.13) ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ᮡá⢥®¬ ¡ §¨á¥. ¥ ¯à¨¢®¤ï í⨠ä®à¬ã«ë ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥, à áᬮâਬ ¥áª®«ìª® ¢ ¦ëå ç áâëå á«ãç ¥¢ (á¬., ¯à¨-
¬¥à, [3, 47]). |
|
|
|
1. âà¨æ |
A ¤¨ £® «ì ï á ¢¥é¥á⢥묨 ᮡá⢥- |
||
묨 § 票ﬨ. |
|
sng Imsi = 0 i = 1 : : : n: ¥¯®- |
|
ãáâì A = diagfs1 s2 : : : |
|||
á।áâ¢¥ë¬ ¢ëç¨á«¥¨¥¬ á㬬ë àï¤ (6.5) ¯®«ãç ¥¬, çâ® |
|||
eAt = diagfes1t es2t : : : esntg £¤¥ esit { ᪠«ïàë¥ íªá¯®¥âë. |
|||
2. âà¨æ |
A ¡«®ç®-¤¨ £® «ì ï á ¬¨¬ë¬¨ ᮡ- |
||
á⢥묨 § 票ﬨ. |
0 |
|
|
ãáâì á ç « |
A = |
; 2 |
0 \ § ç¨â, ᮡáâ¢¥ë¥ ç¨á« |
ç¨áâ® ¬¨¬ë¥, s1 2 = | | |
= ;1: ਬ¥ïï ®¯ïâì ä®à¬ã«ã |
||
|
|
|
139 |
(6.5), ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ëà ¦¥¨¥
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
A ¨¬¥¥â ¡®«¥¥ ®¡éãî ä®à¬ã A = ; |
|
||||||||||||||
(ᮡáâ¢¥ë¥ ç¨á« |
s1 2 = | ), â® § ¯¨è¥¬ ¥¥ ¢ ¢¨¤¥ A = |
||||||||||||||||
|
; |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
In + |
0 |
|
|
: ç¨âë¢ ï, çâ® ¥¤¨¨ç ï ¬ âà¨æ ª®¬¬ãâ¨- |
|||||||||||||
àã¥â á «î¡®© ª¢ ¤à ⮩ ¬ âà¨æ¥©, ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì |
|
|
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|
|
|
|
|
|
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At |
|
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Int |
|
0 |
0 t |
|
|
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|
|
|
|
|
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e |
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= e |
|
|
e ; |
: |
|
|
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¥¯¥àì, ¨á¯®«ì§ãï ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ ¯¯. |
1,2 १ã«ìâ âë, ®ª®- |
||||||||||||||||
ç â¥«ì® ¯®«ãç ¥¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
t |
|
cos t |
sin t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
e |
|
|
= e |
|
;sin t cos t : |
|
|
|||||
3. âà¨æ |
|
A ¨¬¥¥â ªà âë¥ ¢¥é¥áâ¢¥ë¥ á®¡áâ¢¥ë¥ |
|||||||||||||||
§ 票ï. |
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ãáâì A = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
0 |
|
13 |
â.¥. si |
= 0 |
i = 1 2 3: ëç¨á«ïï |
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á⥯¥¨ í⮩ ¬4âà¨æë ¯®«ãç5 ¥¬, çâ® |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
0 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
A2 = 2 |
0 0 0 |
3 A3 |
= A4 = : : : = 0n:6 |
|
|
«¥¤®¢ ⥫ì®, àï¤ (6.5) â®ç® ¢ëà ¦ ¥âáï ª®¥çë¬ ç¨á«®¬
á« £ ¥¬ëå ¨ |
|
1 |
t |
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|
|
4 |
5 |
|||||
0 |
0 |
1 |
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eAt = 2 |
0 |
1 |
t |
3 : |
||
|
|
|
||||
5 «¥¤ã¥â ®¡à â¨âì ¢¨¬ ¨¥ |
â®, çâ® ¢ëà ¦¥¨¥ eA+B = eA eB |
á¯à ¢¥¤«¨¢® ⮫쪮 ¤«ï ª®¬¬ãâ ⨢ëå ª¢ ¤à âëå ¬ âà¨æ, â.¥. â ª¨å, çâ® AB = BA:
6 ¢ ¤à âë¥ ¬ âà¨æë, ®¡« ¤ î騥 â ª¨¬ ᢮©á⢮¬, §ë¢ îâáï ¨«ì¯®â¥â묨 [53, 115]. §¢¥áâ®, çâ® ¢á¥ ¨å ᮡáâ¢¥ë¥ ç¨á« à ¢ë ã«î.
140
᫨ ⥯¥àì à áᬮâà¥âì ¡®«¥¥ ®¡é¨© á«ãç © ªà âëå ¢¥-
é¥á⢥ëå ᮡá⢥ëå § 票© s1 = s2 = s3 = 2 R |
|||||
4 |
|
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
5 |
|
|
|
â.¥. ¥á«¨ A = 2 |
0 |
|
1 3 |
|
«®£¨ç® ¯.2 ¯®«ãç ¥¬ |
|
|
|
eAt = et 2 |
1 |
t |
t2=2 |
3 : |
|
|||
|
|
|
0 1 t |
|
|||||||
4. âà¨æ |
|
|
4 |
0 |
0 |
1 |
5 |
|
|
||
A ¨¬¥¥â ªà âë¥ ¬¨¬ë¥ ᮡáâ¢¥ë¥ § - |
|||||||||||
票ï. |
|
|
|
|
|
|
|
A |
I2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ãáâì ¬ âà¨æ |
A ¯®à浪 |
|
4 ¨¬¥¥â ¢¨¤ |
A = 02 2 |
A |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£¤¥ 2 |
|
2-¬ âà¨æ A = |
; |
|
: âà¨æ |
A ¨¬¥¥â ªà âë¥ |
|||||
|
|
||||||||||
ᮡáâ¢¥ë¥ ç¨á« |
s1 2 = s3 4 |
= |
| ¨ ¨¬¥¥â ¢¥é¥á⢥ãî |
||||||||
ä®à¬ã ®à¤ . ®áâ㯠ï |
«®£¨ç® ¯ãªâã 2, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ |
||||||||||
|
|
0 |
I2 |
A |
0 |
: 祢¨¤®, çâ® á« £ ¥- |
|||||
¥¥ ¢ ¢¨¤¥ A = 0 |
0 + |
0 |
|
A |
|||||||
¬ë¥ ¢ í⮩ á㬬¥ ª®¬¬ãâ¨àãîâ ¨ ¬ âà¨ç ï íªá¯®¥â - |
室¨âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ íªá¯®¥â ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬ âà¨æ.ª®ç â¥«ì® ¯®«ãç ¥¬
eAt = et 2 |
cos t |
sin t |
t cos t |
t sin t |
|
|
; sin t |
cos t |
;t sin t |
t cos t 3 |
: |
||
6 |
0 |
0 |
cos t |
sin t |
7 |
|
0 |
0 |
; sin t |
cos t |
|
||
4 |
|
|
|
|
5 |
|
ਢ¥¤¥ë¥ §¤¥áì ¯à¨¬¥àë ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¢ëà ¦¥¨ï |
¤«ï ¬ âà¨ç®© íªá¯®¥âë ¯à¨ ¦®à¤ ®¢®© ä®à¬¥ ¬ âà¨æë ¨¬¥îâ ¤®áâ â®ç® ¯à®á⮩ ¢¨¤. ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ª®£¤
A = 2 |
J1 |
: : : 0 |
eAt = 2 |
eJ1t |
: : : |
0 |
|
|
. ... |
. 3 ¯®«ã稬 |
. ... |
. 3 |
|
||||
4 |
0 : : : |
Jl 5 |
4 |
0 : : : |
eJlt 5 |
|
||
£¤¥ J1 : : : Jl { ª«¥âª¨ ®à¤ . |
|
|
|
|
|
|||
᫨ ¨á室 ï ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â ¯à®¨§¢®«ìë© |
¢¨¤, |
â® |
¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¢ë஦¤¥®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ á ¬ âà¨- |
||||
楩 T â ª®¥, çâ® ¯®¤®¡ ï ¥© ¬ âà¨æ |
~ |
= T AT |
;1 |
{ ¦®à¤ - |
A |
|
®¢ . ®£¤ , ¯® ᢮©áâ¢ã 8 ¯¥à¥å®¤®© ¬ âà¨æë (á¬. 6.1.3.), 141