Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

­¥­¨¥ § ¤ ­­ëå â¥å­¨ç¥áª¨å âॡ®¢ ­¨© á ®¯à¥¤¥«¥­­ë¬ "§ - ¯ ᮬ", çâ® ¯®§¢®«ï¥â ¯à¥¤®â¢à â¨âì ­ àã襭¨¥ âॡ㥬ëå ¯®ª § ⥫¥© ¯à¨ ¢«¨ï­¨¨ ­¥ãç⥭­ëå ­¥«¨­¥©­®á⥩.

¬¥бв¥ б в¥¬ ¨¬¥¥вбп ®¡и¨а­л© ª« бб б¨бв¥¬, ¤«п ª®в®- але ­¥«¨­¥©­л¥ б¢®©бв¢ п¢«повбп ¯а¨­ж¨¯¨ «м­® ¢ ¦­л- ¬¨ ¨ ¯а¨¬¥­¥­¨¥ «¨­¥©­ле ¬®¤¥«¥© ¯а¨¢®¤¨в ª ª з¥бв¢¥­- ­® ­¥¢¥а­л¬ а¥§г«мв в ¬. ли¥ г¦¥ г¯®¬¨­ «®бм ® б¨вг- ж¨¨, ¢ ª®в®а®© гбв®©з¨¢®бвм б®бв®п­¨п а ¢­®¢¥б¨п ­¥ ¬®- ¦¥в ¡лвм ¨бб«¥¤®¢ ­ ¯® «¨­¥©­®¬г ¯а¨¡«¨¦¥­¨о. ®«¥¥ бгй¥бв¢¥­­л¬ п¢«п¥вбп в®, зв® ¤«п ¬­®£¨е б¨бв¥¬ «¨­¥ а¨- § ж¨п ¢ а ¡®з¥© ®¡« бв¨ §­ з¥­¨© ¯а®бв® ­¥¢л¯®«­¨¬ ¨§- § ­¥£« ¤ª®бв¨ (­¥¤¨дд¥а¥­ж¨аг¥¬®бв¨) ­¥«¨­¥©­ле е а ª- в¥а¨бв¨ª. в® п¢«¥­¨¥ ¨¬¥¥в ¬¥бв®, ª®£¤ ¢ б¨бв¥¬г ¢е®- ¤пв "а §ал¢­л¥" ­¥«¨­¥©­®бв¨, ­ ¯а¨¬¥а а¥«¥©­л¥ §¢¥­мп.஬¥ в®£®, ¤ ¦¥ ¢ в¥е б«гз пе, ª®£¤ «¨­¥ а¨§ ж¨п ¢®§¬®¦- ­ ¨ ¤ ¦¥ ¬®¦­® б¤¥« вм ¢л¢®¤ ®¡ гбв®©з¨¢®бв¨ б®бв®п­¨п а ¢­®¢¥б¨п, ¯а¨¬¥­¥­¨¥ «¨­¥©­ле ¬®¤¥«¥© ¬®¦¥в ¯а¨¢¥бв¨ ª ¢¥бм¬ бгй¥бв¢¥­­л¬ ª®«¨з¥бв¢¥­­л¬ ®и¨¡ª ¬. ª®­¥ж, ¢ ­ гª¥ ¨ в¥е­¨ª¥ ¢б¥ з й¥ ¢®§­¨ª ов § ¤ з¨, ª®£¤ ¨бб«¥¤г¥- ¬л¥ ¨«¨ ᮧ¤ ¢ ¥¬л¥ а¥¦¨¬л б¨бв¥¬л п¢«повбп ­¥а ¢­®¢¥б-

­ë¬¨, ­ ¯à¨¬¥à ª®«¥¡ ⥫ì­ë¬¨. ਠí⮬ á¨á⥬ ¬®¦¥â ¤¥¬®­áâà¨à®¢ âì á«®¦­®¥ (¬ã«ìâ¨áâ ¡¨«ì­®¥, å ®â¨ç¥áª®¥) ¯®¢¥¤¥­¨¥, ª®â®à®¥ ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­® ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯¨á ­® ¢ à ¬ª å «¨­¥©­®© ⥮ਨ ¨ âॡã¥â ­®¢ëå ¯®¤å®¤®¢ (á¬. £« - ¢ã 13).

® ¢á¥å ¯¥à¥ç¨á«¥­­ëå á¨âã æ¨ïå âॡã¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥

¬¥â®¤®¢ ⥮ਨ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬.

ª¨¬ ®¡à §®¬, ­¥«¨­¥©­®áâ¨, ᢮©á⢥­­ë¥ ॠ«ì­ë¬ ä¨- §¨ç¥áª¨¬ á¨á⥬ ¬, ¬®¦­® (á® §­ ç¨â¥«ì­®© á⥯¥­ìî ãá«®¢- ­®áâ¨) à §¡¨âì ­ ¤¢ ª« áá :

áãé¥á⢥­­ë¥ ­¥«¨­¥©­®áâ¨, ¢«¨ï­¨¥¬ ª®â®àëå ­¥«ì- §ï ¯à¥­¥¡à¥çì ¡¥§ áãé¥á⢥­­®© ®è¨¡ª¨ ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ å -

àªâ¥à¨á⨪ á¨á⥬ë\

­¥áãé¥á⢥­­ë¥ ­¥«¨­¥©­®áâ¨, ¢«¨ï­¨¥¬ ª®â®àëå ¯à¥- ­¥¡à¥çì ¬®¦­®. 3

¬¥¥âáï ¨ ¤à㣮© ᯮᮡ ª« áá¨ä¨ª 樨 ­¥«¨­¥©­ëå §¢¥-

3 á«®¢­®áâì â ª®© ª« áá¨ä¨ª 樨 á¢ï§ ­ á ⥬, çâ® ¢ à §­ëå á¨- âã æ¨ïå ¤ ­­ ï ­¥«¨­¥©­®áâì ¬®¦¥â ®ª § âìáï «¨¡® áãé¥á⢥­­®©, «¨¡® ­¥áãé¥á⢥­­®©. ®í⮬ã ç áâ® ­¥ 㤠¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì a priori, ¬®¦­® «¨ ­¥ ãç¨âë¢ âì ¥¥ ¢«¨ï­¨¥. ஬¥ ⮣®, âॡã¥âáï 㪠§ âì ª®«¨ç¥á⢥­­®, ª ª ï ®è¨¡ª áç¨â ¥âáï "áãé¥á⢥­­®©".

222

­ì¥¢, ®á­®¢ ­­ë© ­ ¯à¨ç¨­ å ¨å ¯®ï¢«¥­¨ï ¢ á¨á⥬¥. í⮩ â®çª¨ §à¥­¨ï ­¥«¨­¥©­®á⨠¬®¦­® à §¡¨âì ­ ¥áâ¥-

á⢥­­ë¥ ¨ ¨áªãáá⢥­­ë¥ (¯à¥¤­ ¬¥à¥­­® ¢¢®¤¨¬ë¥).бв¥бв¢¥­­л¥ ­¥«¨­¥©­®бв¨ ¯а¨бгвбв¢гов ¢ б¨бв¥¬¥ ¢ б¨-

«г д¨§¨з¥бª¨е б¢®©бв¢ ¬ в¥а¨ «®¢, ¨§ ª®в®але ¨§£®в®¢«¥­л ¢е®¤пй¨¥ ¢ ­¥¥ гбва®©бв¢ , ®б®¡¥­­®бв¥© га ¢­¥­¨©, ®¯¨бл- ¢ ой¨е ¯а®¨б室пй¨¥ ¢ ®¡к¥ªв¥ г¯а ¢«¥­¨п ¯а®ж¥ббл, ¨ в.¤.нв®© б¢п§¨ г¦¥ г¯®¬¨­ «¨бм ­ блй¥­¨¥, «одв, £¨бв¥а¥§¨б, б¢®©бв¢¥­­л¥ а¥ «м­л¬ д¨§¨з¥бª¨¬ §¢¥­мп¬ а §­®© ¯а¨а®- ¤л. ж¨да®¢ле б¨бв¥¬ е г¯а ¢«¥­¨п ¯а¨бгвбв¢г¥в б¯¥ж¨- д¨з­ п бвг¯¥­з в п ­¥«¨­¥©­®бвм, ¢л§¢ ­­ п ª®­¥з­®бвмо а §ап¤­®© б¥вª¨ ¨ ¯а¥®¡а §®¢ в¥«¥© б¨£­ «®¢. а¨ б¨­в¥§¥ § ª®­ г¯а ¢«¥­¨п нв¨ ­¥«¨­¥©­®бв¨ ¬®¦­® гз¨вл- ¢ вм, ¨«¨ ­¥в, ¢ § ¢¨б¨¬®бв¨ ®в ¨е га®¢­п, ®¤­ ª® ®­¨ бз¨в - овбп § ¤ ­­л¬¨, ­¥ ¨§¬¥­п¥¬л¬¨ ¡¥§ ¯¥а¥а ¡®вª¨ ª®­бвагª- ж¨¨ ®¡к¥ªв ¨«¨ 㧫®¢ б¨бв¥¬л.

áªãáá⢥­­ë¥ ­¥«¨­¥©­®á⨠¢¢®¤ïâáï ¯à®¥ªâ¨à®¢é¨ª®¬

¢§ ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï, çâ®¡ë ®¡¥á¯¥ç¨âì âॡ㥬®¥ (®¯â¨¬ - «ì­®¥) ª ç¥á⢮ à ¡®âë á¨á⥬ë. § ¢¨á¨¬®á⨠®â âॡ®-

¢­¨©, ¯à¥¤ê¥­­ëå ª á¨á⥬¥ ã¯à ¢«¥­¨ï ¨ ãá«®¢¨© ¥¥

ä㭪樮­¨à®¢ ­¨ï, ¬®£ãâ ¡ëâì à §«¨ç­ë¥ ¢ ਠ­âë ¢¢¥¤¥- ­¨ï ­¥«¨­¥©­ëå § ¢¨á¨¬®á⥩ ¢ § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï. ⨠¢ à¨- ­âë ®¡à §ãîâ 楫ë¥, ¨­®£¤ ¢¥áì¬ ®¡è¨à­ë¥, ­ ¯à ¢«¥­¨ï

¢ ⥮ਨ ã¯à ¢«¥­¨ï. ¥à¥ç¨á«¨¬ ­¥ª®â®àë¥ ¨§ ­¨å.

¯â¨¬ «ì­ë¥ ¯® ¡ëáâத¥©á⢨î á¨á⥬ë ã¯à ¢«¥- ­¨ï. ¯â¨¬ «ì­®¥ ¯® ¡ëáâத¥©á⢨î ã¯à ¢«¥­¨¥ ¯à¨ ®£à -

­¨ç¥­­®¬ ã஢­¥ ã¯à ¢«ïî饣® ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¤®á⨣ ¥âáï ¯à¨ áãé¥á⢥­­® ­¥«¨­¥©­®¬ (५¥©­®¬) § ª®­¥ ã¯à ¢«¥­¨ï, ª®- £¤ ᨣ­ « ã¯à ¢«¥­¨ï ¯à¨­¨¬ ¥â ªà ©­¨¥ §­ 祭¨ï ¢ § ¢¨-

ᨬ®á⨠®â ⥪ã饣® á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë [2, 76, 93, 94].

¤ ¯â¨¢­ë¥ (á ¬®­ áâà ¨¢ î騥áï) á¨á⥬ë ã¯à - ¢«¥­¨ï. ⨠á¨áâ¥¬ë ¯à¥¤­ §­ ç¥­ë ¤«ï à ¡®âë ¢ ãá«®¢¨ïå

§­ з¨в¥«м­®© ¯а¨®а­®© ­¥®¯а¥¤¥«¥­­®бв¨ ¯ а ¬¥ва®¢ ®¡к- ¥ªв ¨ гб«®¢¨© ба¥¤л. ¥¤®бв ой п ¨­д®а¬ ж¨п ®¡ ®¡к- ¥ªв¥ ¯®«гз ¥вбп ¢в®¬ в¨з¥бª¨ ¢ ¯а®ж¥бб¥ а ¡®вл б¨бв¥¬л ­ ®б­®¢¥ в¥ªгй¨е ¨§¬¥а¥­¨©. ¯®¤ ¢«пой¥¬ ¡®«ми¨­бв¢¥ б«гз ¥¢ ¤ ¯в¨¢­л¥ б¨бв¥¬л п¢«повбп бгй¥бв¢¥­­® ­¥«¨­¥©- ­л¬¨ [8, 76, 93, 103, 106].

ªáâ६ «ì­ë¥ á¨á⥬ë ã¯à ¢«¥­¨ï. ªáâ६ «ì­ë¥ á¨áâ¥¬ë ¤®«¦­ë ®¡¥á¯¥ç¨âì ¢ ¯à®æ¥áá¥ à ¡®âë ¬¨­¨¬ «ì­®¥

223

(¨«¨ ¬ ªá¨¬ «ì­®¥) §­ 祭¨¥ ­¥ª®â®à®£® ä㭪樮­ « ª ç¥- á⢠, § ¢¨áï饣® ®â §­ 祭¨© ¯à®æ¥áá ¢ á¨á⥬¥. â ª¨å á¨á⥬ å, á«¥¤®¢ ⥫쭮, 楫ì ã¯à ¢«¥­¨ï § ¤ ­ ­¥ ¢ ¢¨- ¤¥ âॡ㥬®£® §­ 祭¨ï ¢ë室 ®¡ê¥ªâ , ç¥à¥§ ä㭪樮­ « ª ç¥á⢠. ¯à®æ¥áá¥ à ¡®âë ¤®«¦­ ¡ëâì ®¡¥á¯¥ç¥­ ¢-

⮬ в¨з¥бª п ­ бва®©ª ­ нªбва¥¬г¬ ¤ ­­®£® дг­ªж¨®­ « , ¯®«®¦¥­¨¥ ª®в®а®£® ¬®¦¥в ¬¥­пвмбп ¢ § ¢¨б¨¬®бв¨ ®в а §- ­ле гб«®¢¨© ¨ ¡лвм ­¥¨§¢¥бв­л¬ ¤® ­ з « а ¡®вл б¨бв¥¬л [8, 93].

¨á⥬ë á ¯¥à¥¬¥­­®© áâàãªâãன. ª¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ª«îç îâ ¢ á¥¡ï ­¥áª®«ìª®, ª ª ¯à ¢¨«®, «¨­¥©­ëå ॣã«ï- â®à®¢ ("áâàãªâãà"), ¬¥¦¤ã ª®â®à묨 ¯à®¨á室¨â ¯¥à¥ª«îç¥- ­¨¥ ¯à¨ ä®à¬¨à®¢ ­¨¨ ã¯à ¢«ïî饣® ¢®§¤¥©á⢨ï, ¯à¨ç¥¬ ¢ë¡®à áâàãªâãàë ¢ë¯®«­ï¥âáï ­ ®á­®¢¥ ⥪ã饩 ¨­ä®à¬ - 樨 ® á®áâ®ï­¨¨ ®¡ê¥ªâ ( ­¥ ¯à®£à ¬¬­® ¢® ¢à¥¬¥­¨). â® ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï ¢ 楫®¬ ®ª §ë¢ ¥âáï áãé¥á⢥­­® ­¥«¨­¥©­ë¬ [8, 30, 93, 102, 191].

¨á⥬ë á ­¥«¨­¥©­ë¬¨ ª®à४â¨àãî騬¨ ãáâனá- ⢠¬¨ ( ). à¨ à §à ¡®âª¥ ­¥«¨­¥©­ëå ª®à४â¨àãî- é¨å ãáâனá⢠®¡ëç­® áâ ¢¨âáï § ¤ ç "à §¢ï§ âì" § ¢¨á¨-

¬®áâì ¬¥¦¤ã ¬¯«¨â㤭®© ¨ ä §®¢®© ç áâ®â­ë¬¨ å à ªâ¥à¨- á⨪ ¬¨, ᢮©á⢥­­ãî ¤«ï ¢á¥å «¨­¥©­ëå §¢¥­ì¥¢. ®á⨦¥- ­¨¥ í⮣® íä䥪⠯®§¢®«ï¥â, ­ ¯à¨¬¥à, ®áãé¥á⢨âì ¬¯«¨- â㤭®¥ ¯®¤ ¢«¥­¨¥ ¢«¨ï­¨ï ª®«¥¡ ­¨©, ¢ë§¢ ­­ëå ã¯à㣨¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ª®­áâàãªæ¨© ¡¥§ ¢­¥á¥­¨ï ­¥¦¥« ⥫쭮£® ä §®- ¢®£® § ¯ §¤ë¢ ­¨ï. ¬®£ãâ ®ª § âìáï íä䥪⨢­ë¬¨ ¨

¤«ï ¯®¢ë襭¨ï â®ç­®á⨠á¨á⥬ ã¯à ¢«¥­¨ï [113].¬¥îâáï ¨ ¤à㣨¥ ª« ááë á¨á⥬ á ¯à¥¤­ ¬¥à¥­­® ¢¢®¤¨-

¬ë¬¨ ­¥«¨­¥©­®áâﬨ. §ã祭¨¥ ¢á¥å ¢®§¬®¦­ëå ¢ ਠ­â®¢ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ­¥«¨­¥©­ëå § ª®­®¢ ã¯à ¢«¥­¨ï, ª ª ¨ à §- à ¡®â ­­ëå ¬¥â®¤®¢ ⥮ਨ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬, ª®­¥ç­® ¦¥ ¢ë室¨â § à ¬ª¨ í⮩ ª­¨£¨, ¯®í⮬㠢 ¤ «ì­¥©è¥¬ ªà ⪮ ®§­ ª®¬¨¬áï «¨èì á ­¥ª®â®à묨 ¨§ ­¨å. ®¤à®¡­¥¥ ® ¬¥- ⮤ å ⥮ਨ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ ¬®¦­® ¯à®ç¥áâì ¢ ¤àã£¨å ª­¨£ å ­®¢®© á¥à¨¨ " ­ «¨§ ¨ ᨭ⥧ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬" [64, 56], â ª¦¥ ¢ [2, 28, 76, 84, 71, 93, 95].

10.2. à ¢­¥­¨ï ­¥«¨­¥©­ëå §¢¥­ì¥¢ ¨ á¨á⥬

ª ¨ ¤«ï «¨­¥©­ëå á¨á⥬, ¬®¦­® ¢ë¤¥«¨âì áâ â¨ç¥áª¨¥ (¡¥§ë­¥à樮­­ë¥) ¨ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ (¨­¥à樮­­ë¥) ­¥«¨­¥©-

224

­ë¥ §¢¥­ìï. ¯®¬­¨¬, çâ® ¯®¢¥¤¥­¨¥ áâ â¨ç¥áª¨å §¢¥­ì¥¢ ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨å áâ â¨ç¥áª®© å à ªâ¥à¨á⨪®©, â® ¥áâì § ¢¨á¨¬®áâìî ¢ë室­®© ¢¥«¨ç¨­ë ®â ¢å®¤­®© ¢ â®â ¦¥ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨:

в в¨з¥бª¨¬ ®¯¨б ­¨¥¬ ¯®«м§говбп, ª®£¤ ¬®¦­® ¯а¥­¥¡а¥зм ¨­¥аж¨®­­®бвмо §¢¥­ ¤«п ¤ ­­®© § ¤ з¨ (¡®«¥¥ ¯®¤а®¡­® б¬. [72]).

«ï ª®­¥ç­®¬¥à­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå á¨á⥬ (­¥¯à¥àë¢- ­®£® ¢à¥¬¥­¨) ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ §¢¥­ìï ¬®¦­® ®¯¨á âì ãà ¢­¥­¨- ﬨ á®áâ®ï­¨ï

f ( ) g( ) ­¥ § ¢¨áïâ ® ®â ¢à¥¬¥­¨.

­­®¥ ®¯¨á ­¨¥ ¯à¨¬¥­¨¬® ª MIMO-á¨á⥬ ¬. «ï SISO- á¨á⥬ (m = l = 1) ¨á¯®«ì§ã¥âáï § ¯¨áì ¢ ¢¨¤¥ ®¤­®£® ¤¨ää¥-

§ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ¥áâ¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®-

£¤ , гз¨вл¢ п, зв® ¢¢¥¤¥­­л¥ ¯¥а¥¬¥­­л¥ п¢«повбп ¯®б«¥¤®-

¢ ⥫ì­ë¬¨ ¯à®¨§¢®¤­ë¬¨ ¨ ¯à¨­¨¬ ï ¢® ¢­¨¬ ­¨¥ ãà ¢­¥-

225

­¨¥ (10.2), ¯®«ã稬 á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨©

¡à ⨬áï ⥯¥àì ª ­¥ª®â®àë¬ "⨯®¢ë¬" áâ â¨ç¥áª¨¬ §¢¥­ìï¬, ãà ¢­¥­¨ï ª®â®àëå ç áâ® ¢áâà¥ç îâáï ¯à¨ ®¯¨á - ­¨¨ ­¥«¨­¥©­ëå § ¢¨á¨¬®á⥩. áᬠâਢ ¥¬ áâ 樮­ à- ­ë¥ §¢¥­ìï y = F (x) á ®¤­¨¬ ¢å®¤®¬ ¨ ®¤­¨¬ ¢ë室®¬.

1. áë饭¨¥. ã­ªæ¨ï F (x) ®£à ­¨ç¥­ §­ 祭¨ï¬¨ F; F+ â.¥. ¤«ï ¢á¥å x 2 R ¢ë¯®«­¥­® F; F (x) F+: - áâ® à áᬠâਢ îâáï ªãá®ç­®-«¨­¥©­ë¥ ä㭪樨, ª®â®àë¥ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ¬ áèâ ¡¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ëà ¦¥­ë § ¢¨á¨¬®- áâìî y(x) = sat(x) £¤¥

­®«ì ¤«ï ¢á¥å x, «¥¦ é¨å ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠­ã«ï,

F (x) = 0 ¯à¨ x 2 [x; x+] x; < 0 < x+: ¡ëç­® à áᬠâਢ - îâáï ªãá®ç­®-«¨­¥©­ë¥ ᨬ¬¥âà¨ç­ë¥ § ¢¨á¨¬®áâ¨, ª®â®àë¥ ¬®¦­® § ¤ âì ¢ëà ¦¥­¨¥¬

£¤¥ > 0 { ¯®à®£ çã¢á⢨⥫쭮á⨠(§®­ ­¥çã¢á⢨⥫쭮- áâ¨).

3.¥çã¢á⢨⥫쭮áâì á ­ áë饭¨¥¬. ®ç¥â ­¨¥ å -

àªâ¥à¨á⨪ 㪠§ ­­ëå ¢ ¯¯. 1, 2 ⨯®¢. ਠªãá®ç­®-

«¨­¥©­®© ¯¯à®ªá¨¬ 樨 íâ å à ªâ¥à¨á⨪ ¬®¦¥â ¡ëâì § - ¤ ­ ¢ ¢¨¤¥

5.¢ã寮§¨æ¨®­­®¥ ५¥ á ­¥çã¢á⢨⥫쭮áâìî. ®ç¥-

â­¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪ ¯¯. 2, 4:

6. â㯥­ç â ï:å à ªâ¥à¨á⨪ . ª®© ¢¨¤ ­¥«¨­¥©-

­®á⨠᢮©á⢥­¥­ ­ «®£®-æ¨äà®¢ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ⥫ï¬, ¢ë- ¯®«­ïî騬 ®¯¥à 樨 ®ªà㣫¥­¨ï ¨«¨ ãá¥ç¥­¨ï, ¢ë§¢ ­­ë¥ ®£à ­¨ç¥­­®áâìî à §à來®© á¥âª¨ ã¯à ¢«ïî饩 , â ª- ¦¥ ᢮©á⢥­­®¥ ­¥ª®â®àë¬ ¢¨¤ ¬ ¤ â稪®¢ á¨á⥬ ã¯à ¢«¥-

­¨ï.

à㯯 ­¥®¤­®§­ ç­ëå å à ªâ¥à¨á⨪:

7.¨áâ¥à¥§¨á (¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ¨«¨ ®âà¨æ ⥫ì­ë©),

8.îäâ, ª®­á¥à¢ ⨢­ë© «îäâ,

⪦¥ ª®¬¡¨­ ж¨¨ нв¨е е а ªв¥а¨бв¨ª а¥«¥©­л¬¨ § ¢¨- б¨¬®бвп¬¨ ¨ ­¥зг¢бв¢¨в¥«м­®бвмо. о¤ ®в­®бпвбп е а ª-

â¥à¨á⨪¨ ¤¢ã寮§¨æ¨®­­®£® ¨ âà¥å¯®§¨æ¨®­­®£® ५¥.

¬ ¥ з ­ ¨ ¥ 1 . ва®£® £®¢®ап, ­¥«¨­¥©­®бв¨ б ­¥®¤­®§­ з­л¬¨ е а ªв¥а¨бв¨ª ¬¨ ®в­®бпвбп ­¥ ª бв в¨з¥- бª¨¬, ª ¤¨­ ¬¨з¥бª¨¬ §¢¥­мп¬ б® б¯¥ж¨д¨з­л¬¨ га ¢­¥­¨- п¬¨ ¨ ¯а®бва ­бв¢®¬ б®бв®п­¨©. л室 нв¨е §¢¥­м¥¢ § ¢¨б¨в ­¥ в®«мª® ®в в¥ªгй¥£® §­ з¥­¨п ¢е®¤ , ­® ¨ ®в ¥£® ¯а¥¤лбв®- а¨¨ ¨ ­ з «м­®£® б®бв®п­¨п. ®н⮬㠤«п ­¨е ¯а ¢¨«м­¥¥ ¨б¯®«м§®¢ вм § ¯¨бм y(t) = F (u[t0 t] t) [94].

4 ®®¡é¥ £®¢®àï, §­ 祭¨¥ sign(0) ­¥®¡ï§ ⥫쭮 ¤®«¦­® ¡ëâì ­ã«¥- ¢ë¬. ® ­¥ª®â®àë¬ á®®¡à ¦¥­¨ï¬, 㤮¡­¥¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¢ª«î祭¨¥ ¨ áç¨â âì, çâ® sign(0) ï¥âáï ®â१ª®¬ [;1 1]= ⮣¤ y(x) 2 csign (x), á¬. 11.6.2. ¨ [30, 102].

227

¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 2 . ­¥ª®â®àëå á«ãç ïå à áᬠâਢ - îâáï å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¢¨¤ y(t) = F (u(t) u(t) t). ¢¥­мп б в - ª¨¬¨ е а ªв¥а¨бв¨ª ¬¨ ­¥ ®¯¨бл¢ овбп га ¢­¥­¨п¬¨ б®бв®- п­¨п (10.1), ­® д ªв¨з¥бª¨ п¢«повбп ¤¨­ ¬¨з¥бª¨¬¨. л室 y(t) â ª¨å §¢¥­ì¥¢ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®¢¥¤¥­¨¥¬ ¢å®¤­®£® ¯à®æ¥á- á ­ ­¥ª®â®à®¬ (¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®¬) ¨­â¥à¢ «¥ ¢à¥¬¥­¨ [44].áå®¤ï ¨§ í⮣®, ­¥«¨­¥©­®á⨠㪠§ ­­®£® ¢¨¤ ­ §ë¢ îâ ¤¨-

­¬¨ç¥áª¨¬¨ ­¥«¨­¥©­®áâﬨ.

áᬮâਬ § ¬ª­ãâãî ¤¨­ ¬¨ç¥áªãî á¨á⥬ã, á®áâ®ï-

éãî ¨§ ¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® ®¡ê¥ªâ ¨ ॣã«ïâ®à , § ¤ ­­ëå ãà ¢- ­¥­¨ï¬¨

¬ë, ç¥à¥§ u(t)2Rm { ã¯à ¢«ïî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥, ª®â®à®¥ ¯®- áâ㯠¥â á ¢ë室 ॣã«ïâ®à . ¤ î饥 (ª®¬ ­¤­®¥) ¢®§¤¥©- á⢨¥ ¨ ¢®§¬ã饭¨ï ®âà ¦¥­ë § ¢¨á¨¬®áâìî ¢¥ªâ®à-ä㭪権 f( ), g( ) ®â ¢à¥¬¥­¨. ®¤áâ ­®¢ª®© ¢ëà ¦¥­¨© ¤«ï u(t) ¨ y(t) ¨§ ãà ¢­¥­¨© ¢ë室 ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï- ­¨ï ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï § ¬ª­ã⮩ á¨áâ¥¬ë ®â­®-

áâ â¨ç¥áª®© ¯®¤á¨áâ¥¬ë § ¯¨áë¢ îâáï ⮫쪮 ãà ¢­¥­¨ï ¢ë-

室 .

¬ ¥ з ­ ¨ ¥ 2 . б«¨ ®¡ га ¢­¥­¨п ¢л室 ᮤ¥а¦ в "¯ап¬го б¢п§м" ¬¥¦¤г ¢е®¤®¬ ¨ ¢л室®¬ б®®в¢¥вбв¢гой¥© ¯®¤б¨бв¥¬л, в.¥. ¥б«¨ ¨ ®¡к¥ªв, ¨ а¥£г«пв®а ­¥ п¢«повбп бва®£® а¥ «¨§г¥¬л¬¨ §¢¥­мп¬¨, в® ¯а¨ гª § ­­®© ¯®¤бв ­®¢- ª¥ ¢®§­¨ª ¥в "§ ¬ª­гвл© ª®­вга", ¯®п¢«¥­¨¥ ª®в®а®£® ¯а¨- ¢®¤¨в ª ­¥®¡е®¤¨¬®бв¨ а §а¥и¥­¨п б¨бв¥¬л «£¥¡а ¨з¥бª¨е

228

ãà ¢­¥­¨©

gp (xp(t) u(t) t) = 0 gc (xc(t) y(t) t) = 0:

ਠ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¨ â ª¨å á¨á⥬ ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à®-

楤ãàë à¥è¥­¨ï «£¥¡à®-¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© [72].ª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨© § ¬ª­ã⮩ ­¥«¨­¥©­®© á¨- á⥬ë ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¥«¥­¨î ¯® ä㭪樮­ «ì­®¬ã ¯à¨§­ - ªã (­ ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥­¨ï ¨ ॣã«ïâ®à). â® ¥áâ¥á⢥­­® ¯à¨ á®áâ ¢«¥­¨¨ ãà ¢­¥­¨© á¨á⥬ë, ®¤­ ª® ¤«ï ¤ «ì­¥©è¨å ¨áá«¥¤®¢ ­¨© ¡®«¥¥ 㤮¡­®© ¡ë¢ ¥â § ¯¨áì ãà ¢­¥­¨© § -

¬ª­ã⮩ á¨áâ¥¬ë ¢ ä®à¬¥ â ª ­ §ë¢ ¥¬®© á¨á⥬ë ãàì¥, ¢ ª®в®а®© ¢л¤¥«повбп «¨­¥©­ п ¨ ­¥«¨­¥©­ п з бв¨, ¯а¨з¥¬ ¢бп ¤¨­ ¬¨ª б¨бв¥¬л б®ба¥¤®в®з¥­ ¢ «¨­¥©­®© з бв¨, ­¥- «¨­¥©­®бвм п¢«п¥вбп бв в¨з¥бª®© (б гз¥в®¬ ¯а¨¢¥¤¥­­®£® ¢л- и¥ § ¬¥з ­¨п ®в­®б¨в¥«м­® ­¥®¤­®§­ з­ле ­¥«¨­¥©­ле е - а ªв¥а¨бв¨ª). бᬮва¨¬ нвг д®а¬г § ¯¨б¨ ¡®«¥¥ ¯®¤а®¡-

­®.

ãáâì «¨­¥©­ ï ç áâì á¨áâ¥¬ë § ¤ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨ á®- áâ®ï­¨ï

¤¥áì x(t) 2 Rn { ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï «¨­¥©­®© ç á⨠á¨á⥬ë (10.8), ®¤­®¢à¥¬¥­® á«ã¦ 騩 ¢¥ªâ®à®¬ á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë

B(t) C(t) In D(t) 0n n â.¥. ¥á«¨ ¯à¨­ïâì, çâ® «¨­¥©­ ï

ç áâì { ᮢ®ªã¯­®áâì ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¨­â¥£à â®à®¢, ¢á¥ ¢ë室ë 229

¨á. 10.1. âàãªâãà ­¥«¨­¥©­®© á¨áâ¥¬ë ¢ ¢¨¤¥ ¢§ ¨¬®á¢ï- § ­­ëå «¨­¥©­®© ¨ ­¥«¨­¥©­®© ¯®¤á¨á⥬.

ª®â®àëå ®¡à §ãîâ ¢¥ªâ®à (t) ­ ¢å®¤ë ª ¦¤®£® ¨§ ­¨å ¯®- áâ㯠îâ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª®¬¯®­¥­âë ¢¥ªâ®à (t) ¯®«ã稬

᫨ ¢ á¨á⥬¥ ¨¬¥¥âáï ®¤¨­ ­¥«¨­¥©­ë© ¡«®ª ᮠ᪠«ïà- ­ë¬ ¢ë室®¬ (t) 2 R («¨¡® ¥á«¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¬ ­¥«¨­¥©-

­ëå §¢¥­ì¥¢ ¥¥ ¬®¦­® ¯à¨¢¥á⨠ª â ª®¬ã ¢¨¤ã), 5 â® «¨­¥©­ãî ç áâì ( ) á¨áâ¥¬ë ¢ áâ 樮­ à­®¬ á«ãç ¥ ¬®¦­® ®¯¨á âì ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樥© ¬¥¦¤ã ¢å®¤®¬ ¨ ¢ë室®¬ : Wl (s) = C(sI ; A);1B + D: ®«ãç ¥¬ à á¯à®áâà ­¥­­ë© ¢¨¤ á¨á⥬ë, § ¬ª­ã⮩ ®¡à â­®© á¢ï§ìî. ᮡ¥­­®áâì á®á⮨â

¢â®¬, çâ® ®¡à â­ ï á¢ï§ì ­¥«¨­¥©­ .

¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ . ®áª®«ìªã ¢ ⥮ਨ ã¯à ¢«¥­¨ï ¯à¨­ïâ® ®¡ëç­® à áᬠâਢ âì á¨á⥬ë, § ¬ª­ãâë¥ ®âà¨æ ⥫쭮© ®¡à â­®© á¢ï§ìî, ¬®¦­® ¨§¬¥­¨âì §­ ª ¯¥à¥¤ â®ç­®© äã­ª- 樨 «¨­¥©­®© ç á⨠Wl(s) «¨¡® áç¨â âì, çâ® ¢ë室 ­¥«¨­¥©-

­®£® ¡«®ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬ (t) = ;'( t):

10.3. ᮡ¥­­®á⨠¯à®æ¥áᮢ ¢ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ å

ª ®â¬¥ç¥­® ¢ëè¥, ­¥«¨­¥©­ë¥ á¨áâ¥¬ë ®â«¨ç îâáï ®â «¨- ­¥©­ëå ¢¥áì¬ á«®¦­ë¬ ¨ à §­®®¡à §­ë¬ ¯®¢¥¤¥­¨¥¬. ®¦-

­® áç¨â âì, çâ® ¯à¨ç¨­®© í⮣® ï¥âáï ­¥¢ë¯®«­¥­¨¥ ¯à¨­-

5 ª®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¢ë¯®«­¨¬®, ¥á«¨ ­¥áª®«ìª® ­¥«¨­¥©­ëå áâ â¨- ç¥áª¨å §¢¥­ì¥¢ á¢ï§ ­ë ­¥¯®á।á⢥­­® ¬¥¦¤ã ᮡ®© ¨ ¬¥¦¤ã ­¨¬¨ ­¥â ¯à®¬¥¦ãâ®ç­ëå ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å §¢¥­ì¥¢ (¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­® á¬. [15, 76]).

230

樯 á㯥௮§¨æ¨¨ ¤«ï ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬. áᬮâਬ ­¥- ª®â®àë¥, ­ ¨¡®«¥¥ å à ªâ¥à­ë¥, ®á®¡¥­­®á⨠¯®¢¥¤¥­¨ï â - ª¨å á¨á⥬.

10.3.1. ਭ樯 á㯥௮§¨æ¨¨

¡à ⨬áï ⥯¥àì ª ®¡é¥¬ã ®¯à¥¤¥«¥­¨î «¨­¥©­ëå ¤¨­ ¬¨- ç¥áª¨å á¨á⥬ [44].

ª ®â¬¥ç¥­® ¢ ¯. 1.1. ¢ë室 y(t) ¤¨­ ¬¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä㭪樮­ «ì­ë¬ ãà ¢­¥­¨¥¬

y(t) = S;x(t0 )\ u[t0 t]

£¤¥ x(t0) {­ ç «ì­®¥ á®áâ®ï­¨¥ á¨á⥬ë, u[t0 t] { ¢å®¤­®¥ ¢®§-

¤¥©á⢨¥, § ¤ ­­®¥ ­ ¨­â¥à¢ «¥ [t0 t] t > t0:

¯à¥¤¥«¥­¨¥ [44]. ¨á⥬ ­ §ë¢ ¥âáï «¨­¥©­®©, ¥á«¨ ®­ :

¨­¥©­ ®â­®á¨â¥«ì­® ¢á¥å ­ ç «ì­ëå á®áâ®ï­¨©, â.¥. ¤«ï ¢á¥å t0 t > t0 x(t0) = x0 u[t0 t] v[t0 t] k ¢ë¯®«­¥­®:

k;S(x0 \ u[t0 t]) ; S(x0 \ v[t0 t] ) = S;0\k(u[t0 t] ; v[t0 t]) (10.10)

â.¥. ¯à¨ «î¡®¬ ­ ç «ì­®¬ á®áâ®ï­¨¨ à §­®áâì ¬¥¦¤ã ॠª- æ¨ï¬¨ ­ ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ¢å®¤­ë¥ ¢®§¤¥©á⢨ï à ¢­ ॠªæ¨¨

­à §­®áâì íâ¨å ¦¥ ¢®§¤¥©á⢨©, ¯®«ã祭­ãî ¯à¨ ­ã«¥¢®¬

­ç «ì­®¬ á®áâ®ï­¨¨¨.

ॠªæ¨© ¯à¨ ª ¦¤®¬ ­ ç «ì­®¬ á®áâ®ï­¨¨ ¢ ®â¤¥«ì­®áâ¨. 6§ ᢮©á⢠(10.10), ¢ ç áâ­®á⨠¯à¨ k = 1 v = O, á«¥¤ã¥â

S(x0 \ u[t0 t]); S(x0 \ O) = S(0\ u[t0 t] ) ®âªã¤ y(t) = S(x0 \ O) + S(0\ u[t0 t] ):

à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, á¯à ¢¥¤«¨¢® ᢮©á⢮ à §¤¥«¥­¨ï { ¤¢¨- ¦¥­¨¥ «¨­¥©­®© á¨áâ¥¬ë ¯à¨ «î¡ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå ¨

6 ¤¥áì ç¥à¥§ 0 ®¡®§­ 祭 ­ã«¥¢®© í«¥¬¥­â ¯à®áâà ­á⢠á®áâ®ï­¨© X ç¥à¥§ O { ­ã«¥¢®© í«¥¬¥­â ¯à®áâà ­á⢠ä㭪権, u(t) 0:

231