Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

.pdf
Скачиваний:
54
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.56 Mб
Скачать

¨á. 11.12. à 䨪¨ ä㭪権 V ;x(t) ¨ V_ ;x(t) ¤«ï ®¤­®© ¨§ ॠ«¨§ 権 ¯à®æ¥áá (11.33).

ª , ª®â®à ï ᢮¤¨âáï ª ¢ë¢®¤ã ­ § ¤ ­­ë© ã஢¥­ì ¨ áâ - ¡¨«¨§ 樨 í­¥à£¨¨ H ¬ ïâ­¨ª (¯®¤à®¡­¥¥ á¬. [6, 64]). «ï í⮩ 楫¨ ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à®¯®à樮­ «ì­ë©

u = ; ;H ; H )'(t)

(11.37)

¨«¨ ५¥©­ë©

 

u = ; sign ;;H ; H )'(t)

(11.38)

«£®а¨в¬л г¯а ¢«¥­¨п [6, 64]. ­¨ п¢«повбп а §­®¢¨¤­®бвп-

¬¨ «£®à¨â¬®¢ ᪮à®áâ­®£® £à ¤¨¥­â . ( ¢¥¤¥­¨ï ® ¬¥â®¤¥ ᪮à®áâ­®£® £à ¤¨¥­â ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ ਫ®¦¥­¨¨ A., ¯. A. á¬. ¢ëà ¦¥­¨¥ (A.15) ­ á. 410). ¢ëà ¦¥­¨ïå (11.37), (11.38)

ç¥à¥§ H ®¡®§­ 祭 âà¥¡ã¥¬ë© ã஢¥­ì í­¥à£¨¨,

> 0 { ¯ -

à ¬¥âà «£®à¨â¬ (¤«ï (11.37) íâ® ª®íää¨æ¨¥­â ãᨫ¥­¨ï,

¤«ï (11.38) { ¢¥«¨ç¨­

"¯®«ª¨" ५¥).

 

 

ª ¨ ¢ëè¥, ¢®§ì¬¥¬ äã­ªæ¨î ï¯ã­®¢ ¯à®¯®à樮­ «ì-

­ãî ¯®«­®© í­¥à£¨¨ ¬ ïâ­¨ª , V (x) =

x2

; cosx1) £¤¥

22 + !02 (1

x = colf' 'g, ¨ ¢ëç¨á«¨¬ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤­ãî ¢ ᨫã á¨á⥬ë.

®«ã稬

 

 

 

 

 

_

2

 

 

 

(11.39)

V = '' + !0 'sin ' = u':

ਠ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ¯à®¯®à樮­ «ì­®£® § ª®­

ã¯à ¢«¥­¨ï

(11.37) ­ 室¨¬, çâ®

 

 

 

 

 

_

= ; ;H ; H

 

2

 

 

V

 

'

 

(11.40)

 

282

 

 

 

 

¤«ï ५¥©­®£® § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï (11.38) {

 

V_ = ; sign H ; H j'j:

(11.41)

âáî¤

¢¨¤­®, çâ® ¯à¨ H < H;

 

¨ ' =

 

_

 

0 ¯à®¨§¢®¤­ ï V > 0:

 

 

 

6

 

 

®áª®«ìªã '(t) 0 ᮢ¬¥á⨬® á ãà ¢­¥­¨ï¬¨ á¨á⥬ë ⮫ì-

ª® ¯à¨ '(t) 0, ­ ç «® ª®®à¤¨­ â (' = ' = 0) ­¥ãá⮩-

稢® ¯®

ï¯ã­®¢ã. ­¥ í⮩ â®çª¨

á«¥¤ã¥â à áᬮâà¥âì

¬­®¦¥á⢮, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ ãá«®¢¨¥¬ H = H : ¥âà㤭® ã¡¥- ¤¨âìáï, çâ® ®­® ï¥âáï ¨­¢ ਠ­â­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬, â ª ª ª

¯à¨ u(t)

 

0 ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå (â ª¨å,

çâ® H

;

 

 

_

 

 

'(0) '(0)

= H ) ¯®«ãç ¥âáï âà ¥ªâ®à¨ï, ¤«ï ª®â®à®©

H(t) = H

(á¬. ¢ëè¥ ãà ¢­¥­¨¥ (11.35), á. 280). ª ª ª ¯à¨

H > H ¨¬¥¥â ¬¥áâ® V < 0 äã­ªæ¨ï V { ¯®«®¦¨â¥«ì­®

®¯à¥¤¥«¥­­ ï ¢ ®¡« á⨠= fx : V (x) 2!02g (á¬. á. 279), â® ¢á¥ âà ¥ªâ®à¨¨, ­ 稭 î騥áï ¢­ãâਠí⮩ ®¡« á⨠(ªà®- ¬¥ âਢ¨ «ì­®£® à¥è¥­¨ï '(t) 0) ¡ã¤ãâ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ áâ६¨âìáï ª ¯à¥¤¥«ì­®¬ã 横«ã, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¬ã ãá«®¢¨¥¬ H(t) H : «¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ á¨á⥬¥ ¢®§¡ã¦¤ îâáï ¢â®ª®- «¥¡ ­¨ï § ¤ ­­®© ¬¯«¨âã¤ë.

à¨á. 11.13 ¯®ª § ­ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯®«®¦¥­¨© ¬ - ïâ­¨ª ¯à¨ ¢®§¡ã¦¤¥­¨¨ ª®«¥¡ ­¨© ¯® §­ ª®¢®¬ã «£®à¨â¬ã ( ) ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ä §®¢ë© ¯®àâà¥â (¡).

¨á. 11.13. à®æ¥áá à ᪠窨 ¬ ïâ­¨ª .

ਬ¥à 3. áá«¥¤®¢ ­¨¥ ¢â®ª®«¥¡ ⥫쭮© á¨á⥬ë.

¤ ­­®¬ ¯à¨¬¥à¥ à áᬮâਬ â ª ­ §ë¢ ¥¬®¥ ãà ¢­¥­¨¥ -

ã⨭ : [52]

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1(t) = !x2(t) + a2x1(t)

;

x1(t)

x1(t)2 + x2(t)2

 

 

(11.42)

2

 

 

 

2

2

 

 

x2(t) = !x1(t) + a

x2(t)

; x2

(t)

x1(t) + x2

(t)

 

 

 

 

 

283

 

 

 

 

 

 

£¤¥ ! > 0 a > 0 { ¯ à ¬¥âàë. ®áâ®ï­¨¥ x = 0 ï¥âáï á®áâ®- ï­¨¥¬ à ¢­®¢¥á¨ï áá«¥¤ã¥¬ ãá⮩稢®áâì í⮣® á®áâ®ï­¨ï ­ «¨ç¨¥ ã á¨áâ¥¬ë ¯à¥¤¥«ì­ëå 横«®¢. ¢¥¤¥¬ ª¢ ¤à â¨ç- ­ãî äã­ªæ¨î ï¯ã­®¢ V (x) = x21 + x22: ¬¥â¨¬ çâ® ãá«®¢¨¥ à®áâ (á¬. ⥮६ã 4, á. 271) ¤«ï í⮩ ä㭪樨 ¢ë¯®«­¥­®.ந§¢®¤­ ï V (x) ¢ ᨫã á¨á⥬ë (11.42) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ë- à ¦¥­¨¥¬ V_ (x) = (x21 + x22)(a2 ; x21 ; x22): ¥âà㤭® § ¬¥â¨âì, çâ® V_ (x) > 0 ¯à¨ kxk < a ¨ x =6 0: «¥¤®¢ ⥫쭮, á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ­¥ãá⮩稢® ¯® ï¯ã­®¢ã. ®¡« á⨠kxk > a ¢ë-

¯®«­¥­® V (x) < 0 ¯®í⮬ã á¨á⥬ ï¥âáï ¤¨áᨯ ⨢­®© ¨ ¢á¥ âà ¥ªâ®à¨¨, ­ 稭 î騥áï ¢­¥ ®¡« á⨠kxkj a áâà¥- ¬ïâáï ª ­¥©. ª ª ª V_ (x) = 0 ¯à¨ kxk = a ¨ ¢ ᨫã ⮣®, çâ® à¥è¥­¨¥ x1(t)2 + x2(t)2 = a2 㤮¢«¥â¢®àï¥â (11.42), â® ¤ ­­®¥ à¥è¥­¨¥ ï¥âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¯à¥¤¥«ì­ë¬ 横«®¬ { á¨á⥬ (11.42) ï¥âáï ¢â®ª®«¥¡ ⥫쭮©.

«ï ¨««îáâà 樨 ­ à¨á. 11.14

. ¯®ª § ­ë £à 䨪¨ äã­ª-

権 V (x) V_ (x) (¯à¨­ïâ® a = 1 !

= ) ­ ª®â®àëå ®âà ¦¥-

­ë âà ¥ªâ®à¨¨ ¯à®æ¥áᮢ V (x(t)) ¯à¨ ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå x0 = [;0:1 0]T (à á室ï騥áï ª®«¥¡ ­¨ï) ¨ x0 = [;3 0]T (§ âã- å î騥 ª®«¥¡ ­¨ï). ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨

¯à¨¢¥¤¥­ë ­ à¨á. 11.14 ¡.

¨á. 11.14. ã­ªæ¨ï ï¯ã­®¢ ¨ ä §®¢ë© ¯®àâà¥â ¢â®ª®«¥- ¡ ⥫쭮© á¨á⥬ë.

ਬ¥à 4. à¥á«¥¤®¢ ­¨¥ § ©æ . áᬮâਬ ¯®£®- ­î ᮡ ª¨ § § ©æ¥¬ [174]. ।¯®«®¦¨¬, çâ® § ïæ ¤¢¨¦¥âáï ¢¤®«ì ®á¨ x á ¯®áâ®ï­­®© ᪮à®áâìî vr £®­ç ï - á ¯®áâ®ï­- ­®© ¯® ¬®¤ã«î ᪮à®áâìî vh , ¯à¨ç¥¬ ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠¢ ª - ¦¤ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ ­ ¯à ¢«¥­ ­ § ©æ (âà ¥ªâ®à¨ï á¡«¨- ¦¥­¨ï ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© âà ªâà¨áã, ¨«¨ "á®-

284

¡ çìî âயã"). ¡®§­ 稬 ç¥à¥§ xh yh ¨ xr yr, ᮮ⢥âá⢥­- ­®, ª®®à¤¨­ âë £®­ç¥© ¨ § ©æ . ®£¤ xr(t) = vr yr(t) = 0 yr(0) = 0: ç¨âë¢ ï ­ ¯à ¢«¥­¨¥ ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠£®­ç¥©,

¯®«ã稬, çâ® ¤«ï ­¥ª®â®à®© ¯®áâ®ï­­®© k > 0 ¢ë¯®«­¥­®

 

 

 

 

 

xh(t) = ;k xh(t) ; xr(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yh(t) = ;k;yh(t) ; yr (t) :

 

 

 

 

®áâ®ï­­ãî k ®¯à¥¤¥«¨¬ ¨§ ®ç;¥¢¨¤­®£® ᮮ⭮è

¥­¨ï

 

x

(t)2

+ y_ (t)2

= v2:

®£¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

h

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

xh (t) = ;

 

;

 

 

xh (t)

;

xr(t)

 

 

vh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

(t)

x

(t)

 

+ y

(t)2

h

 

 

 

8 y (t) =

 

 

q

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

;yhr(t)

 

 

h

 

v :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

q;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

xh(t) ; xr (t) 2 + yh(t)2

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

®â­®á¨â¥«ì­ëå ª®®à¤¨­ â å x = xh ; xr y = yh íâ

á¨á⥬

¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

+ y(t)2 vh ; vr

 

 

 

 

8 xh(t) =

 

 

 

 

x(t)2

 

(11.43)

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yh(t) =

 

 

 

 

 

 

 

yh(t)

 

 

 

vh:

 

 

 

 

 

 

 

:

;px(t) + y(t)

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯à 訢 ¥âáï, ¯®©¬ ¥â «¨ ᮡ ª

 

§ ©æ ?

â¥à¬¨­ å à á-

ᬠâਢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ íâ® §­ ç¨â: ¢á类¥ «¨ à¥è¥­¨¥ á ­ - ç «ì­ë¬ á®áâ®ï­¨¥¬ (x0 y0 ) áâ६¨âáï ª ­ ç «ã ª®®à¤¨­ â?«ï ®â¢¥â ­ ¯®áâ ¢«¥­­ë© ¢®¯à®á ¨áá«¥¤ã¥¬ ãá⮩稢®áâì à¥è¥­¨© (11.43). ¬¥â¨¬, çâ® ãà ¢­¥­¨ï (11.43) ­¥ ®¯à¥¤¥- «¥­ë ¢ â®çª¥ x = y = 0 (ª®£¤ § ïæ ¯®©¬ ­).

«ï ¢ë¡®à ¯®¤å®¤ï饩 ä㭪樨 ï¯ã­®¢ ãç⥬, çâ® æ¥- «ìî ¯à¥á«¥¤®¢ ­¨ï ï¥âáï 㬥­ì襭¨¥ à ááâ®ï­¨ï ¬¥¦¤ã ᮡ ª®© ¨ § ©æ¥¬. ¬¥­­® à ááâ®ï­¨¥ ¨ ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì

 

+ y2:

ந§¢®¤­ ï

¢ ª ç¥á⢥ ä㭪樨 ï¯ã­®¢ : V (x y) = x2

_

 

x

2

+y

2

;2vrx:

í⮩ ä㭪樨 ¢ ᨫã (11.43) à ¢­ V (x y)=;2vh

 

 

¨¤­®, çâ® ¯à¨ vh > vr äã­ªæ¨ï V_ (x y) < 0 ¢®p¢á¥å â®çª å,

ªà®¬¥ ­ ç « ª®®à¤¨­ â. 19 «¥¤®¢ ⥫쭮, ¥á«¨ £®­ç ï ¡¥-

¦¨â ¡ëáâ॥ § ©æ ( § ïæ { ¯® ¯àאַ©), â® ®­

¥£® ¯®©¬ ¥â

( ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19 ¥©á⢨⥫쭮, ¯à¨ x = 0 íâ® ®ç¥¢¨¤­®,

¯à¨ x

6=

 

0 ¯®«ã稬

;vhpx2 + y2 ; vrx < ;(vh ; vr)jxj < 0:

 

 

 

 

 

 

285

 

 

 

 

 

 

ਬ¥à 5. á⮩稢®áâì ­¥«¨­¥©­®© ¤¨áªà¥â­®© á¨- á⥬ë. áᬮâਬ á¨á⥬ã [174]

 

>

x1[k + 1] =

 

 

 

x2[k]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

8 x2[k + 1] =

 

1 + x2[k]

 

 

 

 

 

(11.44)

 

 

 

 

x1[k]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

1 + x2[k]

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï¥âáï á®áâ®ï­¨¥¬ à ¢­®¢¥-

®áâ®ï­¨¥ x = 0 x = col x1 x2

g

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

= 0 ®ç¥¢¨¤­®,

á¨ï (¤¥©á⢨⥫쭮, ãá«®¢¨¥ x

 

 

= f(x

) ¯à¨ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+x2: ⮡ë

¢ë¯®«­¥­®). ¢¥¤¥¬ äã­ªæ¨î ï¯ã­®¢ V (x) = x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

¯à®¢¥à¨âì, ã¡ë¢ ¥â «¨ ®­

¢¤®«ì âà ¥ªâ®à¨© á¨á⥬ë (11.44),

¢ëç¨á«¨¬ V (f(x)): ®«ã稬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V (f (x)) =

x2

 

+

x2

 

 

=

x2

+ x2

=

 

V (x)

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

1

2

 

 

 

:

 

1 + x2

 

1 + x2

 

 

1 + x2

 

 

1 + x2

¯à®-

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

âáî¤ ¢¨¤­®,;çâ® V (f(x)); < V (x) ¯à¨; x = 0: ¥á«®¦­®;

6

¢¥à¨âì ¢ë¯®«­¥­¨¥ ¨ ¤à㣨å ãá«®¢¨© ⥮६ë 2 á. 277, á«¥-

¤®¢ ⥫쭮, á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï x = 0 ¤¨áªà¥â­®© á¨á⥬ë (11.44) ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢® ¢ 楫®¬.

11.5. ¥â®¤ë ⥮ਨ ¡á®«îâ­®© ãá⮩稢®áâ¨

11.5.1. ¤ ç ¡á®«îâ­®© ãá⮩稢®áâ¨

।¯«®¦¨¬, çâ® ­¥«¨­¥©­ ï á¨á⥬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¢ ¢¨¤¥ á¨á⥬ë ãàì¥: «¨­¥©­®© ¤¨­ ¬¨ç¥áª®© ¯®¤á¨áâ¥¬ë ¨ ­¥«¨- ­¥©­®£® áâ â¨ç¥áª®£® §¢¥­ ¢ 楯¨ ®¡à â­®© á¢ï§¨. «ï ¯à®- áâ®âë ®£à ­¨ç¨¬áï á«ãç ¥¬ á¨á⥬ë á ®¤­¨¬ ­¥«¨­¥©­ë¬

¡«®ª®¬, ãà ¢­¥­¨ï ª®â®à®©, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬®¦­® ¯à¥¤áâ - ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ( á¬. 11.3)

 

 

A(p) (t) = ;B(p) (t)

(11.45)

 

 

(t) = '( (t))

(11.46)

£¤¥ p

d

{ ®¯¥à â®à ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï A(p)

B(p) { ®¯¥à -

dt

â®à­ë¥ ¬­®£®ç«¥­ë.

 

¨­¥©­ ï ç áâì à áᬠâਢ ¥¬®© á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â ¯¥à¥¤ -

â®ç­ãî äã­ªæ¨î ®â ¢å®¤ (; ) ª ¢ë室ã :

 

 

 

B(s)

(11.47)

 

 

W« (s) = A(s)

286

 

£¤¥ à£ã¬¥­â s 2 C, ¬­®£®ç«¥­ë B(s) A(s) ¯®«ãç îâáï § - ¬¥­®© à£ã¬¥­â p ¢ A(p) B(p) ­ s.

©¬¥¬áï § ¤ 祩 ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ãá⮩稢®á⨠§ ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë (11.47) ­¥ ¤«ï ª®­ªà¥â­®© ä㭪樨 '( ), ¤«ï ¢á¥å â ª¨å ä㭪権, ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨å ­¥ª®â®à®¬ã ¬­®¦¥áâ¢ã (ª« á- áã) . 20 ª¨¬ ®¡à §®¬, à áᬮâਬ ­¥ª®â®àë¥ ®¡é¨¥ ãá«®¢¨ï ãá⮩稢®áâ¨, ­¥ § ¢¨áï騥 ®â ⮣®, ª ª ï ª®­ªà¥â­®

­¥«¨­¥©­ ï § ¢¨á¨¬®áâì ¨¬¥¥â ¬¥áâ®.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ [30]. ¨­¥©­ ï ç áâì á¨á⥬ë (¨«¨, ª®à®ç¥, á¨á⥬ (11.45)) ¡á®«îâ­® ãá⮩稢 ¢ ª« áᥠ­¥«¨­¥©­ëå ¡«®ª®¢ (11.46), ¥á«¨ «î¡ ï § ¬ª­ãâ ï á¨á⥬ (11.45), (11.46)

á ä㭪樥© '( ) 2 ¡á®«îâ­® ãá⮩稢

¢ 楫®¬.

2

¨§¨ç¥áª¨ íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® á¨á⥬

¨¬¥¥â ¤®áâ â®ç­®

å®à®è¨¥ ᢮©á⢠, ª®â®àë¥ ­¥ ¯à®¯ ¤ î⠯ਠ§ ¬¥­¥ ®¤­¨å

¡«®ª®¢ ¨§ ¤ ­­®£® ª« áá

¤à㣨¬¨.

 

¡ëç­® à áᬠâਢ îâáï â ª ­ §ë¢ ¥¬ë¥ ᥪâ®à­ë¥ ­¥«¨-

­¥©­®áâ¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î

 

k1

'( )

 

k2

= 0 '(0) = 0:

(11.48)

 

 

 

6

 

¬¥â¨¬, çâ® ãá«®¢¨ï (11.48) ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ®¤­®£® ª¢ ¤à â¨ç­®£® ­¥à ¢¥­áâ¢

;k2 ; '( );'( ) ; k1 ) 0:

०¤¥ 祬 ¯¥à¥©â¨ ª ªà¨â¥à¨ï¬ ¡á®«îâ­®© ãá⮩稢- ®á⨠­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬, à áᬮâਬ ¯®¤®¡­ãî § ¤ çã ¤«ï «¨­¥©­®£® á«ãç ï, â.¥. ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® '( ) = k0 ¤«ï ­¥- ª®â®à®£® ¯®áâ®ï­­®£® ª®íää¨æ¨¥­â k0: ¯®¬®éìî ¨§¢¥áâ- ­ëå ¢ ⥮ਨ «¨­¥©­ëå á¨á⥬ ¬¥â®¤®¢ ¬®¦­® ãáâ ­®¢¨âì

£à ­¨ç­ë¥ §­ 祭¨ï ¯ à ¬¥âà k0 ¯à¨ ª®â®àëå á®åà ­ï¥â- áï ãá⮩稢®áâì «¨­¥©­®© á¨á⥬ë k0 2 [k1 k2]:21 â®â ¯à®- ¬¥¦ã⮪ ®¯à¥¤¥«ï¥â â ª ­ §ë¢ ¥¬ë© ᥪâ®à (㣮«) ãࢨæ .à ä¨ç¥áª¨ ãá«®¢¨¥ ãá⮩稢®á⨠¢ë£«ï¤¨â ¢ ¢¨¤¥ ᥪâ®à ­ ¯«®áª®á⨠(' ), ®£à ­¨ç¨¢ î饣® £à 䨪 § ¢¨á¨¬®áâ¨

' = '( ):

20ª ï ¯®áâ ­®¢ª § ¤ ç¨ á®®â¢¥âáâ¢ã¥â à áᬮâ७­®¬ã ¢ ¯à¥¤ë¤ã- 饬 ¯ à £à ä¥ ¯à¨¬¥àã, ¢ ª®â®à®¬ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ãá⮩稢®á⨠ãáâ ­ ¢«¨¢ «¨áì ¤«ï «î¡®© ­¥«¨­¥©­®© å à ªâ¥à¨á⨪¨, £à 䨪 ª®â®à®© «¥¦¨â ¢ § ¤ ­­®¬ ᥪâ®à¥.

21®§¬®¦­®, £à ­¨ç­ëå ¯ à ¡ã¤¥â ­¥áª®«ìª®.

287

. . ªã¡®¢¨ç { . «¬ ­

ª®­æ¥ 40-å £®¤®¢ . . ©§¥à¬ ­®¬ ¡ë« ¢ë¤¢¨­ãâ £¨- ¯®â¥§ , ᮣ« á­® ª®â®à®© ᥪâ®à ¡á®«îâ­®© ãá⮩稢®á⨠­¥«¨­¥©­®© á¨á⥬ë ᮢ¯ ¤ ¥â á ᥪâ®à®¬ ãࢨæ , â.¥. ª - ¦¤ ï ­¥«¨­¥©­ ï á¨á⥬ , ã ª®â®à®© £à 䨪 § ¢¨á¨¬®á⨠' = '( ) «¥¦¨â ¢­ãâਠ£ãࢨ楢®£® 㣫 , ãá⮩稢 ¢ 楫®¬ [15, 76, 94]. ¯®á«¥¤á⢨¨ ¡ë«¨ ­ ©¤¥­ë ®¯à®¢¥à£ î騥 ¯à¨- ¬¥àë, å®âï £¨¯®â¥§ã ©§¥à¬ ­ ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ¬­®- £¨å ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢ ¦­ëå á«ãç ¥¢. §¢¥áâ­ë ¯®¯ë⪨ ãâ®ç- ­¨âì ä®à¬ã«¨à®¢ªã í⮩ £¨¯®â¥§ë á ⥬, ç⮡ë à áè¨à¨âì

®¡« áâì ¥¥ ¯à¨¬¥­¥­¨ï. ¯à¨¬¥à, . «¬ ­®¬ ¯à¥¤ê¥- ­ë ¡®«¥¥ ¦¥á⪨¥ ®£à ­¨ç¥­¨ï: ᮣ« á­® £¨¯®â¥§¥ «¬ ­ , ãá⮩稢®áâì «¨­¥©­®© á¨áâ¥¬ë ¤®«¦­ ¨¬¥âì ¬¥áâ® ¤«ï ¢á¥å k0 ®£à ­¨ç¥­­ëå ­¥ ⮫쪮 ᥪâ®à®¬, ᮤ¥à¦ 騬 ­¥«¨­¥©-

­®áâì '( ) ­® ¨ £à ­¨ç­ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨ ¯à®¨§¢®¤­®© d'( ) d

[94]. ¬¥â¨¬, çâ® ä㭪樨 '( ) 㤮¢«¥â¢®àïî騥 £¨¯®â¥- §¥ «¬ ­ , 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¨ £¨¯®â¥§¥ ©§¥à¬ ­ . ®, å®âï

¤ ­­ ï £¨¯®â¥§ ®ª §ë¢ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢®© ¤«ï ¡®«¥¥ è¨à®- ª®£® ª« áá á¨á⥬, ¤«ï ­¥¥ â ª¦¥ ­ ©¤¥­ë ®¯à®¢¥à£ î騥 ¯à¨¬¥àë.

¥à¥©¤¥¬ ª áâண¨¬ ªà¨â¥à¨ï¬.

«ï ¯®á«¥¤ãî饣® ¨§«®¦¥­¨ï ¯à¨£®¤¨âáï âà ªâ®¢ª ᥪ- â®à­®£® ãá«®¢¨ï ãá⮩稢®á⨠«¨­¥©­®© á¨áâ¥¬ë ¯® ç áâ®â-

­®¬ã ªà¨â¥à¨î ©ª¢¨áâ . ª ­¥âà㤭® § ¬¥â¨âì, ãá⮩ç- ¨¢®áâì «¨­¥©­®© á¨áâ¥¬ë ¢ ᥪâ®à¥ ãà¢¨æ ®§­ ç ¥â, çâ® ¬¯«¨â㤭®-ç áâ®â­ ï å à ªâ¥à¨á⨪ «¨­¥©­®© ç á⨠á¨-

á⥬ë W« (|!) ­¥ ¯¥à¥á¥ª ¥â ®â१®ª ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨

1

 

1

 

h ;

 

 

;

 

i, ®å¢ âë¢ ï ¥£® âॡ㥬®¥ (¯® ª®«¨ç¥áâ¢ã "­¥-

k1

k2

ãá⮩稢ëå" ¯®«îᮢ à §®¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë) ç¨á«® à §.

ä®à¬ã«¨à㥬 ®á­®¢­ë¥ ¯®«®¦¥­¨ï ­ ¨¡®«¥¥ ¨§¢¥áâ­ëå ªà¨â¥à¨¥¢ ¡á®«îâ­®© ãá⮩稢®áâ¨: ªà㣮¢®£® ªà¨â¥à¨ï ¨

ªà¨â¥à¨ï ®¯®¢ . ®«¥¥ ¯®¤à®¡­®¥ ¨§«®¦¥­¨¥, ¢ª«îç î- 饥 ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢠, ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [56]. ®ª § ⥫ìá⢠®á­®¢ ­ë ­ â ª ­ §ë¢ ¥¬®© ç áâ®â­®© ⥮६¥ («¥¬¬¥)

, (á¬. [30, 76] ¨ ­¨¦¥ á. 321) 22.

22 ⬥⨬, çâ® ¯¥à¢®­ ç «ì­®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ . . ®¯®¢ ¡ë«® ¯®«ã祭® ¤à㣨¬ ¬¥â®¤®¬: â ª ­ §ë¢ ¥¬ë¬ ¬¥â®¤®¬ ¯à¨®à­ëå ®æ¥­®ª, ª®â®àë© ¨¬¥¥â ¨ ¨­ë¥ ¯à¨¬¥­¥­¨ï ¢ ⥮ਨ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ [56].

288

11.5.2. à㣮¢®© ªà¨â¥à¨©

ãáâì ¢ë¯®«­¥­ë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) k1

 

'( )

 

k2

= 0 '(0) = 0 (â.¥. ¢ë¯®«­¥­® ᥪâ®à-

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

k2

6=

;1\ 2) áãé¥áâ¢ã¥â

­®¥ ãá«®¢¨¥ (11.48)), ¯à¨ç¥¬ k1 6= 1

 

â ª®¥ k0 , k1

k0

k2

çâ® «¨­¥©­ ï á¨á⥬ á ®¡à â­®© á¢ï-

§ìî ¢¨¤

'( ) = k0

ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢 \ 3) à §®¬ª­ã-

â ï á¨á⥬

W« (s) =

B«

(s)

­¥ ¨¬¥¥â ¯®«îᮢ ­

¬­¨¬®© ®á¨,

A«

(s)

â.¥. A«(|!) = 0 ¤«ï ¢á¥å !\ 4) ¯à¨ ¢á¥å !

[

 

+

] ¢ë¯®«­¥­®

 

 

6

 

 

 

 

;

 

 

;

2 ;1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> 0: 23

 

ç áâ®â­®¥ ãá«®¢¨¥ Re 1+k1W« (|!)

 

k2W«(|!)+1

 

 

®£¤

§ ¬ª­ãâ ï ­¥«¨­¥©­ ï á¨á⥬

¡á®«îâ­® ãá⮩ç¨-

¢ ¢ § ¤ ­­®¬ ª« áᥠ­¥«¨­¥©­ëå ¡«®ª®¢, ¡®«¥¥ ⮣®, ¨¬¥¥â

¬¥áâ® à ¢­®¬¥à­ ï íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ ï ãá⮩稢®áâì, â.¥.

áã-

é¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ¯®áâ®ï­­ë¥ c > 0

" > 0 çâ® ¤«ï «î¡®£®

à¥è¥­¨ï á¨á⥬ë (11.2) ¨ «î¡ëå t >

t0

¢ë¯®«­¥­®

j

x(t)

cjx(t0 )je;"(t;t0)

[30].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

áâ®â­®¥ ãá«®¢¨¥ 4 £à ä¨ç¥áª¨ ¨­â¥à¯à¥â¨àã¥âáï, ª ª

®вбгвбв¢¨¥ ®¡й¨е в®з¥ª г «¨­¥©­®© з бв¨ б¨бв¥¬л б ®ªаг¦­®бвмо б ж¥­в஬ ­ ¢¥й¥бв¢¥­­®© ®б¨, ¯а®е®¤пй¥© ­

í⮩ ®á¨ ç¥à¥§ â®çª¨ ; 1 ; 1 : k1 k2

¨¤­®, çâ® ªà㣮¢®© ªà¨â¥à¨© § ¤ ¥â ¡®«¥¥ ¦¥á⪨¥ ãá«®- ¢¨ï ¤«ï «¨­¥©­®© ç á⨠á¨á⥬ë, 祬 £¨¯®â¥§ ©§¥à¬ ­ .®¤ç¥àª­¥¬, çâ® ®­ ï¥âáï ⮫쪮 ¤®áâ â®ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¡á®«îâ­®© ãá⮩稢®á⨠¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® ­¥¢ë¯®«­¥­¨¥ ãá«®¢¨ï 4 ®§­ ç ¥â ­¥¯à¨¬¥­¨¬®áâì ª ¤ ­­®© á¨á⥬¥ í⮣® ªà¨â¥à¨ï. ®§¬®¦­®, ¯®á।á⢮¬ ¤à㣮£® ªà¨â¥à¨ï ¡á®- «îâ­ãî ãá⮩稢®áâì 㤠áâáï ®¡®á­®¢ âì.

à㣮¢®© ªà¨â¥à¨© ¨áç¥à¯ë¢ ¥â ¢á¥ ªà¨â¥à¨¨, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ã祭ë á ¯®¬®éìî ª¢ ¤à â¨ç­®© ä㭪樨 ï- ¯ã­®¢ V (x) = xT Hx H = HT > 0 [30]. áᬮâਬ ⥯¥àì á«¥¤ãî騩, ¡®«¥¥ "â®­ª¨©" ç áâ®â­ë© ªà¨â¥à¨© . . ®¯- ®¢ , ª®â®àë© ¤«ï ¯à®áâ®âë áä®à¬ã«¨à㥬 «¨èì ¤«ï á«ãç ï k1 = 0 (®¡é¨© á«ãç © ¬®¦¥â ¡ëâì ᢥ¤¥­ ª í⮬㠧 ¬¥­®© '~ = ' + k1 ).

23¢¥§¤®çª®© §¤¥áì ®¡®§­ 祭 ®¯¥à æ¨ï ª®¬¯«¥ªá­®£® ᮯà殮­¨ï,

ªª ç áâ­ë© á«ãç © íନ⮢®£® ᮯà殮­¨ï, ®§­ ç î饣® ¤«ï ¬ âà¨æ, ªà®¬¥ ⮣®, ¨ âà ­á¯®­¨à®¢ ­¨¥.

289

11.5.3. à¨â¥à¨© . . ®¯®¢

áâ®â­ë© ªà¨â¥à¨© . . ®¯®¢ £« á¨â, çâ® ¥á«¨ ¢ë¯®«- ­¥­ë ãá«®¢¨ï: 1) «¨­¥©­ ï ç áâì á¨á⥬ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨

ãá⮩稢 \ 2) ­¥«¨­¥©­®áâì '( ) { ®¤­®§­ ç­ ï ¨ áâ 樮­ à-

­ ï (¤®¯ã᪠îâáï ¨§®«¨à®¢ ­­ë¥ â®çª¨ à §àë¢ ¯¥à¢®£® à®-

¤ ), 24 0

 

'( )

 

k

= 0 '(0) = 0 (k =

1

­¥ ¨áª«îç ¥âáï)\

 

 

 

6

 

 

 

1] á¯à ¢¥¤«¨¢®

3) áãé¥áâ¢ã¥â # â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å !

2 [0

ç áâ®â­®¥ ­¥à ¢¥­á⢮

1 +Re

1+|!#

 

W« (|!) > 0 â® ¨¬¥¥â

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

¬¥áâ® ¡á®«îâ­ ï ãá⮩稢®áâì ¢ § ¤ ­­®¬ ª« áᥠ­¥«¨­¥©-

­ëå ¡«®ª®¢ [15, 30, 76, 83, 94].

;

 

 

 

 

­­ë© ªà¨â¥à¨© ¨¬¥¥â 㤮¡­ãî £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî ¨­â¥à-

¯à¥â æ¨î.

«ï í⮣® ¢¢®¤¨âáï ¢¨¤®¨§¬¥­¥­­ ï ç áâ®â­ ï

å à ªâ¥à¨á⨪

 

 

 

 

 

 

 

 

W (|!) = U (!) + |V (!), £¤¥ U (!) = U«(!) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Re(W« (|!)) V (!) = !V« (!) = !Im(W«(|!)): ®£¤ , ¢ ᮮ⢥â-

á⢨¨ á ç áâ®â­ë¬ ­¥à ¢¥­á⢮¬, £®¤®£à ä ¢¨¤®¨§¬¥­¥­­®©

ç áâ®â­®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¤®«¦¥­ «¥¦ âì "¯à ¢¥¥" ­¥ª®â®-

ன ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çªã

; k1

­ ¢¥é¥á⢥­­®©

®á¨.

 

 

¬¥â¨¬, çâ® ¢ë¯®«­¥­¨¥ ¯à¨¢¥¤¥­­ëå ãá«®¢¨© ®¯®¢

®§­ ç ¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ã á¨á⥬ë ä㭪樨 ï¯ã­®¢ ¢¨¤

V (x) = xT Hx + #

R

'( )d : [30, 94].

 

 

0

®¤à®¡­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ® ¡®«¥¥ ®¡é¥¬ ¬¥â®¤¥ ¯®«ã祭¨ï ç á-

â®â­ëå ãá«®¢¨© ãá⮩稢®á⨠{ ç áâ®â­®© ⥮६¥ ªã¡®¢¨- ç { «¬ ­ ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ [30] ¨ ¢ [56].

¡à ⨬áï ⥯¥àì ª § ¤ ç¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨å ¤¢¨¦¥­¨©, ¯®ï¢«¥­¨¥ ª®â®àëå ¢®§¬®¦­® ã ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ á à §à뢭®© ¯à ¢®© ç áâìî { ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬®¢.

11.6.áá«¥¤®¢ ­¨¥ ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬®¢. ¥â®¤ íª¢¨- ¢ «¥­â­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï

11.6.1. ®­ï⨥ ® ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬ å

ãáâì (§ ¬ª­ãâ ï) á¨á⥬ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ¢¨¤ (10.7):

x(t) = f (x(t) t)

(11.49)

24 â® ãá«®¢¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ­¥áª®«ìª® ®á« ¡«¥­®, [30].

290

«¨¡® íª¢¨¢ «¥­â­ë¬¨ ¨¬ ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ¢¨¤ (10.8), (10.9):

x(t) = Ax(t) + B (t) (t) = Cx(t)

(11.50)

(t) = '( t):

 

஬¥ в®£®, ¨б¯®«м§г¥¬ б«¥¤гойго д®а¬г § ¯¨б¨ га ¢­¥­¨© б¨бв¥¬л [102], ¢ ª®в®а®© п¢­® ¢л¤¥«¥­® г¯а ¢«пой¥¥ ¢®§¤¥- ©бв¢¨¥ u(t) : 25

x(t) =

(x(t)

u(t) t)

(11.51)

u(t) =

U (x t):

 

 

 

§¢¥áâ­® ¬­®£® á¨á⥬, ¤«ï ª®â®àëå ­¥«¨­¥©­ë¥ § ¢¨á¨¬®- á⨠(ä㭪樨 ¢ ¯à ¢ëå ç áâïå (11.51)) ¯à¥â¥à¯¥¢ îâ à §àë¢.¨¯¨ç­ë¬¨ ¯à¨¬¥à ¬¨ á«ã¦ â ¬¥å ­¨ç¥áª¨¥ á¨á⥬ë á áã- 娬 (ªã«®­®¢áª¨¬) â७¨¥¬, à §«¨ç­ë¥ á¨á⥬ë á ५¥©­ë¬

§ ª®­®¬ ã¯à ¢«¥­¨ï, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ®¯â¨¬ «ì­ë¥ ¯® ¡ëáâà®- ¤¥©á⢨î á¨á⥬ë ã¯à ¢«¥­¨ï, â ª¦¥ á¨á⥬ë á ॣã«ïâ®-

ନ ¯¥à¥¬¥­­®© áâàãªâãàë ( ) ([8, 76, 93, 102, 191]).«ï â ª¨å á¨á⥬ ¢®§­¨ª îâ âà㤭®áâ¨, á¢ï§ ­­ë¥ á ®¯à¥-

¤¥«¥­¨¥¬ ¤¢¨¦¥­¨© ­ ¬­®¦¥бв¢¥ в®з¥ª а §ал¢ . ­¥ª®в®- але б¨вг ж¨пе а¥и¥­¨¥ ¬®¦­® ¯®«гз¨вм, а бб¬ ва¨¢ п ¤¢¨- ¦¥­¨¥ б¨бв¥¬л ¤® ¨ ¯®б«¥ в®зª¨ а §ал¢ , ¨б¯®«м§гп ª®­¥з- ­л¥ §­ з¥­¨п ¯¥а¥¬¥­­ле б®бв®п­¨п ¢ ª з¥бв¢¥ ­ з «м­ле ­ б«¥¤гой¥¬ гз бвª¥ ва ¥ªв®а¨¨. ª п б¨вг ж¨п ¨¬¥¥в ¬¥бв®, ª®£¤ д §®¢л¥ ва ¥ªв®а¨¨ "¯а®и¨¢ ов" ¯®¢¥ае­®бвм а §ал¢ . ® ¢®§¬®¦­л б«гз ¨, ¢ ª®в®але д §®¢л¥ ªа¨¢л¥ "бвлªговбп" ­ ¯®¢¥ае­®бв¨ а §ал¢ . ®£¤ ¨§®¡а ¦ ой п в®зª ­¥ ¬®¦¥в ¯®ª¨­гвм нвг ¯®¢¥ае­®бвм ¨ ®бв ¥вбп ­ ­¥©.®§­¨ª ¥в "᪮«ì§ï騩 ०¨¬" { ¤¢¨¦¥­¨¥ ¨§®¡а ¦ ой¥© в®зª¨ ¯® ¯®¢¥ае­®бв¨ а §ал¢ ¢ в¥з¥­¨¥ ­¥ª®в®а®£® ª®­¥з- ­®£® ¨­в¥а¢ « ¢а¥¬¥­¨. гй¥бв¢¥­­®, зв® ¢ н⮬ б«гз ¥ а¥и¥­¨¥ ¡¥бª®­¥з­® ¬­®£® а § ¯®¯ ¤ ¥в ­ ¯®¢¥ае­®бвм а §- ал¢ . ¤¥бм ¬®¬¥­вл а §ал¢ ­¥ п¢«повбп ¨§®«¨а®¢ ­­л- ¬¨ в®зª ¬¨, ª ª ¢ ¯а¥¤л¤гй¥¬ б«гз ¥, ®¡а §гов ®ва¥§-

25 ¬¥â¨¬, çâ® í⨠ãà ¢­¥­¨ï ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ª ª ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¬®¤¥«¨ § ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë "¯® ä㭪樮­ «ì­®¬ã ¯à¨§­ ªã", ¢ ª®â®àëå ¢ë¤¥«¥­ë ãà ¢­¥­¨ï ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥­¨ï (10.5) ¨ ãà ¢­¥­¨ï ॣã«ïâ®à (10.7). ¤­ ª® ¢ (11.51) ­¥ 㪠§ ­®, ç⮠ï¥âáï ¢ë室®¬ ¨ á®áâ®ï­¨- ¥¬ ®¡ê¥ªâ . ®í⮬ã ॣã«ïâ®à ¬®¦¥â ¡ëâì ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¬ ¨ ­¥ª®â®àë¥ ª®¬¯®­¥­âë ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï ¬®£ã⠮⭮á¨âìáï ª ॣã«ïâ®àã.

291