Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

§ ¤ з¨ ®в­®бпвбп ª ª« ббг § ¤ з ç áâ¨ç­®© áâ ¡¨«¨§ 樨, ¢ ª®â®àëå 楫¥¢®¥ ¬­®¦¥á⢮ ¬®¦¥â ¡ëâì, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¯à®¨§¢®«ì­ë¬. ë室 § à ¬ª¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© ® "å®à®è¥©" á¨á⥬¥ ª ª ®¡ ãá⮩稢®© á¨á⥬¥ å à ªâ¥à¥­ ¤«ï ⥮ਨ ã¯à ¢«¥­¨ï ­ àã¡¥¦¥ á⮫¥â¨©. ¨¦¥ ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥­ë § ¤ ç¨ ã¯à ¢«¥­¨ï å ®â¨ç¥áª¨¬¨ á¨á⥬ ¬¨, â ª¦¥ ®â­®áï- 騥áï ª ª« ááã § ¤ ç ç áâ¨ç­®© áâ ¡¨«¨§ 樨. ®¤à®¡­¥¥ ® ç áâ¨ç­®© ãá⮩稢®á⨠¨ ç áâ¨ç­®© áâ ¡¨«¨§ 樨 á¬. ¢ [64].

ਬ¥à. ¯à ¢«¥­¨¥ ª®«¥¡ ­¨ï¬¨ ¬ ïâ­¨ª . «¥¤ãï [6], à áᬮâਬ ãà ¢­¥­¨¥ ¯à®á⥩襣® ­¥«¨­¥©­®£® ®á樫- «ïâ®à : 䨧¨ç¥áª®£® ã¯à ¢«ï¥¬®£® ¬ ïâ­¨ª 2

£¤¥ ' { 㣮« ®âª«®­¥­¨ï ¬ ïâ­¨ª ®â ¢¥à⨪ «¨ (' = 0 ) ¢ ­¨¦- ­¥¬ ¯®«®¦¥­¨¨, u { г¯а ¢«пой¨© ªагвпй¨© ¬®¬¥­в, J m l { ¬®¬¥­â ¨­¥à樨 ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ ¢à 饭¨ï, ¬ áá ¨ à ááâ®- ï­¨¥ ¬¥¦¤ã ®áìî ¢à 饭¨ï ¨ 業â஬ â殮á⨠¬ ïâ­¨ª (á®- ®â¢¥âá⢥­­®), g { ã᪮७¨¥ ᢮¡®¤­®£® ¯ ¤¥­¨ï. ­¥à£¨ï ¬ ïâ­¨ª § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥

áᬮâਬ § ¤ çã à ᪠窨 ¬ ïâ­¨ª ¤® ¬¯«¨âã¤ë, á®®â- ¢¥âáâ¢ãî饩 í­¥à£¨¨ H â.¥. ¯®áâ ¢¨¬ 楫ì (13.4). ®áâ¨- ¦¥­¨¥ 楫¨ ¬®¦¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì ª ª ¢®§¡ã¦¤¥­¨î, â ª ¨ ¯®¤ ¢«¥­¨î ª®«¥¡ ­¨© ¬ ïâ­¨ª , ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢¥«¨ç¨- ­ë ­ ç «ì­®© í­¥à£¨¨ H0: ®á⨦¥­¨¥ 楫¨ (13.4) ¤«ï H = 0 ®§­ ç ¥â áâ ¡¨«¨§ æ¨î ¬ ïâ­¨ª ¢ ­¨¦­¥¬ ¯®«®¦¥­¨¨, â.¥. ¯®«­®¥ ¯®¤ ¢«¥­¨¥ ª®«¥¡ ­¨©, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¤«ï H > 2mgl í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ­¥¯à¥à뢭®¬ã ¢à 饭¨î.

- «£®à¨â¬ë ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¯à¨­¨¬ îâ ¯à®á⮩ ¢¨¤ (13.7), (13.8)

§ १ã«ìâ ⮢ [64] á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨ ­ ç «ì­ë© í­¥à£¥- â¨ç¥áª¨© á«®© ¬¥¦¤ã ã஢­ï¬¨ H0 ¨ H ­¥ ᮤ¥à¦¨â à ¢­®- ¢¥á¨©, â® ã஢¥­ì H ¡ã¤¥â ¤®á⨣ âìáï ¯à¨ ¢á¥å ­ ç «ì­ëå

2 ­­ ï § ¤ ç à áᬠâਢ « áì à ­¥¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ¯à¨¬¥- ­¥­¨ï ¬¥â®¤ ï¯ã­®¢ , á¬. á. 281, ãà ¢­¥­¨ï (11.36){(11.38).

362

ãá«®¢¨ïå, ¥á«¨ ­ ç «ì­ë© á«®© ᮤ¥à¦¨â ⮫쪮 ­¥ãá⮩- ç¨¢ë¥ à ¢­®¢¥á¨ï ( (2k + 1 0)) k = 1 2 : : : ⮠楫ì (13.4) ¡ã¤¥â ¤®á⨣ âìáï ¯à¨ ¯®ç⨠¢á¥å ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå.

13.2.2.®§¡ã¦¤¥­¨¥ ª®«¥¡ ­¨© ­¥«¨­¥©­®£® ®á樫«ïâ®à : ¢- â®à¥§®­ ­á

áᬮâਬ ­¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ ®¡é¨© ¯à¨¬¥à: ã¯à ¢«ï¥¬ë© ­¥«¨­¥©­ë© ®á樫«ïâ®à á ®¤­®© á⥯¥­ìî ᢮¡®¤ë, ®¯¨áë¢ - ¥¬ë© ãà ¢­¥­¨¥¬

£¤¥ ' = '(t) { ᪠«ïà­ ï ä §®¢ ï ª®®à¤¨­ â , u = u(t) { ᪠- «ïà­®¥ ã¯à ¢«ïî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥, (') 0 { ¯®â¥­æ¨ «. ®- áâ®ï­¨¥¬ á¨á⥬ë (13.14) ï¥âáï ¯ à x = colf' 'g. ¦- ­ë¬ ᢮©á⢮¬ á¨á⥬ë ï¥âáï ¥¥ ª®­á¥à¢ ⨢­®áâì: ¢á¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ᢮¡®¤­®© (­¥ã¯à ¢«ï¥¬®©) á¨áâ¥¬ë «¥¦ â ­ \í­¥à£¥â¨ç¥áª¨å ¯®¢¥àå­®áâïå" { «¨­¨ïå ¯®áâ®ï­­®£® ã஢- ­ï í­¥à£¨¨ f(' ') : H(' ') = H g, £¤¥ H(' ') = 12'2 + (') { ¯®«­ ï í­¥à£¨ï á¨á⥬ë. ¥­ïï §­ 祭¨¥ H , ¬®¦­® ¯®- «ãç âì âà ¥ªâ®à¨¨ á ª ç¥á⢥­­® à §«¨ç­ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨:

ãáâ®©ç¨¢ë¥ ¨ ­¥ãáâ®©ç¨¢ë¥ à ¢­®¢¥á¨ï, £®¬®ª«¨­¨ç¥áª¨¥ ¨ £¥â¥à®ª«¨­¨ç¥áª¨¥ ®à¡¨âë, ­¥®£à ­¨ç¥­­ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ (á¬., ­ ¯à., [12] ¤«ï á«ãç ï ¬ ïâ­¨ª { ¯®â¥­æ¨ « ¢¨¤ (') = = !02 (1;cos ') ). ®áâ ¢¨¬ ¢®¯à®á: ­ ᪮«ìª® ¬®¦­® ¨§¬¥­¨âì âà ¥ªâ®à¨î á¨á⥬ë (13.14) ¯à¨ ¯®¬®é¨ ᪮«ì 㣮¤­® ¬ «®£® ã¯à ¢«ïî饣® ¢®§¤¥©á⢨ï?

⢥â å®à®è® ¨§¢¥á⥭ ¤«ï á«ãç ï ª¢ ¤à â¨ç­®£® ¯®â¥­- æ¨ « :

(') = 12!02'2 â.¥. ¤«ï £ ମ­¨ç¥áª®£® ®á樫«ïâ®à , ®¯¨áë¢ ¬®£® «¨­¥©-

¯à¨ ! = !0 ¨ ᪮«ì 㣮¤­® ¬ «®© ¬¯«¨â㤥 ¯®§¢®«ï¥â ­ - ¡«î¤ âì ¥­¨¥ १®­ ­á : ­ «¨ç¨¥ ­¥®£à ­¨ç¥­­ëå à¥è¥-

­¨©, ­ ¯à¨¬¥à ¢¨¤

'(t) = ;2!t0 cos !t:

363

¨­ ¬¨ª ­¥«¨­¥©­ле б¨бв¥¬ ¡®«¥¥ б«®¦­ . ¦¥ ¤«п ¯а®бв®£® ¬ пв­¨ª ¢л­г¦¤¥­­л¥ ª®«¥¡ ­¨п ¬®£гв ¨¬¥вм б«®¦- ­л©, ­¥а¥£г«па­л© е а ªв¥а. §¢¥бв­л а ¡®вл, гбв ­ ¢«¨- ¢ ой¨¥ гб«®¢¨п а¥§®­ ­б , ­ ¯а¨¬¥а ¢ б¬лб«¥ ­¥®£а ­¨з¥­- ­®£® а®бв ­®а¬л а¥и¥­¨© ¯а¨ ¯а¨¡«¨¦¥­¨¨ з бв®вл ¢®§- ¤¥©бв¢¨п ª ­¥ª®в®а®¬г ¡¨дгаª ж¨®­­®¬г §­ з¥­¨о [50, 129].¤­ ª® бгй¥бв¢гой¨¥ а¥§г«мв вл ®в­®бпвбп ª § ¤ з ¬ б ¯¥- а¨®¤¨з¥бª¨¬¨ а¥и¥­¨п¬¨ ¨ ­¥ ®е¢ вл¢ ов б«гз © е ®в¨з¥- бª¨е ¤¢¨¦¥­¨©.

«®¦­®áâì ᮧ¤ ­¨ï ¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï १®­ ­á­ëå ०¨¬®¢ ¢ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ å ®¡êïá­ï¥âáï ⥬, çâ® ç áâ®â ª®«¥- ¡ ­¨© ¢ ­¨å áãé¥á⢥­­® § ¢¨á¨â ®â ¬¯«¨âã¤ë. ®§­¨ª ¥â ¥áâ¥á⢥­­ ï ¬ëá«ì: ­¥ «¥£ç¥ «¨ ᮧ¤ âì ª®«¥¡ ­¨ï ¢ ­¥«¨- ­¥©­®© á¨á⥬¥, ¥á«¨ ¢ àì¨à®¢ âì ç áâ®âã ¢­¥è­¥£® ¢®§¤¥©- áâ¢¨ï ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ­¨©? â® ®§­ ç ¥â, çâ® u(t) ¤®«¦­® § ¢¨á¥âì ®â '(t), â.¥. ­¥ çâ® ¨­®¥ ª ª ä®à¬¨- ஢ ­¨¥ ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¢ ¢¨¤¥ ®¡à â­®© á¢ï§¨.

¤ ç ᨭ⥧ ®¡à â­®© á¢ï§¨, ®¡¥á¯¥ç¨¢ î饩 ¤®á⨦¥- ­¨¥ § ¤ ­­®£® ã஢­ï í­¥à£¨¨, ¡ë« à¥è¥­ ¢ëè¥ (á¬. â ª¦¥ [64, 108, 142, 145, 158] ¬¥â®¤®¬ ᪮à®áâ­®£® £à ¤¨¥­â . «ï

®á樫«ïâ®à (13.14) ⨯®¢ë¥ (\«¨­¥©­ë©" ¨ \५¥©­ë©") § - ª®­ë ®¡à â­®© á¢ï§¨, ¯à¥¤«®¦¥­­ë¥ ¢ [108, 142, 145], ¨¬¥îâ ¢¨¤ (13.12), (13.13), â.¥. â ª®© ¦¥, ª ª ¨ ¤«ï ¯à®á⮣® ¬ ïâ­¨- ª .

ãáâì ⥯¥àì ¢ á¨á⥬¥ (13.14) ¨¬¥îâáï ¯®â¥à¨ (¤¨áᨯ - æ¨ï) ⨯ ¢ï§ª®£® â७¨ï, â.¥. ¢¬¥áâ® (13.14) à áᬠâਢ ¥âáï

£¤¥ % > 0 { ª®íää¨æ¨¥­â ¤¨áᨯ 樨. «ï «¨­¥©­ëå á¨á⥬

¢¨¤ (13.17) (¯à¨ (') = 1!2'2 ) १®­ ­á®¬ ¯à¨­ïâ® ­ §ë- 2 0

¢ âì ०¨¬ ­ ¨¡®«ì襩 ¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ­¨©, ª®â®àë© ­ - áâ㯠¥â ¯à¨ ¢®§¤¥©á⢨¨ (13.16) á ç áâ®â®© !2 = !02 ; %2=4.ਠí⮬ ¤«ï ¬ «ëå % > 0 ª®«¥¡ ­¨ï ¢ á¨á⥬¥ (13.16), (13.17) ¨¬¥îâ ¬¯«¨âã¤ã

A= %!0 (1 + O (%2))

¨á।­îî í­¥à£¨î § ¯¥à¨®¤

®«¥¡ ­¨ï ­¥«¨­¥©­®£® ®á樫«ïâ®à (13.17) ¯à¨ ¢®§¤¥©á⢨¨ (13.12) ¨«¨ (13.13), â ª¦¥ ¬®£ãâ ¤®áâ¨çì ¡®«ìè¨å §­ 祭¨© ¬¯«¨âã¤ë. [64, 109] ¯®ª § ­®, çâ® ¢ á¨á⥬¥ (13.13), (13.17) ¤®á⨣ ¥âáï §­ 祭¨¥ í­¥à£¨¨ ­¥ ¬¥­ìè¥, 祬

¥á«¨ ¯ à ¬¥âàë § ª®­ (13.13) ¢ë¡à ­ë â ª, çâ® H H: ®- ᪮«ìªã (13.19) ¯à¨ ¬ «ëå % ¯à¨¡«¨¦ ¥âáï ª (13.18), ¬®¦­® ᪠§ âì, çâ® ®¡à â­ ï á¢ï§ì (13.12) ¨«¨ (13.13) ᮧ¤ ¥â ¢ ­¥«¨- ­¥©­®© á¨á⥬¥ (13.17) १®­ ­á­ë© ०¨¬, í­¥à£¨ï ª®â®à®£® (¢ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ £ ମ­¨ç¥áª®£® ®á樫«ïâ®à ) ­¥ ¬¥­ìè¥, 祬 í­¥à£¨ï ª®«¥¡ ­¨© ¯à¨ ¢®§¡ã¦¤¥­¨¨ £ ମ­¨ª®© á १®- ­ ­á­®© ç áâ®â®©. ⮠¥­¨¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì à §­®®¡à §­®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥.

¤® ᪠§ âì, çâ® ¯®­¨¬ ­¨¥ ¥­¨ï १®­ ­á ¢ 䨧¨ª¥ ®áâ «®áì ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ­¥¨§¬¥­­ë¬ á® ¢à¥¬¥­ «¨«¥ï, ª®â®- àë© ¢¯¥à¢ë¥ ¯®¤à®¡­® ®¯¨á « ¥£® ¢ 1638 £. ¯®¤ ¢«ïî饬 ¡®«ì設á⢥ à ¡®â à áᬠâਢ ¥âáï £ ମ­¨ç¥áª®¥ (¢ ªà ©- ­¥¬ á«ãç ¥ { ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¥) ¢å®¤­®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥. ª­¨£¥ [11] ¡ë«® ¢¢¥¤¥­® ¯®­ï⨥ ¢â®à¥§®­ ­á ª ª "१®­ ­á ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᨫë, ¯®à®¦¤ ¥¬®© ¤¢¨¦¥­¨¥¬ á ¬®© á¨á⥬ë", â® ¥áâì 㪠§ë¢ «®áì ­ ¢®§¬®¦­®áâì ¢®§¤¥©á⢨© ¢ ¢¨¤¥ ®¡à â- ­®© á¢ï§¨. ¤­ ª® ¢®§¡ã¦¤¥­¨¥ ¯à®¤®«¦ «¨ à áᬠâਢ âì ª ª ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®¥, ¤®¯ãáª ï «¨èì ¢®§¬®¦­®áâì ¬¥¤«¥­­®£® (¯® áà ¢­¥­¨î á ®á­®¢­ë¬ â®­®¬ ª®«¥¡ ­¨©) ¨§¬¥­¥­¨ï ç - áâ®âë [35]. ®§¤¥©áâ¢¨ï ¦¥ ¢¨¤ (13.12), (13.13) ¬®£ãâ ¬¥­ïâì ᢮© å à ªâ¥à ¢ ⥬¯¥ ¯à®æ¥áá , çâ® ¯®§¢®«ï¥â áãé¥á⢥­­® 㬥­ìè¨âì âॡ㥬ãî ¬®é­®áâì ã¯à ¢«¥­¨ï.

¬¥áâ­® ¯®©â¨ ¤ «ìè¥ ¨ ¯®áâ ¢¨âì § ¤ çã: ¤® ª ª®© í­¥à- £¨¨ ¬®¦­® à ᪠ç âì ®á樫«ïâ®à (13.17) ¯à¨ ¯®¬®é¨ ®¡à â- ­®© á¢ï§¨? 業ª ¤®á⨦¨¬®© í­¥à£¨¨, ª ª ¯®ª §ë¢ ¥â á®- ®â­®è¥­¨¥ (13.19), ¯à®¯®à樮­ «ì­ ª¢ ¤à â㠮⭮襭¨ï ¤®-

¯ãá⨬®© ¬¯«¨âã¤ë ã¯à ¢«¥­¨ï ª ¢¥«¨ç¨­¥ ¤¥¬¯ä¨à®¢ ­¨ï.â® ¢¥à­® ¨ ¤«ï ¡®«¥¥ ®¡é¨å ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ [64].

祢¨¤­®, ¢¥«¨ç¨­ ¤®á⨦¨¬®© í­¥à£¨¨ å à ªâ¥à¨§ã¥â á⥯¥­ì ¢®§¡ã¤¨¬®á⨠ª®«¥¡ ­¨© ¢ á¨á⥬¥. ®í⮬㠬®¦­®

¢¢¥á⨠å à ªâ¥à¨á⨪㠢®§¡ã¤¨¬®á⨠ª ª

£¤¥ ( ) { ¤®á⨦¨¬ë© ã஢¥­ì í­¥à£¨¨ ¯à¨ ã¯à ¢«¥­¨¨, ­¥

H

¯à¥¢ëè î饬 ¯® ¬®¤ã«î. «ï «¨­¥©­ëå á¨á⥬

¨á. 13.1. à ªâ¥à¨á⨪ ¢®§¡ã¤¨¬®á⨠¬ ïâ­¨ª (13.17) ¯à¨ % = 0:1 !02 = 10:

®â«¨ç¨¥ ®â ¨§¬¥à¥­¨ï ç áâ®â­®© å à ªâ¥à¨á⨪¨, ª®£¤ ­ ¢å®¤ á¨áâ¥¬ë ¯®¤ ¥âáï £ ମ­¨ç¥áª®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ (13.16) á ¯®áâ®ï­­®© ¬¯«¨â㤮© ¨ ¬¥­ïî饩áï ç áâ®â®©, ¯à¨ ¨§- ¬¥à¥­¨¨ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¢®§¡ã¤¨¬®á⨠¬¥­ï¥âáï ¬¯«¨â㤠(ã஢¥­ì) ¢å®¤­®£® ᨣ­ « , á ¬ ᨣ­ « § ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥

®¡à â­®© á¢ï§¨. ®ç­®¬ã à áç¥âã ¢¥«¨ç¨­ë E( ) ¯à¥¯ïâáâ¢ã¥â ­¥®¡å®¤¨¬®áâì à¥è¥­¨ï á«®¦­®© § ¤ ç¨ ®¯â¨¬ «ì­®- £® ᨭ⥧ . ¤­ ª® ­¨¦­îî ®æ¥­ªã í⮩ ¢¥«¨ç¨­ë ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì, ¯®¤ ¢ ï ¢å®¤­®© ᨣ­ « (13.8) (¢ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ (13.8) ) ᪮à®áâ­®-£à ¤¨¥­â­®£® ⨯ , ïî騩áï «®ª «ì­®-

á â®ç­®áâìî ¯®à浪 .

366

­ ­¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¢®§¡ã¤¨¬®á⨠­¥«¨­¥©­®© á¨áâ¥- ¬ë ¯®§¢®«ï¥â á㤨âì ® ¥¥ ¡«¨§®á⨠ª £à ­¨æ¥ ãá⮩稢®á⨠¨ ®¡ ¥¥ áâ ¡¨«¨§¨àãîé¨å ᢮©á⢠å. ç áâ­®áâ¨, å à ªâ¥- à¨á⨪ ¢®§¡ã¤¨¬®á⨠§ ­¨¬ ¥â ¬¥áâ® ¬¯«¨â㤭®-ä §®¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¢ ªà¨â¥à¨ïå ¡á®«îâ­®© ãá⮩稢®á⨠¤«ï ­¥«¨­¥©­®© ­®¬¨­ «ì­®© á¨á⥬ë [146].

13.3. ®­ï⨥ ® å ®â¨ç¥áª¨å á¨á⥬ å

13.3.1. §¢¨â¨¥ ¯®­ïâ¨ï ª®«¥¡ ­¨ï

®­ï⨥ å ®á (â®ç­¥¥, ¤¥â¥à¬¨­¨à®¢ ­­®£® å ®á ) ï¥âáï áà ¢­¨â¥«ì­® ­®¢ë¬ ¢ ⥮ਨ á¨á⥬ { ®­® ¯®ï¢¨«®áì ¢ 70- å £®¤ å ­ 襣® ¢¥ª . ®â¨ç¥áª¨¥ á¨á⥬ë [61, 65, 68, 85] ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ­®¢ë© ª« áá ¬®¤¥«¥© ­¥®¯à¥¤¥«¥­­®áâ¨, ®â«¨- ç îé¨åáï ¯® ᢮¨¬ ᢮©á⢠¬ ®â ¤àã£¨å ¬®¤¥«¥© (áâ®å áâ¨-

ç¥áª¨å, ­¥ç¥âª¨å ¨ â.¯.). ᫨ ¢ ¤¥â¥à¬¨­¨à®¢ ­­®© ¬®¤¥- «¨ ¡ã¤ãéãî âà ¥ªâ®à¨î ¬®¦­® ¯à¥¤áª § âì ­ ᪮«ì 㣮¤- ­® ¡®«ì讥 ¢à¥¬ï ¢¯¥à¥¤, §­ ï ⥪ã饥 á®áâ®ï­¨¥ á¨á⥬ë, ¢ áâ®å áâ¨ç¥áª®© ¬®¤¥«¨ â®ç­ë© ¯à®£­®§, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ­¥¢®§¬®¦¥­ ¤ ¦¥ ­ ᪮«ì 㣮¤­® ¬ «®¥ ¢à¥¬ï, â® ¢ å ®â¨ç¥- ᪮© ¬®¤¥«¨ ®è¨¡ª ¯à®£­®§ à áâ¥â íªá¯®­¥­æ¨ «ì­® ¨, á«¥-

¤®¢ в¥«м­®, ¢®§¬®¦¥­ ¯а®£­®§ ­ ®£а ­¨з¥­­®¥ ¢а¥¬п ¢¯¥а¥¤, ®¯а¥¤¥«п¥¬®¥ ¤®¯гбв¨¬®© ®и¨¡ª®©. а®ж¥ббл ¢ е ®в¨з¥бª¨е ¬®¤¥«пе ¨¬¥ов ¢¨¤ ­¥а¥£г«па­ле ª®«¥¡ ­¨©, ¢ ª®в®але ¬¥- ­повбп, "¯« ¢ ов" ª ª з бв®в , в ª ¨ ¬¯«¨вг¤ .

®«¥¡ ⥫ì­ë¥ ¯à®æ¥ááë ç áâ® ¢áâà¥ç îâáï ¢ ¯à¨à®¤¥ ¨ â¥å­¨ª¥, ¯®í⮬ã ä®à¬ë ¨å ®¯¨á ­¨ï ­¥¯à¥à뢭® à §¢¨¢ -

овбп ¨ б®¢¥аи¥­бв¢говбп. в¥з¥­¨¥ ¬­®£¨е «¥в, ¤® ­ з « XX ¢., ®б­®¢­л¬ ¢¨¤®¬ ¬ в¥¬ в¨з¥бª¨е ¬®¤¥«¥© ª®«¥¡ ­¨© ¢ ¬¥е ­¨з¥бª¨е, н«¥ªва¨з¥бª¨е ¨ ¤аг£¨е б¨бв¥¬ е бз¨в «¨бм «¨­¥©­л¥ ¤¨дд¥а¥­ж¨ «м­л¥ га ¢­¥­¨п, ­ ¯а¨¬¥а

á ªà㣮¢®© ç áâ®â®© ! ¨ ¯¥à¨®¤®¬ T = 2 =!, ¬¯«¨â㤠ª®- â®àëå A = pA20 + A21 § ¢¨á¨â ®â ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨©:

A1 = y(0) A0 = y(0)=!. 祢¨¤­®, à¥è¥­¨¥ (13.22) ­¥¯à¥à뢭® § ¢¨á¨â ®â ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨©, â.¥. ¬ «®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ¢¥«¨ç¨­

367

ä㭪樨 (13.22) ¤¨áªà¥â¥­ ¨ á®á⮨⠨§ ®¤­®© â®çª¨ !=2«ï ®¯¨á ­¨ï ª®«¥¡ ­¨© ¡®«¥¥ á«®¦­®© ä®à¬ë ¬®¦­® á®-

¥¤¨­ïâì ¬®¤¥«¨ ¢¨¤ (13.21) á à §«¨ç­ë¬¨ ç áâ®â ¬¨ ª®«¥- ¡ ­¨© !1 ::: !r . ਠí⮬, ¥á«¨ ç áâ®âë !1 ::: !r б®¨§¬¥а¨- ¬л (п¢«повбп ж¥«л¬¨ ªа в­л¬¨ ­¥ª®в®а®© з бв®вл !0), â® ª®«¥¡ ­¨ï ¡ã¤ãâ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬¨ á ¯¥à¨®¤®¬ 2 =!0 . ᫨ ¦¥ ç áâ®âë !i ­¥á®¨§¬¥à¨¬ë, â® â ª¨¥ ª®«¥¡ ­¨ï ­¥ ï- îâáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬¨, ®­¨ ­ §ë¢ îâáï ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬¨.®¡®¨å á«ãç ïå à¥è¥­¨¥ ­¥¯à¥à뢭® § ¢¨á¨â ®â ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨©, ¥£® ᯥªâà ï¥âáï ¤¨áªà¥â­ë¬ ª®­¥ç­ë¬ ¬­®¦¥- á⢮¬.

¬¥â¨¬, çâ® "­ £« §" à §«¨ç¨âì ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ ¨ ª¢ - §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ­¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì § âà㤭¨â¥«ì­®, ¯®-

бª®«мªг а¥ «м­л¥ ¨§¬¥а¥­¨п (¢ ⮬ з¨б«¥ ¨§¬¥а¥­¨¥ з бв®вл ª®«¥¡ ­¨©) ¢л¯®«­повбп б ª®­¥з­®© в®з­®бвмо ¨ ®в«¨з¨вм а ж¨®­ «м­®¥ ®в­®и¥­¨¥ з бв®в ®в ¨аа ж¨®­ «м­®£® ¯а ª- в¨з¥бª¨ ­¥¢®§¬®¦­®.

àã¡¥¦¥ XIX-XX ¢. ¢ëïá­¨«®áì, çâ® «¨­¥©­ëå ¬®¤¥-

«¥© ª®«¥¡ ­¨© ­¥¤®áâ â®ç­® ¤«ï ®¯¨á ­¨ï ­®¢ëå ¥­¨© ¨ ¯à®æ¥áᮢ ¢ 䨧¨ª¥ ¨ â¥å­¨ª¥. á­®¢ë ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ¯¯ à â { ⥮ਨ ­¥«¨­¥©­ëå ª®«¥¡ ­¨© { ¡ë«¨ § «®¦¥­ë ¢ à ¡®â å . ã ­ª à¥, . ­ ¤¥à ®«ï,. . ­¤à®­®¢ , . . àë«®¢ ¨ . . ®£®«î¡®¢ , [11, 18, 33, 52, 55]. ¦­¥©è¨¬ ¢ ⥮ਨ ­¥«¨­¥©­ëå ª®«¥¡ ­¨© ï¥â-

бп ¯®­пв¨¥ гбв®©з¨¢®£® ¯а¥¤¥«м­®£® ж¨ª« { ¯¥а¨®¤¨з¥бª®© ва ¥ªв®а¨¨, ª ª®в®а®© б室пвбп ¢б¥ ¤аг£¨¥ ва ¥ªв®а¨¨ (¯® ªа ©­¥© ¬¥а¥ { ва ¥ªв®а¨¨ б ¡«¨§ª¨¬¨ ­ з «м­л¬¨ гб«®¢¨п- ¬¨). з¨б«г ª« бб¨з¥бª¨е ¯а¨¬¥а®¢ ­¥«¨­¥©­ле ¤¨дд¥а¥­- ж¨ «м­ле ¬®¤¥«¥©, ®¡« ¤ ой¨е ¯а¥¤¥«м­л¬ ж¨ª«®¬, ®в­®- бпвбп ãà ¢­¥­¨¥ ­ ¤¥à ®«ï

¦¥ ¯à®áâë¥ ­¥«¨­¥©­ë¥ ¬®¤¥«¨ ¯®§¢®«ïîâ ®¯¨áë¢ âì ª®- «¥¡ ­¨ï á«®¦­®© ä®à¬ë, ­ ¯à¨¬¥à ५ ªá 樮­­ë¥ (¡«¨§ª¨¥ ª ¯àאַ㣮«ì­ë¬) ª®«¥¡ ­¨ï, ãç¨âë¢ âì ¨§¬¥­¥­¨¥ ä®à¬ë ª®«¥¡ ­¨ï ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨© (á¨á⥬ë á ­¥áª®«ìª¨¬¨ ¯à¥¤¥«ì­ë¬¨ 横« ¬¨) ¨ â ª ¤ «¥¥. ¥®à¥¬ë ® à §«®¦¥­¨¨ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© ä㭪樨 ¢ àï¤ ãàì¥ ¯®ª §ë¢ - îâ, ç⮠ᯥªâà ¯à¥¤¥«ì­®£® 横« á®á⮨⠨§ áç¥â­®£® ­ ¡®à

çáâ®â, ªà â­ëå ­¥ª®â®à®© ®á­®¢­®© ç áâ®â¥.

â¥ç¥­¨¥ ­¥áª®«ìª¨å ¤¥áï⨫¥â¨© «¨­¥©­ë¥ ¬®¤¥«¨ ª®«¥-

¡ ­¨© ¨ ­¥«¨­¥©­ë¥ ¬®¤¥«¨ á ¯à¥¤¥«ì­ë¬¨ 横« ¬¨ 㤮¢«¥- ⢮à﫨 ¯®âॡ­®á⨠¨­¦¥­¥à®¢. ç¨â «®áì, çâ® ®­¨ ®¯¨- áë¢ î⠢ᥠ¢®§¬®¦­ë¥ â¨¯ë ª®«¥¡ ­¨© ¤¥â¥à¬¨­¨à®¢ ­­ëå á¨á⥬. â® ã¡¥¦¤¥­¨¥ ¯®¤¤¥à¦¨¢ «®áì ¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨- ¬¨ १ã«ìâ â ¬¨: ­ ¯à¨¬¥à, ¨§¢¥áâ­ ï ⥮६ ã ­ª à¥{¥­¤¨ªá®­ (á¬. [11, 18, 33, 55, 94], ¯. 11.2.3. á. 246) ã⢥ত - ¥â, çâ® ¥¤¨­á⢥­­® ¢®§¬®¦­ë¥ ¢¨¤ë ®£à ­¨ç¥­­ëå ãáâ ­®- ¢¨¢è¨åáï ¤¢¨¦¥­¨© ¢ ­¥¯à¥à뢭ëå á¨á⥬ å ¢â®à®£® ¯®àï¤- ª { íâ® «¨¡® á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï, «¨¡® ¯à¥¤¥«ì­ë© 横«.¤­ ª® ¢ á¥à¥¤¨­¥ XX ¢. á ¬¨ ¬ ⥬ ⨪¨ ®¡­ à㦨«¨, ç⮠㦥 ¤«ï á¨á⥬ âà¥â쥣® ¯®à浪 íâ® ­¥ â ª: ¢ á¨á⥬¥

áâ ­®¢ïâáï ¢®§¬®¦­ë¬¨ ¢¥áì¬ á«®¦­ë¥ ¤¢¨¦¥­¨ï { ®£à ­¨- 祭­ë¥ ­¥¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ­¨ï. áâ®ï騩 ¯¥à¥¢®à®â ­ ç «áï á à ¡®âë . ®à¥­æ [175], ®¯ã¡«¨ª®¢ ­­®© ¢ 1963 £., £¤¥ ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ª ç¥á⢥­­ë© å à ªâ¥à ¥­¨© ⬮- áä¥à­®© âãà¡ã«¥­â­®áâ¨, ®¯¨áë¢ ¥¬ëå á«®¦­ë¬¨ ãà ¢­¥­¨- ﬨ ¢ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¢ì¥{ ⮪á , ¬®¦¥â ¡ëâì ¯¥à¥-

¤ ­ ¯à®á⮩ ­¥«¨­¥©­®© ¬®¤¥«ìî 3-£® ¯®à浪 :

¥è¥­¨ï á¨á⥬ë (13.26) ¯à¨ ­¥ª®â®àëå §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥-

â஢ (­ ¯à¨¬¥à, ¯à¨ = 10 r = 97 b = 8=3 ) ¢ë£«ï¤ïâ ª ª ­¥à¥£ã«ïà­ë¥ ª®«¥¡ ­¨ï. à ¥ªâ®à¨¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ á®- áâ®ï­¨© (ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥) ¬®£ã⠯ਡ«¨¦ âìáï ª ¯à¥- ¤¥«ì­®¬ã ¬­®¦¥áâ¢ã ( ââà ªâ®àã), ¨¬¥î饬㠢¥áì¬ ¯à¨- ç㤫¨¢®¥ áâ஥­¨¥ (à¨á. 11.9 ­ á. 268). ­¨¬ ­¨¥ ª ¯®¤®¡- ­ë¬ ¬®¤¥«ï¬ ¡ë«® ¯à¨¢«¥ç¥­® ¯®á«¥ à ¡®âë . îí«ï ¨ .

«¨ â¥à¬¨­ "å ®á" ¤«ï ®¡®§­ 祭¨ï ¯®¤®¡­ëå ­¥à¥£ã«ïà­ëå 369

¥­¨© ¢ ¤¥â¥à¬¨­¨à®¢ ­­ëå á¨á⥬ å. ¥à쥧­ë¥ ¨áá«¥- ¤®¢ ­¨ï å ®â¨ç¥áª¨å ¥­¨© ¡ë«¨ ¢ë¯®«­¥­ë â ª¦¥ ¢ 60-70- å £®¤ å ¢ ­ ãç­ëå 誮« å ®áª¢ë ( . . ®«¬®£®à®¢, . .¨­ ©, . . à­®«ì¤ ¨ ¨å ã祭¨ª¨), ¨¦­¥£® ®¢£®à®¤ ( . . ¥©¬ àª, . . ¨«ì­¨ª®¢ ¨ ¨å ã祭¨ª¨). ¤ «ì- ­¥©è¥¬ å ®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¡ë«® ®¡­ à㦥­® ¢ ®£à®¬­®¬ ª®«¨ç¥á⢥ á¨á⥬ ¢ ¬¥å ­¨ª¥, « §¥à­®© 䨧¨ª¥ ¨ à ¤¨®ä¨- §¨ª¥, 娬¨¨, ¡¨®«®£¨¨ ¨ ¬¥¤¨æ¨­¥, ¢ í«¥ªâà®­­ëå 楯ïå ¨ â.¤.[61, 70, 65, 85, 99, 133, 135, 159, 183]. §à ¡®â ­­ë¥ ­®- ¢ë¥ ¬¥â®¤ë ­ «¨â¨ç¥áª®£® ¨ ç¨á«¥­­®£® ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï á¨- á⥬, ¯®ª § «¨, çâ® å ®á { íâ® ®â­î¤ì ­¥ ¨áª«îç¨â¥«ì­ë© ¢¨¤ ¯®¢¥¤¥­¨ï ­¥«¨­¥©­®© á¨á⥬ë. àã¡® £®¢®àï, å ®â¨- ç¥áª¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ¢®§­¨ª îâ, ª®£¤ âà ¥ªâ®à¨¨ á¨áâ¥¬ë £«®- ¡ «ì­® ®£à ­¨ç¥­ë ¨ «®ª «ì­® ­¥ãá⮩稢ë. å ®â¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ᪮«ì 㣮¤­® ¬ «®¥ ­ ç «ì­®¥ à á宦¤¥­¨¥ âà ¥ªâ®- ਩ ­¥ ®áâ ¥âáï ¬ «ë¬, ¢ â¥ç¥­¨¥ ­¥ª®â®à®£® ¢à¥¬¥­¨ à - áâ¥â íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®. áâ®â­ë© ᯥªâà å ®â¨ç¥áª®© âà ¥ª- â®à¨¨ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬. ® ¬­®£¨å á«ãç ïå ¯®¤®¡­ë¥ ­¥à¥£ã«ïà­ë¥, ­¥¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ­¨ï «ãçè¥ ®âà ¦ îâ ᢮©á⢠¯à®æ¥áᮢ, ¯à®â¥ª îé¨å ¢ ॠ«ì­ëå á¨á⥬ å.

«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® "­ £« §" ®â«¨ç¨âì å ®â¨ç¥áª¨© ¯à®æ¥áá ®â ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª®£® ¬®¦¥â ¡ëâì ­¥ ¬¥­¥¥ âàã¤- ­®, 祬 ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨© ¯à®æ¥áá ®â ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨ç¥áª®£®.

13.3.2.¯à¥¤¥«¥­¨¥ å ®â¨ç¥áª®© á¨á⥬ë

¥à¬¨­®«®£¨ï ¢ ®¡« áâ¨ å ®â¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«¥© ¥é¥ ­¥ ãáâ®- ï« áì, ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ­¥áª®«ìª® à §«¨ç­ëå ®¯à¥¤¥«¥­¨© å ®- â¨ç¥áª¨å á¨á⥬. ਢ¥¤¥¬ ®¤­® ¨§ ¯à®á⥩è¨å.

áᬮâਬ ¤¨­ ¬¨ç¥áªãî á¨á⥬㠢 ­¥¯à¥à뢭®¬ ¢à¥¬¥-

) áãé¥áâ¢ã¥â ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ 0 â ª®¥, çâ® ¢á¥ âà ¥ªâ®à¨¨ x(t) á¨á⥬ë (13.32), ­ 稭 î騥áï ¢ 0, ®¯à¥- ¤¥«¥­ë ¯à¨ ¢á¥å t 0 ¨ áâ६ïâáï ª ¯à¨ t ! 1 (â.¥. dist(x(t) ) ! 0 ¯à¨ t ! 1, ¥á«¨ x(0) 2 0, £¤¥ dist(x ) =

= infy2 kx ; yk { à ááâ®ï­¨¥ ®â â®çª¨ x ¤® ¬­®¦¥á⢠)\ 370

¡) ­¨ª ª®¥ ᮡá⢥­­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ í⨬ ᢮©á⢮¬ ­¥

¥ãá⮩稢®áâì ¯® ï¯ã­®¢ã å à ªâ¥à¨§ã¥â ®á­®¢­®¥ ᢮©- á⢮ å ®â¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ­¨©, ­ §ë¢ ¥¬®¥ "ᢥàåçã¢á⢨⥫ì- ­®áâìî", ¨«¨ "çã¢á⢨⥫쭮© § ¢¨á¨¬®áâìî", ®â ­ ç «ì­ëå

гб«®¢¨©: «о¡л¥ ¤¢¥ бª®«м г£®¤­® ¡«¨§ª¨е ва ¥ªв®а¨¨ ®¡п- § в¥«м­® г¤ «повбп ¤аг£ ®в ¤аг£ ­ ª®­¥з­®¥ а ббв®п­¨¥.

¬¥îâáï ¨ ¤à㣨¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï áâà ­­ëå ââà ªâ®à®¢ ¨ å ®á . ¯à¨¬¥à, ç áâ® ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ áâà ­­®£® ââà ª- â®à ¢ª«îç îâ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ âॡ®¢ ­¨ï: áãé¥á⢮¢ ­¨¥ âà ¥ªâ®à¨© (¨«¨ ᥬ¥©á⢠¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å âà ¥ªâ®à¨©), ¢áî-

¤г ¯«®в­ле ¢ , в®¯®«®£¨з¥бªго ва ­§¨в¨¢­®бвм ¨ в ª ¤ «¥¥, ¯®¤з¥аª¨¢ ой¨¥ ­ «¨з¨¥ б¢®©бв¢ "¯¥а¥¬¥и¨¢ ­¨п" ва ¥ª- в®а¨©. ¥¤ ¢­¨¥ а¥§г«мв вл . . ¥®­®¢ [55], в.2, ¯®ª §л¢ - ов, зв® ¢® ¬­®£¨е б«гз пе ¢¬¥бв® ®вбгвбв¢¨п гбв®©з¨¢®бв¨ ¯® п¯г­®¢г ¯а¨ ®¯а¥¤¥«¥­¨¨ бва ­­®£® вва ªв®а ж¥«¥б®- ®¡а §­® ва¥¡®¢ вм ®вбгвбв¢¨п в ª ­ §л¢ ¥¬®© ãá⮩稢®á⨠¯® 㪮¢áª®¬ã, ¤®¯ã᪠î饩 à §­ãî ᪮à®áâì â¥ç¥­¨ï ¢à¥- ¬¥­¨ ­ à §­ëå âà ¥ªâ®à¨ïå á¨á⥬ë. ¤­ ª® áâண® ¤®ª - § âì å ®â¨ç­®áâì á¨áâ¥¬ë ­¥¯à®áâ®, ¤ ¦¥ ¯®«ì§ãïáì ¯à®á⥩- 訬 ®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬. «ï ­¥ª®â®àëå ®¡é¥¯à¨§­ ­­® å ®â¨ç¥- ᪨å á¨á⥬ ¯®«­®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ å ®â¨ç­®á⨠¤® á¨å ¯®à

­¥¨§¢¥áâ­®, å®âï ç¨á«¥­­ëå ¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ëå ¯®¤â¢¥à- ¦¤¥­¨© ­ ª®¯«¥­® ¯à¥¤®áâ â®ç­®. ®í⮬㠮᭮¢­ë¬ ¬¥â®- ¤®¬ ¨§ã祭¨ï å ®â¨ç¥áª¨å á¨á⥬ ®áâ ¥âáï ç¨á«¥­­®¥ ¨áá«¥- ¤®¢ ­¨¥ { ¨¬¨â 樮­­®¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¥ ¨ ®æ¥­ª à §«¨ç­ëå å à ªâ¥à¨á⨪. ਢ¥¤¥¬ ­¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢ å ®â¨ç¥áª¨å á¨á⥬.

ਬ¥à 1. ¨á⥬ (楯ì) ã . 1982 £. á¯¥æ¨ «¨áâë ¯® í«¥ªâà®­­ë¬ æ¥¯ï¬ . ã ¨ . æ㬮⮠¯à¥¤«®¦¨«¨ ¯à®áâãî í«¥ªâà®­­ãî 楯ì á ®¤­¨¬ ­¥«¨­¥©­ë¬ í«¥¬¥­â®¬, ᯮᮡ­ãî £¥­¥à¨à®¢ âì ¢¥áì¬ à §­®®¡à §­ë¥, ¢ ⮬ ç¨á«¥

371