Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

.pdf
Скачиваний:
54
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.56 Mб
Скачать

çâ® âà ¥ªâ®à¨ï ¯¥à¥¤ â稪 xd(t) ­¥ á室¨âáï ­ ¯«®áª®áâì

xd1 = 0 ¯à¨ t ! 1. ® íâ® ¢¥à­®, ª®£¤ á¨á⥬

(13.79) ®¡« -

¤ ¥â å ®â¨ç¥áª¨¬ ¯®¢¥¤¥­¨¥¬. ¥©á⢨⥫쭮, ¢ í⮬ á«ãç ¥

§­ 祭¨¥ xd1(t) ¯®ª¨¤ ¥â ¨­â¥à¢ « (;1 1) (£¤¥ f1(z) «¨­¥©­ ),

­¥®£à ­¨ç¥­­®¥ ç¨á«® à §, ᪠¦¥¬, ¢ ¬®¬¥­âë tk

, k = 1 2 : : :.

­â¥à¢ «ë ¢à¥¬¥­¨ tk = tk+1 ;tk ¬¥¦¤ã tk ¬®£ãâ ¡ëâì ®£à - ­¨ç¥­ë ­¥ª®â®à®© ª®­á⠭⮩, ¥á«¨ âà ¥ªâ®à¨ï ­¥ á室¨âáï ª ¬­®¦¥áâ¢ã xd1 = 0. ®¦­® ­ ©â¨ â ª¦¥ ­¨¦­îî £à ­¨æã ¤«ï ¢ (13.84):

1

T

 

0 = limT!1

 

Z f12(xd1 (t)) dt:

(13.85)

T

 

 

0

 

­ 祭¨¥ 0 å à ªâ¥à¨§ã¥â ᪮à®áâì á室¨¬®á⨠®æ¥­®ª ¯ -

à ¬¥â஢. â® á«¥¤ã¥â ¨§ ¨§¢¥áâ­ëå १ã«ìâ ⮢ ¯® ᪮à®-

á⨠á室¨¬®á⨠(á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [36]) â ª çâ® ¥á«¨ 0 > 0, â®

c1

(t) ; s

!

0 á室¨âáï íªá¯®­¥­æ¨ «ì­® á ¯®ª § ⥫¥¬ á室¨-

¬®á⨠­¥ ¬¥­¥¥ 1 0 ¤«ï ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå 1 > 0.

§ ᢮©-

á⢠í࣮¤¨ç­®á⨠¢ë⥪ ¥â, çâ®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d1

 

(13.86)

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

£¤¥

 

2

{ á।­¥¥ §­ 祭¨¥ x2

(t) ­

ââà ªâ®à¥ ¨

 

x

 

 

 

 

d1

 

 

 

 

d1

 

 

 

 

 

 

= sup

 

xd1

(t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 j

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ਢ¥¤¥¬ १ã«ìâ âë ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ®¯¨á ­­®© ¢ëè¥ á¨á-

⥬ë. ਬ¥¬ á«¥¤ãî騥 §­6祭¨ï ¯ à ¬¥â஢ p

= 9 q =

14:286 M0

= 5=7 M1

=

;

 

: «ï íâ¨å §­ 祭¨© ¯ à ¬¥-

7

â஢ á¨á⥬ (13.79) ®¡« ¤ ¥â áâ®å áâ¨ç¥áª¨¬ å ®â¨ç¥áª¨¬

ââà ªâ®à®¬ (à¨á. 13.14).

ç «ì­®¥ á®áâ®ï­¨¥ ¯¥à¥¤ âç¨-

ª

xd(0)

= [0:3 0:3 0:3].

ª ­ ç «ì­®¥ á®áâ®ï­¨¥ ¯à¨¥¬­¨-

ª

x0, â ª ¨ ­ ç «ì­ë¥ §­ 祭¨ï ­ áâà ¨¢ ¥¬ëå ¯ à ¬¥â஢

c0(0) c1(0) ¯à¨­ïâë ­ã«¥¢ë¬¨. «ï ãáâà ­¥­¨ï ¢«¨ï­¨ï ­ -

ç «ì­ëå ãá«®¢¨© ­¨ª ª®¥ á®®¡é¥­¨¥ ­¥ ¯¥à¥¤ ¢ «®áì ¢ â¥ç¥- ­¨¥ ¯¥à¢ëå 20 á ("­ áâனª ", ¨«¨ "ª «¨¡à®¢ª ", ¯à¨¥¬­¨ª ), â.¥. ¯à¨­ïâ® s(t) 1 ¤«ï 0 t 20 á.

à®æ¥ááë ¨§¬¥­¥­¨ï ®è¨¡ª¨ ­ ¡«î¤¥­¨ï (à¨á. 13.15) ¨ ®æ¥­®ª ¯ à ¬¥â஢ (à¨á. 13.16) ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ª ª ®è¨¡- ª¨ ­ ¡«î¤¥­¨ï, â ª ¨ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ®âª«®­¥­¨ï c1(t) ; s á® ¢à¥¬¥­¥¬ ¡ëáâà® § âãå îâ. ­ 祭¨¥ c0(t) áâ६¨âáï ª

402

­¥ª®â®à®© ¯®áâ®ï­­®© ¢¥«¨ç¨­¥.

 

®á«¥ ¯¥à¨®¤

­ áâனª¨, ¯¥à¥¤ ¥âáï á®®¡é¥­¨¥, ¨¬¥î-

饥 ¢¨¤ "¯àאַ㣮«ì­®© ¢®«­ë":

 

 

 

2 t

 

s(t) = s0 + s1 sign sin T0

(13.87)

£¤¥ s0 = 1:005, s2

= 0:005.

¥§ã«ìâ âë ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ¤«ï

T0 = 5:0 á, 1 = 1:0 ¯®ª § ­ë ­ à¨á. 13.16, 13.17. ª ¢¨¤­®

¨§ £à 䨪®¢, ¢®ááâ ­®¢«¥­­ë© ᨣ­ « y(t) ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯¥à¥-

¤ ­­ë¬ ᨣ­ «®¬ yd(t) á ®ç¥­ì ¢ë᮪®© â®ç­®áâìî (®è¨¡ª

yd(t) ; y(t) ¯®ª § ­ ­ à¨á.

13.16 ¦¨à­®© «¨­¨¥©).

¤­ -

ª® ª ª ®è¨¡ª¨ ­ ¡«î¤¥­¨ï, â ª ¨ ®è¨¡ª¨ ¨¤¥­â¨ä¨ª 樨 ¯ -

à ¬¥â஢ ­¥ ¨á祧 îâ ¯®«­®áâìî § ¢à¥¬ï ¯®áâ®ï­áâ¢

s(t):

¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ¤®á⮢¥à­®¥ ¢®ááâ ­®¢«¥­¨¥ ᨣ­ « s(t) ¢¯®«- ­¥ ¢®§¬®¦­®. ®ç­®áâì ®æ¥­¨¢ ­¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®¢ë襭 § áç¥â 㢥«¨ç¥­¨ï ª®íää¨æ¨¥­â ãᨫ¥­¨ï ¢ «£®à¨â¬¥ ¤ ¯- â 樨 1, çâ® ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥âáï १ã«ìâ â ¬¨ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï

¤«ï 1 = 5:0 (à¨á. 13.18, 13.19). §ã¬¥¥âáï, ¢ ॠ«ì­ëå ãá«®- ¢¨ïå, â.¥. ¯à¨ ãç¥â¥ ¯®¬¥å ¢ ª ­ «¥ ¨§¬¥à¥­¨©, ¤®á⨦¨¬ ï ᪮à®áâì ¯¥à¥¤ ç¨ ¨­ä®à¬ 樨 ®£à ­¨ç¥­ ¨ § ¢¨á¨â ®â ­ ¨-

¡®«ì襩 ç áâ®âë ᯥªâà

­¥áã饣® ᨣ­ « .

ª«î祭¨¥ ।«®¦¥­­ ï á奬 ᨭåà®­¨§ 樨, ®á­®-

¢ ­­ ï ­ ¯à¨¬¥­¥­¨¨

¤ ¯â¨¢­®£® ­ ¡«î¤ â¥«ï ¯®ª §ë¢ -

¥â å®à®è¨¥ ¢®§¬®¦­®á⨠¯® ®æ¥­ª¥ ¯ à ¬¥â஢ ¨ á®áâ®ï­¨©.­ ¯®§¢®«ï¥â ¤®áâ¨çì ¢ë᮪®© ᪮à®á⨠¯¥à¥¤ ç¨ ¨­ä®à¬ - 樨. ⨠१ã«ìâ âë ¤¥¬®­áâà¨àãîâ ¯«®¤®â¢®à­®áâì ¯à¨¬¥- ­¥­¨ï ᮢ६¥­­®© ⥮ਨ ­¥«¨­¥©­®£® ¨ ¤ ¯â¨¢­®£® ã¯à - ¢«¥­¨ï ¢ ­®¢ëå ¯à¨ª« ¤­ëå § ¤ ç å.

403

¨á. 13.15. §¬¥­¥­¨¥ ®è¨¡®ª ­ ¡«î¤¥­¨ï ¢® ¢à¥¬ï "­ á- âனª¨" ( 0 = 1 1 = 1).

¨á. 13.16. §¬¥­¥­¨¥ ®æ¥­®ª ¯ à ¬¥â஢ ¯à¨ ­ áâனª¥.

404

¨á. 13.17. §¬¥­¥­¨¥ ®è¨¡®ª ­ ¡«î¤¥­¨ï ¢ ¯à®æ¥áá¥ à ¡®- âë ¯à¨ 1 = 1.

¨á. 13.18. §¬¥­¥­¨¥ ®æ¥­ª¨ ¯ à ¬¥âà s ¢ ¯à®æ¥áá¥ à ¡®âë.

405

¨á. 13.19. §¬¥­¥­¨¥ ®è¨¡®ª ­ ¡«î¤¥­¨ï ¢ ¯à®æ¥áá¥ à ¡®- âë ¯à¨ 1 = 5.

¨á. 13.20. §¬¥­¥­¨¥ ®æ¥­ª¨ ¯ à ¬¥âà s\ 1 = 5.

406

A. ਫ®¦¥­¨¥ A.

¯¨á ­¨¥ ¬¥â®¤ . «£®à¨â¬ë ᪮à®áâ­®£® £à ¤¨¥­â

áᬮâਬ ®¯¨á ­¨¥ ®¡ê¥ªâ

ã¯à ¢«¥­¨ï ¢ ¢¨¤¥

 

 

x(t) = f(x t)

 

(A.1)

£¤¥ x(t)

2 R

n { ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï ®¡ê¥ªâ \ (t)

2 R

m { ¢¥ªâ®à

 

 

1

 

 

 

ã¯à ¢«¥­¨ï (¢¥ªâ®à ¢å®¤ )\

 

, f( ) { ­¥¯à¥à뢭 ï ¯® x t

¢¥ªâ®à-äã­ªæ¨ï, ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï ¯® :

áᬠâਢ îâáï ¤®¯ãáâ¨¬ë¥ § ª®­ë ( «£®à¨â¬ë) ã¯à -

¢«¥­¨ï ¢ ¢¨¤¥

 

 

 

 

 

 

 

(t) = ;x(s)st=0

(s)st=0

 

(A.2)

á ­¥ª®â®àë¬ ®¯¥à â®à®¬ â ª¨¬, çâ® à¥è¥­¨ï á¨á⥬ë (A.1),

(A.2) áãé¥áâ¢ãîâ ¨ ¥¤¨­á⢥­­ë ¯à¨ t 0 ¤«ï «î¡ëå ­ ç «ì- ­ëå §­ 祭¨© x(0) (0):

ॡã¥âáï, çâ®¡ë ¢ë¯®«­ï« áì ­¥ª®â®à ï 楫ì ã¯à ¢«¥-

­¨ï, § ¤ ­­ ï, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ ¢¨¤¥

ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® ᮮ⭮è¥-

­¨ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qt ! 0 ¯à¨

t ! 1:

(A.3)

¨«¨ ­¥à ¢¥­áâ¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qt

¤«ï ¢á¥å

 

t t

(A.4)

£¤¥ Qt = Q

 

x(s)t

 

 

 

(s)t

 

 

{ § ¤ ­­ë© 楫¥¢®© ä㭪樮-

 

 

s=0

 

 

s=0

 

2R

 

 

 

­ « (ä㭪樮­ « ª ç¥á⢠), t

< .

 

 

;

 

 

 

 

¢¨¤

 

 

1

 

áᬠâਢ îâáï ¤¢

ä㭪樮­ «®¢ [106]

 

1. ®ª «ì­ë© 楫¥¢®© ä㭪樮­ «

 

 

 

Qt = Q x(t) t

 

 

Q( )2R\

 

1 ¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ­ ­¥ª®â®àë©;

"®¡®¡é

 

¥­­ë©" ¢å®¤­®© ¢¥ªâ®à .

¤ «ì­¥©è¥¬ ¨¬¥¥â à §«¨ç­ë© á¬ëá« ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â å à ªâ¥à

à¥è -

¥¬®© § ¤ ç¨, 祬 ¢ë§¢ ­® ®âáâ㯫¥­¨¥ ®â ¯à¨­ï⮣® à ­¥¥ ®¡®§­ 祭¨ï.¯à¨¬¥à, ¬®¦¥â ¡ëâì ᮡá⢥­­® ã¯à ¢«ïî騬 ¢®§¤¥©á⢨¥¬ (ᨣ­ - «®¬), ¯®áâ㯠î饬 ­ ¢å®¤ ®¡ê¥ªâ , «¨¡®, ­ ¯à¨¬¥à, ¢¥ªâ®à®¬ ­ áâà ¨- ¢ ¥¬ëå ¯ à ¬¥â஢ ॣã«ïâ®à . ® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ (A.1) ¥áâì ãà ¢­¥­¨ï

®¡®¡é¥­­®£® ­ áâà ¨¢ ¥¬®£® ®¡ê¥ªâ .

407

2. ­â¥£à «ì­ë© 楫¥¢®© ä㭪樮­ «

 

Z0

t

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qt =

 

 

q

 

x(s) (s) s ds

q( )2R:

ª®­ªà¥â­ëå § ¤ ç å 楫ì ã¯à ¢«¥­¨ï ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âì

­¥ª®â®àë¥ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ ãá«®¢¨ï.

¯à¨¬¥à, ¤«ï ¨­â¥-

£à «ì­®£® 楫¥¢®£®

 

ä㭪樮­ «

¨á¯®«ì§ã¥âáï

¨ ¤®¯®«­¨-

â¥«ì­ ï 楫ì ã¯à ¢«¥­¨ï ¢ ¢¨¤¥

 

 

 

 

 

lim q

;

x(s) (s) s

 

= 0:

(A.5)

 

t!1

 

 

 

 

 

 

áᬮâਬ ⥯¥àì

 

®á­®¢­ë¥ ä®à¬ë

«£®à¨â¬®¢ ᪮à®áâ-

­®£® £à ¤¨¥­â ¨ ãá«®¢¨ï ¨å ¯à¨¬¥­¥­¨ï [9, 103, 106].

ãáâì § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤

 

 

d ( +

 

(x t))

= ;;r !(x t)

(A.6)

 

 

dt

 

 

 

 

£¤¥ ; = ;T > 0 { m m âà¨æ \ !(x t) { ¯à®¨§¢®¤­ ï 楫¥¢®- £® ä㭪樮­ « ¢ ᨫã á¨á⥬ë (A.1)\ 2, (x t) { ­¥ª®â®à ï ¢¥ªâ®à-äã­ªæ¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î ¯á¥¢¤®£à ¤¨¥­â- ­®á⨠[78]:

 

(x t)T = r !(x t) 0:

(A.7)

¯à¨¬¥à, ¢ ª ç¥á⢥

(x t) ¬®¦­® ¡à âì

 

 

(x t) = ;1r !(x t)

(A.8)

T

(x t)T

= ;1sign;r !(x t)

(A.9)

£¤¥ ;i = ;i > 0 { m m-¬ âà¨æë (i = 1 2) ¨ ;2 { ¤¨ £®­ «ì­ ï.

«£®à¨â¬ë ¢¨¤ (A.6) ­ §ë¢ îâáï «£®à¨â¬ ¬¨ ᪮à®áâ-

­®£® £à ¤¨¥­â

( ) ¢ ª®­¥ç­®-¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®© ä®à¬¥.

¬¥îâáï á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠íâ¨å

«£®à¨â-

¬®¢ ª à¥è¥­¨î § ¤ ç ã¯à ¢«¥­¨ï á «®ª «ì­ë¬ 楫¥¢ë¬ äã­ª-

樮­ «®¬ [106].

ãáâì:

 

 

 

 

 

 

 

 

@Q

 

2

«ï «®ª «ì­®£® 楫¥¢®£® ä㭪樮­ « !(x t)

=

+

 

T

 

 

 

@t

 

;(

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

rxQ

f(x t)

¤«ï £«®¡ «ì­®£® 楫¥¢®£® ä㭪樮­ «

{ !(x t)

=

q x t :

408

{ ¤«ï ¢á¥å v 2Rm ¨¬¥¥âáï ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥

 

= (x v t)\ ãà ¢­¥­¨ï + (x t) = v

 

{ ä㭪樨 f(x t), rxQ(x t), 3

(x t), r !(x t)

«®ª «ì­®

®£à ­¨ç¥­ë à ¢­®¬¥à­® ¯® t

0\

 

 

{ ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ à®áâ

 

¤«ï inft 0 Q(x t) ¯à¨ kxk ! 1\

{ äã­ªæ¨ï !(x t)

¢ë¯ãª«

¯® \

 

{ áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®à 2Rm ¨ äã­ªæ¨ï (Q) ( (Q) > 0 ¯à¨

Q > 0) â ª¨¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å x t ¨¬¥¥â ¬¥áâ®

 

 

!(x t) ; (Q):

(A.10)

®£¤ ¢á¥ âà ¥ªâ®à¨¨ á¨á⥬ë á ­ ç «ì­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨,

 

 

 

 

 

 

 

(x ):(Im ;;+;)( 0

; )=0

¯à¨­ ¤«¥¦ 騬¨ ¬­®¦¥áâ¢ã 0 =

;

 

 

! 0 ¯à¨ t ! 0 â.¥. 楫ì ã¯à ¢«¥­¨ï

®£à ­¨ç¥­ë ¨ Q x(t)

 

¤®á⨣ ¥âáï ¤«ï «î¡®£® > 0:

 

 

 

«ï ¤®ª § ⥫ìáâ¢

í⮣® ã⢥ত¥­¨ï ¨á¯®«ì§ã¥¬ äã­ª-

æ¨î ï¯ã­®¢ ¢¨¤

[9]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

V (x t) = Q(x t) + 2k ; + (x t)k;+

(A.11)

ëç¨á«ïï ¥¥ ¯à®¨§¢®¤­ãî ¯® ¢à¥¬¥­¨ ¢ ᨫã á¨á⥬ë (A.1), (A.6), ¯®«ã稬

 

 

V_t

= !(x(t) (t) t) + vtT ;r !(x(t) (t) t)

 

 

 

(A.12)

£¤¥ !(x t)

®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬ (A.6), vt

=

t(t) ;

+

(x(t) (t) t):

®£« á­® ãá«®¢¨î,

v0 2 L(;) £¤¥

 

L(;)

{ «¨­¥©­ ï ®¡®«®çª

á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë ;+: ®

«£®à¨â¬ã

(A.6),

 

dvt

 

2 L(;):

«¥¤®¢ ⥫쭮, v0

2 L(;) ¤«ï ¢á¥å t

 

dt

0 â ª çâ®

;+;vt

 

= vt (;+; ï¥âáï

¯à®¥ªâ®à®¬ ­

 

 

¬­®-

¦¥á⢮ L(;)).

T

ª¨¬ ®¡à §®¬, (A.12)

¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤

 

_

Vt =

!(x(t) (t) t) + vt

r !(x(t) (t) t): ਬ¥­ïï ⥯¥àì ãá«®¢¨ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

0:

¢ë¯ãª«®á⨠¨ ¤®á⨦¨¬®áâ¨, ¯®«ãç ¥¬ V_t ; Q(x(t) t)

 

«¥¤®¢ ⥫쭮, V (x(t) (t) t)

 

V (x(0) (0) 0) çâ® ¤®ª §ë¢ -

¥â ®£à ­¨ç¥­­®áâì âà ¥ªâ®à¨© á¨á⥬ë (A.1), (A.6).

â ª,

1

 

 

 

 

 

 

 

1 ®âªã¤

 

 

 

 

 

 

 

Q(x(t) t) dt

<

 

áâ ­¤ àâ­ë¬ ®¡à §®¬ á ¯®¬®-

0

 

 

 

 

à¡ « â

 

 

 

 

 

 

 

 

éìîR ; «¥¬¬ë

(á¬. ­ ¯à., [103, 64]) ¢ë¢®¤¨âáï, çâ®

limt!1 Q(x(t) t) = 0 çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì.

3 £à ­¨ç¥­ë ¢ «î¡®¬ ®£à ­¨ç¥­­®¬ ¬­®¦¥á⢥ kxk+ k k t 0 :

409

«ï «£®à¨â¬ (A.6) c ¨­â¥£à «ì­ë¬ 楫¥¢ë¬ ä㭪樮- ­ «®¬ ¨¬¥îâáï á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠(â ¬ ¦¥).ãáâì:

{ ¤«ï ¢á¥å v 2Rm ¨¬¥¥âáï ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥

= (x v t) ãà ¢­¥­¨ï + (x t) = v\

 

{ ä㭪樨 f(x t) r !(x t) (x t) «®ª «ì­® ®£à ­¨ç¥-

­ë\

 

{ äã­ªæ¨ï q(x t) à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭

¯® x t\

{ äã­ªæ¨ï !(x t) ¢ë¯ãª« ¯® \

 

{ ¨¬¥¥âáï ¢¥ªâ®à 2Rm â ª®©, çâ®

 

!(x t) 0\

(A.13)

{ ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ à®áâ .

®£¤ ¤«ï «î¡ëå x(0) (0) ¢ á¨á⥬¥ (A.1), (A.6) ¤®á⨣ - îâáï 楫¨ ã¯à ¢«¥­¨ï (A.4), (A.5) ¤«ï

= Q0 + 0:5 0 ;

;

(x0 0 0 ;2 + :

«ï ¥¤¨­á⢥­­®á⨠à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï + (x t) = v

áãé¥á⢥­­® ¢ë¯®«­

¥­¨¥ ¤«ï (x t) ãá«®¢¨ï ¨¯è¨æ ¯®

á ª®­á⠭⮩ ¨¯è¨æ L < 1:

á«®¢¨¥ à®áâ ¬®¦­® ®á« ¡¨âì, § ¬¥­¨¢ ­ ãá«®¢¨¥ ⮣®, çâ® ®£à ­¨ç¥­­®áâì Qt à¥è¥­¨© (A.1), (A.6) ®§­ ç ¥â ®£à ­¨- 祭­®áâì x(t):

ॡ®¢ ­¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠!(x t) ¨ Qt ¬®¦­® ¨á- ª«îç¨âì, ¥á«¨ £à ¤¨¥­â § ¬¥­¨âì ­ áã¡£à ¤¨¥­â. 4

б­®¢­л¬¨ ¨§ гª § ­­ле ¢ли¥ гб«®¢¨© п¢«повбп ãá«®¢¨ï

à §à¥è¨¬®á⨠(A.10), (A.13), ª®â®àë¥ ¯®ª §ë¢ îâ ­

¯à¨­æ¨-

¯¨ «ì­ãî ¢®§¬®¦­®áâì à¥è¥­¨ï ¯®áâ ¢«¥­­®© § ¤ ç¨.

бв­л¬ б«гз ¥¬ (A.6) п¢«повбп ¢ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®©

ä®à¬¥

 

 

 

 

 

d

= ;;r !(x t):

(A.14)

 

dt

à㣮© ¢ ¦­ë© ç áâ­ë© á«ãç © (A.6) { ¢ ª®­¥ç­®©

ä®à¬¥, ª®â®àë© ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥

 

 

=

0 ; (x t)

(A.15)

4 ¥ªâ®à a 2 Rn â ª®©, çâ® ¤«ï ¢ë¯ãª«®© ä㭪樨 f(x) (x 2 Rn) ¤«ï ¢á¥å y 2Rn ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ f(x + y) f(x) + aT y ­ §ë¢ ¥âáï áã¡-

£à ¤¨¥­â®¬ ä㭪樨 f(x) ¢ â®çª¥ x ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï ç¥à¥§ @f(x) [78]. «ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ x ä㭪樨 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® rf(x) @f(x):

410

£¤¥ > 0 { ¯ à ¬¥âà

«£®à¨â¬

(¬­®¦¨â¥«ì è £ ).

 

á«®¢¨ï ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠«£®à¨â¬

(A.15) ¤«ï ä㭪権

(x t) 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î ᨫ쭮© ¯á¥¢¤®£à ¤¨¥­â-

­®áâ¨: áãé¥áâ¢ãîâ > 0 1 â ª¨¥, çâ®

 

 

 

 

(x t)r !(x t)

r !(x t)

 

(A.16)

¨¬¥îâ á«¥¤ãî騩 ¢¨¤ [9, 64, 106]

 

 

 

ãáâì ¨¬¥¥âáï «®ª «ì­ë© 楫¥¢®© ä㭪樮­ «,

 

{ ãà ¢­¥­¨¥ (A.15) à §à¥è¨¬® ®â­®á¨â¥«ì­® \

 

{ äã­ªæ¨ï !(x t) ¢ë¯ãª«

¯® \

 

 

 

 

{ ¨¬¥¥âáï ¢¥ªâ®à

= (x t) 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ãá«®¢¨î

(A.10) ¨ ãá«®¢¨î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x t)

 

r !(x t) ;1

 

0 ; (x t) \

(A.17)

{ ¢ë¯®«­¥­® (A.16).

 

 

 

 

 

 

 

®£¤

¢ á¨á⥬¥ (A.6), (A.15) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥âáï ¢ë¯®«­¥­¨¥

楫¨ ã¯à ¢«¥­¨ï (A.4).

 

 

 

 

 

 

«ï ¨­â¥£à «ì­®£® 楫¥¢®£® ä㭪樮­ « ¨§¢¥áâ­® á«¥¤ã-

î饥 ã⢥ত¥­¨¥.

 

 

 

 

 

 

 

ãáâì ¨¬¥¥âáï ¨­â¥£à «ì­ë© 楫¥¢®© ä㭪樮­ «,

 

{ ãà ¢­¥­¨¥ (A.15) à §à¥è¨¬® ®â­®á¨â¥«ì­®

 

{ äã­ªæ¨ï !(x t) ¢ë¯ãª«

¯®

 

 

 

 

{ 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ãá«®¢¨¥ (A.16)

 

 

 

 

⮣¤

¢ á¨á⥬¥ (A.6), (A.15) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥âáï ¢ë¯®«­¥­¨¥

楫¨ ã¯à ¢«¥­¨ï (A.5).

 

 

 

 

 

 

¤¥­â¨ä¨æ¨àãî騥 ᢮©áâ¢

«£®à¨â¬®¢ ᪮à®áâ­®£®

 

 

 

 

 

£à ¤¨¥­â

 

 

 

 

 

¥ªâ®à 2 Rm ¢ (A.10) ¬®¦­® áç¨â âì ­¥ª®â®àë¬ "¨¤¥- «ì­ë¬" ¢å®¤­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬, â ª ª ª ¯à¨ = ¢ë¯®«­¥­ë 楫¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï. ¯à¨ª« ¤­®© â®çª¨ §à¥­¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨­â¥à¥á ¢®¯à®á ® á室¨¬®á⨠ª â.¥. ¢®¯à®á ® ¤®á⨦¥­¨¨ ¢ á¨á⥬¥ (A.1), (A.2) ¤®¯®«­¨â¥«ì­®© 楫¨ ã¯à ¢«¥­¨ï

lim (t) = :

(A.18)

t!1

 

â®â ¢®¯à®á ¢®§­¨ª ¥â ¢ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì ¯à¨ à¥è¥­¨¨ § ¤ ç¨ ¨¤¥­â¨ä¨ª 樨, ª®£¤ ï¥âáï ¢¥ªâ®à®¬ "¨á⨭­ëå" §­ - 祭¨© ¯ à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ . ¡®¡é ï, «£®à¨â¬ (A.2) ­ §ë- ¢ ¥¬ ¨¤¥­â¨ä¨æ¨àãî騬 «£®à¨â¬®¬, ¥á«¨ ¢ á¨á⥬¥ (A.1), (A.2) ¤®á⨣ ¥âáï 楫ì ã¯à ¢«¥­¨ï (A.18) [103].

411