Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

xd1 = 0 ¯à¨ t ! 1. ® íâ® ¢¥à­®, ª®£¤ á¨á⥬

(13.79) ®¡« -

¤ ¥â å ®â¨ç¥áª¨¬ ¯®¢¥¤¥­¨¥¬. ¥©á⢨⥫쭮, ¢ í⮬ á«ãç ¥

§­ 祭¨¥ xd1(t) ¯®ª¨¤ ¥â ¨­â¥à¢ « (;1 1) (£¤¥ f1(z) «¨­¥©­ ),

­¥®£à ­¨ç¥­­®¥ ç¨á«® à §, ᪠¦¥¬, ¢ ¬®¬¥­âë tk

, k = 1 2 : : :.

á⨠á室¨¬®á⨠(á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [36]) â ª çâ® ¥á«¨ 0 > 0, â®

c1

(t) ; s

!

0 á室¨âáï íªá¯®­¥­æ¨ «ì­® á ¯®ª § ⥫¥¬ á室¨-

¬®á⨠­¥ ¬¥­¥¥ 1 0 ¤«ï ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå 1 > 0.

§ ᢮©-

á⢠í࣮¤¨ç­®á⨠¢ë⥪ ¥â, çâ®

2

x

d1

(13.86)

0

£¤¥

2

{ á।­¥¥ §­ 祭¨¥ x2

(t) ­

ââà ªâ®à¥ ¨

x

d1

d1

= sup

xd1

(t) .

x2 j

j

ਢ¥¤¥¬ १ã«ìâ âë ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ®¯¨á ­­®© ¢ëè¥ á¨á-

⥬ë. ਬ¥¬ á«¥¤ãî騥 §­6祭¨ï ¯ à ¬¥â஢ p

= 9 q =

14:286 M0

= 5=7 M1

=

;

: «ï íâ¨å §­ 祭¨© ¯ à ¬¥-

7

â஢ á¨á⥬ (13.79) ®¡« ¤ ¥â áâ®å áâ¨ç¥áª¨¬ å ®â¨ç¥áª¨¬

ââà ªâ®à®¬ (à¨á. 13.14).

ç «ì­®¥ á®áâ®ï­¨¥ ¯¥à¥¤ âç¨-

ª

xd(0)

= [0:3 0:3 0:3].

ª ­ ç «ì­®¥ á®áâ®ï­¨¥ ¯à¨¥¬­¨-

ª

x0, â ª ¨ ­ ç «ì­ë¥ §­ 祭¨ï ­ áâà ¨¢ ¥¬ëå ¯ à ¬¥â஢

c0(0) c1(0) ¯à¨­ïâë ­ã«¥¢ë¬¨. «ï ãáâà ­¥­¨ï ¢«¨ï­¨ï ­ -

¡®«ì襩 ç áâ®âë ᯥªâà

­¥áã饣® ᨣ­ « .

ª«î祭¨¥ ।«®¦¥­­ ï á奬 ᨭåà®­¨§ 樨, ®á­®-

¢ ­­ ï ­ ¯à¨¬¥­¥­¨¨

¤ ¯â¨¢­®£® ­ ¡«î¤ â¥«ï ¯®ª §ë¢ -

áᬮâਬ ®¯¨á ­¨¥ ®¡ê¥ªâ

ã¯à ¢«¥­¨ï ¢ ¢¨¤¥

x(t) = f(x t)

(A.1)

£¤¥ x(t)

2 R

n { ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï ®¡ê¥ªâ \ (t)

2 R

m { ¢¥ªâ®à

1

ã¯à ¢«¥­¨ï (¢¥ªâ®à ¢å®¤ )\

, f( ) { ­¥¯à¥à뢭 ï ¯® x t

¢¥ªâ®à-äã­ªæ¨ï, ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï ¯® :

áᬠâਢ îâáï ¤®¯ãáâ¨¬ë¥ § ª®­ë ( «£®à¨â¬ë) ã¯à -

¢«¥­¨ï ¢ ¢¨¤¥

(t) = ;x(s)st=0

(s)st=0

(A.2)

­¨ï, § ¤ ­­ ï, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ ¢¨¤¥

ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® ᮮ⭮è¥-

­¨ï

Qt ! 0 ¯à¨

t ! 1:

(A.3)

¨«¨ ­¥à ¢¥­áâ¢

Qt

¤«ï ¢á¥å

t t

(A.4)

£¤¥ Qt = Q

x(s)t

(s)t

{ § ¤ ­­ë© 楫¥¢®© ä㭪樮-

s=0

s=0

2R

­ « (ä㭪樮­ « ª ç¥á⢠), t

< .

;

¢¨¤

1

áᬠâਢ îâáï ¤¢

ä㭪樮­ «®¢ [106]

1. ®ª «ì­ë© 楫¥¢®© ä㭪樮­ «

Qt = Q x(t) t

Q( )2R\

1 ¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ­ ­¥ª®â®àë©;

"®¡®¡é

¥­­ë©" ¢å®¤­®© ¢¥ªâ®à .

¤ «ì­¥©è¥¬ ¨¬¥¥â à §«¨ç­ë© á¬ëá« ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â å à ªâ¥à

à¥è -

Z0

t

;

Qt =

q

x(s) (s) s ds

q( )2R:

ª®­ªà¥â­ëå § ¤ ç å 楫ì ã¯à ¢«¥­¨ï ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âì

­¥ª®â®àë¥ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ ãá«®¢¨ï.

¯à¨¬¥à, ¤«ï ¨­â¥-

£à «ì­®£® 楫¥¢®£®

ä㭪樮­ «

¨á¯®«ì§ã¥âáï

¨ ¤®¯®«­¨-

â¥«ì­ ï 楫ì ã¯à ¢«¥­¨ï ¢ ¢¨¤¥

lim q

;

x(s) (s) s

= 0:

(A.5)

t!1

áᬮâਬ ⥯¥àì

®á­®¢­ë¥ ä®à¬ë

«£®à¨â¬®¢ ᪮à®áâ-

­®£® £à ¤¨¥­â ¨ ãá«®¢¨ï ¨å ¯à¨¬¥­¥­¨ï [9, 103, 106].

ãáâì § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤

d ( +

(x t))

= ;;r !(x t)

(A.6)

dt

(x t)T = r !(x t) 0:

(A.7)

¯à¨¬¥à, ¢ ª ç¥á⢥

(x t) ¬®¦­® ¡à âì

(x t) = ;1r !(x t)

(A.8)

T

(x t)T

= ;1sign;r !(x t)

(A.9)

£¤¥ ;i = ;i > 0 { m m-¬ âà¨æë (i = 1 2) ¨ ;2 { ¤¨ £®­ «ì­ ï.

«£®à¨â¬ë ¢¨¤ (A.6) ­ §ë¢ îâáï «£®à¨â¬ ¬¨ ᪮à®áâ-

­®£® £à ¤¨¥­â

( ) ¢ ª®­¥ç­®-¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®© ä®à¬¥.

¬¥îâáï á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠íâ¨å

«£®à¨â-

樮­ «®¬ [106].

ãáâì:

@Q

2

«ï «®ª «ì­®£® 楫¥¢®£® ä㭪樮­ « !(x t)

=

+

T

@t

;(

)

rxQ

f(x t)

¤«ï £«®¡ «ì­®£® 楫¥¢®£® ä㭪樮­ «

{ !(x t)

=

{ ¤«ï ¢á¥å v 2Rm ¨¬¥¥âáï ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥

= (x v t)\ ãà ¢­¥­¨ï + (x t) = v

{ ä㭪樨 f(x t), rxQ(x t), 3

(x t), r !(x t)

«®ª «ì­®

®£à ­¨ç¥­ë à ¢­®¬¥à­® ¯® t

0\

{ ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ à®áâ

¤«ï inft 0 Q(x t) ¯à¨ kxk ! 1\

{ äã­ªæ¨ï !(x t)

¢ë¯ãª«

¯® \

{ áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®à 2Rm ¨ äã­ªæ¨ï (Q) ( (Q) > 0 ¯à¨

Q > 0) â ª¨¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å x t ¨¬¥¥â ¬¥áâ®

!(x t) ; (Q):

(A.10)

®£¤ ¢á¥ âà ¥ªâ®à¨¨ á¨á⥬ë á ­ ç «ì­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨,

(x ):(Im ;;+;)( 0

; )=0

¯à¨­ ¤«¥¦ 騬¨ ¬­®¦¥áâ¢ã 0 =

;

¤®á⨣ ¥âáï ¤«ï «î¡®£® > 0:

«ï ¤®ª § ⥫ìáâ¢

í⮣® ã⢥ত¥­¨ï ¨á¯®«ì§ã¥¬ äã­ª-

æ¨î ï¯ã­®¢ ¢¨¤

[9]

1

2

V (x t) = Q(x t) + 2k ; + (x t)k;+

(A.11)

£¤¥ !(x t)

®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬ (A.6), vt

=

t(t) ;

+

(x(t) (t) t):

®£« á­® ãá«®¢¨î,

v0 2 L(;) £¤¥

L(;)

{ «¨­¥©­ ï ®¡®«®çª

á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë ;+: ®

«£®à¨â¬ã

(A.6),

dvt

2 L(;):

«¥¤®¢ ⥫쭮, v0

2 L(;) ¤«ï ¢á¥å t

dt

0 â ª çâ®

;+;vt

= vt (;+; ï¥âáï

¯à®¥ªâ®à®¬ ­

¬­®-

¦¥á⢮ L(;)).

T

ª¨¬ ®¡à §®¬, (A.12)

¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤

_

Vt =

!(x(t) (t) t) + vt

r !(x(t) (t) t): ਬ¥­ïï ⥯¥àì ãá«®¢¨ï

;

0:

¢ë¯ãª«®á⨠¨ ¤®á⨦¨¬®áâ¨, ¯®«ãç ¥¬ V_t ; Q(x(t) t)

«¥¤®¢ ⥫쭮, V (x(t) (t) t)

V (x(0) (0) 0) çâ® ¤®ª §ë¢ -

¥â ®£à ­¨ç¥­­®áâì âà ¥ªâ®à¨© á¨á⥬ë (A.1), (A.6).

â ª,

1

1 ®âªã¤

Q(x(t) t) dt

<

áâ ­¤ àâ­ë¬ ®¡à §®¬ á ¯®¬®-

0

à¡ « â

éìîR ; «¥¬¬ë

(á¬. ­ ¯à., [103, 64]) ¢ë¢®¤¨âáï, çâ®

{ ¤«ï ¢á¥å v 2Rm ¨¬¥¥âáï ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥

= (x v t) ãà ¢­¥­¨ï + (x t) = v\

{ ä㭪樨 f(x t) r !(x t) (x t) «®ª «ì­® ®£à ­¨ç¥-

­ë\

{ äã­ªæ¨ï q(x t) à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭

¯® x t\

{ äã­ªæ¨ï !(x t) ¢ë¯ãª« ¯® \

{ ¨¬¥¥âáï ¢¥ªâ®à 2Rm â ª®©, çâ®

!(x t) 0\

(A.13)

= Q0 + 0:5 0 ;

;

(x0 0 0 ;2 + :

«ï ¥¤¨­á⢥­­®á⨠à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï + (x t) = v

áãé¥á⢥­­® ¢ë¯®«­

¥­¨¥ ¤«ï (x t) ãá«®¢¨ï ¨¯è¨æ ¯®

lim (t) = :

(A.18)

t!1