Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

ª¨ ®á¨ ¢à¥¬¥­¨. ®§­¨ª ¥â ¢®¯à®á ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯®­ïâ¨ï à¥- 襭¨ï ãà ¢­¥­¨© á à §à뢭®© ¯à ¢®© ç áâìî, ª®£¤ ¬®¬¥­- âë, ¤«ï ª®â®àëå ­ áâ㯠¥â à §àë¢, ¯«®â­® «¥¦ â ­ ­¥ª®â®- ஬ ¨­â¥à¢ «¥. ­­ë¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¤®«¦­ë ãç¨âë¢ âì ª ª ¨­¦¥­¥à­®-䨧¨ç¥áª¨¥, â ª ¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ á®®¡à ¦¥­¨ï.­¨ ¤®«¦­ë ®¡¥á¯¥ç¨¢ âì ¢®§¬®¦­®áâì ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ¨á- á«¥¤®¢ ­¨ï á¨á⥬ (¢ª«îç ï ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¨ ¯à®- ¤®«¦¨¬®á⨠à¥è¥­¨©, ⥮६ë ãá⮩稢®áâ¨), â ª¦¥ ¤¥ª- ¢ â­® ®¯¨áë¢ âì 䨧¨ç¥áªãî ॠ«ì­®áâì [30].

§¢¥áâ­® ­¥áª®«ìª® ᯮᮡ®¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨© ¢ ᪮«ì- §ï饬 ०¨¬¥. áᬮâਬ ­¥ª®â®àë¥ ¨§ ­¨å.

।¨ 㪠§ ­­ëå ¬¥â®¤®¢ ¬®¦­® ¢ë¤¥«¨âì 䨧¨ç¥áª¨© ¨ ªá¨®¬ â¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ë [30, 102].

¨§¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ à §¢¨â ¢ à ¡®â å . . ©§¥à¬ ­ ¨ . . ï⭨檮£® ¨ ¢ªà âæ¥ á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. «ï

à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬ë á®áâ ¢«ï¥âáï ¡®«¥¥ â®ç­ ï ¬ â¥- ¬ â¨ç¥áª ï ¬®¤¥«ì, ¢ ª®â®à®© ãç¨âë¢ îâáï â ª¨¥ ä ªâ®- àë, ª ª § ¯ §¤ë¢ ­¨¥, £¨áâ¥à¥§¨á, ¨­¥à樮­­®áâì, ®£à ­¨- 祭­®áâì ᪮à®á⨠¨§¬¥­¥­¨ï ᨣ­ « ¨ ª®íää¨æ¨¥­â ãá¨- «¥­¨ï, ¨ â.¤. ¥©á⢨¥ íâ¨å ä ªâ®à®¢ ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ®

¢ а бб¬ ва¨¢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ б¨бв¥¬л ®вбгвбв¢г¥в ®¯¨б ­­л© ¢ли¥ "¨¤¥ «ì­ë©" ᪮«ì§ï騩 ०¨¬ ¨ ¢®§­¨ª ¥â "ॠ«ì­ë©" ᪮«ì§ï騩 ०¨¬ á ¨§®«¨à®¢ ­­ë¬¨ ¬®¬¥­â ¬¨ à §àë¢ ¯à ¢ëå ç á⥩ ãà ¢­¥­¨©. §®¡à ¦ îé ï â®çª ­¥ ®áâ ¥â- áï ­ ¯®¢¥àå­®áâ¨ à §àë¢ , "¯à®è¨¢ ¥â" ¥¥ ¢ ¯à®â¨¢®¯®- «®¦­ëå ­ ¯à ¢«¥­¨ïå. 26 «ï â ª¨å á¨á⥬ ¨á祧 ¥â ®â¬¥-

祭­ ï ¢ëè¥ á¯¥æ¨ä¨ç¥áª ï ¯à®¡«¥¬ , á¢ï§ ­­ ï á ⥬, çâ® ¬®¬¥­âë ¯à¨­ ¤«¥¦­®á⨠¨§®¡à ¦ î饩 â®çª¨ ¯®¢¥àå­®áâ¨ à §àë¢ ®¡à §ãîâ ®â१ª¨ ¢à¥¬¥­¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮 à¥è¥­¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭® ®¡ëç­ë¬ ®¡à §®¬. ®á«¥ ⮣®, ª ª ¯®- «ã祭ë ãà ¢­¥­¨ï ॠ«ì­®£® ᪮«ì§ï饣® ०¨¬ , ¢ë¯®«­ï- ¥âáï ¯à¥¤¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤. ¢¨¦¥­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ ¨¤¥ «ì­®¬ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¯à¥¤¥«, ª ª®â®à®- ¬ã áâ६¨âáï ॠ«ì­ë© ᪮«ì§ï騩 ०¨¬ ¯à¨ áâ६«¥­¨¨ 㪠§ ­­ëå ä ªâ®à®¢ ª ­ã«î.

®¤­®© áâ®à®­ë, â ª®© ¯®¤å®¤ ®¯à ¢¤ ­ á ¨­¦¥­¥à­®©

26 ®¦­® â ª¦¥ ᪠§ âì, çâ® ¥á«¨ ¢ ¨¤¥ «ì­®¬ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ ¨§®- ¡à ¦ îé ï â®çª ᮢ¥àè ¥â ª®«¥¡ ­¨ï á ¡¥áª®­¥ç­®© ç áâ®â®© ¨ ­ã«¥- ¢®© ¬¯«¨â㤮© ®â­®á¨â¥«ì­® ¯®¢¥àå­®áâ¨ à §àë¢ , â® ¢ ॠ«ì­®¬ ᪮«ì- §ï饬 ०¨¬¥ ç áâ®â ª®«¥¡ ­¨© ª®­¥ç­ , ¬¯«¨â㤠­¥ à ¢­ ­ã«î.

292

â®çª¨ §à¥­¨ï. ¤à㣮© áâ®à®­ë, ®­ ï¥âáï âà㤮¥¬ª¨¬.஬¥ ⮣®, ­¥â £ à ­â¨¨, çâ® ¯à¨ á®áâ ¢«¥­¨¨ ¬®¤¥«¨ ãçâ¥- ­ë ¢á¥ (¨«¨ ¨¬¥­­® â¥, ª®â®àë¥ ­¥®¡å®¤¨¬ë) ä ªâ®àë. ⨠®¡áâ®ï⥫ìá⢠¯à¥¯ïâáâ¢ãî⠯ਬ¥­¥­¨î 䨧¨ç¥áª®£® ¯®¤- 室 , ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¢ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ¯à¨«®¦¥­¨ïå.

ªá¨®¬ â¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ á®á⮨⠢ ¤®®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ãà ¢- ­¥­¨© á¨áâ¥¬ë ¯à¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ¯®«ã稫¨áì ãà ¢­¥­¨ï á £« ¤ª®© ¯à ¢®© ç - áâìî, à¥è¥­¨ï ª®â®àëå ®¯¨áë¢ «¨ ¡ë ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯® ¯®¢¥àå- ­®áâ¨ à §àë¢ . ਬ¥­¥­¨¥ ªá¨®¬ â¨ç¥áª®£® ¯®¤å®¤ áã- é¥á⢥­­® ¯à®é¥, 祬 䨧¨ç¥áª®£®, ­® ¯®«ã祭­ë¥ á ¯®¬®- éìî ¥£® १ã«ìâ âë ­ã¦¤ îâáï ¢ ¯à®¢¥àª¥ á â®çª¨ §à¥­¨ï ᮮ⢥âá⢨ï 䨧¨ç¥áª®© ॠ«ì­®áâ¨. ª ç¥á⢥ ªà¨â¥à¨ï ¤¥ª¢ â­®á⨠¨­®£¤ ¨á¯®«ì§ãîâ 䨧¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ [102].

á«¥¤ãîé¨å ¯ à £à ä å ªá¨®¬ â¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ à á- ᬮâ७ ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­®.

11.6.2. ¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥

¤ ç ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨© ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ à §­ë- ¬¨ ¢â®à ¬¨ à áᬠâਢ ¥âáï ¢ ­¥áª®«ìª® ®â«¨ç îé¨åáï ¯®- áâ ­®¢ª å.

¡®«ì讬 ç¨á«¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å à ¡®â à áᬠâਢ îâáï ãà ¢­¥­¨ï ¢¨¤ (11.49) ¨ áç¨â ¥âáï, çâ® ­ ­¥ª®â®à®© ¯®¢¥àå-

ॡã¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì â ªãî ­¥¯à¥à뢭ãî (¯® x) äã­ªæ¨î

¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ë¥ ®¡« áâ¨, â® ¢ á¨á⥬¥ ¢®§­¨ª ¥â ᪮«ì§ï- 騩 ०¨¬. ॡã¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì ¢¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®áâ¨

27 ¬¥â¨¬: íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® ¢¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®á⨠v(x) ¨¬¥¥â à §- ­ë¥ ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¢ á®á¥¤­¨å â®çª å, à §¤¥«¥­­ëå ¯®¢¥àå­®áâìî à §àë¢

(x t) = 0:

293

§ ¤ ç¨. áᬠâਢ îâáï ãà ¢­¥­¨ï (11.50) ¨ áç¨â ¥âáï, çâ®

¯à¨ ­¥ª®â®à®© = 0(t) äã­ªæ¨ï '( t) ¨¬¥¥â à §àë¢. â - ¢¨âáï § ¤ ç ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢ë室®¢ ­¥«¨­¥©­ëå ¡«®ª®¢ '( t) ¯à¨ (t) 0 (t):

«ï â ª¨å á¨á⥬ ¢ [30] ४®¬¥­¤ã¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ âì § - ¯¨áì ãà ¢­¥­¨© ­¥«¨­¥©­®© ç á⨠á¨áâ¥¬ë ¢ ¢¨¤¥ ¢ª«î祭¨©

(t) 2 '( t), £¤¥ äã­ªæ¨ï '( t) ¯à¨­¨¬ ¥â ª®­ªà¥â­ë¥ §­ - 祭¨ï ¢­¥ â®ç¥ª à §àë¢ (¨ ⮣¤ ¢ª«î祭¨¥ ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ®¡ëç­®¥ à ¢¥­á⢮) «¨¡® ¨¬¥¥â §­ 祭¨ï ¨§ ­¥ª®â®à®£® ¢ë- ¯ãª«®£® ¬­®¦¥á⢠, ­ ¯à¨¬¥à ¯à®¬¥¦ã⪠[ ; +]: ®£¤ § ¤ ç ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ ᢮¤¨âáï ª ®¯à¥¤¥«¥­¨î ª®­ªà¥â­®£® §­ 祭¨ï 0(t) 2 ¯à¨ (t) = 0(t):¬¥в¨¬, зв® ¥б«¨ ¢¥а­гвмбп ª ¯а¥¤л¤гй¥© ¯®бв ­®¢ª¥ § ¤ - з¨, в® в ª®© ¯®¤е®¤ ­ «®£¨з¥­ ¨б¯®«м§®¢ ­¨о ¢¬¥бв® ¤¨д- д¥а¥­ж¨ «м­®£® га ¢­¥­¨п (11.49)

­¨ï x(t) 2 f (x(t) t) :

à ¡®â¥ [102] à áᬠâਢ îâáï ãà ¢­¥­¨ï ¢¨¤ (11.51),

¯à¨ç¥¬ áç¨â ¥âáï, çâ® ã¯à ¢«ïî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥ ¨¬¥¥â à §- àë¢ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠(x t) = 0 â.¥.

u(t) = u+(x t) (x t) > 0 u;(x t) (x t) < 0

ॡã¥âáï ­ ©â¨ â ª®¥ ­¥¯à¥à뢭®¥ ã¯à ¢«¥­¨¥ ueq(t) (­ §ë- ¢ ¥¬®¥ "íª¢¨¢ «¥­â­ë¬"), ª®â®à®¥ ®â¢¥ç «® ¡ë ¤¢¨¦¥­¨î á¨- áâ¥¬ë ¯® ¯®¢¥àå­®áâ¨ à §àë¢ (x t) = 0:

áᬮâਬ ⥯¥àì ­¥ª®â®àë¥ ¬¥â®¤ë ®¯à¥¤¥«¥­¨ï à¥è¥-

­¨© á¨á⥬ á à §à뢭®© ¯à ¢®© ç áâìî.

¤­¨¬ ¨§ ­ ¨¡®«¥¥ ¨§¢¥áâ­ëå ¬¥â®¤®¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï à¥è¥- ­¨© à §à뢭ëå á¨á⥬ ï¥âáï ¬¥â®¤ . . ¨«¨¯¯®¢ .

н⮬ ¬¥в®¤¥ ¨б¯®«м§говбп га ¢­¥­¨п ¢¨¤ (11.49). «п ®¯а¥¤¥«¥­¨п ¯®«п д §®¢ле бª®а®бв¥© ­ ¯®¢¥ае­®бв¨ а §ал- ¢ ¢ б®®в¢¥вбв¢¨¨ б ®¯а¥¤¥«¥­¨¥¬ ¨«¨¯¯®¢ б«¥¤г¥в ¯®бва®-

¨âì ®â१®ª, ᮥ¤¨­ïî騩 ª®­æë ¢¥ªâ®à®¢ v+(x) ¨ v;(x) ¤«ï ¤ ­­®© â®çª¨ ­ ¯®¢¥àå­®áâ¨ à §àë¢ ¨ ¯à®¢¥á⨠¨§ â®çª¨ x ¢¥ªâ®à v0(x) ¢ â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥­¨ï ¤ ­­®£® ®â१ª á ª á ⥫ì-

294

­®© ¯«®áª®áâìî. 28 ®«ã祭­ë© ¢¥ªâ®à ¨ ï¥âáï ¨áª®¬ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ä §®¢®© ᪮à®á⨠­ ¯®¢¥àå­®áâ¨ à §àë¢ .

ª ¯®ª § ­® ¢ [30], ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¨«¨¯¯®¢ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬¨­¨¬ «ì­® ¢®§¬®¦­®¥ ¬­®¦¥á⢮ '( t) ¨§ ¢б¥е ¤®¯гбв¨¬ле, ¯®н⮬㠤«п ¤ ­­®£® ¬¥в®¤ з й¥, з¥¬ ¤«п ¤аг£¨е, ¨¬¥¥вбп ¥¤¨­бв¢¥­­®бвм а¥и¥­¨©. ¤­ ª®, ª ª ®в¬¥з¥­® в ¬ ¦¥, ¨¬¥- ¥вбп ¬­®£® б«гз ¥¢, ª®£¤ д¨§¨з¥бª¨ ®б¬лб«¥­­л¥ а¥и¥­¨п ­¥ п¢«повбп а¥и¥­¨п¬¨ ¢ б¬лб«¥ ¨«¨¯¯®¢ .

®£« á­® à ¡®â¥ [30], à¥è¥­¨ï à §à뢭ëå á¨á⥬ ¤®«¦­ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ãà ¢­¥­¨ï¬ ¢¨¤ (11.50), £¤¥ ãà ¢­¥­¨ï ­¥«¨- ­¥©­ëå ¡«®ª®¢ ¯®­¨¬ îâáï ª ª ¢ª«î祭¨ï, â.¥. ¢ë¯®«­¥­®

x(t) = Ax(t) + B (t)

(t) 2 '(Cx(t) t):

¥ªâ®à-äã­ªæ¨ï (t) ­ §ë¢ ¥âáï ⮣¤ ¤®®¯à¥¤¥«¥­­®© ­¥«¨- ­¥©­®áâìî. ¦¤®¬ã à¥è¥­¨î x(t) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¢®ï ¤®- ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ­¥«¨­¥©­®áâì. ਠdet BT B 6= 0 (t) ¬®¦­® ¯®- «ãç¨âì ¨§ ãà ¢­¥­¨© á¨áâ¥¬ë ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥­- ­®, ª ª

(t) = BT B ;1 B (x(t) ; Ax(t)) :

ª¨¬ ®¡à §®¬, ᮣ« á­® [30], ­¥®¤­®§­ ç­ ï ­¥«¨­¥©­ ï äã­ª- æ¨ï '( ) ¢ (11.50) ¯à¨­¨¬ ¥â ª®­ªà¥â­ë¥ (¨ à §«¨ç­ë¥ ¢ à §- ­ë¥ ¬®¬¥­âë ¢à¥¬¥­¨) §­ 祭¨ï ᮣ« á­® ¯®¢¥¤¥­¨î «¨­¥©- ­®© ç á⨠á¨á⥬ë.

«¥¥ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì á¨á⥬ë, ã ª®â®àëå

dim (t) = dim (t) = m ¨ i-ï ª®¬¯®­¥­â ¢¥ªâ®à ' § ¢¨á¨â ®â i-© ª®¬¯®­¥­âë ¢¥ªâ®à : 'i = 'i( i):

«п в®£® зв®¡л ®¯а¥¤¥«¨вм, ª ª ¢¥¤¥в б¥¡п а¥и¥­¨¥ ¢ бª®«м§пй¥¬ а¥¦¨¬¥, ­ ¤® ¯а¨­пвм, зв® ¯® гб«®¢¨о ¤®«¦­® ¢л¯®«­пвмбп а ¢¥­бв¢® (t) = 0(t): ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «¨- ­¥©­®© ç á⨠¬®¦­® § ¯¨á âì á¨á⥬㠫£¥¡à®-¤¨ää¥à¥­æ¨- «ì­ëå ãà ¢­¥­¨©

x(t) = Ax(t) + B (t) Cx(t) = 0(t)

28 ¤ ­­®¬ ¨§«®¦¥­¨¨ ¤ ¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ¨­â¥à¯à¥â æ¨ï ¬¥â®¤¨«¨¯¯®¢ , ª®â®àë© ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ¨ ­ «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ᮮ⭮- 襭¨ï¬¨. ஬¥ ⮣®, §¤¥áì à áᬠâਢ ¥âáï ç áâ­ë© ¢¨¤ ä㭪樨 f( ) ¨ ¯®¢¥àå­®áâì à §àë¢ áç¨â ¥âáï £« ¤ª®© [30, 102].

295

£¤¥ 0(t) { § ¤ ­­ ï äã­ªæ¨ï ¢à¥¬¥­¨. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ í⮩ á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤

¤¥«¨â¥«ì ¥¥ ¯¥à¥¤ â®ç­®© ¬ âà¨æë, â® ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãî騩 à¥- §ã«ìâ â.

à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ á¨áâ¥¬ë «¨­¥©­ëå ¤¨ää¥- à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨©, ®¯¨áë¢ îé¨å ¯®«­ë© (â.¥. ¤«ï ¢á¥å

ª®¬¯®­¥­â ¢¥ªâ®à (t)) ᪮«ì§ï騩 ०¨¬ á¨á⥬ë (11.50), á â®ç­®áâìî ¤® §­ ª ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ å à ªâ¥à¨- áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ «¨­¥©­®© ç á⨠á¨áâ¥¬ë ­ ®¯à¥¤¥- «¨â¥«ì ¥¥ ¯¥à¥¤ â®ç­®© ¬ âà¨æë [30].

«ï á¨á⥬ á ®¤­®© ᪠«ïà­®© ­¥«¨­¥©­®áâìî å à ªâ¥à¨- áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ ᪮«ì§ï饣® ०¨¬ á â®ç­®áâìî ¤®

§­ ª ᮢ¯ ¤ ¥â á ç¨á«¨â¥«¥¬ ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 (¢ á«ã- ç ¥ ¢ë஦¤¥­­®á⨠ª®â®à®© ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® á⥯¥­ì §­ - ¬¥­ ⥫ï à ¢­ ¯®à浪ã ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë, á®- ªà 饭¨© ­¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­®).

áᬮâਬ ⥯¥àì ¨§«®¦¥­­ë© ¢ [102] ¬¥â®¤ íª¢¨¢ «¥­- â­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï. ¤ ­­®¬ ¬¥в®¤¥ ¨б¯®«м§говбп га ¢­¥­¨п

¢¨¤ (11.51). ।¯®« £ ï ­ «¨ç¨¥ ¢ á¨á⥬¥ ᪮«ì§ï饣® à¥- ¦¨¬ ¯® ¯®¢¥àå­®á⨠(x)=0 ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ ¯à®¨§¢®¤­ ï ¯® ¢à¥¬¥­¨ ®â (x(t)) ¢ б¨«г б¨бв¥¬л (11.51) ¤®«¦­ а ¢­пвмбп ­г«о. ª ª ª нв ¯а®¨§¢®¤­ п § ¢¨б¨в ®в г¯а ¢«¥­¨п, в® ¬®- ¦¥¬ ­ ©в¨ б®®в¢¥вбв¢гой¥¥ íª¢¨¢ «¥­â­®¥ ã¯à ¢«¥­¨¥ ueq (t) ¨§ ãà ¢­¥­¨ï (t) = 0: ©¤¥­­®¥ ã¯à ¢«¥­¨¥ ¯®¤áâ ¢«ï¥âáï

¢ ãà ¢­¥­¨ï (11.51), ª®â®àë¥ à¥è îâáï ᮢ¬¥áâ­® á ãà ¢­¥- ­¨¥¬ ᪮«ì§ï饣® ०¨¬ (x(t)) = 0: ª ¨ ¢ëè¥, ¯®«ãç -

¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤

x(t) = (x(t) ueq (t) t) (x(t)) = 0:

áᬮâਬ ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­® ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¬¥â®¤ íª¢¨¢ - «¥­â­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï ¤«ï á¨áâ¥¬ë ¢¨¤ (11.50), ¯®« £ ï0(t) 0: à ¢­¨¢ ï (11.50) ¨ (11.51), ¯®«ã稬

x(t) = Ax(t) + Bu(t) (t) = Cx(t):

ëç¨á«ïï (t) ­ 室¨¬, çâ® (t) = C Ax(t)+Bu(t) ®âªã¤ ¯®

¤¥«¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨© ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ ¯à¨¢®¤ïâ ª ®¤¨­ - ª®¢ë¬ १ã«ìâ â ¬. ®«¥¥ ¯®¤à®¡­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ¨¬¥îâáï ¢ à ¡®â å [30, 102].

â®«ì ¡®«ì讥 ¢­¨¬ ­¨¥ ª ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¯®¢¥¤¥­¨ï á¨á⥬ ¢ ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬ å á¢ï§ ­® ­¥ ⮫쪮 á® áâ६«¥­¨¥¬ ª

¯®«­®â¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢ ⥮ਨ á¨á⥬ ¨«¨ á ¯®- ¥­¨¥¬ à §à뢭ëå § ¢¨á¨¬®á⥩ ¯à¨ ®¯¨á ­¨¨ ­¥ª®â®àëå 䨧¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ. ª ®â¬¥ç¥­® ¢ëè¥, ¨¬¥¥âáï æ¥«ë© ª« áá á¨á⥬ á ¨áªãáá⢥­­® ¢¢¥¤¥­­®© ­¥«¨­¥©­®áâìî, ª®- â®àë¥ à ¡®â îâ ¢ ¯à¨­ã¤¨â¥«ì­® ¢®§¡ã¦¤¥­­®¬ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ { á¨á⥬ë á ¯¥à¥¬¥­­®© áâàãªâãன ( ) ᮠ᪮«ì- §ï騬¨ ०¨¬ ¬¨ [8, 21, 101, 102, 191]. ¢¥¤¥­¨ï ® ¯®áâ஥­¨¨ ¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ â ª¨å á¨á⥬ ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ ¯. 12.1.

297

12. Žš…Š’€Œˆ

­ áâ®ï饩 £« ¢¥ ¨§«®¦¥­ë ®á­®¢ë ¤¢ãå ¢¥áì¬ ¯«®¤®â¢®à- ­ëå ¯®¤å®¤®¢ ª ᨭ⥧㠭¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ ã¯à ¢«¥­¨ï: á¨- á⥬ á ¯¥à¥¬¥­­®© áâàãªâãன ¨ ¤ ¯â¨¢­ëå á¨á⥬. ¡ ¯®¤å®¤ ¯®§¢®«ïîâ ᨭ⥧¨à®¢ âì ॣã«ïâ®àë ¯à¨ ­¥¯®«­®© ¯à¨®à­®© ¨­ä®à¬ 樨 ® ¯ à ¬¥âà å ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥­¨ï.த¥¬®­áâà¨à®¢ ­ ¢®§¬®¦­®áâì ¯à¨¬¥­¥­¨ï ®¡®¨å ¯®¤å®- ¤®¢ ¢ ãá«®¢¨ïå ­¥¯®«­®âë ¨§¬¥à¥­¨©, â ª¦¥ ¨å ᮢ¬¥áâ­®£® ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï.

12.1.¨á⥬ë á ¯¥à¥¬¥­­®© áâàãªâãன ¢ § ¤ ç¥ ã¯à - ¢«¥­¨ï

«ï ã¯à ¢«¥­¨ï ¢ ãá«®¢¨ïå ­¥¯®«­®© ¨­ä®à¬ 樨 ® ¯ à ¬¥- âà å ®¡ê¥ªâ ¬®£ãâ ®ª § âìáï íä䥪⨢­ë¬¨ â ª ­ §ë¢ ¥¬ë¥

á¨á⥬ë á ¯¥à¥¬¥­­®© áâàãªâãன ( ) [8, 9, 40, 102, 191].á­®¢­ ï ¨¤¥ï ¯®áâ஥­¨ï á®á⮨⠢ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ¯¥- ४«îç îé¨åáï § ª®­®¢ ã¯à ¢«¥­¨ï (ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 à §- «¨ç­ë¬ áâàãªâãà ¬ § ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë) [40, 102]. ¥à¥ª«î- 祭¨¥ ¯à®¨á室¨â ­ ®á­®¢¥ ⥪ã饩 ¨­ä®à¬ 樨 ® á®áâ®ï- ­¨¨ ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥­¨ï ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¢ë¡à ­­®© äã­ª-

樥© ¯¥à¥ª«î祭¨ï.

®§¬®¦­ë à §«¨ç­ë¥ á¯®á®¡ë ¯®áâ஥­¨ï . ¨¡®- «¥¥ ã­¨¢¥àá «ì­ë¬ ¨ à §à ¡®â ­­ë¬ ¬¥â®¤®¬ ï¥âáï ¯à¨- ­ã¤¨â¥«ì­ ï ®à£ ­¨§ æ¨ï ¢ § ¬ª­ã⮩ á¨á⥬¥ ᪮«ì§ïé¨å à¥- ¦¨¬®¢, ¯à¨ ª®â®àëå ¨§®¡à ¦ îé ï â®çª ¢ ¯à®áâà ­á⢥ á®áâ®ï­¨© á¨áâ¥¬ë ¤¢¨¦¥âáï ¯® ¢ë¡à ­­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨. íâã ¯®¢¥àå­®áâì â®çª ¯®¯ ¤ ¥â § ª®­¥ç­®¥ ¢à¥¬ï ¯®á«¥ ­ - ç « ¯¥à¥å®¤­®£® ¯à®æ¥áá [101, 102], § ⥬ ®áâ ¥âáï ­ ­¥© ­¥®£à ­¨ç¥­­® ¤®«£® (¨«¨ ¢ â¥ç¥­¨¥ ª®­¥ç­®£® ¯à®¬¥¦ã⪠¢à¥¬¥­¨). १ã«ìâ â¥, ¯®¢¥¤¥­¨¥ § ¬ª­ã⮩ á¨áâ¥¬ë ¬ «® § ¢¨á¨â (¨«¨ ᮢᥬ ­¥ § ¢¨á¨â) ®â ¯ à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ ã¯à - ¢«¥­¨ï, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ë¡à ­­ë¬ ¯à¨ ᨭ⥧¥ ॣã«ïâ®à ãà ¢­¥­¨¥¬ ¯®¢¥àå­®á⨠¯¥à¥ª«î祭¨©. 1

1 «¥¤ã¥â ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® ¤ ­­®¥ ã⢥ত¥­¨¥ ®â­®á¨âáï ¨¬¥­­® ª ãáâ ­®¢¨¢è¥¬ãáï ᪮«ì§ï饬ã ०¨¬ã. à ¥ªâ®à¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï ¢­¥ í⮣® ०¨¬ § ¢¨á¨â ®â ᢮©á⢠®¡ê¥ªâ . ãé¥á⢥­­ë¬ ï¥âáï ¢®§­¨ª­®- ¢¥­¨¥ ãá⮩稢®£® ᪮«ì§ï饣® ०¨¬ § ª®­¥ç­®¥ ¢à¥¬ï.

298

ª ¡ã¤¥â ¯®ª § ­® ­¨¦¥, ¯à¨­ã¤¨â¥«ì­ë¥ ᪮«ì§ï騥 à¥- ¦¨¬ë ¯®§¢®«ïîâ á­¨§¨âì çã¢á⢨⥫쭮áâì á¨áâ¥¬ë ª ¯ à - ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¨ ª®®à¤¨­ â­ë¬ ¢®§¬ã饭¨ï¬, â ª¦¥ ¤®¡¨âìáï ¨­¢ ਠ­â­®á⨠¯® ®â­®è¥­¨î ª § ¤ î饬㠢®§¤¥©á⢨î.â® á¢ï§ ­® á ⥬, çâ® " à §à뢭ë©" å à ªâ¥à ã¯à ¢«¥­¨ï á¡«¨¦ ¥â á á¨á⥬ ¬¨, ¨¬¥î騬¨ ¡¥áª®­¥ç­ë© ª®íä- ä¨æ¨¥­â ãᨫ¥­¨ï (¢ â® ¦¥ ¢à¥¬ï, á ¬® ã¯à ¢«¥­¨¥ ¢ ®áâ ¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬). ®§¤ ­¨¥ ãá⮩稢ëå ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬®¢ ¢ ¤®á⨣ ¥âáï á ¯®¬®éìî ¯¥à¥ª«î祭¨ï § ª®- ­ ã¯à ¢«¥­¨ï (®¡ëç­® { ¯ã⥬ ¨§¬¥­¥­¨ï ¥£® ¯ à ¬¥â஢) ­ ®á­®¢¥ ¨­ä®à¬ 樨 ® ⥪ã饬 á®áâ®ï­¨¨ ®¡ê¥ªâ [8, 102, 191].â®â ०¨¬ ï¥âáï ¦¥« ⥫ì­ë¬ ¤«ï ®¡¥á¯¥ç¥­¨ï ¨­¢ à¨- ­â­®á⨠á¨á⥬ë [102]. 2 à¥¡ã¥¬ë¥ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ᢮©- á⢠§ ¬ª­ã⮩ á¨áâ¥¬ë ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâáï ­ ¤«¥¦ 騬 ¢ë¡®- ஬ ¯®¢¥àå­®á⨠¯¥à¥ª«î祭¨ï, ¢¨¤ ª®â®à®© § ¤ ¥âáï ¯à¨ á¨­â¥§¥. ®«¥§­®© ®á®¡¥­­®áâìî ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬®¢ ï- ¥âáï â ª¦¥ ¢®§¬®¦­®áâì ¤¥ª®¬¯®§¨æ¨¨ § ¤ ç¨ ¯à®¥ªâ¨à®¢ - ­¨ï. ¨­â¥§ ॣã«ïâ®à à §¡¨¢ ¥âáï ­ ¤¢¥ ¡®«¥¥ ¯à®áâë¥ ¯®¤§ ¤ ç¨:

{ᮧ¤ ­¨¥ ãá⮩稢ëå ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬®¢\

{¢ë¡®à ¯®¢¥àå­®á⨠¯¥à¥ª«î祭¨ï, ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯® ª®â®à®©

®¡« ¤ ¥â ¦¥« ¥¬ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨.

ª®«ì§ï騥 ०¨¬ë ¬®£ã⠨ᯮ«ì§®¢ âìáï â ª¦¥ ¤«ï ¨¤¥­- â¨ä¨ª 樨 ¯ à ¬¥â஢ ¨ á®áâ®ï­¨ï ®¡ê¥ªâ , ¯®áâ஥­¨ï íªáâ६ «ì­ëå ¨ ¤ ¯â¨¢­ëå á¨á⥬ [5, 21, 102].

áᬮâਬ § ¤ çã áâ ¡¨«¨§ 樨 «¨­¥©­®£® áâ 樮­ à­®-

¤ ¤¨¬ (ª ª íâ® ®¡ëç­® ¤¥« ¥âáï) «¨­¥©­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¦¥- « ¥¬®© ¯®¢¥àå­®á⨠᪮«ì¦¥­¨ï

n

(x(t)) = Cx(t) X cixi(t) (12.2)

i=1

2 ¬¥â¨¬, çâ® ªà®¬¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ᢮©á⢠¨­¢ ਠ­â­®áâ¨, ¤«ï¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥, ª ª ¨ ¤«ï á¨á⥬ á ­¥®£à ­¨ç¥­­ë¬ ª®íää¨- 樥­â®¬ ãᨫ¥­¨ï ¨¬¥¥âáï ¯à®¡«¥¬ ®¡¥á¯¥ç¥­¨ï ãá⮩稢®á⨠¯à¨ ­¥- ¯®«­®© ⥪ã饩 ¨­ä®à¬ 樨 ® á®áâ®ï­¨¨ ®¡ê¥ªâ , â ª¦¥ ¢®§¬®¦­®áâì ¯®ï¢«¥­¨ï ­¥¦¥« ⥫ì­ëå ª®«¥¡ ⥫ì­ëå ¯à®æ¥áᮢ.

299

£¤¥ C = [c1 c2 : : : cn] { ¢¥ªâ®à-áâப ¯®áâ®ï­­ëå ¯ à ¬¥â஢, §­ 祭¨ï ª®â®àëå ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à¨ á¨­â¥§¥ á¨á⥬ë.

ª®«ì§ï饬ã ०¨¬ã ¢ á¨á⥬¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮦¤¥á⢮t 0 (ç¥à¥§ t ®¡®§­ 祭® §­ 祭¨¥ (x(t)) ¯à¨ ä㭪樨 x(t) 㤮¢«¥â¢®àïî饩 (12.2)).

ਠᨭ⥧¥ á ¯à¨­ã¤¨â¥«ì­® ®à£ ­¨§®¢ ­­ë¬¨ ᪮«ì- §ï騬¨ ०¨¬ ¬¨ âॡã¥âáï ®¡¥á¯¥ç¨âì ¢ë¯®«­¥­¨¥ á«¥¤ã- îé¨å ãá«®¢¨© [8, 102]:

{¯®¯ ¤ ­¨¥ ¨§®¡à ¦ î饩 â®çª¨ ­ ¯®¢¥àå­®áâì à §- àë¢ (12.2)\

{¢®§­¨ª­®¢¥­¨¥ ᪮«ì§ï饣® ०¨¬ ­ í⮩ ¯®¢¥àå­®-

áâ¨\

{ ãá⮩稢®áâì ᪮«ì§ï饣® ०¨¬ .

ª®«ì§ï騩 ०¨¬ ¢®§­¨ª ¥â, ¥á«¨ ®âª«®­¥­¨¥ ®â ¯®¢¥àå-

à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¯®¢¥àå­®á⨠᪮«ì¦¥­¨ï ¤®«¦­® ¨¬¥âì ¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮

¤®áâ â®ç­ë¬ (­® ­¥ ­¥®¡å®¤¨¬ë¬, [102]) ãá«®¢¨¥¬ ¯®¯ ¤ ­¨ï ¨§®¡à ¦ î饩 â®çª¨ ­ ¯®¢¥àå­®áâì à §àë¢ .

¢¨¦¥­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï á¨- á⥬®© ãà ¢­¥­¨© (12.1), (12.2), ª®â®àë¥ íª¢¨¢ «¥­â­ë ãà ¢- ­¥­¨î ¯®à浪 n ; 1. ª ®â¬¥ç¥­® ¢ëè¥, å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥- ᪨© ¬­®£®ç«¥­ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ᮢ¯ ¤ ¥â á ç¨á«¨â¥«¥¬ ¯¥- । â®ç­®© ä㭪樨 ®â u ª :

¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, § ¢¨á¨â ®â ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ci ¢¥ªâ®à-áâப¨ (1 n-¬ âà¨æë) C:

в¨ ª®ндд¨ж¨¥­вл ®¯а¥¤¥«повбп ¬¥в®¤ ¬¨ в¥®а¨¨ «¨­¥©- ­ле б¨бв¥¬, ¨бе®¤п ¨§ ва¥¡®¢ ­¨© гбв®©з¨¢®бв¨ ¨ ª з¥бв¢ ¯а®ж¥бб бв ¡¨«¨§ ж¨¨. ®§¬®¦­®бвм ¨б¯®«м§®¢ ­¨п б® бª®«м§пй¨¬¨ а¥¦¨¬ ¬¨ ¤«п а¥и¥­¨п § ¤ з ¤ ¯в¨¢­®£®

300

ã¯à ¢«¥­¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⥬, çâ® ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ¢ë- ¡®à¥ ¯¥à¥¬¥­­ëå á®áâ®ï­¨ï ¤¨­ ¬¨ª ¤¢¨¦¥­¨ï á¨áâ¥¬ë ¯® ¯®¢¥àå­®á⨠᪮«ì¦¥­¨ï § ¢¨á¨â ®â ¢¥ªâ®à C ­¥ ®â ¯ à - ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ (¬ âà¨æ A, B). 3

¯а ¢«пой¥¥ ¢®§¤¥©бв¢¨¥ ¤®«¦­® ¡лвм ¢л¡а ­® в ª, зв®- ¡л ®¡¥б¯¥з¨вм гбв®©з¨¢л© бª®«м§пй¨© а¥¦¨¬ ¯® § ¤ ­­®© ¯®¢¥ае­®бв¨ (£¨¯¥а¯«®бª®бв¨). ¤¥бм ¯а®п¢«п¥вбп г¯®¬п­г- в п ¤¥ª®¬¯®§¨ж¨п § ¤ з¨ б¨­в¥§ { ®¡¥б¯¥з¥­¨¥ ª з¥- бв¢ ¯а®ж¥бб®¢ ¢ б¨бв¥¬¥ (¢ бª®«м§пй¥¬ а¥¦¨¬¥) ¨ ®¡¥б¯¥- з¥­¨¥ гбв®©з¨¢®£® бª®«м§пй¥£® а¥¦¨¬ п¢«повбп а §­л¬¨ ¯®¤§ ¤ з ¬¨. ®§¬®¦­®бвм ¨е ­¥§ ¢¨б¨¬®£® а¥и¥­¨п г¯а®- й ¥в ¯а®ж¥¤гаг б¨­в¥§ .

áᬮâਬ á­ ç « ã¯à ¢«¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨- ­ 樨 ¯¥à¥¬¥­­ëå á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë [101]

¤¥áì ki+ ki; { ¯®áâ®ï­­ë¥ ª®íää¨æ¨¥­âë § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï,

®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¯à¨ ᨭ⥧¥. «ï ¨å ¢ë¡®à ¨á¯®«ì§ã¥¬ ­¥- à ¢¥­á⢮ (12.4) t t < 0: áå®¤ï ¨§ í⮣® ãá«®¢¨ï, ¯®«ã稬 [101] ­¥à ¢¥­áâ¢

£® ¨á室­®£® á®áâ®ï­¨ï. «¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ â ª®© á¨á⥬¥ § ª®­¥ç­®¥ ¢à¥¬ï ¢®§­¨ª ¥â ãáâ®©ç¨¢ë© (­¥ ¯à¥ªà é î騩áï)

3 ®ç­®¥ ã⢥ত¥­¨¥, ¯®§¢®«ïî饥 ãáâ ­®¢¨âì ª®«¨ç¥á⢥­­ë¥ á®®â- ­®è¥­¨ï áä®à¬ã«¨à®¢ ­® ­ á. 294. ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ ãà ¢­¥­¨ï ®¡ê¥ª-

â ¨¬¥îâ ¢¨¤ ã¯à ¢«ï¥¬®£® ª ­®­¨ç¥áª®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï (á¬. [3, 4, 102], ¯. 2.2.), â® ¯à¨ (x) = x ¤«ï (12.5) ¢ë¯®«­¥­® B(s) = c1 +c2s+ +cnsn;1 ¨

¤¢¨¦¥­¨¥ ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¯ à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ (12.1).

301