
Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления
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®¤®© áâ®à®ë, â ª®© ¯®¤å®¤ ®¯à ¢¤ á ¨¦¥¥à®©
26 ®¦® â ª¦¥ ᪠§ âì, çâ® ¥á«¨ ¢ ¨¤¥ «ì®¬ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ ¨§®- ¡à ¦ îé ï â®çª ᮢ¥àè ¥â ª®«¥¡ ¨ï á ¡¥áª®¥ç®© ç áâ®â®© ¨ ã«¥- ¢®© ¬¯«¨â㤮© ®â®á¨â¥«ì® ¯®¢¥àå®áâ¨ à §àë¢ , â® ¢ ॠ«ì®¬ ᪮«ì- §ï饬 ०¨¬¥ ç áâ®â ª®«¥¡ ¨© ª®¥ç , ¬¯«¨â㤠¥ à ¢ ã«î.
292

â®çª¨ §à¥¨ï. ¤à㣮© áâ®à®ë, ® ï¥âáï âà㤮¥¬ª¨¬.஬¥ ⮣®, ¥â £ à ⨨, çâ® ¯à¨ á®áâ ¢«¥¨¨ ¬®¤¥«¨ ãçâ¥- ë ¢á¥ (¨«¨ ¨¬¥® â¥, ª®â®àë¥ ¥®¡å®¤¨¬ë) ä ªâ®àë. ⨠®¡áâ®ï⥫ìá⢠¯à¥¯ïâáâ¢ãî⠯ਬ¥¥¨î 䨧¨ç¥áª®£® ¯®¤- 室 , ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¢ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å ¯à¨«®¦¥¨ïå.
ªá¨®¬ â¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ á®á⮨⠢ ¤®®¯à¥¤¥«¥¨¨ ãà ¢- ¥¨© á¨áâ¥¬ë ¯à¨ ¤¢¨¦¥¨¨ ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ¯®«ã稫¨áì ãà ¢¥¨ï á £« ¤ª®© ¯à ¢®© ç - áâìî, à¥è¥¨ï ª®â®àëå ®¯¨áë¢ «¨ ¡ë ¤¢¨¦¥¨¥ ¯® ¯®¢¥àå- ®áâ¨ à §àë¢ . ਬ¥¥¨¥ ªá¨®¬ â¨ç¥áª®£® ¯®¤å®¤ áã- é¥á⢥® ¯à®é¥, 祬 䨧¨ç¥áª®£®, ® ¯®«ãç¥ë¥ á ¯®¬®- éìî ¥£® १ã«ìâ âë 㦤 îâáï ¢ ¯à®¢¥àª¥ á â®çª¨ §à¥¨ï ᮮ⢥âá⢨ï 䨧¨ç¥áª®© ॠ«ì®áâ¨. ª ç¥á⢥ ªà¨â¥à¨ï ¤¥ª¢ â®á⨠¨®£¤ ¨á¯®«ì§ãîâ 䨧¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ [102].
á«¥¤ãîé¨å ¯ à £à ä å ªá¨®¬ â¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ à á- ᬮâॠ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡®.
11.6.2. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥
¤ ç ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¤¢¨¦¥¨© ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ à §ë- ¬¨ ¢â®à ¬¨ à áᬠâਢ ¥âáï ¢ ¥áª®«ìª® ®â«¨ç îé¨åáï ¯®- áâ ®¢ª å.
¡®«ì讬 ç¨á«¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å à ¡®â à áᬠâਢ îâáï ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ (11.49) ¨ áç¨â ¥âáï, çâ® ¥ª®â®à®© ¯®¢¥àå-
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|
¯¥¢ ¥â à §àë¢ ¯¥à¢®£® த , â.¥. 27 |
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f+(x t) |
(x t) > 0 |
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(x t) < 0: |
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f0(x t) ç⮡ë ãà ¢¥¨¥ x(t) = |
f0(x t) ®¯¨áë¢ «® ¤¢¨¦¥- |
¨¥ ¨§®¡à ¦ î饩 â®çª¨ ¯® ¯®¢¥àå®áâ¨ à §àë¢ , â.¥. ¯à¨ |
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(x t) 0 ¥ª®â®à®¬ ¢à¥¬¥®¬ |
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ë¥ áâ®à®ë ®â ¯®¢¥àå®áâ¨ à §àë¢ |
v+(x), v;(x) ¯à ¢«¥ë |
¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¥ ®¡« áâ¨, â® ¢ á¨á⥬¥ ¢®§¨ª ¥â ᪮«ì§ï- 騩 ०¨¬. ॡã¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì ¢¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®áâ¨
27 ¬¥â¨¬: íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¢¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®á⨠v(x) ¨¬¥¥â à §- ë¥ ¯à ¢«¥¨ï ¢ á®á¥¤¨å â®çª å, à §¤¥«¥ëå ¯®¢¥àå®áâìî à §àë¢
(x t) = 0:
293

v0 |
¯®¢¥àå®á⨠(x t) = 0 ¯à¨ ª®â®à®¬ ¨§®¡à ¦ îé ï |
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¤¢¨£ « áì ¡ë ¯® 㪠§ ®© ¯®¢¥àå®áâ¨. |
à ¡®â¥ [30] ¤ ¥âáï ¥áª®«ìª® ¤àã£ ï ¯®áâ ®¢ª ¤ ®© |
§ ¤ ç¨. áᬠâਢ îâáï ãà ¢¥¨ï (11.50) ¨ áç¨â ¥âáï, çâ®
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«ï â ª¨å á¨á⥬ ¢ [30] ४®¬¥¤ã¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ âì § - ¯¨áì ãà ¢¥¨© ¥«¨¥©®© ç á⨠á¨áâ¥¬ë ¢ ¢¨¤¥ ¢ª«î票©
(t) 2 '( t), £¤¥ äãªæ¨ï '( t) ¯à¨¨¬ ¥â ª®ªà¥âë¥ § - ç¥¨ï ¢¥ â®ç¥ª à §àë¢ (¨ ⮣¤ ¢ª«î票¥ ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ®¡ë箥 à ¢¥á⢮) «¨¡® ¨¬¥¥â § ç¥¨ï ¨§ ¥ª®â®à®£® ¢ë- ¯ãª«®£® ¬®¦¥á⢠, ¯à¨¬¥à ¯à®¬¥¦ã⪠[ ; +]: ®£¤ § ¤ ç ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ ᢮¤¨âáï ª ®¯à¥¤¥«¥¨î ª®ªà¥â®£® § 票ï 0(t) 2 ¯à¨ (t) = 0(t):¬¥в¨¬, зв® ¥б«¨ ¢¥агвмбп ª ¯а¥¤л¤гй¥© ¯®бв ®¢ª¥ § ¤ - з¨, в® в ª®© ¯®¤е®¤ «®£¨з¥ ¨б¯®«м§®¢ ¨о ¢¬¥бв® ¤¨д- д¥а¥ж¨ «м®£® га ¢¥¨п (11.49)
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à ¡®â¥ [102] à áᬠâਢ îâáï ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ (11.51),
¯à¨ç¥¬ áç¨â ¥âáï, çâ® ã¯à ¢«ïî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥ ¨¬¥¥â à §- àë¢ ¯®¢¥àå®á⨠(x t) = 0 â.¥.
u(t) = u+(x t) (x t) > 0 u;(x t) (x t) < 0
ॡã¥âáï ©â¨ â ª®¥ ¥¯à¥à뢮¥ ã¯à ¢«¥¨¥ ueq(t) ( §ë- ¢ ¥¬®¥ "íª¢¨¢ «¥âë¬"), ª®â®à®¥ ®â¢¥ç «® ¡ë ¤¢¨¦¥¨î á¨- áâ¥¬ë ¯® ¯®¢¥àå®áâ¨ à §àë¢ (x t) = 0:
áᬮâਬ ⥯¥àì ¥ª®â®àë¥ ¬¥â®¤ë ®¯à¥¤¥«¥¨ï à¥è¥-
¨© á¨á⥬ á à §à뢮© ¯à ¢®© ç áâìî.
¤¨¬ ¨§ ¨¡®«¥¥ ¨§¢¥áâëå ¬¥â®¤®¢ ®¯à¥¤¥«¥¨ï à¥è¥- ¨© à §àë¢ëå á¨á⥬ ï¥âáï ¬¥â®¤ . . ¨«¨¯¯®¢ .
н⮬ ¬¥в®¤¥ ¨б¯®«м§говбп га ¢¥¨п ¢¨¤ (11.49). «п ®¯а¥¤¥«¥¨п ¯®«п д §®¢ле бª®а®бв¥© ¯®¢¥ае®бв¨ а §ал- ¢ ¢ б®®в¢¥вбв¢¨¨ б ®¯а¥¤¥«¥¨¥¬ ¨«¨¯¯®¢ б«¥¤г¥в ¯®бва®-
¨âì ®â१®ª, ᮥ¤¨ïî騩 ª®æë ¢¥ªâ®à®¢ v+(x) ¨ v;(x) ¤«ï ¤ ®© â®çª¨ ¯®¢¥àå®áâ¨ à §àë¢ ¨ ¯à®¢¥á⨠¨§ â®çª¨ x ¢¥ªâ®à v0(x) ¢ â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ¤ ®£® ®â१ª á ª á ⥫ì-
294

®© ¯«®áª®áâìî. 28 ®«ãç¥ë© ¢¥ªâ®à ¨ ï¥âáï ¨áª®¬ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ä §®¢®© ᪮à®á⨠¯®¢¥àå®áâ¨ à §àë¢ .
ª ¯®ª § ® ¢ [30], ®¯à¥¤¥«¥¨î ¨«¨¯¯®¢ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬¨¨¬ «ì® ¢®§¬®¦®¥ ¬®¦¥á⢮ '( t) ¨§ ¢б¥е ¤®¯гбв¨¬ле, ¯®н⮬㠤«п ¤ ®£® ¬¥в®¤ з й¥, з¥¬ ¤«п ¤аг£¨е, ¨¬¥¥вбп ¥¤¨бв¢¥®бвм а¥и¥¨©. ¤ ª®, ª ª ®в¬¥з¥® в ¬ ¦¥, ¨¬¥- ¥вбп ¬®£® б«гз ¥¢, ª®£¤ д¨§¨з¥бª¨ ®б¬лб«¥л¥ а¥и¥¨п ¥ п¢«повбп а¥и¥¨п¬¨ ¢ б¬лб«¥ ¨«¨¯¯®¢ .
®£« á® à ¡®â¥ [30], à¥è¥¨ï à §àë¢ëå á¨á⥬ ¤®«¦ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ãà ¢¥¨ï¬ ¢¨¤ (11.50), £¤¥ ãà ¢¥¨ï ¥«¨- ¥©ëå ¡«®ª®¢ ¯®¨¬ îâáï ª ª ¢ª«î票ï, â.¥. ¢ë¯®«¥®
x(t) = Ax(t) + B (t)
(t) 2 '(Cx(t) t):
¥ªâ®à-äãªæ¨ï (t) §ë¢ ¥âáï ⮣¤ ¤®®¯à¥¤¥«¥®© ¥«¨- ¥©®áâìî. ¦¤®¬ã à¥è¥¨î x(t) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¢®ï ¤®- ®¯à¥¤¥«¥ ï ¥«¨¥©®áâì. ਠdet BT B 6= 0 (t) ¬®¦® ¯®- «ãç¨âì ¨§ ãà ¢¥¨© á¨áâ¥¬ë ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥- ®, ª ª
(t) = BT B ;1 B (x(t) ; Ax(t)) :
ª¨¬ ®¡à §®¬, ᮣ« á® [30], ¥®¤®§ ç ï ¥«¨¥© ï äãª- æ¨ï '( ) ¢ (11.50) ¯à¨¨¬ ¥â ª®ªà¥âë¥ (¨ à §«¨çë¥ ¢ à §- ë¥ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨) § 票ï ᮣ« á® ¯®¢¥¤¥¨î «¨¥©- ®© ç á⨠á¨á⥬ë.
«¥¥ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì á¨á⥬ë, ã ª®â®àëå
dim (t) = dim (t) = m ¨ i-ï ª®¬¯®¥â ¢¥ªâ®à ' § ¢¨á¨â ®â i-© ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à : 'i = 'i( i):
«п в®£® зв®¡л ®¯а¥¤¥«¨вм, ª ª ¢¥¤¥в б¥¡п а¥и¥¨¥ ¢ бª®«м§пй¥¬ а¥¦¨¬¥, ¤® ¯а¨пвм, зв® ¯® гб«®¢¨о ¤®«¦® ¢л¯®«пвмбп а ¢¥бв¢® (t) = 0(t): ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «¨- ¥©®© ç á⨠¬®¦® § ¯¨á âì á¨á⥬㠫£¥¡à®-¤¨ää¥à¥æ¨- «ìëå ãà ¢¥¨©
x(t) = Ax(t) + B (t) Cx(t) = 0(t)
28 ¤ ®¬ ¨§«®¦¥¨¨ ¤ ¥âáï £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ¨â¥à¯à¥â æ¨ï ¬¥â®¤¨«¨¯¯®¢ , ª®â®àë© ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¨ «¨â¨ç¥áª¨¬¨ á®®â®- 襨ﬨ. ஬¥ ⮣®, §¤¥áì à áᬠâਢ ¥âáï ç áâë© ¢¨¤ äãªæ¨¨ f( ) ¨ ¯®¢¥àå®áâì à §àë¢ áç¨â ¥âáï £« ¤ª®© [30, 102].
295

£¤¥ 0(t) { § ¤ ï äãªæ¨ï ¢à¥¬¥¨. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥ í⮩ á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤
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B |
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; C (sIn ;A);1B : 29 ®- |
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᪮«ìªã ¯®«ã祮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¥áâì ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ å à ªâ¥- |
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à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬®£®ç«¥ «¨¥©®© ç |
;á⨠á¨áâ¥¬ë ®¯à¥- |
¤¥«¨â¥«ì ¥¥ ¯¥à¥¤ â®ç®© ¬ âà¨æë, â® ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãî騩 à¥- §ã«ìâ â.
à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ¤¨ää¥- à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ®¯¨áë¢ îé¨å ¯®«ë© (â.¥. ¤«ï ¢á¥å
ª®¬¯®¥â ¢¥ªâ®à (t)) ᪮«ì§ï騩 ०¨¬ á¨á⥬ë (11.50), á â®ç®áâìî ¤® § ª ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ å à ªâ¥à¨- áâ¨ç¥áª®£® ¬®£®ç«¥ «¨¥©®© ç á⨠á¨áâ¥¬ë ®¯à¥¤¥- «¨â¥«ì ¥¥ ¯¥à¥¤ â®ç®© ¬ âà¨æë [30].
«ï á¨á⥬ á ®¤®© ᪠«ïன ¥«¨¥©®áâìî å à ªâ¥à¨- áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥ ᪮«ì§ï饣® ०¨¬ á â®ç®áâìî ¤®
§ ª ᮢ¯ ¤ ¥â á ç¨á«¨â¥«¥¬ ¯¥à¥¤ â®ç®© äãªæ¨¨ (¢ á«ã- ç ¥ ¢ë஦¤¥®á⨠ª®â®à®© ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® á⥯¥ì § - ¬¥ ⥫ï à ¢ ¯®à浪ã ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï á¨á⥬ë, á®- ªà 饨© ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥®).
áᬮâਬ ⥯¥àì ¨§«®¦¥ë© ¢ [102] ¬¥â®¤ íª¢¨¢ «¥- ⮣® ã¯à ¢«¥¨ï. ¤ ®¬ ¬¥в®¤¥ ¨б¯®«м§говбп га ¢¥¨п
¢¨¤ (11.51). ।¯®« £ ï «¨ç¨¥ ¢ á¨á⥬¥ ᪮«ì§ï饣® à¥- ¦¨¬ ¯® ¯®¢¥àå®á⨠(x)=0 ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ ¯à®¨§¢®¤ ï ¯® ¢à¥¬¥¨ ®â (x(t)) ¢ б¨«г б¨бв¥¬л (11.51) ¤®«¦ а ¢пвмбп г«о. ª ª ª нв ¯а®¨§¢®¤ п § ¢¨б¨в ®в г¯а ¢«¥¨п, в® ¬®- ¦¥¬ ©в¨ б®®в¢¥вбв¢гой¥¥ íª¢¨¢ «¥â®¥ ã¯à ¢«¥¨¥ ueq (t) ¨§ ãà ¢¥¨ï (t) = 0: ©¤¥®¥ ã¯à ¢«¥¨¥ ¯®¤áâ ¢«ï¥âáï
¢ ãà ¢¥¨ï (11.51), ª®â®àë¥ à¥è îâáï ᮢ¬¥áâ® á ãà ¢¥- ¨¥¬ ᪮«ì§ï饣® ०¨¬ (x(t)) = 0: ª ¨ ¢ëè¥, ¯®«ãç -
¥¬ á¨á⥬ã |
«£¥¡à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ª®â®à ï |
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|
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29 ¥¬¬®© ãà §ë¢ îâáï á«¥¤ãî騥 ⮦¤¥á⢠: |
|||
¯à¨ det A 6= 0 det CA |
DB = det A det(D ; CA;1B) |
||
¯à¨ |
det D 6= 0 det CA |
DB = det D det(A ; BD;1C) [30]: |
|
|
|
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296 |

¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤
x(t) = (x(t) ueq (t) t) (x(t)) = 0:
áᬮâਬ ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡® ¯à¨¬¥¥¨¥ ¬¥â®¤ íª¢¨¢ - «¥â®£® ã¯à ¢«¥¨ï ¤«ï á¨áâ¥¬ë ¢¨¤ (11.50), ¯®« £ ï0(t) 0: à ¢¨¢ ï (11.50) ¨ (11.51), ¯®«ã稬
x(t) = Ax(t) + Bu(t) (t) = Cx(t):
ëç¨á«ïï (t) 室¨¬, çâ® (t) = C Ax(t)+Bu(t) ®âªã¤ ¯®
¬¥â®¤ã íª¢¨¢ «¥â®£® ã¯à ¢«¥¨ï ueq(t) = |
; |
(CB);1 CAx(t) |
|
|
|
; |
|
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(¯®« £ ¥¬ det CB = 0): âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬㠫£¥¡à®- |
|
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¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© |
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|
x(t) = ;A ; B(CB);1 CA x(t) Cx(t) = 0: |
|
|||
¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¤ ï á¨á⥬ ¨¬¥¥â å à ªâ¥à¨- |
|
|||
áâ¨ç¥áª¨© ¬®£®ç«¥ D(s) = det(sIn ;A) det |
;C(sIn ;A);1B |
|
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ᮢ¯ ¤ î騩 á ¯®«ãç¥ë¬ ¢ëè¥ ¯® ¬¥â®¤ã;à ¡®âë [30] ¬®- |
|
|||
£®ç«¥®¬. |
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|
|
|
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ç áâ® à §ë¥ á¯®á®¡ë ®¯à¥- |
|
¤¥«¥¨ï ¤¢¨¦¥¨© ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ ¯à¨¢®¤ïâ ª ®¤¨ - ª®¢ë¬ १ã«ìâ â ¬. ®«¥¥ ¯®¤à®¡ë¥ ᢥ¤¥¨ï ¨¬¥îâáï ¢ à ¡®â å [30, 102].
â®«ì ¡®«ì讥 ¢¨¬ ¨¥ ª ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯®¢¥¤¥¨ï á¨á⥬ ¢ ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬ å á¢ï§ ® ¥ ⮫쪮 á® áâ६«¥¨¥¬ ª
¯®«®â¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢ ⥮ਨ á¨á⥬ ¨«¨ á ¯®- ¥¨¥¬ à §àë¢ëå § ¢¨á¨¬®á⥩ ¯à¨ ®¯¨á ¨¨ ¥ª®â®àëå 䨧¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ. ª ®â¬¥ç¥® ¢ëè¥, ¨¬¥¥âáï æ¥«ë© ª« áá á¨á⥬ á ¨áªãáá⢥® ¢¢¥¤¥®© ¥«¨¥©®áâìî, ª®- â®àë¥ à ¡®â îâ ¢ ¯à¨ã¤¨â¥«ì® ¢®§¡ã¦¤¥®¬ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ { á¨á⥬ë á ¯¥à¥¬¥®© áâàãªâãன ( ) ᮠ᪮«ì- §ï騬¨ ०¨¬ ¬¨ [8, 21, 101, 102, 191]. ¢¥¤¥¨ï ® ¯®áâ஥¨¨ ¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ â ª¨å á¨á⥬ ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ ¯. 12.1.
297

12.
áâ®ï饩 £« ¢¥ ¨§«®¦¥ë ®á®¢ë ¤¢ãå ¢¥áì¬ ¯«®¤®â¢®à- ëå ¯®¤å®¤®¢ ª á¨â¥§ã ¥«¨¥©ëå á¨á⥬ ã¯à ¢«¥¨ï: á¨- á⥬ á ¯¥à¥¬¥®© áâàãªâãன ¨ ¤ ¯â¨¢ëå á¨á⥬. ¡ ¯®¤å®¤ ¯®§¢®«ïîâ á¨â¥§¨à®¢ âì ॣã«ïâ®àë ¯à¨ ¥¯®«®© ¯à¨®à®© ¨ä®à¬ 樨 ® ¯ à ¬¥âà å ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥¨ï.த¥¬®áâà¨à®¢ ¢®§¬®¦®áâì ¯à¨¬¥¥¨ï ®¡®¨å ¯®¤å®- ¤®¢ ¢ ãá«®¢¨ïå ¥¯®«®âë ¨§¬¥à¥¨©, â ª¦¥ ¨å ᮢ¬¥á⮣® ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï.
12.1.¨á⥬ë á ¯¥à¥¬¥®© áâàãªâãன ¢ § ¤ ç¥ ã¯à - ¢«¥¨ï
«ï ã¯à ¢«¥¨ï ¢ ãá«®¢¨ïå ¥¯®«®© ¨ä®à¬ 樨 ® ¯ à ¬¥- âà å ®¡ê¥ªâ ¬®£ãâ ®ª § âìáï íä䥪⨢묨 â ª §ë¢ ¥¬ë¥
á¨á⥬ë á ¯¥à¥¬¥®© áâàãªâãன ( ) [8, 9, 40, 102, 191].ᮢ ï ¨¤¥ï ¯®áâ஥¨ï á®á⮨⠢ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¯¥- ४«îç îé¨åáï § ª®®¢ ã¯à ¢«¥¨ï (ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 à §- «¨çë¬ áâàãªâãà ¬ § ¬ªã⮩ á¨á⥬ë) [40, 102]. ¥à¥ª«î- 票¥ ¯à®¨á室¨â ®á®¢¥ ⥪ã饩 ¨ä®à¬ 樨 ® á®áâ®ï- ¨¨ ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥¨ï ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¢ë¡à ®© äãª-
樥© ¯¥à¥ª«î票ï.
®§¬®¦ë à §«¨çë¥ á¯®á®¡ë ¯®áâ஥¨ï . ¨¡®- «¥¥ 㨢¥àá «ìë¬ ¨ à §à ¡®â ë¬ ¬¥â®¤®¬ ï¥âáï ¯à¨- 㤨⥫ì ï ®à£ ¨§ æ¨ï ¢ § ¬ªã⮩ á¨á⥬¥ ᪮«ì§ïé¨å à¥- ¦¨¬®¢, ¯à¨ ª®â®àëå ¨§®¡à ¦ îé ï â®çª ¢ ¯à®áâà á⢥ á®áâ®ï¨© á¨áâ¥¬ë ¤¢¨¦¥âáï ¯® ¢ë¡à ®© ¯®¢¥àå®áâ¨. íâã ¯®¢¥àå®áâì â®çª ¯®¯ ¤ ¥â § ª®¥ç®¥ ¢à¥¬ï ¯®á«¥ - ç « ¯¥à¥å®¤®£® ¯à®æ¥áá [101, 102], § ⥬ ®áâ ¥âáï ¥© ¥®£à ¨ç¥® ¤®«£® (¨«¨ ¢ â¥ç¥¨¥ ª®¥ç®£® ¯à®¬¥¦ã⪠¢à¥¬¥¨). १ã«ìâ â¥, ¯®¢¥¤¥¨¥ § ¬ªã⮩ á¨áâ¥¬ë ¬ «® § ¢¨á¨â (¨«¨ ᮢᥬ ¥ § ¢¨á¨â) ®â ¯ à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ ã¯à - ¢«¥¨ï, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ë¡à ë¬ ¯à¨ á¨â¥§¥ ॣã«ïâ®à ãà ¢¥¨¥¬ ¯®¢¥àå®á⨠¯¥à¥ª«î票©. 1
1 «¥¤ã¥â ¨¬¥âì ¢ ¢¨¤ã, çâ® ¤ ®¥ ã⢥ত¥¨¥ ®â®á¨âáï ¨¬¥® ª ãáâ ®¢¨¢è¥¬ãáï ᪮«ì§ï饬ã ०¨¬ã. à ¥ªâ®à¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¢¥ í⮣® ०¨¬ § ¢¨á¨â ®â ᢮©á⢠®¡ê¥ªâ . ãé¥áâ¢¥ë¬ ï¢«ï¥âáï ¢®§¨ª®- ¢¥¨¥ ãá⮩稢®£® ᪮«ì§ï饣® ०¨¬ § ª®¥ç®¥ ¢à¥¬ï.
298

ª ¡ã¤¥â ¯®ª § ® ¨¦¥, ¯à¨ã¤¨â¥«ìë¥ áª®«ì§ï騥 à¥- ¦¨¬ë ¯®§¢®«ïîâ ᨧ¨âì çã¢á⢨⥫ì®áâì á¨áâ¥¬ë ª ¯ à - ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¨ ª®®à¤¨ âë¬ ¢®§¬ã饨ï¬, â ª¦¥ ¤®¡¨âìáï ¨¢ ਠâ®á⨠¯® ®â®è¥¨î ª § ¤ î饬㠢®§¤¥©á⢨î.â® á¢ï§ ® á ⥬, çâ® " à §àë¢ë©" å à ªâ¥à ã¯à ¢«¥¨ï á¡«¨¦ ¥â á á¨á⥬ ¬¨, ¨¬¥î騬¨ ¡¥áª®¥çë© ª®íä- ä¨æ¨¥â ãᨫ¥¨ï (¢ â® ¦¥ ¢à¥¬ï, á ¬® ã¯à ¢«¥¨¥ ¢ ®áâ ¥âáï ®£à ¨ç¥ë¬). ®§¤ ¨¥ ãá⮩稢ëå ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬®¢ ¢ ¤®á⨣ ¥âáï á ¯®¬®éìî ¯¥à¥ª«îç¥¨ï § ª®- ã¯à ¢«¥¨ï (®¡ëç® { ¯ã⥬ ¨§¬¥¥¨ï ¥£® ¯ à ¬¥â஢) ®á®¢¥ ¨ä®à¬ 樨 ® ⥪ã饬 á®áâ®ï¨¨ ®¡ê¥ªâ [8, 102, 191].â®â ०¨¬ ï¥âáï ¦¥« ⥫ìë¬ ¤«ï ®¡¥á¯¥ç¥¨ï ¨¢ à¨- â®á⨠á¨á⥬ë [102]. 2 à¥¡ã¥¬ë¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ᢮©- á⢠§ ¬ªã⮩ á¨áâ¥¬ë ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâáï ¤«¥¦ 騬 ¢ë¡®- ஬ ¯®¢¥àå®á⨠¯¥à¥ª«î票ï, ¢¨¤ ª®â®à®© § ¤ ¥âáï ¯à¨ á¨â¥§¥. ®«¥§®© ®á®¡¥®áâìî ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬®¢ ï- ¥âáï â ª¦¥ ¢®§¬®¦®áâì ¤¥ª®¬¯®§¨æ¨¨ § ¤ ç¨ ¯à®¥ªâ¨à®¢ - ¨ï. ¨â¥§ ॣã«ïâ®à à §¡¨¢ ¥âáï ¤¢¥ ¡®«¥¥ ¯à®áâë¥ ¯®¤§ ¤ ç¨:
{ᮧ¤ ¨¥ ãá⮩稢ëå ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬®¢\
{¢ë¡®à ¯®¢¥àå®á⨠¯¥à¥ª«î票ï, ¤¢¨¦¥¨¥ ¯® ª®â®à®©
®¡« ¤ ¥â ¦¥« ¥¬ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨.
ª®«ì§ï騥 ०¨¬ë ¬®£ã⠨ᯮ«ì§®¢ âìáï â ª¦¥ ¤«ï ¨¤¥- â¨ä¨ª 樨 ¯ à ¬¥â஢ ¨ á®áâ®ï¨ï ®¡ê¥ªâ , ¯®áâ஥¨ï íªáâ६ «ìëå ¨ ¤ ¯â¨¢ëå á¨á⥬ [5, 21, 102].
áᬮâਬ § ¤ çã áâ ¡¨«¨§ 樨 «¨¥©®£® áâ 樮 à®-
£® ®¡ê¥ªâ ᮠ᪠«ïàë¬ ã¯à ¢«¥¨¥¬. ¨ ¬¨ª |
®¡ê¥ªâ |
||||
§ ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ |
|
|
|
|
|
x(t) = Ax(t) + Bu(t) x(t) |
2R |
n |
u(t) |
: |
(12.1) |
|
|
|
2R |
|
¤ ¤¨¬ (ª ª íâ® ®¡ëç® ¤¥« ¥âáï) «¨¥©®¥ ãà ¢¥¨¥ ¦¥- « ¥¬®© ¯®¢¥àå®á⨠᪮«ì¦¥¨ï
n
(x(t)) = Cx(t) X cixi(t) (12.2)
i=1
2 ¬¥â¨¬, çâ® ªà®¬¥ ¯®«®¦¨â¥«ì®£® ᢮©á⢠¨¢ ਠâ®áâ¨, ¤«ï¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥, ª ª ¨ ¤«ï á¨á⥬ á ¥®£à ¨ç¥ë¬ ª®íää¨- 樥⮬ ãᨫ¥¨ï ¨¬¥¥âáï ¯à®¡«¥¬ ®¡¥á¯¥ç¥¨ï ãá⮩稢®á⨠¯à¨ ¥- ¯®«®© ⥪ã饩 ¨ä®à¬ 樨 ® á®áâ®ï¨¨ ®¡ê¥ªâ , â ª¦¥ ¢®§¬®¦®áâì ¯®ï¢«¥¨ï ¥¦¥« ⥫ìëå ª®«¥¡ ⥫ìëå ¯à®æ¥áᮢ.
299

£¤¥ C = [c1 c2 : : : cn] { ¢¥ªâ®à-áâப ¯®áâ®ïëå ¯ à ¬¥â஢, § ç¥¨ï ª®â®àëå ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à¨ á¨â¥§¥ á¨á⥬ë.
ª®«ì§ï饬ã ०¨¬ã ¢ á¨á⥬¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⮦¤¥á⢮t 0 (ç¥à¥§ t ®¡®§ 祮 § 票¥ (x(t)) ¯à¨ äãªæ¨¨ x(t) 㤮¢«¥â¢®àïî饩 (12.2)).
ਠá¨â¥§¥ á ¯à¨ã¤¨â¥«ì® ®à£ ¨§®¢ 묨 ᪮«ì- §ï騬¨ ०¨¬ ¬¨ âॡã¥âáï ®¡¥á¯¥ç¨âì ¢ë¯®«¥¨¥ á«¥¤ã- îé¨å ãá«®¢¨© [8, 102]:
{¯®¯ ¤ ¨¥ ¨§®¡à ¦ î饩 â®çª¨ ¯®¢¥àå®áâì à §- àë¢ (12.2)\
{¢®§¨ª®¢¥¨¥ ᪮«ì§ï饣® ०¨¬ í⮩ ¯®¢¥àå®-
áâ¨\
{ ãá⮩稢®áâì ᪮«ì§ï饣® ०¨¬ .
ª®«ì§ï騩 ०¨¬ ¢®§¨ª ¥â, ¥á«¨ ®âª«®¥¨¥ ®â ¯®¢¥àå-
®á⨠t ¨ ᪮à®áâì ¥£® ¨§¬¥¥¨ï t ¨¬¥îâ à §ë¥ § ª¨, |
||
â.¥. |
|
|
lim > 0 |
lim < 0: |
(12.3) |
!;0 |
!+0 |
|
à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¯®¢¥àå®á⨠᪮«ì¦¥¨ï ¤®«¦® ¨¬¥âì ¬¥áâ® ¥à ¢¥á⢮
(x(t) t) (t) < 0: |
(12.4) |
믮«¥¨¥ í⮣® ¥à ¢¥á⢠¤«ï ¢á¥å x 2 X t2R ï¥âáï |
¤®áâ â®çë¬ (® ¥ ¥®¡å®¤¨¬ë¬, [102]) ãá«®¢¨¥¬ ¯®¯ ¤ ¨ï ¨§®¡à ¦ î饩 â®çª¨ ¯®¢¥àå®áâì à §àë¢ .
¢¨¦¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï á¨- á⥬®© ãà ¢¥¨© (12.1), (12.2), ª®â®àë¥ íª¢¨¢ «¥âë ãà ¢- ¥¨î ¯®à浪 n ; 1. ª ®â¬¥ç¥® ¢ëè¥, å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥- ᪨© ¬®£®ç«¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï ᮢ¯ ¤ ¥â á ç¨á«¨â¥«¥¬ ¯¥- । â®ç®© äãªæ¨¨ ®â u ª :
;1 |
B(s) |
|
W(s) = (sIn ; A) |
B = A(s) |
(12.5) |
¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, § ¢¨á¨â ®â ª®íää¨æ¨¥â®¢ ci ¢¥ªâ®à-áâப¨ (1 n-¬ âà¨æë) C:
в¨ ª®ндд¨ж¨¥вл ®¯а¥¤¥«повбп ¬¥в®¤ ¬¨ в¥®а¨¨ «¨¥©- ле б¨бв¥¬, ¨бе®¤п ¨§ ва¥¡®¢ ¨© гбв®©з¨¢®бв¨ ¨ ª з¥бв¢ ¯а®ж¥бб бв ¡¨«¨§ ж¨¨. ®§¬®¦®бвм ¨б¯®«м§®¢ ¨п б® бª®«м§пй¨¬¨ а¥¦¨¬ ¬¨ ¤«п а¥и¥¨п § ¤ з ¤ ¯в¨¢®£®
300

ã¯à ¢«¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⥬, çâ® ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ¢ë- ¡®à¥ ¯¥à¥¬¥ëå á®áâ®ï¨ï ¤¨ ¬¨ª ¤¢¨¦¥¨ï á¨áâ¥¬ë ¯® ¯®¢¥àå®á⨠᪮«ì¦¥¨ï § ¢¨á¨â ®â ¢¥ªâ®à C ¥ ®â ¯ à - ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ (¬ âà¨æ A, B). 3
¯а ¢«пой¥¥ ¢®§¤¥©бв¢¨¥ ¤®«¦® ¡лвм ¢л¡а ® в ª, зв®- ¡л ®¡¥б¯¥з¨вм гбв®©з¨¢л© бª®«м§пй¨© а¥¦¨¬ ¯® § ¤ ®© ¯®¢¥ае®бв¨ (£¨¯¥а¯«®бª®бв¨). ¤¥бм ¯а®п¢«п¥вбп г¯®¬пг- в п ¤¥ª®¬¯®§¨ж¨п § ¤ з¨ б¨в¥§ { ®¡¥б¯¥з¥¨¥ ª з¥- бв¢ ¯а®ж¥бб®¢ ¢ б¨бв¥¬¥ (¢ бª®«м§пй¥¬ а¥¦¨¬¥) ¨ ®¡¥б¯¥- з¥¨¥ гбв®©з¨¢®£® бª®«м§пй¥£® а¥¦¨¬ п¢«повбп а §л¬¨ ¯®¤§ ¤ з ¬¨. ®§¬®¦®бвм ¨е ¥§ ¢¨б¨¬®£® а¥и¥¨п г¯а®- й ¥в ¯а®ж¥¤гаг б¨в¥§ .
áᬮâਬ á ç « ã¯à ¢«¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ «¨¥©®© ª®¬¡¨- 樨 ¯¥à¥¬¥ëå á®áâ®ï¨ï á¨á⥬ë [101]
|
|
n |
|
|
|
|
u(t) = ; |
X |
ki(x(t))xi(t) |
(12.6) |
|||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
£¤¥ ª®íää¨æ¨¥âë ॣã«ïâ®à ¯à¥â¥à¯¥¢ îâ à §àë¢ |
¯®- |
|||||
¢¥àå®á⨠(x) = 0 ¨ ®¯а¥¤¥«повбп ¢ла ¦¥¨¥¬ |
|
|||||
k+ |
¥á«¨ |
x |
|
(x) > 0 |
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
ki(x) = ki; |
¥á«¨ |
xi (x) < 0 |
i = 1 2 : : : n: |
(12.7) |
||
(x) = x: |
|
|
|
|
|
|
¤¥áì ki+ ki; { ¯®áâ®ïë¥ ª®íää¨æ¨¥âë § ª® ã¯à ¢«¥¨ï,
®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¯à¨ á¨â¥§¥. «ï ¨å ¢ë¡®à ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¥- à ¢¥á⢮ (12.4) t t < 0: áå®¤ï ¨§ í⮣® ãá«®¢¨ï, ¯®«ã稬 [101] ¥à ¢¥áâ¢
(sign ( B)) ki+ > B ;1 ai |
(12.8) |
||||
(sign ( B)) ki; < j Bj;1 |
ai i = 1 2 : : : n |
||||
|
|||||
j |
j |
|
|
|
|
£¤¥ ai { á⮫¡æë ¬ âà¨æë |
|
|
|
|
|
A = a1 a2 : : : an : ⨠¦¥ ãá«®¢¨ï |
|||||
¤®áâ â®çë ¨ ¤«ï ¯®¯ ¤ ¨ï |
¯«®áª®áâì x = 0 ¨§ «î¡®- |
||||
|
|
|
|
|
£® ¨á室®£® á®áâ®ï¨ï. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ â ª®© á¨á⥬¥ § ª®¥ç®¥ ¢à¥¬ï ¢®§¨ª ¥â ãáâ®©ç¨¢ë© (¥ ¯à¥ªà é î騩áï)
3 ®ç®¥ ã⢥ত¥¨¥, ¯®§¢®«ïî饥 ãáâ ®¢¨âì ª®«¨ç¥áâ¢¥ë¥ á®®â- ®è¥¨ï áä®à¬ã«¨à®¢ ® á. 294. ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ ãà ¢¥¨ï ®¡ê¥ª-
â ¨¬¥îâ ¢¨¤ ã¯à ¢«ï¥¬®£® ª ®¨ç¥áª®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï (á¬. [3, 4, 102], ¯. 2.2.), â® ¯à¨ (x) = x ¤«ï (12.5) ¢ë¯®«¥® B(s) = c1 +c2s+ +cnsn;1 ¨
¤¢¨¦¥¨¥ ¢ ᪮«ì§ï饬 ०¨¬¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯ à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ (12.1).
301