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Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

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ª¨¬ ®¡à §®¬, § ¬ëª ­¨¥ ã¯à ¢«ï¥¬®© á¨áâ¥¬ë ®¡à â- ­®© á¢ï§ìî ¯® á®áâ®ï­¨î u(t) = Kx(t) ¯à¨ «î¡®© ¬ âà¨æ¥ K ¯à¨¢®¤¨â â ª¦¥ ª ã¯à ¢«ï¥¬®© á¨á⥬¥.

9. ᫨ ¯ à

(A B) ã¯à ¢«ï¥¬ ¨ si { ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ᮡ-

á⢥­­®¥ ç¨á«® ¬ âà¨æë A, â® ¤¥ä¥ªâ d ¬ âà¨æë siIn

;

A ­¥

¯à¥¢®á室¨â à ­£

¬ âà¨æë B [30]. 6

 

ç áâ­®áâ¨, ¥á«¨ m = 1 (¨«¨ ¥á«¨ ¯à¨ m > 1 rankB = 1) в® ¤®«¦­® ¢л¯®«­пвмбп d = 1 â.¥. ¨§ ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠¯ àë (A B) á«¥¤ã¥â, çâ® ª ¦¤®¬ã ᮡá⢥­­®¬ã §­ 祭¨î si ®â- ¢¥ç ¥â «¨èì ®¤­ ª«¥âª ª ­®­¨ç¥áª®© ¦®à¤ ­®¢®© ä®à¬ë

¬âà¨æë A:

10.«ï «î¡ëå t1 > t0 ¬ âà¨æ

t1

 

 

T

T

 

 

 

 

W(t0 t1) = tZ0

eA BB

 

eA d

(7.3)

­ §ë¢ ¥¬ ï £à ¬¨ ­®¬ ã¯à ¢«ï¥¬®áâ¨, ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¯à¥- ¤¥«¥­ .

«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¯à¥¤¯®«®¦¨¬, ç⮠㪠§ ­­®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«­¥­® [30], W(t0 t1)=W(t0 t1 )T > 0 ¤«ï ¢á¥å t1 >t0: ¯à ¢- «¥­¨¥, u[t0 t1] ¯¥à¥¢®¤ï饥 á¨á⥬㠨§ á®áâ®ï­¨ï x(t0) = x0 ¢

á®áâ®ï­¨¥ x(t1) = x1 ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ u(t) = BT eAT (t1;t)C £¤¥ C { ­¥ª®â®àë© ¯®áâ®ï­­ë© n-¬¥à­ë© ¢¥ªâ®à. ®£« á­®

ä®à¬ã«¥ ®è¨ (6.9, á. 130) ¨ ¢ ᨫã áâ 樮­ à­®á⨠á¨á⥬ë

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

eA(t1;t0)

=

 

tt01 eA(t1; )BBT eAT (t0; )d ¨«¨ x2

;

eA =

W

( )

£¤¥;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= t1 ; t0

> 0

W( ) = W(0 ) = Z0

eA BB

 

eA d :

 

® ãá«®¢¨î

W

( ) > 0 á«¥¤®¢ ⥫쭮, det

W

( ) = 0 ¨ ¯®í⮬ã

C =

W( )

;1

 

A

x0

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

x1

; e

: ª®­ç ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥­¨¥

¤«ï ã¯à ¢«¥;­¨ï

 

 

;x1 ; eA x0

:

 

 

 

 

 

 

 

u(t) = BT eAT (t1;t)W( );1

 

 

 

(7.4)

©¤¥­­®¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ã¯à ¢«¥­¨¥ à¥è ¥â § ¤ çã ¯¥à¥-

¢®¤

¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬®© á¨áâ¥¬ë ¨§ «î¡®£® ­ ç «ì­®£®

6 ¥ä¥ªâ®¬ ¬ âà¨æë ­ §ë¢ ¥âáï à §­®áâì ¬¥¦¤ã ¥¥ ¯®à浪®¬ ¨ à ­- £®¬. ¥ä¥ªâ ¬ âà¨æë siIn ; A à ¢¥­ ç¨á«ã ¦®à¤ ­®¢ëå ª«¥â®ª ¢ ª ­®­¨- ç¥áª®© ä®à¬¥ ¬ âà¨æë A ®â¢¥ç îé¨å ᮡá⢥­­®¬ã §­ 祭¨î si.

172

á®áâ®ï­¨ï x(t0) = x0 ¢ «î¡®¥ § ¤ ­­®¥ x(t1) = x1 § 㪠§ ­- ­ë© ¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥­¨ = t1 ; t0 ¤«ï ¢á¥å t1 > t0\ á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯ à (A B) ã¯à ¢«ï¥¬ .

¬¥â¨¬, çâ® §¤¥áì ¯à¨¢¥¤¥­® ⮫쪮 ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤®- áâ â®ç­®á⨠¯®«®¦¨â¥«ì­®© ®¯à¥¤¥«¥­­®á⨠W(t0 t1) ¤«ï ¯®«- ­®© ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠á¨á⥬ë. ¥®¡å®¤¨¬®áâì í⮣® ãá«®¢¨ï, ­ àï¤ã á ¤à㣨¬¨ ªà¨â¥à¨ï¬¨ ¤®ª §ë¢ ¥âáï [3, 30, 83].

®á«¥¤­¨© ªà¨â¥à¨© ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ¤«ï ¨áá«¥¤®- ¢ ­¨ï ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠­¥áâ 樮­ à­ëå á¨á⥬ ¢ á«¥¤ãî饩

ä®à¬ã«¨à®¢ª¥.

¨­¥©­ ï á¨á⥬ (á ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨)

x(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t) ¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬ ⮣¤ , ¨ ⮫ì-

ª® ⮣¤ , ª®£¤

¤«ï ¢á¥å t0 áãé¥áâ¢ã¥â t1 (t0 < t1 < 1)

çâ®

¬ âà¨æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zt0

 

 

 

T

 

T

 

 

 

 

 

 

W(t0 t1) =

(t1 )B( )B

 

( )

 

(t1 )d

 

 

 

­¥¢ë஦¤¥­­ ï (§¤¥áì (t ) { ¯¥à¥å®¤­ ï ¬ âà¨æ

á¨á⥬ë,

á¬. ¯. 6.3).

 

 

 

 

 

 

 

2 R m = 1) ¨¬¥îâáï â ª¦¥ á«¥-

«ï SIMO-á¨á⥬ (u(t)

¤ãî騥 ªà¨â¥à¨¨ ¯®«­®© ã¯à ¢«ï¥¬®áâ¨.

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. «ï «î¡®© ¤à㣮© ã¯à ¢«ï¥¬®© ¯ àë (A B) â ª®©,

çâ® det(sIn

 

A)

 

det(sIn

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

;

A) áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ¬ -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

;1

 

 

âà¨æ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï T det T =0 â ª ï, çâ®

A=T AT

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B = T B:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

~

 

 

âà¨æ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;1

 

 

 

;1

T ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© T = QãQã

£¤¥ Qã Qã

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

{ ¬ âà¨æë ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠á¨á⥬ (A B) ¨ (A B) ᮮ⢥â-

á⢥­­®. ç áâ­®áâ¨, «î¡ãî ¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬ãî áâ - 樮­ à­ãî SIMO-á¨á⥬ã (m = 1) ¬®¦­® ¯à¥®¡à §®¢ âì ª ª -

­®­¨ç¥áª®¬ã ã¯à ¢«ï¥¬®¬ã ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨î (á¬. ¯. 3.2.2.), ¢ ª®â®à®¬ ¬ âà¨æ ~ { ᮯ஢®¦¤ îé ï ¤«ï ᢮¥£® å à ªâ¥-

A

à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ (¬ âà¨æ ஡¥­¨ãá )

 

 

2

0

 

1

 

0

: : :

0

3

 

~

=

0

 

0

 

1

: : :

0

 

A

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

0

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0

 

0

: : :

1

5

 

 

 

;

 

n ;

n;1

 

;

 

 

 

 

6

 

an

an;1

 

an;2

: : :

 

a1

7

 

 

det(sIn ; A) = s

+ a1s

 

+ + an

 

 

 

 

 

 

 

173

 

 

 

 

 

 

n 1-¬ âà¨æ

~

 

 

T

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B = [0 0 : : : 0 1] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. ᥣ¤

­ ©¤¥âáï â ª ï (1 n)-¬ âà¨æ

C çâ® ¯¥à¥¤ -

 

â®ç­ ï äã­ªæ¨ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B(s)

 

 

 

 

 

 

 

 

W(s) = C(sI ; A);1B =

 

 

(7.5)

 

 

 

det(sI ; A)

{ ­¥á®ªà ⨬ ï ¤à®¡ì (â.¥. ­¥ ¨¬¥¥â ®¡é¨å ­ã«¥© ¨ ¯®«îᮢ

 

¨ á⥯¥­ì §­ ¬¥­ ⥫ï W(s) à ¢­ n).

 

 

 

 

 

 

 

13. «ï «î¡®£® § ¤ ­­®£® ¬­®£®ç«¥­ B(s) á⥯¥­¨ n ;

 

1 ¢á¥£¤

­ ©¤¥âáï â ª ï (1 n)-¬ âà¨æ

C çâ® ¯¥à¥¤ â®ç­ ï

 

äã­ªæ¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ (7.5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢®©á⢮ 12 ¤ ¥â 㤮¡­®¥ ¤®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ¯®«­®© ã¯-

 

 

à ¢«ï¥¬®á⨠á¨á⥬ ᮠ᪠«ïà­ë¬ ¢å®¤®¬: ¥á«¨ W(s) ­¥á®-

 

ªà ⨬ , â® á¨á⥬

¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬ . ¡à â­®¥ ¬®-

 

 

¦¥â ®ª § âìáï ­¥¢¥à­ë¬.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.3.

à¨â¥à¨¨ ­ ¡«î¤ ¥¬®áâ¨. ¥®à¥¬

¤ã «ì­®áâ¨

 

 

«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ­ ¡«î¤ ¥¬®á⨠á¨á⥬ â ª¦¥ ¨¬¥¥âáï ­¥á-

 

ª®«ìª® íª¢¨¢ «¥­â­ëå ªà¨â¥à¨¥¢. ç áâ­®áâ¨, ¯®

­ «®£¨¨

 

ᮠ᢮©á⢮¬ ¯.6 ã¯à ¢«ï¥¬®áâ¨ à ¢¥­á⢮ CeAt x0

= 0 ¯à¨

 

¢á¥å t t1 t2 t1

< t < t2

¢®§¬®¦­® ⮫쪮 ¯à¨ x0 = 0: «¥¤®-

¢ ⥫쭮, ­ ¡«î¤ ï §

¢ë室®¬ y(t) = Cx(t) â ª®© á¨á⥬ë

 

¯à¨ ­ã«¥¢®¬ ¢å®¤¥, ¢á¥£¤ ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì, ­ 室¨âáï «¨

 

á¨á⥬

¢ á®áâ®ï­¨¨ à ¢­®¢¥á¨ï.

 

 

 

 

 

 

 

 

à㣨¬ ªà¨â¥à¨¥¬ ¯®«­®© ­ ¡«î¤ ¥¬®á⨠ï¥âáï à -

 

¢¥­á⢮ rankQ­ = n £¤¥ n { à §¬¥à­®áâì ¯à®áâà ­á⢠á®-

 

áâ®ï­¨© á¨á⥬ë, Q­

{

¬ âà¨æ ­ ¡«î¤ ¥¬®áâ¨,

 

T

 

Q­ = [C

 

AT CT

: : : (AT )n;1CT ] à §¬¥à n nl: ç áâ­®áâ¨, ¤«ï MISO-

á¨á⥬ (l = 1) ¬ âà¨æ

­ ¡«î¤ ¥¬®á⨠¤®«¦­ ¡ëâì ­¥¢ë-

 

஦¤¥­­®©.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

­ «¨§¨àãï 㪠§ ­­ë¥ ¢ëè¥ á¢®©á⢠, ã¡¥¦¤ ¥¬áï ¢ á¯à -

 

¢¥¤«¨¢®áâ¨ â¥®à¥¬ë ¤ã «ì­®á⨠«¬ ­ , ᮣ« á­® ª®â®à®©

 

¨§ ¯®«­®© ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠¯ àë (A B) á«¥¤ã¥â ¯®«­ ï ­ ¡-

 

«î¤ ¥¬áâì ¯ àë (AT BT ), ¨, ­ ®¡®à®â, ¨§ ¯®«­®© ­ ¡«î-

 

¤ ¥¬®á⨠¯ àë (A C) á«¥¤ã¥â ¯®«­ ï ã¯à ¢«ï¥¬®áâì ¯ àë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

~ ~

 

 

 

¢á¥£¤ ¢ë¯®«­¥-

 

 

®«­ ï ã¯à ¢«ï¥¬®áâì ¯ àë (A B) 㪠§ ­­®£® ¢¨¤

 

­ . í⮬ ¬®¦­® ã¡¥¤¨âìáï ­¥¯®á।á⢥­­ë¬ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ªà¨â¥à¨ï ¯.1.

174

(AT CT ): ®í⮬㠭¥â ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠à áᬠâਢ âì ¢á¥ ªà¨- â¥à¨¨ ¯®«­®© ­ ¡«î¤ ¥¬®áâ¨, ¤®áâ â®ç­® ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª å ªà¨â¥à¨¥¢ ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠¯à®¨§¢¥á⨠§ ¬¥­ã A ­ AT ¨ B ­ CT :

âáî¤ , ¢ ç áâ­®áâ¨, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯®«­®áâìî ­ ¡«î¤ - ¥¬ãî á¨á⥬㠭¥«ì§ï ¯à¨¢¥á⨠­¥¢ë஦¤¥­­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ - ­¨¥¬ ª ¢¨¤ã

~

A11

0n1 n2

~

 

A = A21

A22

C = C1.0l n2 n = n1

+ n2:

­­ ï ¯ à

¬ âà¨æ ®¡« ¤ ¥â ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ® ã ᮮ⢥â-

áâ¢ãî饩 á¨áâ¥¬ë ¨¬¥îâáï ª®¬¯®­¥­âë ¢¥ªâ®à

á®áâ®ï­¨ï,

ª®â®àë¥ ­¨ ¯àאַ, ­¨ ª®á¢¥­­® (ç¥à¥§ ¤à㣨¥ ª®¬¯®­¥­âë) ­¥

ãç áâ¢ãîâ ¢ ä®à¬¨à®¢ ­¨¨ ¢ë室­®£® ¯à®æ¥áá .

® ­ «®£¨¨ ᮠ᢮©á⢮¬ ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠ãà ¢­¥­¨ï á ¬ -

~

~

âà¨æ ¬¨ A ¨

C 㪠§ ­­®£® ¢¨¤ ­ §ë¢ îâáï ª ­®­¨ç¥áª®©

ä®à¬®© ­ ¡«î¤ ¥¬®á⨠[47, 174]. ®®â¢¥âáâ¢ãîé ï áâàãªâãà-

­ ï á奬

¯à¨¢¥¤¥­ ­ à¨á. 7.3, ¡).

 

«¥¥, ¤«ï ¯®«­®áâìî ­ ¡«î¤ ¥¬®© MISO-á¨á⥬ë (y(t)2

R

) ¢á¥£¤

­ ©¤¥âáï n 1-¬ âà¨æ B â ª ï, çâ® ¯¥à¥¤ â®ç­ ï

 

 

;1

B { ­¥á®ªà ⨬ ï ¤à®¡ì á® á⥯¥-

äã­ªæ¨ï W(s) = C(sI ; A)

 

­ìî §­ ¬¥­ ⥫ï, à ¢­®© n:

ª¨¬ ®¡à §®¬, ­¥âà㤭® ¯®ª -

§ âì, çâ® ­¥á®ªà ⨬®áâì ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 ¯à¨ m = l = 1 ï¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ­¥¢ëà®- ¦¤¥­­®á⨠SISO-á¨á⥬.

®¡é¥¬ á«ãç ¥ MIMO-á¨á⥬ ­¥¢ë஦¤¥­­®áâì á¨á⥬ë ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢ë¯®«­¥­¨î á«¥¤ãî饣® ãá«®¢¨ï ¤«ï ¯¥à¥¤ -

â®ç­ëå ¬ âà¨æ [30].

 

 

«ï «î¡®£® ᮡá⢥­­®£® ç¨á«

¬ âà¨æë A áãé¥áâ¢ã¥â â -

ª®© ¬¨­®à M(s) ¬ âà¨æë W(s) çâ®

 

lim A(s)M (s) = 0

(7.6)

s!si

6

 

£¤¥ A(s) = det(sIn ; A) { å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ ¬ - âà¨æë A: «ï SIMO ¨ MISO-á¨á⥬ í⮠᢮©á⢮ ®§­ ç ¥â ­¥-

¢®§¬®¦­®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï W(s) ¢ ¢¨¤¥ ®â­®è¥­¨ï ¤¢ãå ¬­®- £®ç«¥­®¢ (¬ âà¨ç­®£® ¨ ᪠«ïà­®£®) á® á⥯¥­ìî §­ ¬¥­ â¥- «ï ¬¥­ì襩, 祬 n: ¥¢ë஦¤¥­­®áâì ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 ¤«ï SISO-á¨á⥬ ¢ë⥪ ¥â ®âáî¤ ª ª ç áâ­ë© á«ãç ©.

஢¥àªã ãá«®¢¨ï ­¥¢ë஦¤¥­­®á⨠MIMO-á¨á⥬ ¬®¦- ­® ã¯à®áâ¨âì, ¥á«¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï á«¥¤ãî騬 १ã«ìâ ⮬ [30].

175

«ï ¯®«­®© ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠á¨á⥬ë (A B) ­¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç­®, çâ®¡ë ¤«ï «î¡®£® ª®à­ï si ¬­®£®ç«¥­ A(s) = det(sIn ; A) ã ¬ âà¨æë W(s) ­ 襫áï ¡ë â ª®© ¬¨­®à M (s) ¯®à浪 , à ¢­®£® ¤¥ä¥ªâã d ¬ âà¨æë (siIn ;A) çâ® ¢ë¯®«­¥­® (7.6).

 

 

¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ . ãáâì rB = rank(B)

rC = rank(C):

ëè¥ ®â¬¥ç¥­®, çâ® ¥á«¨ å®âï ¡ë ¤«ï ®¤­®£® ª®à­ï si ¢ë¯®«-

­¥­® d > rB â® á¨á⥬ (A B) ­¥ã¯à ¢«ï¥¬ , ¥á«¨ d > rC â® á¨á⥬ (A C) ­¥­ ¡«î¤ ¥¬ . ®í⮬㠯¥à¥¤ â®ç­ ï ¬ - âà¨æ W(s) ¬®¦¥â ¡ëâì ­¥¢ë஦¤¥­­®© «¨èì ¯à¨ d rB ¨ d rC : ­ ç¨â, ãá«®¢¨¥ (7.6) ¨¬¥¥â á¬ëá« ¯à®¢¥àïâì «¨èì ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ 㪠§ ­­ëå ­¥à ¢¥­á⢠¨ ¤«ï ¬¨­®à®¢ M(s) ¯®à浪 d: ᫨ ¤¥ä¥ªâ d ­¥¨§¢¥á⥭, â® (7.6) á«¥¤ã¥â ¯à®-

¢¥àïâì «¨èì ¤«ï ¬¨­®à®¢, ¯®à冷ª ª®â®àëå ­¥ ¯à¥¢®á室¨â maxfrB rC pig £¤¥ pi { ªà â­®áâì ª®à­ï si [30].

®¤¯à®áâà ­á⢮ ­¥­ ¡«î¤ ¥¬ëå á®áâ®ï­¨© á¨áâ¥¬ë ¯à¥¤- áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ­ã«ì-¯à®áâà ­á⢮ ¬ âà¨æë QT­ â.¥. ï¥âáï

­x = 0: ᫨ á¨á⥬ ¯®«­®áâìî

­¡«î¤ ¥¬ , â® íâ® ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ¢ë஦¤ ¥âáï ¢ â®çªã x = 0: T

«ï ¯à®¢¥àª¨ ­®à¬ «ì­®á⨠á¨á⥬ë á«¥¤ã¥â ¢®á¯®«ì§®- ¢ âìáï ªà¨â¥à¨¥¬ ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠¤«ï ¬ âà¨æ A bi £¤¥ bi

i = 1 : : : m { á⮫¡æë ¬ âà¨æë B:

«ï ¯à®¢¥àª¨ ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠¯® ¢ë室 ¬ ¬®¦­® ¨áá«¥¤®-

¢âì à ­£ ¬ âà¨æë L = [CB CAB : : : CAn;1B] [88].

áᬮâਬ ¯à¨¬¥à ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ç áâ¨ç­® ­ ¡«î¤ ¥- ¬®© á¨áâ¥¬ë ª ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ­ ¡«î¤ ¥¬®áâ¨. «ï íâ®- £® ¢¥à­¥¬áï ª ®¯¨á ­­®© ¢ ¯. 1.4.3. ­ á. 31 «¨­¥ ਧ®¢ ­­®© ¬®¤¥«¨ ®¡à 饭­®£® ¬ ïâ­¨ª .

ª ®â¬¥ç¥­® ­ á. 94 ¢ ¯. 3.2.4. ¬ âà¨æ ­ ¡«î¤ ¥¬®á⨠Q­ á¨á⥬ë (1.18) ¢ë஦¤¥­­ ï, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤ ­­ ï á¨-

á⥬ ­¥ ï¥âáï ¯®«­®áâìî ­ ¡«î¤ ¥¬®©. ਢ¥¤¥¬ ãà ¢- ­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï ¬ ïâ­¨ª ª ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ­ ¡«î¤ - ¥¬®áâ¨. ®á¯®«ì§ã¥¬áï ®¯¨á ­­®© ­ á. 433 ਫ®¦¥­¨ï 3 ¯à®æ¥¤ãன obsvf ¯ ª¥â MATLAB [139].

ª 㪠§ ­® ¢ ®¯¨á ­¨¨ ¯à®æ¥¤ãàë,

[Abar, Bbar, Cbar, T, K] = obsvf(A, B, C)

¢®§¢à é ¥â ¬ âà¨æë à §¡¨¥­¨ï ¯à®áâà ­á⢠á®áâ®ï­¨©

­ ¯®¤¯à®áâà ­áâ¢

­ ¡«î¤ ¥¬ëå ¨ ­¥­ ¡«î¤ ¥¬ëå á®áâ®ï-

­¨©. ᫨ ¬ âà¨æ

­ ¡«î¤ ¥¬®á⨠¯ àë (A C) ¨¬¥¥â à ­£

 

176

r n, â® ­ 室¨âáï ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¯®¤®¡¨ï á ¬ âà¨æ¥© T

â ª®¥, çâ® Abar

= T AT

 

Bbar

= T B Cbar = CT

 

¨ ¯à¥®¡à -

 

 

 

;1

 

 

 

 

;1

 

 

 

 

§®¢ ­­ ï á¨á⥬

¨¬¥¥â ¢¨¤ 8

 

 

 

 

 

 

 

 

Ano

 

A12

 

 

Bno

 

 

 

 

 

 

 

Abar = 0

 

Ao

Bbar

= Bo

 

Cbar = [ 0

Co ]

 

£¤¥ ¯ à (Ao Co) { ­ ¡«î¤ ¥¬ ï ¨ Co(sI

;

Ao);1Bo

 

C(sI

;

A);1B:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

á¯à ¢¥¤«¨¢®á⨠í⮣® ã⢥ত¥­¨ï ¤«ï ¤ ­­®£® ¯à¨¬¥-

ମ¦­® ã¡¥¤¨âìáï á ¯®¬®éìî á«¥¤ãî饩 ¯à®£à ¬¬ë

A=[0, 1, 0, 0v 0,-k/M,0,0v 0,0,0,1v -g/L 1,0,g/L 1,0] B=[0v 1/Mv 0 v 0]v C=[-1 0 1 0]/L 1v

{ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¬ âà¨æ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï ¬®¤¥«¨ (1.18)\

[n,d]=ss2tf(A,B,C,D,0)

{¢ëç¨á«¥­¨¥ ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 ¨á室­®© á¨á⥬ë\

[Abar,Bbar,Cbar,T,K] = obsvf(A,B,C)

{¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ª ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ­ ¡«î¤ ¥¬®áâ¨\

Co=Cbar(1,2:4), Bo=Bbar(2:4,1), Ao=Abar(2:4,2:4)

{ ¢ë¤¥«¥­¨¥ ­ ¡«î¤ ¥¬®© ¯®¤á¨á⥬ë\

[no,do]=ss2tf(Ao,Bo,Co,0,1) Qo=obsv(Ao,Co) do=det(Qo)

{ ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¬ âà¨æë ­ ¡«î¤ ¥¬®á⨠¯®¤á¨á⥬ë (Ao Co)

¨®¯à¥¤¥«¨â¥«ï í⮩ ¬ âà¨æë.

१ã«ìâ â¥ à ¡®âë ¯à®£à ¬¬ë ¯®«ãç¥­ë ¬ âà¨æë

A = 2

0

;

1

0

0

3 B = 2

0

3

~

6

0

 

0:5 0:5 11:6

7

~

6

0:71

7

 

4

~

 

 

;0:5 11:6

5

 

4

;0:71

5

 

 

0

0:5

 

 

 

 

 

 

0

 

0

1

0

 

 

 

0

 

C = [0 0 0 1:68]

K = [1 1 1 0]:

6

0:71

0

0:71

0

7

;

 

 

 

 

T = 2

 

0

0:71

0

0:71 3 :

4

 

0

;0:71

0

0:71

5

 

 

0:71

0

0:71

0

 

8 ।¨ ¢®§¬®¦­ëå ¬ âà¨æ T ¯à®æ¥¤ãà obsvf ­ 室¨â ®à⮣®­ «ì-

­ãî ¬ âà¨æã [53, 115], â ª çâ® T ;1 = T T . ¬¥â¨¬, çâ® ¯à®æ¥¤ãà obsvf ä®à¬¨àã¥â ¬ âà¨æë, ¨¬¥î騥 ¨­®© ¯®à冷ª à §¬¥é¥­¨ï ¡«®ª®¢, 祬

¯à¨¢¥¤¥­ ­ á. 175 ¤«ï ~ ~

A C:

177

®«ãç ¥¬ ®¤¨­ ª®¢ë¥ (á â®ç­®áâìî ¤® ᮪à 饭¨ï ­ ¬­®¦¨- ⥫ì s) ¯¥à¥¤ â®ç­ë¥ ä㭪樨, ᮢ¯ ¤ î騥 á ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樥© ¨á室­®© á¨á⥬ë (3.15), ¯à¨¢¥¤¥­­®© ¢ ç¨á«¥­­®¬ ¯à¨¬¥à¥ ­ á. 93. âà¨æ ­ ¡«î¤ ¥¬®áâ¨

 

Qo = 2

0

0

1:68

3

det Qo = ;2:34:

 

0

1:68

0

 

4

0:84 ;0:84 91:6

5

 

7.4.

¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦­¥­¨ï

 

 

1.

®ª § âì, çâ® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¡ §¨á ­¥ ¨§¬¥­ï¥â ­ -

¡«î¤ ¥¬®á⨠¨ ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠á¨á⥬ë.

2.®ª § âì, ç⮠ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á« ¬ âà¨æ A11 A22 ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª (7.2) (á. 170) ¨­¢ ਠ­â­ë ®â­®á¨â¥«ì­® ¢ë¡®à

¬âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï T [47].

3.®ª § âì, çâ® ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ã¯à ¢«ï¥¬ëå á®á-

â®ï­¨© á¨á⥬ë (7.2), ª ª ¨ ¨á室­®© á¨á⥬ë, ¯®à®¦¤ ¥âáï ᮡá⢥­­ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ (á. 81), ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¯®«îá ¬ ã¯à ¢«ï¥¬®áâ¨, â.¥. ᮡá⢥­­ë¬ ç¨á« ¬ ¬ âà¨æë A11 ¢ (7.2) [47].

4. ä®à¬ã«¨à®¢ âì ªà¨â¥à¨© ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠¤«ï ¬ - âà¨ç­®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£® ãà ¢­¥­¨ï:

X_ (t) = AX(t) + X(t)B + CU (t)D

£¤¥ X(t) { n n- ¬ âà¨æ à¥è¥­¨©\ U (t) { r m-¬ âà¨æ ¢å®¤®¢ (ã¯à ¢«¥­¨©)\ A B C { n n D { m n-¬ âà¨æë ¯ à ¬¥â஢ [3].

5. áá«¥¤®¢ âì ã¯à ¢«ï¥¬®áâì ¯ àë (A B) ¯à¨ [3]

6

0

1

0

1

7

6

1

7

1

0

1

0

0

A = 2

1 0

1

0

3

B = 2

0

3:

4

0

1

0

1

5

4

1

5

 

 

 

 

6. ëç¨á«¨âì £à ¬¨ ­ ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠(7.3) W(0 1) ¤«ï á¨á⥬ë x(t) + x(t) = u(t):

7. ¤ ç ®¡ ®¡¥á¯¥ç¥­¨¨ ª®­¥ç­®© ¤«¨â¥«ì­®á⨠¯¥à¥- 室­®£® ¯à®æ¥áá , [174]. áᬮâਬ ¤¨áªà¥â­ãî, ¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬ãî á¨á⥬ã

x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k] x[k]2Rn u[k]2R k = 0 1 2 : : : (7: .7) 178

¢®¬ã á®áâ®ï­¨î ¨§ ­ ç «ì­®£® á®áâ®ï­¨ï x[0] =

§¢¥áâ­®, çâ® íâ á¨á⥬ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥­ ¢ á®áâ®ï- ­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ­¥ ¡®«¥¥, 祬 § n è £®¢. ©¤¥¬ ãà ¢­¥­¨ï «¨­¥©­®£® ॣã«ïâ®à ¢ ®¡à â­®© á¢ï§¨.

) ãáâì Q { ¬ âà¨æ ã¯à ¢«ï¥¬®á⨠á¨á⥬ë (7.7). ¡®-

§­ 稬 ç¥à¥§ riT

i-î áâப㠬 âà¨æë Q;1 â ª çâ®

 

 

r1T

3 :

 

Q;1 = 2 r2T

 

6

.

7

 

rnT

®ª § âì, çâ® ã¯à ¢«¥­¨¥ u[k] =4;rnT5;kAnx[0] k = 0 1 2 : : : n;

1 ¯à¨¢¥¤¥â á¨á⥬ã (7.7) ¢ á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï § ªà âç ©-

襥 ¢à¥¬ï.

 

T

 

 

¡) ¡®§­ 稬 K = rn An: ®ª § âì, çâ® ®¡à â­ ï á¢ï§ì

u = ;Kx ¯à¨¢®¤¨â ª â ª®¬ã ¦¥ १ã«ìâ âã, çâ® ¨ ã¯à ¢«¥­¨¥

¯. 7. .

 

 

 

¢) ¬ª­ãâ ï á¨á⥬

®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬

 

x[k + 1] = (A ; BK)x[k]:

 

ãáâì ¢á¥ á®¡á⢥­­ë¥ ç¨á« ¬ âà¨æë A ; BK à ¢­ë ­ã«î.

ª®¢ ¦®à¤ ­®¢

ä®à¬

í⮩ ¬ âà¨æë?

 

8. áᬮâà¥âì á¨á⥬ã (7.7) á ¬ âà¨æ ¬¨ [174]

2

1

0

1

A = 0 2

¨ B1 = 1 B2

= 0 :

) «ï B1 ¨ B2 ¨áá«¥¤®¢ âì ã¯à ¢«ï¥¬®áâì á¨á⥬ë.

¡) «ï ¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬ëå á¨á⥬ ­ ©â¨ ã¯à ¢«ïî-

éãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì, ª®â®à ï ¯à¨¢®¤¨â á¨á⥬㠪 ­ã«¥-

21 :

9. ãáâì ¢á¥ á®¡á⢥­­ë¥ ç¨á« si ¬ âà¨æë A á¨á⥬ë

x(t) = Ax(t)+ Bu(t) u(t)2R ®¤¨­ ª®¢ë ¨ à ¢­ë [174]. ®ª

-

§ âì, çâ® á¨á⥬ ï¥âáï ¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬®© ¢ ⮬, ¨

 

⮫쪮 ⮬, á«ãç ¥, ª®£¤ ¬ âà¨æ A á®á⮨⠨§ ¥¤¨­á⢥­­®©

¦®à¤ ­®¢®© ª«¥âª¨, ¬ âà¨æ B (¢ ⮬ ¦¥ ¡ §¨á¥) ¨¬¥¥â ­¥- ­ã«¥¢®© í«¥¬¥­â ¢ ¯®á«¥¤­¥© áâப¥. ®ª § âì áâàãªâãà­ãî á奬㠤«ï ¨­â¥à¯à¥â 樨 ¯®«ã祭­®£® १ã«ìâ â .

10. ®ª § âì, çâ® ®¡à â­ ï á¢ï§ì ¯® á®áâ®ï­¨î ­¥ ­ - àãè ¥â ã¯à ¢«ï¥¬®áâ¨, ¨¬¥­­®, ¥á«¨ á¨á⥬ (7.7) ¯®«­®- áâìî ã¯à ¢«ï¥¬ , â® ¯®«­®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬®© ¡ã¤¥â ¨ á¨áâ¥- ¬ x[k + 1] = (A ; BK)x[k] + Bu[k] [174]. ( ª § ­¨¥: ०¤¥,

179

祬 ¨á¯®«ì§®¢ âì à ­£®¢ë© ªà¨â¥à¨© ã¯à ¢«ï¥¬®áâ¨, ®¡à -

â¨âìáï ª ®¯à¥¤¥«¥­¨î ã¯à ¢«ï¥¬®áâ¨.)

 

 

 

11.. ãáâì £à¥£¨à®¢ ­­ ï á¨á⥬

§ ¤ ­

ãà ¢­¥­¨ï¬¨

[174]

 

 

 

 

 

 

w(t)

A11 A12

w(t)

 

 

y(t) =

A21 A22 = y(t)

¨ ¢ë室 y(t) { ¯®«­®áâìî ­ ¡«î¤ ¥¬ë©. ®ª § âì, çâ® ¯ à

(A11

A21) ¯®«­®áâìî ­ ¡«î¤ ¥¬ . ( ª § ­¨¥: ¤«ï ã¯à®é¥­¨ï

à áá㦤¥­¨© ¬®¦­® ¯®ª § âì ¯®«­ãî ã¯à ¢«ï¥¬®áâì ¤ã «ì-

­®© á¨á⥬ë, á¬. á. 174).

 

 

 

 

12. áᬮâਬ ¤¢¥ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ á¨á⥬ë [174]

 

x1(t) = x2 (t) + u(t)

 

x3(t) = x3(t) + w(t)

S1 :

x2

(t) = ;2x1(t) ; 3x2(t)

S2 :

z(t) = x3(t)

 

y(t) = x1(t) + x2 (t)

 

 

£¤¥ { ¯ à ¬¥âà.

) áá«¥¤®¢ âì ãá⮩稢®áâì, ã¯à ¢«ï¥¬®áâì, ­ ¡«î¤ ¥- ¬®áâì á¨á⥬ S1 S1:

¡) ਠ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮¬ ᮥ¤¨­¥­¨¨ á¨á⥬ (w(t) = y(t)) ¯®«ãç ¥âáï á¨á⥬ S3: áá«¥¤®¢ âì ãá⮩稢®áâì, ã¯à ¢«ï- ¥¬®áâì ¨ ­ ¡«î¤ ¥¬®áâì í⮩ á¨á⥬ë.

¢) ਠᮥ¤¨­¥­¨¨ á ®¡à â­®© á¢ï§ìî ¯®«ãç ¥âáï á¨á⥬ S4 (á¬. à¨á. 7.4). ஢¥á⨠㪠§ ­­ë¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¤«ï í⮩ á¨á⥬ë.

¨á. 7.4. âàãªâãà­ ï á奬 ª § ¤ ç¥ 12 ¢).

180

8.-

8.1. ®áâ ­®¢ª § ¤ ç¨ ®æ¥­¨¢ ­¨ï á®áâ®ï­¨ï

­ áâ®ï饬 ¯ à £à ä¥ ¯à¨¢®¤ïâáï ­¥ª®â®àë¥ á¢¥¤¥­¨ï ¨§ ⥮ਨ ®æ¥­¨¢ ­¨ï. áᬠâਢ îâáï § ¤ ç ¯®«ã祭¨ï ¨­- ä®à¬ 樨 ® á®áâ®ï­¨¨ á¨áâ¥¬ë ­ ®á­®¢¥ ¨§¬¥à¥­¨© ⮫쪮 ¥¥ ¢å®¤ ¨ ¢ë室 ¨, ªà®¬¥ ⮣®, § ¤ ç ®æ¥­¨¢ ­¨ï ¢®§¬ã-

饭¨©.

ਠ­ «¨ç¨¨ ¨­ä®à¬ 樨 ® ⥪ãé¨å §­ 祭¨ïå ¯¥à¥¬¥­- ­ëå á®áâ®ï­¨ï ®¡ê¥ªâ ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥­ § ¤ ç ¬®¤ «ì- ­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï { ®¡¥á¯¥ç¥­¨ï § ¤ ­­ëå §­ 祭¨© ª®íää¨- 樥­â®¢ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­ . ஬¥ ⮣®, à¥è¥- ­¨¥ à §«¨ç­ëå § ¤ ç ®¯â¨¬ «ì­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï ¯à®æ¥áá ¬¨ ®á­®¢ ­® ­ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ §­ 祭¨© ¢á¥£® ¢¥ªâ®à á®áâ®ï- ­¨ï. ªâã «ì­®© ï¥âáï â ª¦¥ § ¤ ç ®æ¥­¨¢ ­¨ï ­¥¨§¬¥- à塞ëå ¢®§¬ã饭¨© ¤«ï ®à£ ­¨§ 樨 ª®¬¡¨­¨à®¢ ­­®£® ã¯à - ¢«¥­¨ï. ॠ«ì­ëå ãá«®¢¨ïå ¨§¬¥à¥­¨¥ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï, ª ª ¯à ¢¨«®, ­¥®áãé¥á⢨¬® ¨§-§ ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠ãáâ ­®¢ª¨

¤ вз¨ª®¢ ¢ ваг¤­®¤®бвг¯­ле ¬¥бв е, ¨§¬¥а¥­¨п ¯а®¨§¢®¤­ле ¢лб®ª¨е ¯®ап¤ª®¢ ¨ в ª ¤ «¥¥. й¥ ¡®«¥¥ б«®¦­®© § ¤ з¥© п¢«п¥вбп ¨§¬¥а¥­¨¥ ¢®§¬гй¥­¨©. а¥®¤®«¥вм (¨«¨ г¬¥­м- и¨вм) нв¨ ваг¤­®бв¨ ¬®¦­®, ¥б«¨ ­ ¨¡®«¥¥ ¯®«­® ¨б¯®«м§®- ¢ вм ¨¬¥ойгобп ¯а¨®а­го ¨­д®а¬ ж¨о ® ¬®¤¥«¨ ®¡к¥ªв ¨ в¥ªгй¨¥ ¨§¬¥а¥­¨п ¥£® ¢е®¤®¢ ¨ ¢л室®¢. нв®© ж¥«мо ¢

á¨á⥬ã ã¯à ¢«¥­¨ï ¢¢®¤¨âáï ¯®¤á¨á⥬ ( «£®à¨â¬) ®æ¥­¨- ¢ ­¨ï á®áâ®ï­¨ï ®¡ê¥ªâ ¨ ¢®§¬ã饭¨© [3, 8, 47, 76, 88, 93].

§«¨ç îâ âਠ⨯ ®æ¥­®ª á®áâ®ï­¨ï:

ᣫ ¦¨¢ ­¨¥ { ¯® ⥪ã騬 ¤ ­­ë¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®¢¥- ¤¥­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ ¯à®è«®¬, â.¥. ¯® १ã«ìâ â ¬ ¨§¬¥à¥­¨© ª ¬®¬¥­â㠢६¥­¨ t ®æ¥­¨¢ ¥âáï á®áâ®ï­¨¥ á¨áâ¥¬ë ­ ¬®¬¥­â

t ; T T > 0\

 

䨫ìâà æ¨ï { ¯® ⥪ã騬 ¤ ­­ë¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á®áâ®-

ï­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ â®â ¦¥ á ¬ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨\

 

¯à®£­®§ { ¯à®¨§¢®¤¨âáï íªáâà ¯®«ïæ¨ï १ã«ìâ ⮢ ¨§-

¬¥à¥­¨©, â.¥. ¯® ¤ ­­ë¬ ª ¬®¬¥­â㠢६¥­¨ t

®æ¥­¨¢ ¥âáï

á®áâ®ï­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ ¡ã¤ã饬, ­ ¬®¬¥­â t + T

T > 0:

ª¨¬ ®¡à §®¬, ®æ¥­¨¢ ­¨¥ ï¥âáï § ¤ 祩 ¢®ááâ ­®¢«¥- ­¨ï á®áâ®ï­¨ï á¨áâ¥¬ë ¯® ¤®áâ㯭®© ⥪ã饩 ¨­ä®à¬ 樨 ® ¥¥ ¢å®¤ å ¨ ¢ë室 å. â § ¤ ç ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­® à §à¥è¨-

181