Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления
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á«¥¤ãî饩 £« ¢¥ ¬ë ®¡à ⨬áï ª § ¤ ç¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï
ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï ¯® ¯¥à¥¤ â®ç®© äãªæ¨¨. â § ¤ ç ®¡à â ª à áᬮâ८© ¢ ¯. 1.5.
3.3. ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦¥¨ï
1. ë ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï á¨á⥬ë
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;4x2(t) ; x3(t) + u(t) |
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믮«¨âì ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ª ¢¥é¥á⢥®© ¦®à¤ ®¢®© ä®à- ¬¥, , . ®ª § âì áâàãªâãàë¥ áå¥¬ë ¨á室®© ¨ ¯®- «ãç¥ëå ¢ १ã«ìâ ⥠¯à¥®¡à §®¢ ¨ï á¨á⥬. ¡¥¤¨âìáï ¢ ¨¢ ਠâ®á⨠¯¥à¥¤ â®ç®© äãªæ¨¨.
¬ ¥ ç ¨ ¥ . «ï à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¬®¦® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï á«¥¤ãî饩 MATLAB-¯à®£à ¬¬®©: 13
A=[-2 0 0v 4 -1 4v 0 -4 -1]
B=[2v 0v 1] C=[0 1 3] [Ad,Bd,Cd,T]=ss2df(A,B,C) [num,den]=ss2tf(A,B,C,0,1) [Ac,Bc,Cc,Dc]=tf2cf(num,den)
13 ᯮ«ì§®¢ ë ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ ਫ®¦¥¨¨ C. ¯à®æ¥¤ãàë tf2cf, tf2cf.
96
[Ao,Bo,Co,Do]=tf2of(num,den)
[Ac,Bc,Cc,Dc]=tf2cf(num,den)
[Ao,Bo,Co,Do]=tf2of(num,den)
2. «¨â¥à âãॠà áᬠâਢ îâáï á«¥¤ãî騥 ª ®¨- ç¥áª¨¥ ä®à¬ë [1, 174]:
) ¥à¢ ï ã¯à ¢«ï¥¬ ï ª ®¨ç¥áª ï ä®à¬ |
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(2.10) á. 74, |
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ã¯à ¢«ï¥¬®¥ ª ®¨ç¥áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (2.12) (á¬. ¯. 2.2. á. 75).
¢) ¥à¢ ï ¡«î¤ ¥¬ ï ª ®¨ç¥áª ï ä®à¬ 㥡¥à£¥à { ¡«î¤ ¥¬®¥ ª ®¨ç¥áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (2.15) (á¬. ¯. 2.3. á. 76).
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£) â®à ï ¡«î¤ ¥¬ ï ª ®¨ç¥áª ï ä®à¬ |
㥡¥à£¥à . |
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4. ®«ãç¨âì «¨â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¬®¤ «ì®© ¬ âà¨æë P á. 82 ¨ ¬ âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ª ¤¨ £® «ì®© ä®à¬¥ (3.3) ãà ¢¥¨© ®¡à 饮£® ¬ ï⨪ (1.18), á. 31.
5. ਢ¥á⨠ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï á¨á⥬ë x(t) = Ax(t)+ B1u(t) + B2u(t) y(t) = Cx(t) ª áâ ¤ à⮬㠢¨¤ã (1.45).
97
4.
¤ ç ®¯à¥¤¥«¥¨ï ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï ¯® ¯¥à¥¤ â®ç®© äãªæ¨¨ á¨áâ¥¬ë ¥áâì, ¯® áãé¥áâ¢ã, ¨§¢¥áâ ï ¢ ⥮ਨ ¤¨ä- ä¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© § ¤ ç ¯à¨¢¥¤¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢- ¥¨© n-£® ¯®à浪 ª ®à¬ «ì®© ä®à¬¥ ®è¨ [12, 66, 79].¥ª®â®à®¥ ®â«¨ç¨¥ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¢ ⥮ਨ ã¯à ¢«¥¨ï ¯à¨ïâ® à áᬠâਢ âì ãà ¢¥¨ï, ¢ ª®â®àë¥ ¢å®¤ï⠯ந§- ¢®¤ë¥ ¥ ⮫쪮 ®â ¢ë室 , ® ¨ ®â ¢å®¤ á¨á⥬ë.
祬 à áᬮâ२¥ í⮩ § ¤ ç¨ á SISO-á¨á⥬.
®« £ ¥¬, çâ® á¨á⥬ § ¤ ¯¥à¥¤ â®ç®© äãªæ¨¥©
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®¨ ¡ã¤ã⠨ᯮ«ì§®¢ âìáï ¢ ¤ «ì¥©è¥¬. áᬮâਬ ¥ª®- â®àë¥ ¢®§¬®¦ë¥ ¢ ਠâë.
¥ª®â®àëå ¯à¨«®¦¥¨ïå ¦¥« ⥫ì®, çâ®¡ë § ç¥¨ï ¯¥- ६¥ëå á®áâ®ï¨ï ᮮ⢥âá⢮¢ «¨ ®¯à¥¤¥«¥ë¬ 䨧¨ç¥- ᪨¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ (ª ª ¢ à áᬮâà¥ëå ¢ ¯. 1.4. ¯à¨¬¥à å).®£¤ áâàãªâãà ¬ âà¨æ A B C D ¢ (1.45) ®ª §ë¢ ¥âáï § - ¤ ®© ¨ § ¤ ç á®á⮨⠢ 宦¤¥¨¨ ¥ª®â®àëå ¨å í«¥¬¥- ⮢. â § ¤ ç ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥ ®á®¢¥ ®¡à ⮣® ¯¥à¥å®¤ ®â ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï ª ¯¥à¥¤ â®ç®© äãªæ¨¨ ¬¥â®¤®¬ ¥®¯à¥¤¥«¥ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢. «¥¥ à áᬮâਬ á¨âã æ¨î, ¢ ª®â®à®© 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá« ¯¥à¥¬¥ëå á®áâ®- ï¨ï ¥ ¨¬¥¥â § ç¥¨ï ¨ ¢ë¡®à ¢¨¤ ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï ¯à®¨á室¨â ¨§ ¤à㣨å á®®¡à ¦¥¨©.
1 ਠr = n ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï ¢¨¤ (1.45), £¤¥ D 6= 0: «ï r > n ¯®«ãç îâáï ¥à¥ «¨§ã¥¬ë¥ á¨á⥬ë, ¯¥à¥¤ â®çë¥ äãªæ¨¨ ª®â®àëå ¯à¨¢®¤ïâ ª ¡®«¥¥ ®¡é¨¬ ãà ¢¥¨ï¬ (1.2). ¤ ®© ª¨£¥ ®£à ¨ç¨¬áï à áᬮâ२¥¬ ॠ«¨§ã¥¬ëå á¨á⥬.
98
०¤¥ ¢á¥£®, ¥á«¨ § ¤ ⮫쪮 ¯¥à¥¤ â®ç ï äãªæ¨ï, ¥áâ¥á⢥® ¨áª âì ¥¥ ¬¨¨¬ «ìãî ॠ«¨§ æ¨î, â.¥. â - ªãî ä®à¬ã ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï, ¯à¨ ª®â®à®© § ¤ ï ¯¥- । â®ç ï äãªæ¨ï ¯®«ãç ¥âáï ¯à¨ ¨¬¥ì襩 à §¬¥à®- á⨠¯à®áâà á⢠X (á«¥¤®¢ ⥫ì®, { ¯à¨ ¬¨¨¬ «ì® ¢®§- ¬®¦®¬ ¯®à浪¥ ãà ¢¥¨© (1.45)). ª ¨§¢¥áâ®, ¬¨¨¬ «ì- ï ॠ«¨§ æ¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥¢ë஦¤¥ë¬ (¯®«®áâìî ã¯à ¢«ï¥¬ë¬ ¨ ¯®«®áâìî ¡«î¤ ¥¬ë¬) á¨á⥬ ¬. 2 «ï SISO-á¨á⥬ íâ® íª¢¨¢ «¥â® ⮬ã, çâ® ¯® ãà ¢¥¨ï¬ á®- áâ®ï¨ï ¯®«ãç ¥âáï ¥á®ªà ⨬ ï ¯¥à¥¤ â®ç ï äãªæ¨ï, áâ¥- ¯¥ì § ¬¥ â¥«ï ª®â®à®© degA(s) б®¢¯ ¤ ¥в б а §¬¥а®бвмо ¢¥ªв®а б®бв®п¨п. ®нв®¬г ¢ ¤ «м¥©и¥¬ ¡г¤¥¬ бз¨в вм, зв® ¢ з¨б«¨в¥«¥ ¨ § ¬¥ в¥«¥ § ¤ ®© ¯¥а¥¤ в®з®© дгª- ж¨¨ ®вбгвбв¢гов п¢® (бвагªвга®) ¢ла ¦¥л¥ ®¡й¨¥ б®- ¬®¦¨в¥«¨. в® гб«®¢¨¥, ¢¯а®з¥¬, ¥ ¨бª«оз ¥в в®£®, зв® ¯¥а¥¤ в®з п дгªж¨п § ¤ ¢ ®¡й¥¬ ¢¨¤¥ ¨ ¯а¨ ®¯а¥¤¥«¥- ле б®з¥в ¨пе ¯ а ¬¥ва®¢ ©¤¥ п а¥ «¨§ ж¨п ¥ ¡г¤¥в ¬¨¨¬ «м®©.
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4.1. ¯à ¢«ï¥¬®¥ ª ®¨ç¥áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥
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y(t) = brx1(t) + br;1x2(t) + |
+ b0xr+1(t) |
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|
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¨«¨ ¢ ¬ âà¨ç®© ä®à¬¥ x(t) = Ax(t) + Bu(t) £¤¥ |
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2 . 3 (4.2) |
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0 |
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6 an |
an;1 |
an;2 : : : |
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7 |
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1 |
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4 5 |
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C |
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4;br br;;1 : : : ;b0 |
0 : : : ;0 |
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1 |
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3 |
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7 |
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|
|
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|
|
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|
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5 |
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
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j = 1 : : : |
l: ®£¤ |
ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤ |
|||||||||||||||||||||||
(4.2), £¤¥ ¢¬¥áâ® 1 n-¬ âà¨æë C ¨á¯®«ì§ã¥âáï l n-¬ âà¨æ |
||||||||||||||||||||||||||
|
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C = 2 |
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: : : |
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|
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: : : |
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|
|
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4.2. ¡«î¤ ¥¬®¥ ª ®¨ç¥áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥
áᬮâਬ ⥯¥àì ¯à¨¢¥¤¥¨¥ ¯¥à¥¤ â®ç®© äãªæ¨¨ ª ¢¨¤ã(2.15), áç¨â ï á ç « , çâ® l = m = 1: ®áª®«ìªã ¬ âà¨- æ A ¢ ¤ ®© ª ®¨з¥бª®© д®а¬¥ ¨¬¥¥в ¢¨¤ (2.10), в® ¥¥ н«¥- ¬¥вл, «®£¨з® ¯а¥¤л¤гй¥¬г б«гз о, ®¯а¥¤¥«повбп ¡¥§
100
¢ëç¨á«¥¨©. âà¨æ B ¯à¨ ¯à¨¢¥¤¥¨¨ ª ¢ëç¨á«ï¥â- áï ç¥à¥§ ª®íää¨æ¨¥âë ¬®£®ç«¥®¢ A(s) B(s): ¯¨è¥¬ íâã ¬ âà¨æã ¢ ¢¨¤¥
|
B = [ 1 2 n;1 n]T : |
(4.3) |
|||||
«¥¬¥âë i |
i = 1 : : : n |
нв®© ¬ ва¨жл ¢лз¨б«повбп ¬¥в®- |
|||||
¤®¬ ¥®¯à¥¤¥«¥ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢. |
®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì |
||||||
б«¥¤гойго а¥ªгаа¥вго д®а¬г«г |
|
|
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|
|
|
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|
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|
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j = 2 3 : : : n: |
(4.4) |
j = bj;1 |
i=1 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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¢ (4.4) ᮢ¯ ¤ îâ á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ª®- |
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®íää¨æ¨¥âë bi |
|||||||
íää¨æ¨¥â ¬¨ bi ç¨á«¨â¥«ï B(s) ¤«ï i = 0 1 : : : r |
¨ à ¢ë |
||||||
ã«î ¯à¨ ¡®«ìè¨å |
§ 票ïå ¨¤¥ªá . |
|
|
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¯¨è¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï ¢ "à §- ¢¥àã⮬" ¢¨¤¥. ®«ã稬
8 x1(t) > x (t) < x2 (t)
> n;1
: xn(t)
=x2(t) + 1u(t)
=x3(t) + 2u(t)
. |
(4.5) |
=xn(t) n;1u(t)
=;anx1(t) ; ; a2xn;1(t) ; a1xn(t) + nu(t)
y(t) = x1(t):
¥âà㤮 § ¬¥â¨âì, çâ® ¯à¨ r = 0 B(s) = b0 |
ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ |
||||
¨ ä ªâ¨ç¥áª¨ ᮢ¯ ¤ îâ (à §¨æ |
á®á⮨⠢ ⮬, |
||||
çâ® ª®íää¨æ¨¥â ¯¥à¥¤ ç¨ b0 |
¤«ï ¯®¬¥é ¥âáï ¢ ¬ âà¨æã |
||||
¢ë室 C = [b0 0 : : : 0] |
¤«ï { ¢® ¢å®¤ãî ¬ âà¨æã |
||||
B = [0 : : : 0 b0 ]T ). |
|
|
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®ª ¦¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ í⮩ ä®à¬ë ¤«ï MISO-á¨á⥬, ã |
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ª®â®àëå ¯¥à¥¤ â®ç ï äãªæ¨ï W(s) à §¬¥à |
1 m ¯à¨¢¥¤¥ |
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|
[ B1 |
(s) B2(s) : : : Bm |
(s) ] |
|
A(s) |
|||||
¢ ª®â®à®¬ A(s) 㪠§ ¢ (4.1), |
¬®£®ç«¥ë Bj (s) ¨¬¥îâ á⥯¥- |
||||
¨ rj < n j = 1 : : : m: ®£¤ |
ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤ |
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