![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
Задачи для допуска к экзамену
.docЗадача №52
Построить
амплитудно-фазовую характеристику
апериодического звена с передаточной
функцией
.
Решение
Передаточная
функция звена имеет вид:
,
следовательно, его частотная функция
равна:
.
Для выделения действительной и мнимой
части функции умножим числитель и
знаменатель на комплексно-сопряжённое знаменателю число:
Далее, на комплексной плоскости, по точкам строим амплитудно-фазовую характеристику.
|
=0 |
=5 сек-1 |
=10 сек-1 |
=15 сек-1 |
=25 сек-1 |
= |
Re(G) |
5 |
4 |
2,5 |
1,5 |
0,69 |
0 |
Im(G) |
0 |
-2 |
-2,5 |
-2,3 |
-1,72 |
0 |
Ответ:
гадограф звена с передаточной функцией
представлен на рисунке:
Задача №106
Передаточная
функция разомкнутой системы имеет вид
, где K=5
– общий коэффициент разомкнутой системы,
Т=0,5 сек – постоянная времени. Определить
устойчивость замкнутой системы.
Решение
для замкнутой системы:
Характеристическое
уравнение:
По критерию Рауса-Гурвица имеем:
Знак в первом столбце не меняется, значит, корни в правой полуплоскости отсутствуют, и система устойчива.
Ответ: система устойчива.
Задача №88
Построить
логарифмические амплитудную и фазовую
характеристики системы с передаточной
функцией
при К=0,0645 сек; T1=30
мсек; Т2=7 мсек; =0,2.
Решение
Диаграмма Боде для передаточной функции G(s), содержащей несколько нулей и полюсов, строится путём суммирования частотных характеристик, соответствующих каждому отдельно взятому полюсу и нулю.
Для удобства построения передаточную функцию G(s) приведем к виду
Данная передаточная функция содержит:
-
Постоянный коэффициент усиления К=0,0645;
-
Нуль в начале координат;
-
Полюс при =33,3;
-
Пара комплексно сопряжённых полюсов при 143
Первоначально, необходимо определить как выглядят амплитудные характеристики, соответствующему каждому отдельному элементу:
-
Коэффициенту усиления соответствует логарифмическая амплитудная характеристика 20lg0,0645=-23,8 которая на диаграмме Боде изображается просто в виде горизонтальной линии.
-
Амплитудная характеристика, соответствующая нулю в начале координат, изображается прямой с наклоном +20дБ.
-
Амплитудная характеристика, соответствующая полюсу при =33,3, изображается двумя асимптотами. Высокочастотная асимптота справа от точки излома =33,3 имеет наклон –20дБ, а низкочастотная (слева от точки излома) проходит на уровне 0дБ.
-
Точка излома асимптот соответствующих двум комплексным полюсам будет на частоте 143, наклон высокочастотной асимптоты составит –40дБ (т.к. в сомножителе имеется квадратичный член). Точная ЛАХ определяется коэффициентом затухания =0,2, поэтому в построение обычно вносят поправку исходя из справочных данных.
Результирующая
асимптотичная амплитудная характеристика
строится путём суммирования асимптот,
соответствующих каждому сомножителю
передаточной функции. Таким образом
прямая с наклоном +20дБ/дек, соответствующая
нулю в начале координат, пресекает
уровень –23,8 дБ при =1.
Далее при =33,3
наклон изменятся на –20дБ/дек, и становится
равным нулю (в точной амплитудной
характеристики это состояние практически
отсутствует). Максимальное значение
амплитудной характеристики Мр, для пары
комплексных корней зависит от коэффициента
затухания ,
и определяется по формуле:
дБ.
При =143,
что соответствует двум комплексным
полюсам, наклон становит равным
–40дБ/дек.
Фазовая частотная характеристика также строится путем суммированию соответствующих кривых для каждого отдельного сомножителя:
-
Т.к. постоянный коэффициент усиления является отрицательным, то ему соответствует сдвиг по фазе на -180 .
-
Нулю в начале координат соответствует сдвиг +90.
-
Для полюса при =33,3, до частоты =33,3 фазовый сдвиг отсутствует, а при достижении этой частоты фазовый сдвиг составляет -45.
-
Фазовая характеристика, соответствующая паре комплексных полюсов имеет вид сложной кривой и заимствована из справочных данных.
Логарифмическая
амплитудная (точная и неточная - обозначена
пунктирной линией) и фазовая характеристики
приведены на рисунках:
З-6.14.
Система имеет характеристическое уравнение
q(S)=S4+9S3+45S2+87S+50=0
(а) Определите, устойчива ли система, воспользовавшись критерием Рауса-Гурвица.
(б) Найдите корни характеристического уравнения.
Решение:
S4
1 45 50
S3 9 87 0
S2 a 50
S1 b
S0 50
a=;
b=;
Система устойчива, т.к. все коэффициенты >0.
Решим методом подбора: т.к. все коэффициенты >0,
При S=-1; q(S)=1-9+45-87+50=0, т.е. – 1 – является корнем уравнения;
При S=-2; q(S)=16-8*9+45*4-2*87+50=0, т.е. – 2 – тоже корень уравнения.
(S+1)(S+2)=(S2+3S+2);
S4+9S3+45S2+87S+50=(S4+3S3+2S2)+(6S3+18S2+12S)+(25S2+75S+50)=(S2+6S+25)(S2+3S+2)=(S+1)(S+2)(S2+6S+25)=(S+1)(S+2)((S+3)2+16)=(S+1)(S+2)(S+3+4i)(S+3-4i)
З-2.18.
Передаточная функция системы имеет вид:
Оприделите y(t), если r(t) имеет вид единичной ступенчатой функции.
Ответ: y(t)=1,33+1,67e-3t-3e-5t
Решение:
Т.к.
R(t)=1(t),
то R(S)=,
т.к. 1(t)=
;
Y(S)=G(S)R(S)=;
т.к.
A=4/3 то,
Тогда
Y(S)=
Y(t)=L-1(Y(S))=,
т.к.
e-at=
.