Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления
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102
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103
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104
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105
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¯®«ãç ¥¬ëå ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï ¥®¡ï§ â¥«ì® á®¢¯ ¤ ¥â á ¬®£®ç«¥®¬ A(s) ¯®«ãç¥ë¬ ¢ ¢¨¤¥ ®¡é¥£® ªà ⮣® § - ¬¥ ⥫¥© ¯¥à¥¤ â®çëå äãªæ¨© Wi j(s):
ਬ¥à 2. [88]. ãáâì § ¤ ¬ âà¨ç ï ¯¥à¥¤ â®ç ï äãªæ¨ï
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5 |
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4 |
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B = 2 |
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01 |
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09 |
3 C = 0 |
1 1 : |
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áᬮâà¥ë© ¢ ਬ¥à¥ 2 ¬¥â®¤ ४®¬¥¤ã¥âáï ¤«ï á¨- á⥬, ¯¥à¥¤ â®çë¥ äãªæ¨¨ ª®â®àëå ¨¬¥îâ ⮫쪮 ¢¥é¥- áâ¢¥ë¥ ¯à®áâë¥ ¯®«îá [88]. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ «£®à¨â¬ë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ª ãà ¢¥¨ï¬ á®áâ®ï¨ï á«®¦¥¥ (á¬., ¯à¨- ¬¥à, [1], â ª¦¥ ਫ®¦¥¨¥ 2 ¢ [106]) ¨ §¤¥áì ¥ à áᬠâà¨- ¢ îâáï.
107
4.6. ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦¥¨ï
1. «ï á¨á⥬ë, § ¤ ®© ¯¥à¥¤ â®ç®© äãªæ¨¥©
W(s) = k( 1s + 1)( 2s + 1) s(T12 s2 + T2s + 1)
k = 10c;1 1 = 5c 2 = 0:2c T1 = 1c T2 = 5:2c ©â¨ ¬ âà¨- æë ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï ¢ ä®à¬¥ (2.12), (2.15) ¨ ¤¨ £® «ì®© (2.1). ª¨¥ ¨§ ¯®«ãç¥ëå ä®à¬ íª¢¨¢ «¥â- ë ¬¥¦¤ã ᮡ®© á â®ç®áâìî ¤® ¢ë¡®à ¡ §¨á ¯¥à¥¬¥ëå
á®áâ®ï¨ï?
2.®«ãç¨âì ¯¥à¥¤ â®çãî äãªæ¨î ¨ ãà ¢¥¨ï á®áâ®ï- ¨ï á¨á⥬ë á® áâàãªâãன á奬®© à¨á. 4.1 [94].
3.®ª § âì, çâ® ¯à¨ r = n á¨á⥬ã (4.1) ¬®¦® ¯à¨¢¥á⨠ª ¢¨¤ã ãà ¢¥¨© á®áâ®ï¨ï (1.45), £¤¥ D =6 0 (á¬. á®áªã 1 áâà ¨æ¥ 98).
108
5.-
®¯®«¨â¥«ìãî £«ï¤ãî ¨ä®à¬ æ¨î ® ¯®¢¥¤¥¨¨ á¨- á⥬ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì à áᬮâ२¥¬ ¨å ä §®¢ëå ¯®àâà¥â®¢.¤¨¬ ®á®¢ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ à áᬮâਬ ®¡é¨¥ ᢮©áâ¢ ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ¯à¨¬¥¨â¥«ì® ª «¨¥©ë¬ á¨á⥬ ¬.㤥¬ à áᬠâਢ âì ¢â®®¬ë¥ á¨á⥬ë, â.¥. â ª¨¥, ¢
га ¢¥¨п ª®в®але п¢® ¥ ¢е®¤¨в ¢а¥¬п. ª¨¬ ®¡а §®¬, ¡г- ¤¥¬ бз¨в вм, зв® ¯ а ¬¥вал б¨бв¥¬л ¥ ¬¥повбп ¢® ¢а¥¬¥- ¨ (б¨бв¥¬ бв ж¨® а ), в ª¦¥ зв® ¢е®¤®¥ ¢®§¤¥©бв¢¨¥ ®вбгвбв¢г¥в ¨ а бб¬ ва¨¢ вм в®«мª® б®¡бв¢¥л¥ ¤¢¨¦¥¨п б¨бв¥¬л
x(t) = Ax(t) |
x(0) = x0: |
(5.1) |
5.1.¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ ®á®¢ë¥ ᢮©áâ¢ ä §®¢ëå âà ¥ª- â®à¨© ¨ ä §®¢ëå ¯®àâà¥â®¢
ਠ¯®áâ஥¨¨ ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ª ¦¤®¬ã à¥è¥¨î áâ - ¢¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¤¢¨¦¥¨¥ â®çª¨ ¯® ¥ª®â®à®© ªà¨¢®© ¢ ¯à®áâà á⢥ á®áâ®ï¨© (ä §®¢®¬ ¯à®áâà á⢥). â® ¤ ¥â
¢®§¬®¦®áâì ¯®«ãç¨âì £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî, |
â®ç¥¥ { ª¨¥¬ - |
â¨ç¥áªãî [12, 15, 79], ¨â¥à¯à¥â æ¨î ¯®¢¥¤¥¨ï á¨á⥬ë. |
|
ਠ§ ¤ ®¬ ç «ì®¬ á®áâ®ï¨¨ x0 |
¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ |
x(t) ãà ¢¥¨ï (5.1). äãªæ¨¨ ®â t ¢ ¯à®æ¥áᥠ᢮¥£® ¤¢¨- ¦¥¨ï â®çª x ®¯¨áë¢ ¥â ¥ª®â®àãî ªà¨¢ãî ¢ ¯à®áâà á⢥ á®áâ®ï¨© X: ⠪ਢ ï §ë¢ ¥âáï ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¥© , ¨«¨ ä §®¢®© ªà¨¢®© á¨á⥬ë (5.1), ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¤ ë¬ ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬. ®áª®«ìªã ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨â¥à¥á à §- ¢¨â¨¥ ¯à®æ¥áá ¢® ¢à¥¬¥¨, ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¨ 㪠§ë¢ - ¥âáï (áâ५ª®©) ¯à ¢«¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¨§®¡à ¦ î饩 â®çª¨ ¯à¨ ¢®§à áâ ¨¨ ¢à¥¬¥¨ t:
§®¢ë¬ ¯®àâà¥â®¬ á¨áâ¥¬ë §ë¢ ¥âáï ᮢ®ªã¯®áâì ä - §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨©, ¯®«ãç¥ëå ¯à¨ à §«¨çëå ç «ìëå
ãá«®¢¨ïå.
áᬮâਬ ®á®¢ë¥ ᢮©áâ¢ ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ¨ ä - §®¢ëå ¯®àâà¥â®¢ á¨á⥬ 㪠§ ®£® ª« áá . ⨠᢮©á⢠᫥¤ãîâ ¨§ ®¡é¨å å à ªâ¥à¨á⨪ à¥è¥¨© ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì- ëå ãà ¢¥¨© [12, 79].
«ï á¨á⥬ ¢¨¤ (5.1) ¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï áâ ¤ àâëå â¥- ®à¥¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨ï. ஬¥ â®-
109
£®, ®¨ ¢ë¯®«¥ë ¨ ¤«ï ãà ¢¥¨© ¢ "®¡à ⮬" ¢à¥¬¥¨
= ;t: ⨠ãà ¢¥¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤ dx=d = ;Ax( ): âáî- ¤ á«¥¤ã¥â, çâ® à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (5.1) ®¯à¥¤¥«¥ë ¢ ®¡« - á⨠t 2 (;1 1): ¢®©á⢮ áâ 樮 à®á⨠á¨áâ¥¬ë ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ç «ìë© ¬®¬¥â ¥ áãé¥á⢥ { âà ¥ªâ®à¨¨, ¯à®å®¤ï騥 ç¥à¥§ ¥ª®- â®àãî â®çªã x0 ¢ à §«¨çë¥ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨ t1 t2 ¯à¥¤áâ - ¢«ïîâ ᮡ®© ®¤ã âà ¥ªâ®à¨î.
®í⮬ã:
¥à¥§ ª ¦¤ãî â®çªã ¯à®áâà á⢠á®áâ®ï¨© ¯à®å®- ¤¨â ¥ª®â®à ï ä §®¢ ï âà ¥ªâ®à¨ï. «¥¤®¢ ⥫ì®, ä §®¢ë© ¯®àâà¥â á¨áâ¥¬ë ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯®«¥ ä §®¢ë¬¨ âà ¥ªâ®à¨- ﬨ ᪮«ì 㣮¤® ¯«®â®.
¨ª ª ï ä §®¢ ï âà ¥ªâ®à¨ï ¥ ¨¬¥¥â â®ç¥ª à §¢¥â¢«¥- ¨ï, â.¥. ® ¥ ¬®¦¥â à ᯠ¤ âìáï ¤à㣨¥ âà ¥ªâ®à¨¨.
¨ª ª¨¥ à §«¨çë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¥ ¬®£ãâ ¨¬¥âì â®ç¥ª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï. ⮠᢮©á⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ ¥¤¨á⢥®á⨠à¥- 襨ï ãà ¢¥¨© ¢ ®¡à ⮬ ¢à¥¬¥¨. ®í⮬㠤«ï á¨á⥬ 㪠§ ®£® ¢¨¤ ⥪ã饥 á®áâ®ï¨¥ ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥â ª ª ¡ã¤ã饥, â ª ¨ ¯à®è«®¥ à §¢¨â¨¥ ¯à®æ¥áá .
ª¨¬ ®¡à §®¬, à §«¨çë¥ ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¥ ¬®£ãâ ¯¥à¥á¥ª âìáï. ᫨ ã ¨å ¥áâì å®âï ¡ë ®¤ ®¡é ï â®çª , â® â ª¨¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ãç á⪨ ¥ª®â®à®© ®¤- ®© "¡®«¥¥ ¯®«®©" âà ¥ªâ®à¨¨, ¯®áâ஥®© ¤«ï ¡®«¥¥ ¯à®- â殮®£® ¢à¥¬¥®£® ¨â¥à¢ « . 1 ®à®âª® £®¢®àï, âà ¥ª- â®à¨¨ «¨¡® ¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, «¨¡® ᮢ¯ ¤ îâ (á â®ç®áâìî ¤® ¯à®¤®«¦¥¨ï), ¨«¨, ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ç¥à¥§ ª ¦¤ãî â®çªã
ä §®¢®£® ¯à®áâà á⢠¯à®å®¤¨â ®¤ |
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ªà¨¢ ï. |
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¯®«®¦¥¨ï¬ (á®áâ®ï¨ï¬) à ¢®¢¥á¨ï á¨á⥬ë, ¨ ⮣¤ ®¨ |
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¢ë஦¤ îâáï ¢ â®çªã, «¨¡® ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬ ¤¢¨¦¥¨ï¬. |
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|||||
¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¢ë¯®«¥®, çâ® ¤«ï ¢á¥å t |
2 R |
: x(t) = x |
£¤¥ |
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x |
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2 X ¥ § ¢¨á¨â ®â t: ® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¥ª®- |
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â®à®¥ § 票¥ T > 0 §ë¢ ¥¬®¥ ¯¥à¨®¤®¬ â ª®¥, çâ® ¯à¨ |
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¯à®¨§¢®«ì®¬ t ¨¬¥îâ ¬¥áâ® à ¢¥á⢠|
x(t) = x(t +T ) ® ¯à¨ |
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1 ᯮ«ì§ã¥âáï ¯®ï⨥ ¬ ªá¨¬ «ìëå (¥¯à®¤®«¦ ¥¬ëå) âà ¥ªâ®à¨©.®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¨¬ à¥è¥¨ï ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥ë ¨ ª ª®© ¡®«¥¥ è¨à®ª¨© ¨â¥à¢ «. «ï «¨¥©ëå á¨á⥬ ¨â¥à¢ «®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¬ ªá¨¬ «ìëå âà ¥ªâ®à¨© ï¥âáï ¢áï ¢¥é¥á⢥ ï ¯àï¬ ï R.
110
jt1 ; t2j < T xi(t1) =6 xi(t2):
§®¢ ï âà ¥ªâ®à¨ï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®£® ¯à®æ¥áá ¯à¥¤áâ ¢«ï- ¥â ᮡ®© § ¬ªãâãî ªà¨¢ãî, §ë¢ ¥¬ãî § ¬ªã⮩ âà ¥ª- â®à¨¥©, ®à¡¨â®© ¨«¨ 横«®¬. ¬® à¥è¥¨¥ x(t) §ë¢ ¥âáï
¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬ á ¯¥à¨®¤®¬ T:
5.2.®«¥ ä §®¢ëå ᪮à®á⥩. « áá¨ä¨ª æ¨ï ®á®¡ëå â®ç¥ª
5.2.1. ¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®áâ¨
ª ®â¬¥ç¥® ¢ëè¥, à¥è¥¨î x(t) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤¢¨¦¥¨¥
â®çª¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ |
X: ãáâì ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t0 â®çª |
|
¯à®å®¤¨â á®áâ®ï¨¥ x0 |
: ¯à¥¤¥«¨¬ ¢¥ªâ®àãî ᪮à®áâì â®ç- |
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ª¨, ®¯¨áë¢ î饩 ¤ ®¥ à¥è¥¨¥, ¢ ¬®¬¥â ¥¥ ¯à®å®¦¤¥¨ï |
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ç¥à¥§ ¯®«®¦¥¨¥ x0 : v = x(t) t=t0 |
: 票¥ ¢¥ªâ®à v §ë¢ - |
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¥¬®£® ¢¥ªâ®à®¬ ä §®¢®© ᪮à®á⨠¨«¨ ¯à®áâ® ä §®¢®© ᪮à®- |
||
áâìî, § ¢¨á¨â ¥ ®â ¬®¬¥â t0 |
®â ª®®à¤¨ â â®çª¨, ç¥à¥§ |
|
ª®â®àãî ¢ ¤ ë© ¬®¬¥â ¯à®å®¤¨â âà ¥ªâ®à¨ï. â § ¢¨á¨- |
||
¬®áâì ¢ëà ¦ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ (5.1), ¨§ ª®â®à®£® á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ¢â®®¬ëå «¨¥©ëå á¨á⥬ ¢¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®á⨠¢ â®çª¥ x ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ¢¥á⢮¬
v(x) = Ax:
®áª®«ìªã ¢¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®á⨠¯®ª §ë¢ ¥â ¢¥ªâ®àãî ᪮à®áâì à¥è¥¨ï x(t) â®, ¥á«¨ ¥£® ¨§®¡à §¨âì ®â®á¨â¥«ì® ¤ ®© â®çª¨, ¯®«ã稬 ¯à ¢«¥¨¥ ª á ⥫쮩 ª ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¨, ¬®¤ã«ì ¢¥ªâ®à ᪮à®á⨠å à ªâ¥à¨§ã¥â ⥬¯ ¤¢¨¦¥¨ï â®çª¨ ¢¤®«ì âà ¥ªâ®à¨¨.
᫨ ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ¯à®áâà á⢠X ¨§®¡а §¨вм б®®в¢¥в- бв¢гойго ¥© д §®¢го бª®а®бвм, ¯®«гз¨¬ ¯®«¥ ä §®¢ëå ᪮- à®á⥩. ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï ¯®áâ஥¨ï ¯®«ï ä §®¢ëå ᪮à®á- ⥩ ¥â ¥®¡å®¤¨¬®á⨠à¥è âì ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (5.1), â ª ª ª ¤«ï ª ¦¤®£® x § 票¥ v(x) = Ax: ®«¥ ä - §®¢ëå ᪮à®á⥩ ¤ ¥â £«ï¤®¥ ¨ 㤮¡®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ® ¯®¢¥¤¥¨¨ á¨á⥬ë, â ª ª ª ª á ⥫ìë¥ ª âà ¥ªâ®à¨ï¬ ¯®- §¢®«ïîâ ¤®áâ â®ç® â®ç® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¨ ¢¨¤ á ¬¨å âà ¥ª-
111