Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

.pdf
Скачиваний:
54
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.56 Mб
Скачать

áᬮâਬ â ª¦¥ ª®¬¡¨­¨à®¢ ­­ë© § ª®­ áâ ¡¨«¨§ 樨, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¢ ᨣ­ « ã¯à ¢«¥­¨ï (¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ { ¢ ã¯à ¢«ïî- 騩 ¬®¬¥­â) ¢¢®¤¨âáï â ª¦¥ ª®¬¯¥­á¨àãî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥ ¯®

¢®§¬ã饭¨î. ª ª ª ¢®§¬ãé î騩 ¬®¬¥­â ­¥¯®á।á⢥­- ­® ¨§¬¥à¥­ ¡ëâì ­¥ ¬®¦¥â, ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¥£® ®æ¥­ªã ^ ( ) ¯®«ã-

M t

祭­ãî ­ ¡«î¤ ⥫¥¬ (8.20). ®£¤ ª®¬¡¨­¨à®¢ ­­ë© § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤ 9

^

 

u(t) = ;k! !x(t) ; kmM(t):

(9.23)

ë¡®à ª®íää¨æ¨¥­â k! ¢ë¯®«­¨¬ ¨áå®¤ï ¨§ ãá«®¢¨ï ¡ëáâà®- ¤¥©áâ¢¨ï ¯à®æ¥áá áâ ¡¨«¨§ 樨 ¢ § ¬ª­ã⮬ ª®­âãà¥. ®®â- ¢¥âáâ¢ãî騩 í⮬㠪®­âãàã å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ ¨¬¥¥â ¢¨¤ D(s) = s + kJ!x ®âªã¤ k! = ;Jxs1 £¤¥ s1 { § ¤ ­­®¥ §­ 祭¨¥ ª®à­ï D(s): 祢¨¤­®, çâ® ¤«ï ¤ ­­®© á¨áâ¥¬ë ª®- íää¨æ¨¥­â ¯¥à¥¤ ç¨ ¯® ¢®§¬ã饭¨î km = 1: ¥§ã«ìâ âë ¬®- ¤¥«¨à®¢ ­¨ï á¨á⥬ë áâ ¡¨«¨§ 樨 ¯à¨ 㪠§ ­­ëå ­ á. 195 ¯ à ¬¥âà å ¨ s1 = 0:2 á;1 ¯à¨¢¥¤¥­ë ­ à¨á. 9.2. ª ¢¨¤­®

¨á. 9.2. à®æ¥ááë áâ ¡¨«¨§ 樨 .

¨§ à¨áã­ª , ¯à¨ ¯à®¯®à樮­ «ì­®¬ § ª®­¥ ã¯à ¢«¥­¨ï ãáâ - ­ ¢«¨¢ ¥âáï à ¢­®ã᪮७­®¥ ¢à é ⥫쭮¥ ¤¢¨¦¥­¨¥. á- ¯®«ì§®¢ ­¨¥ ª®¬¡¨­¨à®¢ ­­®£® § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï á ®æ¥­ª®© ¨ ª®¬¯¥­á 樥© ¢®§¬ã饭¨ï ¢ ¤ ­­ëå ãá«®¢¨ïå ¯à¨¢®¤¨â ª ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¬ã áâ६«¥­¨î ᪮à®á⨠ª ­ã«î. ã­ªâ¨à-

­®© «¨­¨¥© ­ £à 䨪¥ u(t) ¯®ª § ­ "¨¤¥ «ì­ ï" ª®¬¯¥­á¨- àãîé ï á®áâ ¢«ïîé ï ¢ ã¯à ¢«ïî饬 ¢®§¤¥©á⢨¨, à ¢­ ï

9

^

 

«¥¤ã¥â ãç¨âë¢ âì, çâ® ¯®áª®«ìªã ᨣ­ « M (t) ¢ëà ¡ âë¢ ¥âáï ­ -

¡«î¤ ⥫¥¬, ⮠ॣã«ïâ®à (¤¨­ ¬¨ç¥áª¨© ª®¬¯¥­á â®à) § ¤ ¥âáï ãà ¢­¥- ­¨ï¬¨ (8.20), (9.23).

212

;M (t): à¨á. 9.3 ¯à¨¢¥¤¥­ ¤¨ £à ¬¬ ®¤¥ ( ) ¤«ï á¨á⥬ë áâ ¡¨«¨§ 樨 (8.17), (8.20), (9.23).

¨á. 9.3. ¨ £à ¬¬ë ®¤¥ á¨á⥬ë áâ ¡¨«¨§ 樨 á ॣã«ïâ®à®¬ (8.20), (9.23).

à 䨪¨ ¯®ª §ë¢ îâ ­ «¨ç¨¥ ¤®áâ â®ç­ëå § ¯ ᮢ ãá⮩- 稢®á⨠á¨á⥬ë (§ ¯ á ãá⮩稢®á⨠¯® ãᨫ¥­¨î La = 12 ¤ , § ¯ á ãá⮩稢®á⨠¯® ä §¥ ' = 33o). ëç¨á«ïï ¯¥à¥- ¤ â®ç­ãî äã­ªæ¨î ª®¬¯¥­á â®à (8.20), (9.23) ®â ¢å®¤ !x

ª ã¯à ¢«¥­¨î u ¯à¨ 㪠§ ­­ëå §­ 祭¨ïå ¯ à ¬¥â஢ ¯®«ã- 稬, çâ® à áᬮâ७­ë© § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï ¬®¦­® ॠ«¨§®- ¢ âì §¢¥­®¬ W(s) = k s2 + 2 s + 1 £¤¥ k = 1:13 á;2, T = 0:83

s2(T s + 1)

á, = 5:3 á. «ï ¢ë¯®«­¥­¨ï ¢ëç¨á«¥­¨© ¨á¯®«ì§®¢ ­ á«¥¤ã- î騩 äà £¬¥­â ¯à®£à ¬¬ë (­ ç «® ¯à®£à ¬¬ë ¯à¨¢¥¤¥­® ­

á.196)

Km=1v Cá=[Kw Km 0]v Ac=A -B* áv Bc=Lv

{ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¬ âà¨æ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï\

[num,den]=ss2tf(Ac,Bc,[Kw Km 0],0,1)v

{¢ëç¨á«¥­¨¥ ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 ª®¬¯¥­á â®à \ nf=num/Jv df=conv([1,0],den)

{¢ëç¨á«¥­¨¥ ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 à §®¬ª­ã⮩ á¨áâ¥-

‘\ om=logspace(-1,1)v

[mag,ph]=bode(nf,df,om)v

{à áç¥â ç áâ®â­ëå å à ªâ¥à¨á⨪.

213

9.5.2. ®§¡ã¦¤¥­¨¥ ª®«¥¡ ­¨© ¢ 楯®çª¥ ®á樫«ïâ®à®¢

áᬮâਬ á¨á⥬ã, á®áâ®ïéãî ¨§ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠®á- 樫«ïâ®à®¢ (­ ¯à¨¬¥à, ¬ ïâ­¨ª®¢), ᮥ¤¨­¥­­ëå ã¯à㣨¬¨

б¢п§п¬¨. ª п ¬®¤¥«м ¨б¯®«м§г¥вбп ¤«п ®¯¨б ­¨п а §«¨з- ­ле д¨§¨з¥бª¨е ¨ ¬¥е ­¨з¥бª¨е б¨бв¥¬ [52, 162]. ®вбгвбв¢¨¨ б¨« ва¥­¨п ¨ ¯а¨ «¨­¥©­ле г¯аг£¨е ¤¥д®а¬ ж¨пе б¢п- §¥© (¢ ®¡« бв¨ ¤¥©бв¢¨п § ª®­ гª ) ж¥¯®зª N ¬ ïâ­¨ª®¢ ®¯¨áë¢ ¥âáï á¨á⥬®© ãà ¢­¥­¨©

8

 

 

 

;

 

 

 

 

 

'1(t) + !2 sin'1 (t) =

k '2(t)

; '1 (t) + u(t)

 

 

 

<

 

2

: : :

;

 

;

 

 

>

'i(t) + !2 sin 'i(t) =

k 'i+1(t) ; 2'i(t) + 'i+1(t)

 

(9.24)

 

 

: : :

 

(i = 2 3 : : : N

1)

 

:

 

 

sin 'N (t) = k;'N;1(t) ; 'N (t)

 

 

 

>

'N (t) + !

 

 

 

 

£¤¥ 'i(t) (i =

1 2 : : : N) { ã£«ë ¯®¢®à®â ¬ ïâ­¨ª®¢\

u(t)

{ ¢­¥è­¥¥ ã¯à ¢«ïî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥, ¯à®¯®à樮­ «ì­®¥ ¬®- ¬¥­âã, ¯à¨«®¦¥­­®¬ã ª ¯¥à¢®¬ã ¬ ïâ­¨ªã\ ! k { ¯ à ¬¥âàë

á¨á⥬ë (! { ᮡá⢥­­ ï ç áâ®â ¬ «ëå ª®«¥¡ ­¨© ¬ ïâ­¨- ª®¢, k { ª®íää¨æ¨¥­â ¦¥á⪮á⨠¯à㦨­).

«¥¥ ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì «¨­¥ ਧ®¢ ­­ãî ¬®¤¥«ì, ¯à¥¤- ¯®« £ ï, çâ® ¬¯«¨â㤠ª®«¥¡ ­¨© ¬ ïâ­¨ª®¢ ­¥§­ ç¨â¥«ì­ .ª ï ¬®¤¥«ì ¨¬¥¥â ¢¨¤

8

: : :

 

2

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

'1(t) +

!2'1(t) = k '2 (t) ; '1(t) + u(t)

 

 

 

 

 

'i(t) + ! 'i(t) = k 'i+1(t)

;

 

2'i(t) + 'i+1(t)

 

 

(9.25)

: : :

 

 

 

 

 

(i = 2 3 : : : N

 

1)

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

;

 

2N

 

 

 

 

;

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< 'N (t) + !2'N (t) =;k 'N

;1(t)

; 'N

(t) :

 

 

 

¢¥¤¥¬ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï x(t)2R

 

 

x(t) = colf'1 '1 '2 '_2 : : :

'N '_N g: áâ ­¤ àâ­®© ä®à¬¥ ãà ¢­¥­¨© á®áâ®ï­¨ï

 

 

 

x(t) = Ax(t) + Bu(t) ¬®¤¥«ì (9.25) § ¤ ¥âáï ¬ âà¨æ ¬¨

 

 

 

 

2

A1

 

A12

0

: : : 0

 

0

3

 

 

 

2

B1

3

 

 

 

A12

 

A2

A12

: : :

 

 

0

 

0

 

 

 

00

 

A =

0 A12

A2

...

 

 

0

 

0

 

B

=

 

 

.

 

. . .. ... .

 

.

 

 

.

 

 

 

4

 

 

5

 

 

 

4

5

 

 

 

6

0

 

0

0 : : : A2

 

A12

7

 

 

 

6

0

7

 

 

 

0

 

0

0

: : : A12

A1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

214

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

A2

0

1

A12

0

0

 

£¤¥

A1 = ;!2 ; k 0

= ;!2 ; 2k 0

= k 0

B1 = [ 0 1 ]T :

áᬮâਬ § ¤ çã ¢®§¡ã¦¤¥­¨ï "¢®«­ë" ª®«¥¡ ­¨© § -

¤­­®© ¬¯«¨âã¤ë, ¯à¨ ª®â®àëå á®á¥¤­¨¥ ¬ ïâ­¨ª¨ ­ 室ïâáï ¢ ¯à®â¨¢®ä §¥. ਠí⮬ ®£à ­¨ç¨¬áï âॡ®¢ ­¨¥¬ ¯à¨-

¢¥¤¥­¨ï ¨å ¢ íâ® á®áâ®ï­¨¥ § § ¤ ­­®¥ ¢à¥¬ï ¨§ «î¡®£® ­ - ç «ì­®£® á®áâ®ï­¨ï. «ï ¥¥ à¥è¥­¨ï ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¨§«®- ¦¥­­ë¬ ¢ ¯. 9.4. ¬¥â®¤®¬. ¯à ¢«¥­¨¥ ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥ ¯à®£à ¬¬­®© ä㭪樨 ¢à¥¬¥­¨ (9.13).

¨á. 9.4. ®«­ ª®«¥¡ ­¨©.

¥§ã«ìâ âë à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ¤«ï N = 10 k = 5 á;2, ! = 0:4 á;1 'i(0) = 0 'i(0) = 0 (i = 1 2 : : : N), = 50 c, 'i( ) = (;1)i+1 30 £à ¤., 'i( ) = 0 ¯®ª § ­ë ­ à¨á. 9.4, 9.5. ¯¥à¢®¬ ¨§®¡à ¦¥­ë ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¯®«®¦¥­¨© ¬ ïâ­¨- ª®¢ ¢ à §­ë¥ ¬®¬¥­âë ¢à¥¬¥­¨ (®â¬¥ç¥­ë æ¨äன ¢­¨§ã). ¢â®à®¬ 9.5 ¯®ª § ­ë £à 䨪¨ 㣫®¢ ¯®¢®à®â '9(t) '10(t) ¨ ã¯à ¢«ïî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥ u(t) ­ ¯à®¬¥¦ã⪥ t 2 [30 50] á.¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¤ ­­®¬ ¯à¨¬¥à¥ (ª ª ¨ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥) ¯à¨-

¢¥¤¥­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ § ¤ ­­®¥ á®áâ®ï­¨¥ ­¥ ®§­ ç ¥â, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, çâ® ®­ ®áâ ­¥âáï ¢ í⮬ á®áâ®ï­¨¨ ¨ ¤ «ìè¥ ¨«¨ ¡ã- ¤¥â ᮢ¥àè âì ¯à¥¤¯¨á ­­®¥ ¤¢¨¦¥­¨¥. ᫨ ¨§ ¯®«ã祭­®£® á®áâ®ï­¨ï x( ) ¯®áâநâì ã¯à ¢«¥­¨¥, ¯¥à¥¢®¤ï饥 á¨á⥬㠢 íâ® ¦¥ á®áâ®ï­¨¥ ª ¬®¬¥­âã t = + ( > 0), â® ¯®«ã- 稬 ª®«¥¡ ­¨ï á«®¦­®© ä®à¬ë, ᨬ¬¥âà¨ç­ë¥ ®â­®á¨â¥«ì­®

á¥à¥¤¨­ë ¨­â¥à¢ « [ + ]:

215

¨á. 9.5. £«ë ¯®¢®à®â ¬ ïâ­¨ª®¢ ¨ ã¯à ¢«¥­¨¥.

«п ¢лз¨б«¥­¨© ¨б¯®«м§г¥¬ б«¥¤гойго ¯а®£а ¬¬г.

MATLAB-¯à®£à ¬¬ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ¯à®æ¥áá ¢®§¡ã¦¤¥­¨ï ¢®«­ë ª®«¥¡ ­¨©

k=5v om2=(0.2*2*pi)^2v

N=10v

{ ¢¢®¤ ¯ à ¬¥â஢ k ! ¨ ç¨á«

¬ ïâ­¨ª®¢ N \

x0=zeros(2*N,1)v x1=zeros(2*N,1)v

{ ®¡­ã«¥­¨¥ ¬ áᨢ®¢ ­ ç «ì­®£® ¨ ª®­¥ç­®£® á®áâ®ï­¨© t0=0v t1=50v

{ ¢¢®¤ t0 t1\ xmax=30/57.3v

{ ¢¢®¤ ¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ­¨©\

A=zeros(2*N)v

{ ¢¢®¤ ­ã«¥¢ëå í«¥¬¥­â®¢ ¬ âà¨æë A\

B=zeros(2*N,1)v B(2)=1v

{ ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¬ âà¨æë B\

A1=[0 1v -om2 0]v

216

{ ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¬ âà¨æë A1\ sig=1v

for in=1:N

{ ­ ç «® 横« ä®à¬¨à®¢ ­¨ï ¬ âà¨æë A ¨ ¢¥ªâ®à x1\ x1(2*(in-1)+1)=xmax*sigv

sig=-sigv

{ ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠(;1)i\ for in1=1:N

l=2*(in1-1)+1v A(l:l+1,l:l+1)=A1v A(l+1,l)=A(l+1,l)-kv if ((in1>1)&(in1<N))

A(l+1,l)=A(l+1,l)-kv end

if in1<N A(l+1,l+2)=kv A(l+3,l)=kv

end end

end

{ ª®­¥æ 横« ä®à¬¨à®¢ ­¨ï ¬ âà¨æë A ¨ x1\

C=eye(2*N,2*N)v D=zeros(2*N,1)v

{ ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ¬ âà¨æ C = I2 ¨ D = 0 ¤«ï ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ¯® lsim (á¬. ਫ®¦¥­¨¥ C. á. 431)\

Th=t1-t0v

{ ¢ëç¨á«¥­¨¥ = t1 ; t0\ t=0:Th/1000:Thv Nt=length(t)v

w0=Bv u=zeros(size(t))v

{ ä®à¬¨à®¢ ­¨¥ ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨© w(0) = B ¨ ¢å®¤­®£® ¢®§¤¥©á⢨ï u(t) 0 ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ä㭪樨 ¢¥á w(t)\

w=lsim(A,B,C,D,u,t,w0)v

{ ¢ëç¨á«¥­¨¥ w(t)\

W=zeros(size(A))v

{ ­ ç «ì­®¥ ®¡­ã«¥­¨¥ ¬ áᨢ ¤«ï £à ¬¨ ­

W( )\

for k=1:Nt

 

W=W+w(k,:)'*w(k,:)v

 

end

 

W=W*Th/Nt

 

{ ¢ëç¨á«¥­¨¥ W( ) ¬¥â®¤®¬ ©«¥à \

 

217

 

c=inv(W)*(x1-expm(A*Th)*x0)v

{¢ëç¨á«¥­¨¥ C ¯® ä®à¬ã«¥ (9.20)\ for k=1:Ntv u(k)=B'*expm(A'*(t1-t(k)))*cv end

{横« ä®à¬¨à®¢ ­¨ï ¯à®£à ¬¬­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï ¯® ä®à- ¬ã«¥ (9.13)\

[y,ti,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0)v

{¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¥ á¨á⥬ë (¢ë¢®¤ £à 䨪®¢ ¢ë¯®«­ï¥âáï áâ ­¤ àâ­ë¬ ®¡à §®¬).

9.6. ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦­¥­¨ï

1. ®ª § âì á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ⥮६ë à §¤¥«¥­¨ï ¤«ï ¤¨­ - ¬¨ç¥áª¨å ª®¬¯¥­á â®à®¢, ¨á¯®«ì§ãîé¨å ­ ¡«î¤ ⥫ì ã- ¥­¡¥à£¥à .

2. «ï à áᬮâ७­®© ¢ ¯à¨¬¥à¥ ­ á. 194 § ¤ ç¨ ¨¤¥­- â¨ä¨ª 樨 ¢®§¬ã饭¨©, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ­ , ¯®«ãç¨âì «-

£®à¨â¬ ¤¨áªà¥â­®£® ­ ¡«î¤ â¥«ï ¯®«­®£® ¯®à浪 , ¨¬¥îé¥- £® ¯®áâ®ï­­ë¥ ¯ à ¬¥âàë ¨ ¨­â¥à¢ « ª¢ ­â®¢ ­¨ï T0, ª®â®- àë© ®æ¥­¨¢ ¥â ¢®§¬ã饭¨¥ § ­ ¨¬¥­ì襥 ç¨á«® è £®¢ ¤¨á- ªà¥â­®áâ¨. ᯮ«ì§®¢ âì ¯®«ã祭­ë¥ ®æ¥­ª¨ ¯à¨ ᨭ⥧¥ ¤¨áªà¥â­®© áâ â¨ç¥áª®© á¨á⥬ë áâ ¡¨«¨§ 樨, ®¡¥á¯¥ç¨- ¢ î饩 ­ ¨¬¥­ì襥 ¢à¥¬ï ¯¥à¥å®¤­®£® ¯à®æ¥áá .

3. ®«ãç¨âì [3] ãà ¢­¥­¨ï ­ ¡«î¤ â¥«ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¤«ï ®¡ê¥ªâ , ¬®¤¥«ì ª®â®à®£® § ¤ ­ ¬ âà¨æ ¬¨

 

2

1

1

1

3

 

2

0

3

 

0

0

1

 

 

A =

0

1

0

B =

1

C =

:

 

0

1

1

 

1

 

1

0

0

 

 

4

 

 

 

5

 

4

 

5

 

 

 

 

 

 

4. ®«ãç¨âì ãà ¢­¥­¨ï ­ ¡«î¤ â¥«ï ¯®«­®£® ¯®à浪

¤«ï 楯®çª¨ ¬ ïâ­¨ª®¢ 9.25, á. 214, ¯à¥¤¯®« £ ï, çâ® ¨§¬¥àï-

¥âáï ⮫쪮 ®âª«®­¥­¨¥ i-£® ¬ ïâ­¨ª (1 i N ):

5. «ï á¨á⥬ë [3]

 

x1

(t) = x1

(t) + x2(t) + u(t)

x2

(t) = x1

(t) y(t) = x2(t)

¯®«ãç¨âì ãà ¢­¥­¨ï ¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® ª®¬¯¥­á â®à ¯¥à¢®£®

¯®à浪 , ®¡¥á¯¥ç¨¢ î饣® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« § ¬ª­ã- ⮩ á¨á⥬ë, à ¢­ë¥ s1 = ;3 s2 3 = ;2 |:

218

6. «ï ®¡ê¥ªâ ¢â®à®£® ¯®à浪 x(t) + x(t) = u(t) y(t) = x(t) + £¤¥ { ¯®áâ®ï­­®¥ ­¥¨§¬¥à塞®¥ ¢®§¬ãé¥- ­¨¥ [3], ¯®áâநâì ॣã«ïâ®à, ®¡¥á¯¥ç¨¢ î騩 ¯à¨ «î¡ëå

!0, y(t) ! 0 ¯à¨ t ! 1: ¯à¥¤¥«¨âì

­¨¬¥­ì訩 ¯®à冷ª ॣã«ïâ®à .

7.«ï § ¤ ç¨ 6 à áᬮâà¥âì [3] £ ମ­¨ç¥áª®¥ ¢®§¬ã- 饭¨¥ (t) = 0 sin !t á ¨§¢¥áâ­®© ç áâ®â®© !.

219

10.

10.1. ¡é¨¥ ᢥ¤¥­¨ï ® ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ å

¯à¥¤ë¤ãé¨å £« ¢ å ¨§ãç «¨áì «¨­¥©­ë¥ á¨á⥬ë. á- ᬮâਬ ¯®¤à®¡­¥¥ §­ 祭¨¥ í⮣® â¥à¬¨­ . ¯à®é¥­­® ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® «¨­¥©­ë¥ á¨á⥬ë { íâ® â ª¨¥ á¨á⥬ë, ¤«ï ª®â®àëå á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯à¨­æ¨¯ á㯥௮§¨æ¨¨ { ॠªæ¨ï á¨- áâ¥¬ë ­ «¨­¥©­ãî ª®¬¡¨­ æ¨î (á㯥௮§¨æ¨î) ¢®§¤¥©á⢨© ᮢ¯ ¤ ¥â á â ª®© ¦¥ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ 樥© ॠªæ¨© ­ ª - ¦¤®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ¢ ®â¤¥«ì­®áâ¨. 1 § í⮣® ®¡é¥£® ¯à¨­æ¨- ¯ á«¥¤ã¥â, ­ ¯à¨¬¥à, çâ® «¨­¥©­®¥ áâ â¨ç¥áª®¥ §¢¥­® ¤®«¦- ­® ®¯¨áë¢ âìáï «¨­¥©­®© (¯à®¯®à樮­ «ì­®©) § ¢¨á¨¬®áâìî y = Ku ¬¥¦¤ã ¢å®¤®¬ u(t) 2 Rm ¨ ¢ë室®¬ y(t) 2 Rl £¤¥ K { l m-¬ âà¨æ , § ¢¨áïé ï ®â t ¢ ­¥áâ 樮­ à­®¬ á«ãç ¥. ᫨ à áᬠâਢ ¥âáï ¤¨­ ¬¨ç¥áª ï á¨á⥬ ­¥¯à¥à뢭®£® ¢à¥- ¬¥­¨, â® ¢ «¨­¥©­®¬ ª®­¥ç­®¬¥à­®¬ á«ãç ¥ ®­ ®¯¨áë¢ ¥â- áï «¨­¥©­ë¬¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¬¨ ãà ¢­¥­¨ï¬¨, ¤¨áªà¥â­ ï á¨á⥬ { «¨­¥©­ë¬¨ à §­®áâ­ë¬¨ ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ¨ â.¤.

¨бв¥¬л, ¤«п ª®в®але нв®в ¯а¨­ж¨¯ ­¥ ¢л¯®«­п¥вбп, ®в­®- бпвбп ª ­¥«¨­¥©­ë¬. ¬¥в¨¬, зв® ¤ ­­®¥ ®¯а¥¤¥«¥­¨¥ ­®б¨в "­¥£ в¨¢­л©" е а ªв¥а ¢ ⮬ б¬лб«¥, зв® ®­® гª §л¢ ¥в ­ б¢®©бв¢®, ª®в®а®¥ г ®¯а¥¤¥«п¥¬ле б¨бв¥¬ ®вбгвбв¢г¥в. а - ¢¨«м­¥¥ бª § вм, зв® б¢®©бв¢® «¨­¥©­®бв¨ ¢л¤¥«п¥в ª« бб «¨- ­¥©­ле б¨бв¥¬ ¨§ ¢б¥е (¢®®¡й¥ £®¢®ап, { ­¥«¨­¥©­ле) б¨бв¥¬,¤­ ª® ¨ ¢ в¥а¬¨­®«®£¨з¥бª®¬, ¨ ¢ ¬¥в®¤¨з¥бª®¬ ®в­®и¥­¨¨ 㤮¡­¥¥ бз¨в вм, зв® «¨­¥©­л¥ ¨ ­¥«¨­¥©­л¥ б¨бв¥¬л ®в­®- бпвбп ª а §­л¬ ª« бб ¬.

⬥⨬, çâ® ¥á«¨ ¢ á®áâ ¢ á¨áâ¥¬ë ¢å®¤¨â å®âï ¡ë ®¤- ­® ­¥«¨­¥©­®¥ §¢¥­®, â® ¨ ¢áï á¨á⥬ ¢ 楫®¬ áâ ­®¢¨âáï ­¥«¨­¥©­®©. â® ¤ ¥â ®á­®¢ ­¨¥ ¨­®£¤ ®¯à¥¤¥«ïâì «¨­¥©- ­ë¥ á¨á⥬ë, ª ª á¨á⥬ë, á®áâ®ï騥 ⮫쪮 ¨§ «¨­¥©­ëå §¢¥­ì¥¢. ¥«¨­¥©­®© á¨á⥬®© ⮣¤ ­ §ë¢ ¥âáï á¨á⥬ , á®- ¤¥à¦ é ï å®âï ¡ë ®¤¨­ ­¥«¨­¥©­ë© í«¥¬¥­â.

1 ª®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ «¨­¥©­®© á¨á⥬ë ï¥âáï ¤®áâ â®ç­® ®¡- 騬. ­® ¯à¨¬¥­¨¬® ª ª ª ª®­¥ç­®¬¥à­ë¬, â ª ¨ ª ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­ë¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¬ á¨á⥬ ¬, â ª¦¥ ª ¤¨áªà¥â­ë¬ á¨á⥬ ¬. ¤­ ª® ®­® ï¥âáï ­¥ ᮢᥬ ¯®«­ë¬, â ª ª ª ­¥ ®âà ¦ ¥â ¢«¨ï­¨ï ­ ç «ì­®£® á®áâ®ï­¨ï. ®«­®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᢮©á⢠«¨­¥©­®á⨠á¨á⥬ ¡ã¤¥â ¤ ­® ­¨¦¥, ¢ 10.3.1.

220

«¥¤г¥в ¯®¤з¥аª­гвм, зв® ¢б¥ а¥ «м­л¥ б¨бв¥¬л п¢«повбп ­¥«¨­¥©­л¬¨. ¨§¨з¥бª¨¬ §¢¥­мп¬ б¢®©бв¢¥­­л п¢«¥­¨п ­ блй¥­¨п, £¨бв¥а¥§¨б , «одв ¨ в.¤. ¤­ ª® «¨­¥©­л¬ б¨- бв¥¬ ¬ ­¥ б«гз ©­® г¤¥«¥­® в ª®¥ ¡®«ми®¥ ¢­¨¬ ­¨¥ ¢ в¥- ®а¨¨ б¨бв¥¬. а¥¦¤¥ ¢б¥£®, в¥®а¨п «¨­¥©­ле б¨бв¥¬ ¤®- бв в®з­® ¯а®бв . ®¦­® ¤ ¦¥ бз¨в вм ¥¥ ¯а ªв¨з¥бª¨ § - ¢¥аи¥­­®©. ¥®а¨п ­¥«¨­¥©­ле б¨бв¥¬ бгй¥бв¢¥­­® б«®¦- ­¥¥, §­ з¨в¥«м­л¥ гб¨«¨п ¯® ¨бб«¥¤®¢ ­¨о ­¥«¨­¥©­ле б¨- бв¥¬ ®¡лз­® ¯а¨¢®¤пв ª ¬¥­¥¥ ¤¥в «м­®¬г ®¯¨б ­¨о ¯а®- ж¥бб®¢, з¥¬ ¢ «¨­¥©­®¬ б«гз ¥. ¥«¨­¥©­л¥ б¨бв¥¬л ¬®£гв ®¡« ¤ вм в ª®© б«®¦­®бвмо ¨ в ª¨¬ а §­®®¡а §¨¥¬ б¢®©бв¢, зв® ¯а¥¤бв ¢«п¥вбп ­¥¢®§¬®¦­л¬ £®¢®а¨вм ® § ¢¥аи¥­¨¨ в¥- ®а¨¨ в ª¨е б¨бв¥¬ ¢ ®¡®§а¨¬®¬ ¡г¤гй¥¬. ®­¥з­®, ¯а®бв®в ¨бб«¥¤®¢ ­¨п ­¥ п¢«п¥вбп б ¬ ¯® б¥¡¥ ¤®бв в®з­л¬ ®б­®¢- ­¨¥¬ ¤«п ¯а¨¬¥­¥­¨п «¨­¥©­®© в¥®а¨¨. ¤­ ª® ®з¥­м ¢® ¬­®£¨е б«гз пе ¨б¯®«м§®¢ ­¨¥ «¨­¥ а¨§®¢ ­­®© ¬®¤¥«¨ ¤ - ¥в ¯а ªв¨з¥бª¨ в¥ ¦¥ а¥§г«мв вл, зв® ¨ ¯а¨¬¥­¥­¨¥ ¡®«¥¥ в®з­®© ­¥«¨­¥©­®© ¬®¤¥«¨. «¥¤г¥в в ª¦¥ гз¥бвм, зв® ¯а¨ б®бв ¢«¥­¨¨ ¬®¤¥«¨ б¨бв¥¬л ­¥¨§¡¥¦­® ¢®§­¨ª ов ®и¨¡ª¨, б¢п§ ­­л¥, ­ ¯а¨¬¥а, б ¯®£а¥и­®бвмо ®¯а¥¤¥«¥­¨п §­ з¥­¨©

¯ à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ . «¨ï­¨¥ íâ¨å ®è¨¡®ª ¬®¦¥â ®ª § âìáï ¡®«¥¥ áãé¥á⢥­­ë¬, 祬 ¯®£à¥è­®á⥩, ¢ë§¢ ­­ëå «¨­¥ à¨- § 樥© ¬®¤¥«¨. ¯à¥¤¥«¥­­ë¬ ⥮à¥â¨ç¥áª¨¬ ®¡®á­®¢ ­¨¥¬ ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠«¨­¥©­®© ⥮ਨ á¨á⥬ á«ã¦¨â ¯¥à¢ë© ¬¥â®¤. . ï¯ã­®¢ , ᮣ« á­® ª®â®à®¬ã ¯à¨ "£« ¤ª®©" ­¥«¨­¥©- ­®© å à ªâ¥à¨á⨪¥ ãá⮩稢®áâì ­¥«¨­¥©­®© á¨áâ¥¬ë ¬®¦-

­® ¨áá«¥¤®¢ âì ¯® ¯¥à¢®¬ã («¨­¥©­®¬ã) ¯à¨¡«¨¦¥­¨î [34]. 2®í⮬㠭 ¯à ªâ¨ª¥ ®¡ëç­® ¢ë¯®«­ï¥âáï ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­®¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ «¨­¥ ਧ®¢ ­­®© ¬®¤¥«¨, ¤«ï ª®â®à®© ¨ ¯à®- ¨§¢®¤¨âáï ᨭ⥧ § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï. ⥬ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ­ «¨§ ¯®«ã祭­®© á¨á⥬ë á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ¡®«¥¥ ¯®«­®©, ­¥«¨­¥©­®©, ¬®¤¥«¨. ® ¬­®£¨å á«ãç ïå ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ­¥«¨­¥©­ë¥ ᢮©á⢠á¨áâ¥¬ë ­¥ ¨£à îâ áãé¥á⢥­­®© à®- «¨. ਠ⠪®¬ ¯®¤å®¤¥ 楫¥á®®¡à §­® ®¡¥á¯¥ç¨¢ âì ¢ë¯®«-

2 ¯®¬­¨¬, çâ®, ᮣ« á­® ¯¥à¢®¬ã ¬¥â®¤ã ï¯ã­®¢ , ¥á«¨ «¨­¥ ਧ®- ¢ ­­ ï á¨á⥬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢 , â® á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ­¥- «¨­¥©­®© á¨á⥬ë ãá⮩稢® ¢ ¬ «®¬= ¥á«¨ «¨­¥ ਧ®¢ ­­ ï á¨á⥬ ­¥ãá⮩稢 , â® ­¥ãá⮩稢® ¨ á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ­¥«¨­¥©­®© á¨áâ¥- ¬ë= ¥á«¨ «¨­¥ ਧ®¢ ­­ ï á¨á⥬ ­ 室¨âáï "­ £à ­¨æ¥ ãá⮩稢®áâ¨", â® ­¥«ì§ï ¨áá«¥¤®¢ âì ãá⮩稢®áâì á®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï ¯® ¯¥à¢®¬ã ¯à¨¡«¨¦¥­¨î.

221