Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

.pdf
Скачиваний:
54
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.56 Mб
Скачать

«î¡®¬ ¢å®¤­®¬ ¢®§¤¥©á⢨¨ ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ª ª á㬬㠯¥à¥- 室­®© ¨ ¢ë­ã¦¤¥­­®© á®áâ ¢«ïîé¨å. ¥à¥å®¤­ ï á®áâ ¢«ï-

îé ï S

(x0 \ O) ¥áâì ¯à®æ¥áá, ¯®«ã祭­ë© ¯à¨ ­ã«¥¢®¬ ¢å®¤¥

¨ § ¤ ­­ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå x0, ¢ë­ã¦¤¥­­ ï á®áâ ¢«ï-

îé ï S

;

0\ u[t0 t]

 

¥áâì ॠªæ¨ï á¨áâ¥¬ë ­ § ¤ ­­®¥ ¢å®¤­®¥

¢®§¤¥©á⢨¥ ¯à¨ ­ã«¥¢ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå.

¢®©á⢮ (10.11) ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® å à ªâ¥à ᮡá⢥­- ­ëå ¤¢¨¦¥­¨© á¨áâ¥¬ë ­¥ § ¢¨á¨â ®â à §¬¥à®¢ ®¡« á⨠¯à®- áâà ­á⢠á®áâ®ï­¨©, ¢ ª®â®à®© í⨠¤¢¨¦¥­¨ï à áᬠâਢ -

îâáï. ®«¥¥ â®ç­®, ¯®« £ ï ¢ (10.11) x00 = x0 x000 = 0 ¯®«ã稬 ¤«ï ¢á¥å k x0

S(kx0\ O) = kS(x0 \ O):

«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢¨¤ ä §®¢ëå ¯®àâà¥â®¢ «¨­¥©­ëå áâ 樮­ à- ­ëå á¨á⥬ ­¥ § ¢¨á¨â ®â à §¬¥à ®ªà¥áâ­®á⨠­ ç « ª®®à- ¤¨­ â { íâ¨ ä §®¢ë¥ ¯®àâà¥âë ¬®¦­® ¯à¥®¡à §®¢ âì ¤à㣠ª ¤àã£ã ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ¬ áèâ ¡ .

®¢®ªã¯­®á⨠íâ¨å ᢮©á⢠(«¨¡® ®¤­®£® ¨§ ­¨å) «¨è¥­ë ­¥«¨­¥©­ë¥ á¨á⥬ë. â® ¯à¨¢®¤¨â ª íä䥪⠬, ­¥ª®â®àë¥ ¨§ ª®â®àëå à áᬮâà¥­ë ­¨¦¥. á­®¢­®¥ ¢­¨¬ ­¨¥ 㤥«¨¬ ᮡá⢥­­ë¬ ¤¢¨¦¥­¨ï¬ ¢ ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ å { å à ªâ¥à ¢ë­ã¦¤¥­­ëå ¯à®æ¥áᮢ ®ª §ë¢ ¥âáï ¥é¥ ¡®«¥¥ á«®¦­ë¬ ¨ à §­®®¡à §­ë¬.

10.3.2. ¥¯ à âà¨á­ë¥ ¯®¢¥àå­®áâ¨

ª ®â¬¥ç¥­® ¢ëè¥, ã ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ ¬®¦¥â ¡ëâì à §- «¨ç­ë© å à ªâ¥à ᮡá⢥­­ëå ¤¢¨¦¥­¨© ¢ à §­ëå ®¡« áâïå ¯à®áâà ­á⢠á®áâ®ï­¨©. ®í⮬㠯ਠ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ â ª¨å á¨á⥬ ­¥¤®áâ â®ç­®, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, à áᬠâਢ âì «¨èì ­¥ª®â®àãî ®ªà¥áâ­®áâì á®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï { ¨áá«¥¤®¢- ­¨¥ ¤®«¦­® ®å¢ âë¢ âì ¢á¥ ¢®§¬®¦­ë¥ ®¡« á⨠¯à®áâà ­- á⢠á®áâ®ï­¨©. áâ¥á⢥­­®, í⮠ᨫ쭮 ãá«®¦­ï¥â ­ «¨§.ਠ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ç¨á«¥­­ëå ¬¥â®¤®¢ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï (­ ¯à¨- ¬¥à, ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ­ ) ª®«¨ç¥á⢮ ¢ëç¨á«¥­¨© ®ª - §ë¢ ¥âáï §­ ç¨â¥«ì­® ¢ëè¥, 祬 ¤«ï «¨­¥©­ëå á¨á⥬. â® ¯®ª §ë¢ ¥â ­¥®¡å®¤¨¬®áâì à §¢¨â¨ï ­ «¨â¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï.

ª ç¥á⢥ ¨««îáâà 樨 à áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 ¯à®á⮩ ¯à¨¬¥à. ãáâì á¨á⥬ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬

x(t) = x(t)2 ; x(t) x(0) = x0:

232

¨á⥬ ¨¬¥¥â ¤¢

á®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï: x

= 0 ¨ x = 1: ¥-

 

 

 

1

2

âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¯à¨ x0 < 1 §­ ª¨ x(t) ¨ x(t) ¯à®â¨¢®¯®-

«®¦­ë ¨ à¥è¥­¨¥ ¡ã¤¥â áâ६¨âìáï ª â®çª¥ x1 x(t) ! 0: à¨

x0 > 1 ¢ë¯®«­¥­® x(t) > 0 ¨ à¥è¥­¨¥ à á室¨âáï, x(t) ! 1

(¯à¨ç¥¬ §­ 祭¨¥ x(t) áâ ­®¢¨âáï ­¥®£à ­¨ç¥­­® ¡®«ì訬 §

ª®­¥ç­®¥ ¢à¥¬ï).

ª¨¬ ®¡à §®¬,

x1 { ãá⮩稢®¥ á®áâ®ï-

­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï,

x2 { ­¥ãá⮩稢®¥. ®çª

x = 1 à §¤¥«ï¥â

¯à®áâà ­á⢮ á®áâ®ï­¨© X

= R ­

®¡« á⨠á ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¨

­¥ãáâ®©ç¨¢ë¬ å à ªâ¥à®¬ ¯®¢¥¤¥­¨ï.

 

¯à¥¤¥«¥­¨¥ [79]. ®¢¥àå­®áâì, à §¤¥«ïîé ï ¯à®áâà ­-

á⢮ á®áâ®ï­¨© á¨áâ¥¬ë ­

®¡« á⨠á à §­ë¬¨ ⨯ ¬¨ ä -

§®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© (â.¥. ¢¨¤®¢ ᮡá⢥­­ëå ¤¢¨¦¥­¨©) ­ §ë- ¢ ¥âáï ᥯ à âà¨á­®© ¯®¢¥àå­®áâìî (¯à¨ n = 2 à §¤¥«ïîé ï ¯®¢¥àå­®áâì ï¥âáï ­¥ª®â®à®© ªà¨¢®©, ­ §ë¢ ¥¬®© ᥯ à -

âà¨á®©). 2

®«¥¥ â®ç­®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ { ᥯ à âà¨á­ ï ¯®¢¥àå­®áâì ¥áâì ¯®¢¥àå­®áâì, ïîé ïáï «¨¡® í«¥¬¥­â®¬ ¯à¨â殮­¨ï, «¨¡® í«¥¬¥­â®¬ ®ââ «ª¨¢ ­¨ï ¤«ï ¢á¥å ¡«¨§ª¨å âà ¥ªâ®à¨©.

­®£¤ (ª ª ¢ ¯à¨¢¥¤¥­­®¬ ¯à¨¬¥à¥) ᥯ à âà¨á®© ï¥â- áï ­¥ª®â®à ï ä §®¢ ï âà ¥ªâ®à¨ï. ®§¬®¦­® â ª¦¥, çâ® á¥-

¯ а ва¨бл ®¡а §говбп ¨§ гз бвª®¢ а §«¨з­ле ва ¥ªв®а¨© (а¨б. 10.2, ). 11.6. а бᬮва¥­л б¨бв¥¬л, ¤«п ª®в®але ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯а®¨б室¨в ¯® б¥¯ а ва¨б­®© ¯®¢¥ае­®бв¨, ­® б - ¬® ¯®­пв¨¥ б®®в¢¥вбв¢гой¥£® а¥и¥­¨п га ¢­¥­¨© ­г¦¤ ¥вбп ¢ ¤®¯®«­¨в¥«м­®¬ ®¯а¥¤¥«¥­¨¨.

10.3.3. ।¥«ì­ë¥ 横«ë. ¢â®ª®«¥¡ ­¨ï

«ï ­¥ª®â®àëå á¨á⥬ ¬®£ãâ, ª ª ¨§¢¥áâ­®, áãé¥á⢮¢ âì ¯¥- ਮ¤¨ç¥áª¨¥ ¯à®æ¥ááë á ¯¥à¨®¤®¬ T â ª¨¥, çâ® x(t) = x(t +T) (¡®«¥¥ ¯®¤à®¡­®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ ¤ - ­® ¢ëè¥ ¢ 5.1. ¨ [79, 93]). ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¨¬ ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© § ¬ª­ãâë¥ ªà¨¢ë¥. «ï áâ 樮­ à­ëå «¨­¥©­ëå á¨á⥬ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ ᮡá⢥­­ë¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ¨¬¥îâ ¬¥áâ®, ¥á«¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ A(s) = 0 ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ s = | . ( ¥à¨®¤ T = 2 = :) ª®© ¢¨¤ ¤¢¨¦¥­¨© ᢮©á⢥­, ­ ¯à¨¬¥à, ª®«¥¡ ⥫ì­ë¬ ª®­á¥à¢ ⨢- ­ë¬ §¢¥­ìï¬.

¦­® ®в¬¥в¨вм, зв® ª®«¥¡ ­¨п, ¢®§­¨ª ой¨¥ г «¨­¥©­ле б¨бв¥¬, п¢«повбп ­¥£àã¡ë¬¨ ¢ ⮬ á¬ëá«¥, ç⮠᪮«ì 㣮¤­® ¬ «®¥ ®âª«®­¥­¨¥ ¯ à ¬¥â஢ á¨áâ¥¬ë ®â ¨á室­ëå ¬®¦¥â

233

¨á. 10.2. ¥¯ à âà¨áë ¨ ¯à¥¤¥«ì­ë© 横«.

¯à¨¢¥á⨠ª ¨á祧­®¢¥­¨î ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ¤¢¨¦¥­¨©. ஬¥ ⮣®, ¬ «®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ­ ç «ì­®£® á®áâ®ï­¨ï á¨áâ¥¬ë ¯à¨¢®- ¤¨â ª ¯à®¯®à樮­ «ì­®¬ã ¨§¬¥­¥­¨î ¬¯«¨âã¤ë ª®«¥¡ ­¨©, ª ª íâ® ¢¨¤­® ¨§ ä®à¬ã«ë ®è¨ (6.8) ¤«ï à¥è¥­¨© «¨­¥©- ­ëå á¨á⥬. ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬ ¢®§¬®¦­® áãé¥á⢮¢ ­¨¥ £àã¡ëå ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ, å à ªâ¥à¨á⨪¨ ª®â®àëå ­¥

¬¥­повбп (ª з¥бв¢¥­­®) ¯а¨ ¨§¬¥­¥­¨¨ ¢ ®¯а¥¤¥«¥­­ле ¯а¥- ¤¥« е ¯ а ¬¥ва®¢ ¨«¨ ­ з «м­ле гб«®¢¨©. бᬮва¨¬ нв® п¢«¥­¨¥ ¯®¤а®¡­¥¥.

ãáâì ¢â®­®¬­ ï á¨á⥬ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬

x(t) = f;x(t) :

(10.12)

¯à¥¤¥«¥­¨¥ [79]. ¥à¨®¤¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ x(t)

â ª¦¥ á®-

®â¢¥âáâ¢ãîé ï ¥¬ã âà ¥ªâ®à¨ï G áç¨â ¥âáï ¨§®«¨à®¢ ­­ë¬ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬ à¥è¥­¨¥¬ ¨ ­ §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¥«ì­ë¬ 横«®¬, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ > 0, çâ® ª ª®¢ ¡ë ­¨ ¡ë« â®çª

x0

2 X

­ 室ïé ïáï ®â ªà¨¢®©

G

­

¯®«®¦¨â¥«ì­®¬ à ááâ®ï-

 

0

),

7

¬¥­ì襬, 祬 0

 

0

) < \ ¯à®å®¤ï饥 ç¥à¥§

­¨¨ G(x

 

< G(x

­¥¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï (10.12)

­¥ ï¥âáï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 ááâ®ï­¨¥ G(x) ®â â®çª¨ x ¤® ªà¨¢®© G ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Rn ¬®¦­®

 

(jjx

; xGjj), £¤¥ jj jj { ­¥ª®â®à ï (­ ¯à¨¬¥à,

®¯à¥¤¥«¨âì ª ª G(x) = infxG 2G

¥¢ª«¨¤®¢ ) ¢¥ªâ®à­ ï ­®à¬ ¢ Rn:

 

 

 

234

â® ®§­ ç ¥â, çâ® ¯à¨ n = 2 ­ ä §®¢®© ¯«®áª®á⨠¢¡«¨§¨ ¯à¥¤¥«ì­ëå 横«®¢ ­¥ ¯à®å®¤¨â ¤àã£¨å § ¬ª­ãâëå âà ¥ªâ®- ਩ à¥è¥­¨© ãà ¢­¥­¨ï (10.12). ⬥⨬, çâ® ã «¨­¥©­ëå ª®­á¥à¢ ⨢­ëå á¨á⥬ § ¬ª­ãâë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ «¥¦ â "¢áî- ¤ã ¯«®â­®" { ­ ᪮«ì 㣮¤­® ¬ «®¬ à ááâ®ï­¨¨ ®â ¤ ­­®© § ¬ª­ã⮩ ªà¨¢®© ­ 室ïâáï ¤à㣨¥ § ¬ª­ãâë¥ âà ¥ªâ®à¨¨.

ª ¤«ï ¢­¥è­¨å, â ª ¨ ¤«ï ¢­ãâ७­¨å ¯® ®â­®è¥­¨î ª

¯à¥¤¥«ì­®¬ã 横«ã G 8 ¨¬¥îâáï

¤¢¥ ¢§ ¨¬­® ¨áª«îç î騥

¢®§¬®¦­®á⨠¯®¢¥¤¥­¨ï ¢¡«¨§¨ G

: ¢á¥ ¢­ãâ७­¨¥ âà ¥ªâ®-

ਨ, ­ 稭 î騥áï ¢¡«¨§¨ G "­ ¬ âë¢ îâáï" ­ G ª ª ᯨ-

à «¨ «¨¡® ¯à¨ t ! 1 «¨¡® ¯à¨ t

! ;1: ® ¦¥ á ¬®¥ ®â­®-

á¨âáï ¨ ª® ¢­¥è­¨¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬

[79].

᫨ ¢á¥ ¢­ãâ७­¨¥ ¨ ¢­¥è­¨¥ âà ¥ªâ®à¨¨, ­ 稭 îé¨- ¥áï ¢¡«¨§¨ G "­ ¬ âë¢ îâáï" ­ G ¯à¨ t ! 1 â® ¯à¥¤¥«ì- ­ë© 横« ­ §ë¢ ¥âáï ãá⮩稢ë¬. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¢®§¬®¦-

­ë (¢¯®«­¥) ­¥ãáâ®©ç¨¢ë¥ ¨ ¯®«ããáâ®©ç¨¢ë¥ ¯à¥¤¥«ì­ë¥ æ¨-

ª«ë.

 

¯à¥¤¥«¥­¨¥ ( . . ­¤à®­®¢, á¬. [79]). á⮩稢ë©

¯à¥¤¥«ì­ë© 横« ­ §ë¢ ¥âáï ¢â®ª®«¥¡ ­¨¥¬.

2

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢â®ª®«¥¡ ­¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¯à®-

æ¥áá, å à ªâ¥à­ë© ¨áª«îç¨â¥«ì­® ¤«ï ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬.à ªâ¨ç¥áª¨ ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® â ª®© ¯à®æ¥áá ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ª®£¤ á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï á¨áâ¥¬ë ­¥ãá⮩稢® "¢ ¬ «®¬",

­® á¨á⥬ ®¡« ¤ ¥â ¤¨áᨯ ⨢­®áâìî,

â ª çâ® ¯à®æ¥ááë

¯à¨ "¡®«ìè¨å" ­ ç «ì­ëå ®âª«®­¥­¨ïå § âãå îâ.

ª ç¥-

á⢥ ¯à¨¬¥à

­ à¨á. 10.2, ¡ ¯®ª § ­ ä §®¢ë© ¯®àâà¥â ¢-

⮪®«¥¡ ⥫쭮© á¨á⥬ë T 2x + 2 Tx + x = ku u

= c signx

(T = 0:1 c,

= 0:25), ïî饩áï ã¯à®é¥­­®© ¬®¤¥«ìî £¥-

­¥à â®à ª®«¥¡ ­¨© [79, 94]. â á¨á⥬

¨áá«¥¤ã¥âáï ­¨¦¥

¢ ¯.¯. 11.2.2. 11.3. ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¥¤¥«ì­ë© 横« ï¥âáï ¨ ᥯ à âà¨á®©.

¥«¨­¥©­ë¬ á¨á⥬ ¬ ᢮©á⢥­­ë ­¥ ⮫쪮 ¯¥à¨®¤¨ç¥- ᪨¥ ᮡá⢥­­ë¥ ¯à®æ¥ááë. ®§¬®¦­ë â ª¦¥ ª¢ §¨¯¥à¨®¤¨- ç¥áª¨¥ ०¨¬ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª®«¥¡ ⥫ì­ë¬ ¤¢¨¦¥­¨- ï¬ á ­¥á®¨§¬¥à¨¬ë¬¨ ç áâ®â ¬¨. ®«¥¥ ⮣®, ¢®§¬®¦­® ¢®§- ­¨ª­®¢¥­¨¥ å ®â¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ ⥫ì­ëå ¯à®æ¥áᮢ, ¨¬¥îé¨å ­¥¯à¥àë¢­ë© á¯¥ªâà ç áâ®â ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¡« ¤ îé¨å ᢮©á⢠¬¨, å à ªâ¥à­ë¬¨ ¤«ï á«ãç ©­ëå ¯à®æ¥áᮢ. áâ -

8 «ï ¯à®áâ®âë ¨§«®¦¥­¨ï ᥩç á à áᬠâਢ ¥¬ á«ãç © ä §®¢®© ¯«®áª®áâ¨, n = 2:

235

­®¢¨¢è¨¥áï å ®â¨ç¥áª¨¥ ¯à®æ¥ááë ®â«¨ç îâáï ®â ¯à¥¤¥«ì- ­ëå 横«®¢ ¨ ®¯¨áë¢ îâáï ¯à¨â¢ î騬¨ ¬­®¦¥á⢠¬¨ { ââà ªâ®à ¬¨. ¢¥¤¥­¨ï ® å ®â¨ç¥áª¨å á¨á⥬ å ¨ ¬¥â®¤ å ¨å ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ ¯. 13.3.

¨¡®«¥¥ ®¡é¥¥ ¨§ ¨§¢¥áâ­ëå ®¯à¥¤¥«¥­¨© ª®«¥¡ ⥫ì­ëå ¯à®æ¥áᮢ, ¢ª«îç î饥 ª ª ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥, â ª ¨ ­¥à¥£ã«ïà- ­ë¥, å ®â¨ç¥áª¨¥, ¯à¥¤«®¦¥­® . . ªã¡®¢¨ç¥¬ ¢ 1973 £. (á¬.

[55, 56, 76, 93])

¯à¥¤¥«¥­¨¥ . ¥è¥­¨¥ x(t) (t) á¨á⥬ë (10.8), (10.9) ­ §ë¢ ¥âáï ª®«¥¡ ⥫ì­ë¬ (¨«¨ ª®«¥¡ ⥫ì­ë¬ ¯® ªã¡®¢¨-

çã) ¯® ¢ë室ã ,

¥á«¨ ¢ë¯®«­¥­ë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï: 1)

jjx(t)jj

const\ 2) ¨á«® ¨§¬¥­¥­¨© §­ ª

ä㭪樨 (t) ¡¥á-

ª®­¥ç­® ­ t 2 [0

1)\ 3) ¨á«® ¢ë室®¢ (t) § ¯à¥¤¥«ë § -

¤ ­­®£® ¨­â¥à¢ «

[; ] > 0 >

0, ¡¥áª®­¥ç­® ­

t 2 [0 1):

2

 

 

10.3.4. ®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï. â१ª¨ ¯®ª®ï

¡à ⨬áï ⥯¥àì ª á®áâ®ï­¨ï¬ à ¢­®¢¥á¨ï ­¥«¨­¥©­ëå á¨- á⥬. ëè¥ ¡ë«® ®â¬¥ç¥­®, çâ® â ª¨¬¨ á®áâ®ï­¨ï¬¨ ï-

îâáï ®á®¡ë¥ â®çª¨,

¢ ª®â®àëå ¢¥ªâ®à

ä §®¢®© ᪮à®áâ¨

v ®¡à é ¥âáï ¢ ­®«ì.

«ï «¨­¥©­ëå áâ

樮­ à­ëå á¨á⥬

x(t) = Ax(t) ¢ë¯®«­¥­® v(x) = Ax ¯®í⮬㠬­®¦¥á⢮ á®áâ®ï- ­¨© à ¢­®¢¥á¨ï fx g { «¨¡® ­ ç «® ª®®à¤¨­ â (¯à¨ det A 6= 0),

«¨¡® ¬­®£®®¡à §¨¥ ¡®«¥¥ ¢ë᮪®© à §¬¥à­®áâ¨, ­® ¢á¥£¤ { ­¥ª®â®à®¥ «¨­¥©­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ( ­­ã«¨à㥬®¥ ¯®¤¯à®-

áâà ­á⢮

N

(A) ¬ âà¨æë A) ¯à®áâà ­áâ¢

á®áâ®ï­¨©,

 

 

 

á. 113.

fx

g = N (A) N (A) X á¬. á­®áªã 3 ­

«п ­¥«¨­¥©­ле б¨бв¥¬ ®б®¡л¥ в®зª¨ ®¯а¥¤¥«повбп ¨§

ãà ¢­¥­¨ï (10.12), ᮣ« á­® ª®â®à®¬ã á®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï x ¤®«¦­ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ­¥«¨­¥©­®¬ã «£¥¡à ¨ç¥áª®¬ã ãà ¢- ­¥­¨î (â®ç­¥¥ { á¨á⥬¥ ãà ¢­¥­¨© ®â­®á¨â¥«ì­® ª®¬¯®­¥­â xi ¢¥ªâ®à x ):

f(x ) = 0:

(10.13)

âáî¤ ¢¨¤­®, çâ® ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¯à ¢ëå ç á⥩ ãà ¢- ­¥­¨ï (10.12), ¬­®¦¥á⢮ á®áâ®ï­¨© à ¢­®¢¥á¨ï fx g ¬®£ãâ ¨¬¥âì á«®¦­ãî áâàãªâãàã. â® ¬®¦¥â ¡ëâì ᮢ®ªã¯­®áâì ¨§®«¨à®¢ ­­ëå â®ç¥ª «¨¡® ®â१®ª ¯àאַ© ("®â१®ª ¯®ª®ï"),

ç áâì ¯«®áª®á⨠("¯« á⨭ª ¯®ª®ï", "§®­ § áâ®ï") ¨ â.¤.

236

«ï ¨««îáâà 樨 ­ à¨á. 10.3 ¯à¨¢¥¤¥­ë ¯à¨¬¥àë ä §®- ¢ëå ¯®àâà¥â®¢ á¨á⥬ á ¬­®¦¥á⢮¬ ¨§®«¨à®¢ ­­ëå á®áâ®ï- ­¨© à ¢­®¢¥á¨ï ( ) ¨ á ®â१ª®¬ ¯®ª®ï (¡). 9

¨á. 10.3. ®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï ­¥«¨­¥©­ëå á¨á⥬.

10.3.5.¥¥¤¨­á⢥­­®áâì à¥è¥­¨©. ¥à¥á¥ç¥­¨¥ âà ¥ªâ®- ਩

ª ¨§¢¥áâ­® ¨§ ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© [12], ãà ¢­¥­¨¥ (10.12) ¨¬¥¥â à¥è¥­¨¥, ¯à¨â®¬ ¥¤¨­á⢥­­®¥, ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ â ª ­ §ë¢ ¥¬®£® ãá«®¢¨ï ¨¯è¨æ , ᮣ« á­® ª®- â®à®¬ã ¤«ï ¢á¥å x0 x00 2 X áãé¥áâ¢ã¥â ª®­áâ ­â (ª®­á⠭⨯è¨æ ) L > 0 (L < 1) ­¥ § ¢¨áïé ï ®â x0 x00 çâ® ¨¬¥¥â

¬¥áâ®

jjf(x0) ; f(x00)jj Ljjx0 ; x00jj:

(10.14)

â® ã⢥ত¥­¨¥ ï¥âáï ®¤­®© ¨§ ⥮६ ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ¨ ¥¤¨­á⢥­­®á⨠à¥è¥­¨© ­®à¬ «ì­®© á¨áâ¥¬ë ¤¨ää¥à¥­æ¨- «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© (10.12) [12, 79]. á«®¢¨¥ ¨¯è¨æ ®§­ ç - ¥â, çâ® äã­ªæ¨ï f(x) ­¥ ¤®«¦­ ¨§¬¥­пвмбп ¢ «о¡®© ®¡« бв¨ ¯а®бва ­бв¢ X ¡ëáâ॥ ­¥ª®â®à®© «¨­¥©­®© ä㭪樨 á ª®­- á⠭⮩, ­¥ § ¢¨áï饩 ®â ¢ë¡®à ®¡« áâ¨.

«ï «¨­¥©­ëå á¨á⥬ ãá«®¢¨¥ (10.14), ®ç¥¢¨¤­®, ¢ë¯®«­¥- ­®, çâ® ¯®§¢®«¨«® ¢ ¯. 5.1. áä®à¬ã«¨à®¢ âì ®¡é¨¥ ᢮©áâ¢

9

{ ä §®¢ë© ¯®àâà¥â á¨á⥬ë x + 0:5x + 5 sin x = 0= ¡ { á¨á⥬ë

 

x + signx + x = 0:

 

237

д §®¢ле ¯®ава¥в®¢ в ª¨е б¨бв¥¬. «п ­¥«¨­¥©­ле б¨бв¥¬ гб«®¢¨¥ ¨¯и¨ж ¬®¦¥в ¡лвм ­ аги¥­®. ¯а¨¬¥а, б¨бв¥- ¬ ¬®¦¥в ᮤ¥а¦ вм "а §ал¢­го" (а¥«¥©­го) ­¥«¨­¥©­®бвм.®£¤ ¢ ®ªа¥бв­®бв¨ в®з¥ª а §ал¢ ¯а ¢л¥ з бв¨ га ¢­¥- ­¨п (10.12) а бвгв ­¥®£а ­¨з¥­­® ¡лбва®. аг£¨¬ ¯а¨¬¥а®¬ п¢«повбп ª¢ ¤а в¨з­л¥, ªг¡¨з­л¥ ­¥«¨­¥©­®бв¨, ¯а®¨§¢¥¤¥- ­¨п ¯¥а¥¬¥­­ле б®бв®п­¨п ¢ f (x) ¨ â.¤. 10

§ ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢¨¤ ä㭪樨 f(x) ¤«ï ­¥«¨­¥©­ëå á¨- á⥬ ¢®§¬®¦­ë à §­ë¥ ¯à®æ¥ááë, ¢ë§¢ ­­ë¥ ­ àã襭¨¥¬ 㪠-

§ ­­®£® ãá«®¢¨ï. ¯à¨¬¥à, ¢®§¬®¦­® ᫨ﭨ¥ à §«¨ç­ëå ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ¢ ®¤­ã. ª®© ¢¨¤ ¯®¢¥¤¥­¨ï ᢮©á⢥­, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® á¨á⥬ ¬ á à §à뢭묨 ­¥«¨­¥©­®áâﬨ. - ¯à¨¬¥à, ¢ ®¯â¨¬ «ì­ëå ¯® ¡ëáâத¥©á⢨î á¨á⥬ å ¢® ¬­®- £¨å á«ãç ïå ¢á¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ᫨¢ îâáï ¢ ®¤­ã, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ § ¤ ­­ãî â®çªã [76]. á¨á⥬ å á ५¥©­®-«®£¨ç¥áª¨¬ ã¯à ¢«¥­¨¥¬ â ª¦¥ ¢®§¬®¦¥­ ¯à¥¤¥«ì­ë© 横«, á®áâ®ï騩 ¨§ ãç á⪮¢ ä §®¢ëå ªà¨¢ëå, ­ ª®â®àë© ¨§®¡à ¦ îé ï â®çª ¯®¯ ¤ ¥â ¨§ à §«¨ç­ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨© § ª®­¥ç­®¥ ¢à¥- ¬ï (á¬. à¨á. 10.4, a). à ªâ¥à­® â ª¦¥ ¯®ï¢«¥­¨¥ ᪮«ì- §ïé¨å ०¨¬®¢, ¯à¨ ª®â®àëå à §­ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ ¯®¯ ¤ îâ

з¥а¥§ ª®­¥з­®¥ ¢а¥¬п ­ ­¥ª®в®аго ¯®¢¥ае­®бвм (­¥ п¢«пойгобп, ¢®®¡й¥ £®¢®ап, а¥и¥­¨¥¬ (10.12)). ª з бв­л© б«г-

ç© ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯® ­¥ª®â®à®© âà ¥ªâ®à¨¨ ¬®¦¥â § ª®­¥ç­®¥ ¢à¥¬ï ¯à¨¢¥á⨠ª á®áâ®ï­¨î à ¢­®¢¥á¨ï á¨á⥬ë. â® ®§­ -

ç¥â, çâ® ¯¥à¥å®¤­ë© ¯à®æ¥áá ¢ ­¥¯à¥à뢭®© ­¥«¨­¥©­®© á¨- á⥬¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ª®­¥ç­ãî ¤«¨â¥«ì­®áâì, çâ® ¨áª«î祭®

¤«ï áâ 樮­ à­ëå ­¥¯à¥à뢭ëå «¨­¥©­ëå á¨á⥬.

¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï â ª¨å á¨á⥬ â¥àï¥âáï ¢®§¬®¦­®áâì ®¯à¥- ¤¥«¨âì à §¢¨â¨¥ ¯à®æ¥áá ¢ ¯à®è«®¬ ¯® ¥£® ⥪ã饬ã á®áâ®- ï­¨î. ­¥¥ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¤¥â¥à¬¨­¨à®¢ ­­ë¥ á¨áâ¥¬ë ¡ë- «¨ ®¯à¥¤¥«¥­ë ª ª á¨á⥬ë, ã ª®â®àëå ¯® ­ ç «ì­®¬ã á®- áâ®ï­¨î ¨ ¢å®¤­®¬ã ¯à®æ¥ááã ¬®¦­® ®¤­®§­ ç­® ®¯à¥¤¥«¨âì ¡ã¤ã饥 ¯®¢¥¤¥­¨¥. ⬥祭­®¥ ¢ëè¥ á¢®©á⢮ ­¥ ¯à®â¨¢®- à¥ç¨â ¤ ­­®¬ã ®¯à¥¤¥«¥­¨î, â ª ª ª ¯®á«¥¤­¥¥ ®â­®á¨âáï ª ¡ã¤ã饬ã, ­¥ ª ¯à®è«®¬ã à §¢¨â¨î ¯à®æ¥áá . áᬮâਬ

10 ­®£¤ ¨á¯®«ì§ã¥âáï â ª ­ §ë¢ ¥¬®¥ «®ª «ì­®¥ ãá«®¢¨¥ ¨¯è¨æ (¢ ®â«¨ç¨¥ ®â £«®¡ «ì­®£® (10.14)), ᮣ« á­® ª®â®à®¬ã ª®­áâ ­â L ¤®«¦- ­ "®¡á«ã¦¨¢ âì" «¨èì ­¥ª®â®àãî ®£à ­¨ç¥­­ãî ®¡« áâì ¯à®áâà ­á⢠á®áâ®ï­¨© [36]. ®£¤ , ­ ¯à¨¬¥à ¤«ï f(x) = x2 ¢ë¯®«­¥­® «®ª «ì­®¥ ãá«®- ¢¨¥ ¨¯è¨æ , ¤«ï f(x) = sign(x) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ 0 ®­® ­¥ ¢ë¯®«­¥­®.«®¡ «ì­®¥ ãá«®¢¨¥ ¨¯è¨æ (10.14) ­¥ ¢ë¯®«­¥­® ¢ ®¡®¨å á«ãç ïå.

238

⥯¥àì á«¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à.

ãáâì á¨á⥬ ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪

 

 

x(t) = sign(x(t))p

 

 

 

 

 

 

jx(t)j

x(0) = x0:

 

®«®¦¨¬ x0 = 0: 祢¨¤­®, ãà ¢­¥­¨¥ ¨¬¥¥â âਢ¨ «ì­®¥ à¥-

襭¨¥ x1(t)

 

0: ஬¥ ⮣®, ­¥¯®á।á⢥­­®© ¯®¤áâ ­®¢ª®©

 

 

t2

t2

â ª¦¥ ¥áâì

ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® ä㭪樨 x2(t) = 4 ¨ x3(t) = ; 4

à¥è¥­¨ï ¤ ­­®£® ãà ¢­¥­¨ï ¯à¨ 㪠§ ­­®¬ ­ ç «ì­®¬ ãá«®-

¢¨¨.

 

 

 

 

 

 

¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¤ ­­®¬ ¯à¨¬¥à¥ ãá«®¢¨¥ ¨¯è¨æ

­ àãè¥-

­® ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠­ ç « ª®®à¤¨­ â.

 

 

 

«¥¤®¢ ⥫쭮, ­¥«¨­¥©­®áâì ãà ¢­¥­¨© á¨áâ¥¬ë ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª á«®¦­®á⨠¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ á ¬®£® ¯®­ïâ¨ï ¥¥ á®- áâ®ï­¨ï. ®­¥ç­®, ¯à¨ â¥å­¨ç¥áª®© ॠ«¨§ 樨 â ª®© á¨áâ¥- ¬ë ¨«¨ ¥¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¨ à §¢¨â¨¥ ¯à®æ¥áá ¯®©¤¥â ¯® ª®­- ªà¥â­®© âà ¥ªâ®à¨¨, ®¤­ ª® ¯®«ã祭­®¥ à¥è¥­¨¥ ¡ã¤¥â ᨫì- ­® § ¢¨á¥âì ®â ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨©, ¯®£à¥è­®á⥩, ¢®§¬ãé¥- ­¨©. ¤¥áì ¬ë ®¡à é ¥¬ ¢­¨¬ ­¨¥ ­ ¢®§­¨ª î騥 ⥮à¥â¨- ç¥áª¨¥ § âà㤭¥­¨ï.

10.3.6. ª®«ì§ï騥 ०¨¬ë

¦­л¬ ª« бᮬ ­¥«¨­¥©­ле б¨бв¥¬ б а §ал¢­®© ¯а ¢®© з - бвмо п¢«повбп б¨бв¥¬л, ¤«п ª®в®але б¢®©бв¢¥­­® бгй¥бв¢®- ¢ ­¨¥ ᪮«ì§ïé¨å ०¨¬®¢ { ¤¢¨¦¥­¨ï ¨§®¡à ¦ î饩 â®çª¨ ¯® ¯®¢¥àå­®áâ¨ à §àë¢ , ¢ë§¢ ­­®¥ ⥬, çâ® ¢¥ªâ®àë ä §®¢®© ᪮à®á⨠­ ¯à ¢«¥­ë ®â­®á¨â¥«ì­® í⮩ ¯®¢¥àå­®á⨠¢ ¯à®- ⨢®¯®«®¦­ë¥ ®¡« áâ¨. १ã«ìâ ⥠¨§®¡à ¦ îé ï â®çª ¤¢¨¦¥âáï ¯® ¯®¢¥àå­®áâ¨ à §àë¢ , ¯à¨ç¥¬ ¢¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®á⨠­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­ ¯® ãà ¢­¥­¨ï¬ á¨áâ¥¬ë ­¨ ¤«ï ®¤­®© ¨§ ®¡« á⥩. ®§­¨ª­®¢¥­¨¥ ᪮«ì§ï饣® à¥- ¦¨¬ ­ ªà¨¢®©, § ¤ ­­®© ãà ¢­¥­¨¥¬ (x) = 0 ¯®ª § ­® ­ à¨á. 10.4, ¡. ª ¢¨¤­® ¨§ à¨áã­ª , ¢¥ªâ®àë ä §®¢®© ᪮à®-

á⨠¢¡«¨§¨ £à ­¨æë à §àë¢ ­ ¯à ¢«¥­ë ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ë¥ ®¡« áâ¨. â® ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬ã, çâ® ¨§®¡à ¦ îé ï â®çª § ª®­¥ç­®¥ ¢à¥¬ï ¯®¯ ¤ ¥â ­ ªà¨¢ãî (x) = 0 ¨ ¤ «¥¥ ¤¢¨¦¥â- áï ¯® ­¥©. ¤¥áì â ª¦¥ ­ ¡«î¤ ¥âáï ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ à §«¨ç­ëå ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨©.

®§­¨ª ¥â § ¤ ç ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï á¨áâ¥¬ë ¯® 㪠- § ­­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨, ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨ { ®¯à¥¤¥«¥­¨ï à¥è¥-

239

¨á. 10.4. ¥à¥á¥ª î騥áï âà ¥ªâ®à¨¨ ¨ ᪮«ì§ï騩 ०¨¬

­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (10.12), ¥á«¨ äã­ªæ¨ï f (x) ¯à¥â¥à¯¥¢ ¥â à §- àë¢ (¯® x) ¢ ª ¦¤ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨. §¢¥á⥭ àï¤ ¯®¤å®- ¤®¢ ª à¥è¥­¨î í⮩ § ¤ ç¨ (á¬. [30, 102]). ¥ª®â®àë¥ ¨§ ­¨å

¡ã¤ãâ à áᬮâà¥­ë ¢ ¯. 11.6.

10.3.7. «¨ï­¨¥ ¢­¥è­¨å ¢®§¤¥©á⢨©

«п ­¥«¨­¥©­ле ­¥бв ж¨®­ а­ле б¨бв¥¬, б¨бв¥¬ ¯®¤¢¥а¦¥­- ­ле ¢­¥и­¨¬ ¢®§¤¥©бв¢¨п¬, е а ªв¥а ¯®¢¥¤¥­¨п бв ­®¢¨вбп ¥й¥ ¡®«¥¥ б«®¦­л¬. ª ®в¬¥з¥­® ¢ли¥, ¢ ­¥«¨­¥©­®¬ б«г- з ¥ ®вбгвбв¢г¥в б¢®©бв¢® а §¤¥«¥­¨п, ¯®нв®¬г ª ª гбв®©з¨- ¢®бвм, в ª ¨ ª з¥бв¢® ¯а®ж¥бб®¢ ¢ в ª¨е б¨бв¥¬ е б«¥¤г¥в ¨§-

ãç âì, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, á ãç¥â®¬ ®¤­®¢à¥¬¥­­® ª ª ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨©, â ª ¨ ¢­¥è­¨å ¢®§¤¥©á⢨©.

ਠ¢­¥è­¨å ¢®§¤¥©á⢨ïå ¬®£ãâ ¢®§­¨ª âì â ª¨¥ ¥­¨ï, ª ª ¯®¤ ¢«¥­¨¥ ¨ ¢®§¡ã¦¤¥­¨¥ ¢â®ª®«¥¡ ­¨© (¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢å®¤­®£® ¯à®æ¥áá ), ¯à¨­ã¤¨â¥«ì­ ï ᨭåà®­¨§ æ¨ï ª®«¥- ¡ ­¨©, ०¨¬ ¡¨¥­¨©, ¥­¨¥ ᪠窮®¡à §­®£® ¨ ¯ à ¬¥âà¨-

ç¥áª®£® १®­ ­á , ¢®§­¨ª­®¢¥­¨¥ å ®â¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ ¨ â.¤. [15, 72, 76].

ªâã «ì­ë¬ ï¥âáï ¢®¯à®á ¨§ã祭¨ï ¢«¨ï­¨ï ­¥«¨­¥©- ­ëå §¢¥­ì¥¢ ­ ᢮©á⢠á¨á⥬ë, ¤«ï ª®â®à®© ¢ ®á­®¢­®¬ ¯à¨¬¥­¨¬® «¨­¥©­®¥ ®¯¨á ­¨¥. ¤¥áì ¬®£ãâ ¡ëâì á ¬ë¥ à §- ­®®¡à §­ë¥ á¨âã 樨. áâ ­®¢¨¬áï «¨èì ­ ­¥ª®â®àëå.

ਠ­ «¨ç¨¨ ­¥çã¢á⢨⥫쭮á⨠¤ â稪®¢ á¨á⥬ ã¯à -

240

¢«¥­¨ï ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¯ ¤ ¥â â®ç­®áâì á¨á⥬ë. ஬¥ â®- £®, ¤«ï áâ â¨ç¥áª¨ ­¥ãá⮩稢ëå ®¡ê¥ªâ®¢ ã¯à ¢«¥­¨ï ¨§-§ ¢ë§¢ ­­®£® ­¥çã¢á⢨⥫쭮áâìî 㬥­ì襭¨ï ª®íää¨æ¨¥­â ¯¥à¥¤ ç¨ ¯à¨ ¬ «ëå ®âª«®­¥­¨ïå á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï áâ - ­®¢¨âáï ­¥ãá⮩稢ë¬. â® ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ¢â®ª®«¥¡ - ⥫쭮¬ã (¨«¨ ¤ ¦¥ à á室ï饬ãáï) ¯à®æ¥ááã [113]. ­ «®- £¨ç­®¥ ¢«¨ï­¨¥ ®ª §ë¢ ¥â ª¢ ­â®¢ ­¨¥ ᨣ­ «®¢ ¯® ã஢­î ¢ á¨á⥬ å á æ¨ä஢묨 ॣã«ïâ®à ¬¨ [15, 76].

«¨ï­¨¥ ­ áë饭¨ï ­ «®£¨ç­® 㬥­ì襭¨î ª®íää¨æ¨¥­- â ãᨫ¥­¨ï ¤«ï ᨣ­ «®¢ ¡®«ì让 ¬¯«¨âã¤ë. ᫨ ¤«ï ¡- ᮫îâ­® ãá⮩稢ëå á¨á⥬ íâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®â¥à¥ â®ç­®áâ¨, â® ¤«ï ãá«®¢­® ãá⮩稢ëå á¨á⥬ ­ áë饭¨¥ ¬®¦¥â ¯à¨¢¥- á⨠ª ­¥ãá⮩稢®áâ¨. ஬¥ ⮣®, ¯à¨ ­ áë饭¨¨ ᨣ­ « ã¯à ¢«¥­¨ï ¤®«ï ¤¥¬¯ä¨àãîé¨å á®áâ ¢«ïîé¨å ¢ ã¯à ¢«ïî- 饬 ¢®§¤¥©á⢨¨ 㬥­ìè ¥âáï, çâ® â ª¦¥ ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ­¥¦¥« ⥫ì­ë¬ á â®çª¨ §à¥­¨ï ãá⮩稢®á⨠á¨á⥬ë ¥- ­¨ï¬ [113].

¥«¥©­ë¥ (à §à뢭ë¥) å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯à¨ ¬ «ëå ®âª«®- ­¥­¨ïå ¢å®¤­®£® ᨣ­ « ¯à®ï¢«ïîâ á¥¡ï ª ª §¢¥­ìï á ¡®«ì- 訬 ª®íää¨æ¨¥­â®¬ ãᨫ¥­¨ï. â® ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®¢ë襭¨î

â®ç­®áâ¨, ®¤­ ª® ¬®¦¥â ¢ë§¢ âì ­¥¦¥« ⥫ì­ë¥ ¢â®ª®«¥¡ - ­¨ï ¨«¨ ­ àã襭¨¥ ãá⮩稢®á⨠á¨á⥬ë [76, 94, 102, 106].

241