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Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

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¯ à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ ¢¬¥áâ® (12.76) á«¥¤ã¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì ­ - áâà ¨¢ ¥¬ë© ¯à¥-䨫ìâà, § ¤ ¢ ¥¬ë© ãà ¢­¥­¨ï¬¨

xf (t) = Af xf (t) + Bf r(t) yf (t) = T (t)xf (t)

(12.77)

£¤¥ xf (t)

2 R

N

\ (t)

2 R

N { ¢¥ªâ®à ­ áâà ¨¢ ¥¬ëå ¯ à ¬¥-

 

 

 

 

T

 

 

N = n + n0. âà¨æë

â஢: (t) = [!1(t) !2

(t) : : : !N (t)]

 

 

 

Af Bf § ¯¨è¥¬ ¢ ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ä §®¢®© ¯¥à¥¬¥­­®©

( , á. 74).

®¬¨­ «ì­®¥ §­ 祭¨¥ (t) § ¢¨á¨â ®â

¯ à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ ¨ ¤®«¦­® 㤮¢«¥â¢®àïâì (12.76) ¤«ï ¯¥-

। â®ç­®© ä㭪樨

Wf (s) = T (sI

;

Af );1Bf : ¢ë¡à ­­®¬

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

ª ­®­¨ç¥áª®¬ ¡ §¨á¥ ¢ë¯®«­¥­® F (s) =

 

i=1

! sN;i

. âáî-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

¤ ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬㠫¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨© ¤«ï ­®¬¨­ «ì­ëå

§­ 祭¨©: !

i = 1 : : : N

 

 

 

 

P

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

!i sN;i

= K(A(s)B0(s) + A0

(s)B(s)):

(12.78)

 

 

 

i=1

⨠§­ 祭¨ï § ¢¨áï⠮⠭¥¨§¢¥áâ­ëå ¯ à ¬¥â஢ ®¡ê¥ªâ , ®æ¥­ª¨ ª®â®àëå ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ã祭ë á ¯®¬®éìî «£®à¨â¬ ¤ ¯â¨¢­®© ¨¤¥­â¨ä¨ª 樨, ®¯¨á ­­®£® ¢ 12.7.2.

«п ¢л¡®а иг­в ¢¢¥¤¥¬ б«¥¤гойго ¯¥а¥¤ в®з­го дг­ª- ж¨о [107]:

 

Wc(s) = " ("s + 1)k;2

 

> 0:

(12.79)

 

(s + )k;1

 

 

 

¨¦¥

áä®à¬ã«¨à®¢ ­ë ᢮©áâ¢

 

à áè¨à¥­­®£® ®¡ê¥ªâ

(12.74) á

èã­â®¬ (12.79) [107].

 

 

 

1. ãáâì Wp (s) (12.72) { ¬¨­¨¬ «ì­®-ä §®¢ ï (B(s) {

£ãࢨ楢 ¬­®£®ç«¥­), ¨¬¥¥â ®â­®á¨â¥«ì­ë© ¯®à冷ª k > 1 ¨ Wp (0) > 0: ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ¯ à ¬¥âà 0 > 0 ¨ äã­ªæ¨ï "0( ) > 0 â ª ï, çâ® ¯¥à¥¤ â®ç­ ï äã­ªæ¨ï W (s) = Wp (s) + Wc (s) { áâண® ¬¨­¨¬ «ì­®-ä §®¢ ï ( ) ¤«ï ¢á¥å ¨ 0 < " < "0( 0).

2. ãáâì Wp (s) { ãá⮩稢 ï (A(s) { £ãࢨ楢 ¬­®£®-

ç«¥­), ¨¬¥¥â ®â­®á¨â¥«ì­ë© ¯®à冷ª k > 1 ¨ Wp(0) > 0: ®£¤ ¤«ï «î¡®£® " > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ¤®áâ â®ç­® ¡®«ì讥 §­ 祭¨¥0 â ª®¥, çâ® W (s) = Wp(s) + Wc(s) { ¤«ï ¢á¥å 0.

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®¦­® ¢¢¥á⨠èã­â (12.79) ¯®à浪

342

deg(As(s)) = k ; 1 = n ; m ; 1, ª®â®àë© ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¡®«ì- 讬 ¨ ¬ «®¬ " ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ãá«®¢¨¥ ¤«ï à áè¨à¥­- ­®£® ®¡ê¥ªâ (12.74) ¯à¨ «î¡®¬ ¬¨­¨¬ «ì­®-ä §®¢®¬ ®¡ê¥ªâ¥ ã¯à ¢«¥­¨ï ¨ ¯à®¨§¢®«ì­®© § ¤ ­­®© ®¡« á⨠¯ à ¬¥â஢.

ª á«¥¤ã¥â ¨§ ã⢥ত¥­¨ï 2, ¯à¨ ¤à㣮¬ ᯮᮡ¥ ¢ë¡®- à ¯ à ¬¥â஢ èã­â (12.79), ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤«ï ãá⮩稢ëå (¨, ¢®§¬®¦­®, ­¥¬¨­¨¬ «ì­®-ä §®¢ëå) ®¡ê¥ªâ®¢.í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢­¥­¨¥ èã­â ¬®¦­® ã¯à®áâ¨âì\ ¨¬¥­­® ¢¬¥áâ® (12.79) ¬®¦­® ¢§ïâì Wc (s) = s + :

।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® èã­â (12.79) ¢ë¡à ­ ­ ¤«¥¦ - 騬 ®¡à §®¬ ¨ à áè¨à¥­­ë© ®¡ê¥ªâ (12.74) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î . ¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨ï à áè¨à¥­­®£® ®¡ê¥ª- â ¢ á«¥¤ãî饩 ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ [102, 189]:

 

x1(t) = A11x1(t) + A12x2(t)

 

 

x2(t)

= A21x1(t) + A22x2(t) + bu(t)

(12.80)

 

y(t)

= Cx(t)

 

£¤¥ x1

(t) 2 RN;1, x2

(t) 2 R

¨ y(t) = c1x1(t) + c2x2

(t) { ¨§¬¥àï-

¥¬ë© ¢ë室, c2b >

0\ A11

xA12 A21 A22 b { ­¥¨§¢¥áâ­ë¥

¯ à ¬¥âàë, C = [c1 c2] :

 

 

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥ âॡã¥âáï ­ ©-

⨠ã¯à ¢«ïî饥 ¢®§¤¥©á⢨¥ u(t) ¨ § ª®­ ­ áâனª¨ (t) ¢ (12.77) â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¤ ­­®£® §­ 祭¨ï ®â­®á¨â¥«ì- ­®£® ¯®à浪 k ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥­¨ï, ¥£® ¢ë室 ᨬ¯â®â¨ç¥- ᪨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â (12.73).

¤ ç ¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥­ ¢ ¤¢ íâ ¯ . ¥à¢ë© íâ ¯ á®á- ⮨⠢ à §à ¡®âª¥ «£®à¨â¬ ¨¤¥­â¨ä¨ª 樨 ¯ à ¬¥â஢ ¨ ®¡¥á¯¥ç¥­¨¨ ¨å á室¨¬®á⨠ª ¨á⨭­ë¬ §­ 祭¨ï¬.

â®à®© íâ ¯ á®á⮨⠢ ¢ë¡®à¥ ã¯à ¢«¥­¨ï u(t), ®¡¥á¯¥ç¨- ¢ î饣® á室¨¬®áâì (t) = y(t) ; yf (t) ª ­ã«î § ª®­¥ç­®¥ ¢à¥¬ï.

12.7.2. «£®à¨â¬ ­ áâனª¨ ¯ à ¬¥â஢

¤ ­­®¬ ¯ à £à ä¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­ «£®à¨â¬ ¨¤¥­â¨ä¨ª 樨, ¡«¨§ª¨© ª ४ãà७⭮© ¯à®æ¥¤ãॠ¬¥â®¤ ­ ¨¬¥­ìè¨å ª¢ - ¤à ⮢ ¨ ¨á¯®«ì§ãî騩 ⮫쪮 ¨§¬¥à¥­¨ï ¢å®¤ ¨ ¢ë室 ®¡ê¥ªâ . ¥à¢ë¬ è £®¬ ï¥âáï à §à ¡®âª 䨫ìâ஢, ¢¢¥- ¤¥­¨¥ ª®â®àëå ¯®§¢®«ï¥â ¨§¡¥¦ âì ¨§¬¥à¥­¨ï ¯à®¨§¢®¤­ëå ®â ¢ë室 ®¡ê¥ªâ .

343

¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ®¡ê¥ªâ

ã¯à ¢«¥­¨ï (12.72) ¢ ¢¨¤¥

 

 

y(n) (t) + a1y(n;1)(t) +

+ any(t) =

 

(12.81)

= b0u(m) (t) + b1u(m;1) (t) + + bmu(t)

 

 

 

£¤¥ a1 : : : an b0

: : : bm { ­¥¨§¢¥áâ­ë¥ ¯ à ¬¥âàë ®¡ê¥ªâ (¢¥àå-

­¨© ¨­¤¥ªá n

®§­ ç ¥â n-î ¯à®¨§¢®¤­ãî ¯® ¢à¥¬¥­¨ ®â ᨣ-

­ « ). ¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨ï ®¡ê¥ªâ

¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥

 

 

 

y(n) (t) = 'T (t)

 

 

(12.82)

£¤¥ '(t) = [yn;1(t) : : : y(t) y(t) um (t) : : : u(t)]T

= [

;

a1

 

T

 

 

2 R

n+m+1

 

 

 

;a2 : : : ;an b0 b1 : : : bm]

'(t)

 

 

. ¢¥¤¥¬ ¯¥à¥-

¬¥­­ë¥ y~(t) '~(t) 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãà ¢­¥­¨ï¬

 

 

 

D(p)~y(n) (t) = y(n) (t) D(p)'~(t) = '(t)

£¤¥ D(p) = pn +d1pn;1 + +dn { ¯à®¨§¢®«ì­ë© £ãࢨ楢 ¬­®- £®ç«¥­, p dtd . § (12.82) á«¥¤ã¥â, çâ®

y~(n) = '~T (t)

(12.83)

¨£­ «ë y~(t) '~(t) ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ã祭ë á ¯®¬®éìî á¨á⥬ë 䨫ìâ஢

_(t) = Ad (t) + bdy(t)

_(t) = Ad (t) + bdu(t)

£¤¥ (t) (t)2Rn \ Ad bd ¨¬¥¥â ª ­®­¨ç¥áªãî ä®à¬ã ä §®¢®© ¯¥à¥¬¥­­®©, det(sI ; Ad) = D(s). ¬¥â¨¬, çâ® ª ª , â ª ¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥­ë ­ ®á­®¢¥ ⮫쪮 ¨§¬¥à¥­¨© ¢å®¤ ¨

¢ë室 ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥­¨ï. 祢¨¤­®, çâ®

'~(t) = [ n(t) : : : 2(t) 1 (t) m+1 (t) : : : 1(t)]T

n

y~(n) (t) = y(t) ; X dn;i+1 i(t) :

i=1

¯¨è¥¬ ⥯¥àì «£®à¨â¬ ¨¤¥­â¨ä¨ª 樨 ¢ ¢¨¤¥ [122]

_(t) =

;

;(t)'~(t)'~T (t)( T (t)

;

(t)) =

 

T

T

 

~

= ;;(t)'~(t)'~ (t)

 

(t) + ;(t)'~(t) (t)

;(t) = ;;(t)'~(t)'~T (t);(t) + (;(t) ; k10 ;2(t)) 344

(12.84)

(12.85)

£¤¥ k0I > ;(0) = ;(0)

T

> 0

ç¥à¥§ (t) ®¡®§­ 祭

y~

(t).

 

 

 

 

~

(n)

 

®ª § ⥫ìá⢮ á室¨¬®á⨠¯ à ¬¥â஢ '~(t) ¨á¯®«ì§ã¥â ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¥, çâ® á¨á⥬ ¯®¤¢¥à¦¥­ ­¥¨á祧 î饬㠢®§-

¡ã¦¤¥­¨î á® áâ®à®­ë ᨣ­ « ã¯à ¢«¥­¨ï u(t) .

 

«¨â¥à âãॠ®¯¨á ­ë ¨ ¤à㣨¥

«£®à¨â¬ë ¨¤¥­â¨ä¨ª -

樨, ®á­®¢ ­­ë¥ ­¥ ¬¥â®¤¥ ­ ¨¬¥­ìè¨å ª¢ ¤à ⮢.

¯à¨-

¬¥à, [23, 106], ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì

«£®à¨â¬

 

_

T

(t)

T

 

~

(12.86)

(t) =

;;(t)'~(t)'~T

 

(t) + ;(t)'~(t) (t)

;(t) =

;;(t)'~(t)'~

(t);(t) + ;(t)

 

£¤¥ > 0 { ¯ à ¬¥âà «£®à¨â¬ .

 

 

 

«¥¤ãî騬 è £®¬ ï¥âáï ¢ë¡®à § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï.

12.7.3. ë¡®à § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï

®«ã稬 § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï, ®¡¥á¯¥ç¨¢ î騩 ᪮«ì§ï騩 à¥- ¦¨¬ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠= y ; yf = 0. «ï í⮣®, ¨á¯®«ì§ãï (12.80), ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ãà ¢­¥­¨¥ ®è¨¡ª¨ ¢ ¢¨¤¥

(t) = c1x1(t) + c2x2(t) ; yf (t) =

 

 

 

= c1A11x1(t)+

 

 

 

+c1A12x2(t) + c2A21x1 (t) + c2A22x2(t) + c2bu(t) ; yf (t):

ਭ¨¬ ï ¢® ¢­¨¬ ­¨¥, çâ®

 

 

 

 

1

 

( (t) + yf (t) ; c1x1(t))

 

(12.87)

x2 (t) =

 

 

 

c2

 

¯®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ (12.87) ¢ (12.87) ¯®«ã稬

 

 

(c2b);1 (t)=Lx1(t)+a1 (t)+a1yf (t);(c2 b);1y_f (t)+u(t) (12.88)

£¤¥ L { 1 (N ; 1)-¢¥ªâ®à\

 

22 c1

 

 

 

 

c A

+ c A

L = (c2b);1 c1A11 + c2A21 ; 1

12 c2 2

1

 

 

 

 

a1 =

 

(c1A12 + c2A22 ):

 

 

c2(c2b)

 

 

।áâ ¢¨¬ ⥯¥àì ¬®¤¥«ì ®è¨¡ª¨ ¤«ï x1 (t).

 

®¤áâ ¢«ïï

(12.87) ¢ (12.80), ¯®«ã稬

 

 

 

 

 

 

 

 

A12

A12

 

 

x1(t) = A x1(t) ; c2 (t) +

c2 yf (t)

(12.89)

345

 

 

 

£¤¥ A = A11

; A12

c1

: à ¢­¥­¨ï (12.77), (12.88), (12.89) ®¯¨áë-

c2

¢ îâ ¬®¤¥«ì ®è¨¡ª¨. ç⥬, çâ® à áè¨à¥­­ë© ®¡ê¥ªâ ®¡« -

¤ ¥â ᢮©á⢮¬ . â® ®§­ ç ¥â [191], çâ® A { £ãࢨæ¥-

¢ ¬ âà¨æ

 

¨ c2b > 0: ¦­® ®â¬¥â¨âì, çâ® yf (t) ®£à ­¨ç¥­®

(jyf (t)j

 

f ) ¢á«¥¤á⢨¥ £ãࢨ楢®á⨠Af ¨ ®£à ­¨ç¥­­®áâ¨

y

r(t), f (t).

 

 

 

 

롥६ ⥯¥àì ᨣ­ « ã¯à ¢«¥­¨ï ¢ ¢¨¤¥

 

 

 

 

u(t) = ;ks (t) ; sign( (t))

(12.90)

£¤¥ ks ¨ { ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ ¯ à ¬¥âàë. ¯à ¢«¥­¨¥ (12.90) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ã á¨á⥬ë ãá⮩稢®£® ᪮«ì- §ï饣® ०¨¬ ­ ¯®¢¥àå­®á⨠= 0: ¬¥â¨¬, çâ® ãá⮩ç¨- ¢®áâì á¨áâ¥¬ë ¬®¦¥â ¡ëâì ®¡®á­®¢ ­ ¯ã⥬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì- ­®£® ¯à¨¬¥­¥­¨ï ¤¢ãå ä㭪権 ï¯ã­®¢ [191]:

V

=

1

(cb);1 2

+

1xT

P x

V

 

=

1

(cb);1 2:

1

 

2

 

 

2

1

1

 

2

 

2

 

¨á. 12.8. âàãªâãà­ ï á奬 ¤ ¯â¨¢­®© á¨á⥬ë.

âàãªâãà­ ï á奬 ¤ ¯â¨¢­®© á¨á⥬ë ã¯à ¢«¥­¨ï ¯à¥¤- áâ ¢«¥­ ­ à¨á. 12.8.

12.7.4.ਬ¥à. ¤ ¯â¨¢­®¥ ã¯à ¢«¥­¨¥ «¥â ⥫ì­ë¬ ¯-

¯à ⮬

ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ¯à¨¬¥­¥­¨ï ¯à¥¤«®¦¥­­®£® ¬¥â®¤ à á- ᬮâਬ § ¤ çã ã¯à ¢«¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨¥¬ «¥â ⥫쭮£® ¯¯ - à â ( ) ¯® â ­£ ¦ã. ãáâì ¨¬¥¥â ¯®áâ®ï­­ë¥, ¯à¨- ®à­®-­¥®¯à¥¤¥«¥­­ë¥ ¯ à ¬¥âàë, §­ 祭¨ï ª®â®àëå «¥¦ â ¢

346

§ ¤ ­­®© ®£а ­¨з¥­­®© ®¡« бв¨. ¬¥в¨¬, зв® ¯®¤®¡­ п б¨- вг ж¨п ¬®¦¥в ¨¬¥вм ¬¥бв® ¯а¨ ¯®«¥в¥ ­ а §«¨з­ле а¥¦¨¬ е, ª®£¤ ¢лб®в , бª®а®бвм ¨ ­ £аг§ª ¨§¬¥­повбп ¬¥¤«¥­- ­® ¯® ба ¢­¥­¨о б в¥¬¯®¬ г£«®¢ле ¤¢¨¦¥­¨©. «п ®¯¨б ­¨п ¤¨­ ¬¨ª¨ г£«®¢®£® ¤¢¨¦¥­¨п ¨б¯®«м§г¥¬ б«¥¤гой¨¥ «¨-

­¥ ਧ®¢ ­­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï [23] (á¬.

â

ª¦¥ ¯.¯.

1.4.2. á.

29\

1.5.3. á. 41)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

(t) = !z (t) + ay (t) + ay¢ ¢ (t)

 

 

 

 

 

 

 

!_ (t) =

 

a

(t)

 

a!z

!

(t)

 

a ¢

 

 

(t)

 

 

 

 

8

;

;

;

¢

 

(12.91)

 

_z

mz

 

mz

z

 

mz

 

 

 

 

:

#(t) = !z(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£¤¥ #(t)

!(t) { 㣮« ¨ 㣫®¢ ï ᪮à®áâì â ­£ ¦ , (t) { 㣮«

â ª¨,

(t) { 㣮« ®âª«®­¥­¨ï àã«¥© ¢ëá®âë\

a

a

a!

a

¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

mz

!

 

am¢z { ¯ а ¬¥вал . е §­ з¥­¨п § ¢¨бпв ®в гª § ­­ле ¢л- и¥ д ªв®а®¢ ¨ ¬®£гв ¨§¬¥­пвмбп ¢ и¨а®ª¨е ¯а¥¤¥« е ¢ § ¢¨-

ᨬ®á⨠®â ¢ëá®âë ¨ ᪮à®á⨠¯®«¥â . ®ç­ë¥ §­ 祭¨ï ¯ - à ¬¥â஢ ¯à¨®à­® ­¥ ®¯à¥¤¥«¥­ë. ।¯®« £ ¥¬ â ª¦¥, çâ® ¤¨­ ¬¨ª®© ¨á¯®«­¨â¥«ì­®£® ®à£ ­ ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì ¨ áç¨- â âì, çâ® ã¯à ¢«¥­¨¥¬ ï¥âáï ®âª«®­¥­¨¥ àã«¥© ¢ (t): ç¨- â ¥¬, çâ® ¤®áâ㯭 ¨§¬¥à¥­¨î ⮫쪮 ॣ㫨à㥬 ï ª®®à¤¨- ­ â #(t): à ¢­¥­¨ï¬ (12.91) ®â¢¥ç ¥â ¯¥à¥¤ â®ç­ ï äã­ªæ¨ï (12.72), £¤¥ deg A(s) = 3 deg B(s) = 1 k = 2 :

¤ ­­®© § ¤ ç¥ âॡã¥âáï ®¡¥á¯¥ç¨âì § ¤ ­­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¢â®¯¨«®â¨à㥬®© á¨á⥬ë ã¯à ¢«¥­¨ï ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á

íâ «®­­®© ¬®¤¥«ìî (12.73), £¤¥ Am(s) = p3 + am1 p2 + am2 p + am3 .®íää¨æ¨¥­âë ãà ¢­¥­¨ï ®¡ê¥ªâ ã¯à ¢«¥­¨ï (12.81) á¢ï-

§ ­ë á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¬®¤¥«¨ (12.91) ᮮ⭮襭¨ï¬¨

a1 = a!mzz ;ay a2 =amz ;a!mzz ay a3 =0 b0 =;am¢z b1 = am¢z ay + ay¢ amz :

祢¨¤­®, çâ® §¤¥áì ­¥ âॡã¥âáï ¯à®¢®¤¨âì ®æ¥­¨¢ ­¨ï a3 \ á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬®¦­® 㬥­ìè¨âì ç¨á«® ®æ¥­¨¢ ¥¬ëå ¯ à - ¬¥â஢ ¨ ã¯à®áâ¨âì «£®à¨â¬ ¨¤¥­â¨ä¨ª 樨.

à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¨¬¥à¥ ®â­®á¨â¥«ì­ë© ¯®à冷ª ®¡ê-

¥ªâ k = 2 ¨ èã­â (12.79) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¤ ­ ¯¥à¥¤ â®ç­®©

ä㭪樥© Wc(s) =

 

 

¨¬¥î饩 ¯ à ¬¥âàë > 0 > 0:

s +

 

 

 

¢¥¤¥¬ 䨫ìâàë âà¥â쥣® ¯®à浪 ¤«ï ¢å®¤­®£® ¨ ¢ë室-

­®£® ¯à®æ¥áᮢ (12.76) ¢ ¢¨¤¥

 

x#(t) = Adx#(t) + bd#(t)

x (t) = Adx (t) + bd ¢ (t) (12.92)

 

 

 

 

347

£¤¥ x#(t) x (t)

2R

3

Ad

bd ¨¬¥îâ ª ­®­¨ç¥áªãî ä®à¬ã ä -

 

 

 

 

3

2

+d2s+d3

: ¥ª-

§®¢®© ¯¥à¥¬¥­­®©, det(sI;Ad) D(s) = s

 

+d1s

â®à '~(t) ⥯¥àì ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ '~(t) = [x# 3(t) x# 2(t)

x 2(t) x 1 (t)]T : ¨£­ « ~(t) ¢ (12.84) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬

x# 3(t) ¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ­ ©¤¥­ ¨§ (12.92) ç¥à¥§ x#(t) #(t) ¡¥§ ¤¨ä-

ä¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï. ®¬¯®­¥­â ¬¨ ¢¥ªâ®à

 

(t) 2 R4 п¢«повбп

®æ¥­ª¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¯ à ¬¥â஢ ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨

;a1 ;a2 b0

b1

: ¤ ­­®¬ ¯à¨¬¥à¥ ;(t) { ¬ âà¨æ

4

 

4,

 

;(0) = k0I: ª®­ç ⥫쭮

«£®à¨â¬ ¨¤¥­â¨ä¨ª 樨 ¨¬¥¥â ¢¨¤

(12.84), (12.85):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t t ' t ' t t t ' t t

_( ) = ;;( ) ~( ) ~T ( ) T ( ) + ;( ) ~( )~( )

;(t) = ;;(t)'~(t)'~T (t);(t) + ;(t) ; k10 ;2(t) : (12.93)

áᬮâਬ ⥯¥àì ॣã«ïâ®à á ¯¥à¥¬¥­­®© áâàãªâãன.¢¥¤¥¬ à áè¨à¥­­ë© ¢ë室­®© ᨣ­ « ya (t) = #(t)+yc(t) £¤¥ yc(t) { ¢ë室 èã­â¨àãî饣® §¢¥­ ¨ ¢ë¡¥à¥¬ ᨣ­ « ã¯à ¢«¥- ­¨ï ¢ ¢¨¤¥

¢(t) = ;ks (t) ; sign (t)

(12.94)

£¤¥ (t) = y(t) ; yf (t)\ yf (t) { ¢ë室 ¯à¥-䨫ìâà

(12.77).

«ï ¤®á⨦¥­¨ï 楫¨ ã¯à ¢«¥­¨ï (12.73) ­ ©¤¥¬ ¯ à ¬¥-

âàë ¯à¥-䨫ìâà â ª, çâ®¡ë ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ¯à¥¤¯®«®¦¥- ­¨ï ® á室¨¬®á⨠®æ¥­®ª ¯ à ¬¥â஢ ¢ ãáâ ­®¢¨¢è¥¬-

áï ०¨¬¥ ª ¨å ¨á⨭­ë¬ §­ 祭¨ï¬ ãà ¢­¥­¨ï ¯à¥-䨫ìâà

(12.77) 㤮¢«¥â¢®à﫨 (12.76), £¤¥

K = Am(0) ¨ ¬­®£®ç«¥­

 

B(0)

F (s) = Ap(s)B0(s) + A0(s)Bp(s) : «ï ¤ ­­®© á¨áâ¥¬ë ¯®«ãç ¥¬

F (s) = s3 + ( a1 + b0)s2 + ( a2

+ b0 + b1)s + b1 (12.95)

¨ §­ ¬¥­ â¥«ì ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 Wf (s) (12.76) { ¬­®£®- ç«¥­ ç¥â¢¥à⮩ á⥯¥­¨:

Am(s)A0(s) = s4 + ( + d1)s3 + ( d1 + d2)s2 + ( d2 + d3)s + d3 :ª®­ç ⥫쭮 ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî騥 ãà ¢­¥­¨ï ­ áâà ¨¢ ¥-

348

¬®£® ¯à¥-䨫ìâà

(12.77):

 

 

xf 1(t) = xf 2(t) xf 2(t) = xf 3(t)

 

 

xf 3(t) = xf 4(t)

 

 

xf 4(t) = ; d3xf 1(t) ; d3xf 2(t) ; ( d1 + d2)xf 3(t);

;

( + d1)xf 4(t) + r(t)

 

 

 

 

P

4

;

(12.96)

yf (t) = K(t)

i=1 !i(t)xf i(t)

!1(t) = 4 (t) !2 (t) = 4(t) + 3(t) 2 (t)

!3(t) = 3 (t)

; 1(t) !4 =

 

 

K(t) =

d3

:

 

 

 

4 (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

஢¥à¨¬ ⥯¥àì ¢ë¯®«­¥­¨¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï à áᬠ-

âਢ ¥¬®© á¨á⥬ë. ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ç¨á«¨â¥«ì ¯¥à¥¤ â®ç- ­®© ä㭪樨 à áè¨à¥­­®£® ®¡ê¥ªâ (12.74) F (s) ¨¬¥¥â ¢¨¤ (12.95) ¨ ¤®«¦¥­ ¡ëâì £ãà¢¨æ¥¢ë¬ ¬­®£®ç«¥­®¬ âà¥â쥩 áâ¥- ¯¥­¨. 㤥¬ à áᬠâਢ âì , ¨¬¥î騥 ­®à¬ «ì­ãî íà®- ¤¨­ ¬¨ç¥áªãî á奬ã [19, 23]. ਠí⮬ ª®íää¨æ¨¥­âë ç¨á«¨-

â¥«ï ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 W ¢ ®âà¨æ ⥫ì­ë, b0 < 0 b1 < 0:

вбо¤ ¢лв¥ª ов б«¥¤гой¨¥ б®®в­®и¥­¨п, ª®в®ал¥ ¤®«¦­л ¢л¯®«­пвмбп ¤«п ¯ а ¬¥ва®¢ ¨ иг­в :

< 0 b0 + a1

< 0 b0 + a2 + b1

< 0

(12.97)

b02 + a1b0 + 2a1a2 + b0b1 ; b1 > 0:

 

ª ç¥á⢥ ¨««îáâà 樨 à áᬮâਬ १ã«ìâ âë ¨á¯®«ì- §®¢ ­¨ï à áᬮâ७­®£® ¤ ¯â¨¢­®£® ॣã«ïâ®à (12.94), (12.92),

(12.96), (12.79) á «£®à¨â¬®¬ ¨¤¥­â¨ä¨ª 樨 (12.86) ¢ § ¤ - ç¥ ã¯à ¢«¥­¨ï , ç¨á«¥­­ë¥ §­ 祭¨ï ¯ à ¬¥â஢ ª®â®à®- £® ¤«ï à §«¨ç­ëå ०¨¬®¢ ¯®«¥â ¯à¨¢¥¤¥­ë ¢ â ¡«. 12.1.

ª ¢¨¤­® ¨§ в ¡«¨жл, ¯ а ¬¥вал ¨§¬¥­повбп ¢ и¨а®- ª¨е ¯а¥¤¥« е ¨ а¥¦¨¬ 3 б®®в¢¥вбв¢г¥в ­¥гбв®©з¨¢®¬г ®¡к¥ª-

âã.

ਠ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨¨ ¯à¨­ïâë á«¥¤ãî騥 §­ 祭¨ï ¯ à - ¬¥â஢ «£®à¨â¬®¢ ã¯à ¢«¥­¨ï ¨ ¨¤¥­â¨ä¨ª 樨:

{ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ íâ «®­­®© ¬®¤¥«¨

Am(s)=s3 +am1 s2 +am2 s+am3 am1 =14:2 c;1 am2 =51 c;2 am3 =90 c;3:

{ ¯ à ¬¥âàë èã­â¨àãî饣® §¢¥­ : = 10 c;1 =

 

2 \

 

 

{ ¯ à ¬¥âàë 䨫ìâ஢ (12.76): d1 = 20 c

 

d2 = 200 c

 

 

;1

 

;

 

;2

 

d3 = 103 c;3 \

349

¡«¨æ 12.1. à ¬¥âàë ¬®¤¥«¨

 

ay

amz

am!zz

ay¢

am¢z

a1

a2

b0

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N0

c;1

c;2

c;1

c;1

c;1

c;2

c;2

c;2

c;3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

;1:10

15:5

1:20

0:09

33:0

2:3

16:8

;33

;35

2

;0:86

5:81

0:18

0:06

9:15

1:0

6:0

;9:2

;7:5

3

;1:34

;12:5

0:45

0:07

15:2

1:8

;12

;15:2

;21:2

{¯ à ¬¥âàë ॣã«ïâ®à á ¯¥à¥¬¥­­®© áâàãªâãன: ks = 10 = 3\

{­ ç «ì­ë¥ §­ 祭¨ï ¢ «£®à¨â¬¥ ¨¤¥­â¨ä¨ª 樨:

;(0) = k0I k0 = 103 (0) = [0 0 0 ;10:] \ ¯ à ¬¥âà = 5\

¨á. 12.9. à ­¨æ ®¡« á⨠¤«ï = 0:5.

¥à ¢¥­á⢠(12.97) ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¡« áâì à áè¨à¥­- ­®£® ®¡ê¥ªâ , â.¥. ¤¨ ¯ §®­ §­ 祭¨© ¯ à ¬¥â஢ , ¤«ï ª®â®àëå ¯à¨¬¥­¨¬ § ª®­ ã¯à ¢«¥­¨ï (12.94). à¨á. 12.9 ¯®ª § ­ ®¡« áâì "㦥áâ®ç¥­­®©" , ¤«ï ª®â®à®© ç¨á- «¨â¥«ì ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 à áè¨à¥­­®£® ®¡ê¥ªâ (12.74)

F (s) ¨¬¥¥â á⥯¥­ì ãá⮩稢®á⨠= 0:5: 18 ਠ¯®áâ஥­¨¨

18 ¯®¬­¨¬, çâ® á⥯¥­ìî ãá⮩稢®á⨠¬­®£®ç«¥­ á⥯¥­¨ n ­ §ë- ¢ ¥âáï ¢¥«¨ç¨­ = ;maxi(Re si) i = 1 2 : : : n [15, 95, 76].

350

¨á. 12.10. à®æ¥áá ¨¤¥­â¨ä¨ª 樨 ¯ à ¬¥â஢ .

¨á. 12.11. ¥à¥å®¤­ë¥ ¯à®æ¥ááë ¯® 㣫ã â ­£ ¦ .

®¡« á⨠¢ àì¨à®¢ «¨áì ¯ à ¬¥âàë ay amz amz : à - ¬¥âàë ay¢ = 0:07 á;1 a!mzz = 0:18 á;2: ¨äà ¬¨ ­ à¨á. 12.9 ®¡®§­ 祭ë â®çª¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 áâப ¬ â ¡«. 12.1.

¥§ã«ìâ âë ¬®¤¥«¨à®¢ ­¨ï ¯à¨¢¥¤¥­ë ­ à¨á. 12.10, 12.11.¥à¥å®¤­ë¥ ¯à®æ¥ááë ¯® 㣫ã â ­£ ¦ ¯à¨ § ¤ î饬 ¢®§-

¤¥©á⢨¨ r(t) # (t) ¢ ¢¨¤¥ ¯àאַ㣮«ì­®© ¢®«­ë

# (t) = #0sign(sin(0:2 t))

£¤¥ #0 = 5 £à ¤. ¤«ï à §«¨ç­ëå §­ 祭¨© ¯ à ¬¥â஢ ¨§ â - ¡«¨æë 12.1 ¯à¨¢¥¤¥­ë ­ à¨á. 12.10. à¨á. 12.11 ¯®ª § ­ë £à 䨪¨ ®æ¥­®ª ¯ à ¬¥â஢ ¤«ï ०¨¬ 1 (á«¥¤ã¥â ®¡à -

351