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Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

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ª ¨§¢¥áâ­®, [36, 59, 74, 103], ¨¤¥­â¨ä¨æ¨à㥬®áâì á¨áâ¥- ¬ë § ¢¨á¨â ¨ ®â ¢¨¤ ¢å®¤­®£® ¯à®æ¥áá . ਠ¤®áâ â®ç- ­®¬ "à §­®®¡à §¨¨" ¢­¥è­¥£® ¢®§¤¥©á⢨ï 楫ì (A.18) ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®á⨣­ãâ . «ï â®ç­ëå ä®à¬ã«¨à®¢®ª ¨á¯®«ì§ã¥âáï

á«¥¤ãî饥 ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ [9, 36, 103].

¯à¥¤¥«¥­¨¥ . âà¨ç­ ï äã­ªæ¨ï (t) à §¬¥à m N ®£à ­¨ç¥­­ ï ¤«ï ¢á¥å t > 0 ­ §ë¢ ¥âáï ¨­â¥£à «ì­®-­¥¢ë- ஦¤¥­­®©, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ t0 > 0 0 > 0 L > 0 â ª¨¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å t>t0 ¢ë¯®«­¥­®

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(A.19)

(s) (s) ds 0Im:

2

â® ãá«®¢¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® á⮫¡æë ¬ âà¨æë (t) ­¥ áâà¥- ¬ïâáï ¢á¥ ¯à¨ t!1 ­¨ ª ª ª®© £¨¯¥à¯«®áª®á⨠¯à®áâà ­áâ¢

RN : «ï ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®© ä®à¬ë (A.14) ¨§¢¥áâ­® á«¥-

¤ãî饥 ã⢥ত¥­¨¥

ãáâì:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ ¯à¨

 

(x t)

 

0 ¢ë¯®«­¥­ë 㪠§ ­­ë¥ ¢ëè¥ ãá«®¢¨ï: ¤«ï

 

 

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¢á¥å v

 

¨¬¥¥âáï ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥ = (x v t) ãà ¢-

­¥­¨ï

 

+ (x t) = v\ ä㭪樨 f(x t),

rxQ(x t), (x t),

r

!(x t) «®ª «ì­® ®£à ­¨ç¥­ë\ ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ à®áâ \

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

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äã­ªæ¨ï !(x t) ¢ë¯ãª« ¯® \ áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®à 2R

 

äã­ªæ¨ï (Q) ( (Q) > 0 ¯à¨ Q > 0) â ª¨¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å x t

¨¬¥¥â ¬¥áâ® !(x

t)

 

(Q) ¨, ªà®¬¥ ⮣®,

 

 

 

 

 

{ infx Q(x t) ¤®á⨣ ¥âáï ¢

¥¤¨­á⢥­­®© â®çª¥ x (t) £¤¥

äã­ªæ¨ï x (t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î (A.1) x(t) = f (x t)\

 

{ ä㭪樨

@f(x t)

 

@2f (x t)

 

@2f(x t)

rxQ(x t) ­¥¯à¥-

 

 

@

 

 

@ 2

 

 

@x@

 

à뢭ë\

 

 

 

 

 

 

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{ ¨­â¥£à «ì­®-­¥¢ë஦¤¥­­ ï.

 

{ äã­ªæ¨ï (t) =

@

 

®£¤

 

 

 

 

 

 

 

«ì­®© ä®à¬¥ (A.14) ï¥âáï

 

¢ ¤¨ää¥;७æ¨

¨¤¥­â¨ä¨æ¨àãî騬

 

«£®à¨â¬®¬ ¤«ï ¢á¥å x(t0 ), (t0) ¨ à¥è¥-

­¨¥ colfx

(t) g

á¨á⥬ë (A.1), (A.14)

ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩-

稢® ¢ 楫®¬ à ¢­®¬¥à­® ¯® ®£à ­¨ç¥­­®¬ã ¬­®¦¥áâ¢ã ­ -

 

ç «ì­ëå ãá«®¢¨© x(t0) (t0 ) ¨ ¬®¬¥­â㠢६¥­¨ t0 [103].

à ªâ¨ç¥áª¨ 㪠§ ­­ë¥ ãá«®¢¨ï ᢮¤ïâáï ª âॡ®¢ ­¨î, çâ®¡ë ¢å®¤­®© ("¢®§¡ã¦¤ î騩") ᨣ­ « ᮤ¥à¦ « ­¥ ¬¥­¥¥ n £ ମ­¨ª á à §«¨ç­ë¬¨ ç áâ®â ¬¨. â® âॡ®¢ ­¨¥ ­ §ë- ¢ îâ â ª¦¥ ãá«®¢¨¥¬ "­¥¨á祧 î饣® ¢®§¡ã¦¤¥­¨ï" ¨«¨ "¯®- áâ®ï­­®£® ¢®§¡ã¦¤¥­¨ï", ¯®¤à®¡­¥¥ á¬. [64, 106].

412

४ãà७â­ë¬¨

B.ਫ®¦¥­¨¥ B. - -

1966 £. . . ªã¡®¢¨ç¥¬ ¡ë«® ¯à¥¤«®¦¥­® ¯à¨¢®¤¨âì § ¤ - ç¨ à ᯮ§­ ¢ ­¨ï ®¡à §®¢ ¨ ¤ ¯â 樨 ª § ¤ ç¥ à¥è¥­¨ï ¡¥á- ª®­¥ç­®© á¨á⥬ë ४ãà७â­ëå 楫¥¢ëå ­¥à ¢¥­áâ¢. «¥¤ãï [103], áä®à¬ã«¨à㥬 ¥¥ ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥.

 

ãáâì f g

{ ­¥ª®â®à®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà ­á⢮, í«¥¬¥­âë

 

ª®â®à®£® { ¢¥ªâ®àë

 

 

 

­ §ë¢ îâáï ¢¥ªâ®à ¬¨ ¯®¤áâà -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 f g

 

 

 

 

 

 

 

 

k;1

)

 

 

 

¨¢ ¥¬ëå ¯ à ¬¥â஢.

áᬮâਬ ä㭪樨 k(

0

 

2 R

 

k;1

)

 

 

, £¤¥

 

k

=

 

0 1 2 : : : { ¤¨áªà¥â­®¥

 

 

 

 

k( 0

 

2 R

 

 

¢à¥¬ï,

 

ç¥à¥§

k;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k;1

 

 

 

 

®¡®§­ ç¥­ë ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¢¥ªâ®à®¢

 

 

 

=

 

 

 

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0

 

 

 

 

 

[0] [1] : : : [k ;1]

 

: ( «ï ªà ⪮á⨠§ ¯¨á¨ ¤ «¥¥

 

à£ã¬¥­-

âë k;1

ã ä㭪権 ( )

( ) ®¯ã᪠îâáï).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãáâì ¨¬¥îâáï ãá«®¢­ë¥ ­¥à ¢¥­áâ¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k( ) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

(B.1)

¨ ¡¥§ãá«®¢­ë¥ ­¥à ¢¥­áâ¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k ( ) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

(B.2)

§ ¤ ç å ã¯à ¢«¥­¨ï ­¥à ¢¥­áâ¢

(B.1) ¯®à®¦¤ îâáï 楫ìî

 

ã¯à ¢«¥­¨ï (®âáî¤

¨ ­ §¢ ­¨¥ ¬¥â®¤ ),

­¥à ¢¥­áâ¢

 

(B.2)

 

{ ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®«®¦¨¬ â ª¦¥, çâ® ¨¬¥îâáï ¬­®¦¥á⢮

 

0 ­ ç «ì­ëå

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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§­ 祭¨© ¢¥ªâ®à [0] ¯®¤áâà ¨¢ ¥¬ëå ¯ à ¬¥â஢ ¨ ¯à ¢¨«®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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0 k

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[k + 1] = Tk

k k

k

 

 

k = 0

1 2 : : :

 

 

 

 

(B.3)

ᮯ®áâ ¢«ïî饥 ­ ¡®àã 0

¨ ­ ¡®à ¬ ä㭪権

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k ( )g

 

 

 

 

 

 

 

0k = f 0( ) : : : k( )g

 

0k = f 0( ) : : :

 

 

 

 

 

(B.4)

§­ 祭¨¥ [k + 1]: ®£¤

¯à¨ § ¤ ­­ëå ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨ïå

 

¯®б«¥¤®¢ в¥«м­® ®¯а¥¤¥«повбп [k] k( )

k ( ) k = 0 1 2 : : : :

¬¥â¨¬, çâ® ­¥à ¢¥­á⢠(B.1), (B.2) § à ­¥¥ ­¥ § ¤ ­ë (¯à¨ ¢á¥å k), ¯®п¢«повбп ­ ª ¦¤®¬ и £¥ ¯®б«¥ ¢лз¨б«¥­¨п[k + 1] ¯® (B.3). ®í⮬㠮­¨ ­ §ë¢ îâáï

­¥à ¢¥­á⢠¬¨.

413

" > 0 çâ® ¤«ï «î¡®£® k 0 ¢ë¯®«-
ª®­¥ç­®-

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. [103] à ¢¨«® (B.3) ­ §ë¢ ¥âáï ª®­¥ç­®-

-á室ï騬áï «£®à¨â¬®¬ ( ) à¥è¥­¨ï ४ãà७â­ëå ­¥à - ¢¥­á⢠(B.1) { ãá«®¢­ëå ¨ (B.2) { ¡¥§ãá«®¢­ëå, ¥á«¨

) ¤«ï ¢á¥å k ¢ë¯®«­¥­® (B.2) ¯à¨ = [k]

¡) áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ k çâ® ¤«ï ¢á¥å k k ¢л¯®«­повбп ­¥а ¢¥­бв¢ (B.1) ¨ ¢¥ªв®ал [k] ãáâ ­ ¢«¨¢ - îâáï: [k ] = [k + 1] = [k + 2] = : : : :

᫨ 㪠§ ­­®¥ ᢮©á⢮ ¢ë¯®«­¥­®, ­® ¢¥ªâ®àë [k] ¢®§- ¬®¦­®, ­¥ ãáâ ­ ¢«¨¢ îâáï, â® (B.3) ­ §ë¢ ¥âáï

à¥è î騬 «£®à¨â¬®¬.

¨á«® ¬®¬¥­â®¢ ¢à¥¬¥­¨ r ¤«ï ª®â®àëå ¯à¨ = [k] ­¥ ¢ë- ¯®«­ï¥âáï (B.1), ­ §ë¢ ¥âáï ç¨á«®¬ ®è¨¡®ª (ª®à४権) «£®- à¨â¬ . 2

áᬮâਬ ­¥ª®â®àë¥ ¢¨¤ë ª®­¥ç­®-á室ïé¨åáï «£®à¨â-

¬®¬.

1.«£®à¨â¬ " ®«®áª -1"

бᬮва¨¬ б«¥¤гойго б¨бв¥¬г гб«®¢­ле а¥ªгаа¥­в­ле ­¥а ¢¥­бв¢ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯а®бва ­бв¢¥ f g:

('[k] ) + [k] "[k] k = 0 1 2 : : : :

(B.5)

¤¥áì [k] 2 R "[k] 2 R ç¥à¥§ (' ) ®¡®§­ 祭®

᪠«ïà­®¥

¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ ' (¤«ï ª®­¥ç­®¬¥à­®£® ¯à®áâà ­- á⢠¬®¦­® § ¯¨á âì ('[k] ) '[k]T ).

«ï ª ¦¤®£® (䨪á¨à®¢ ­­®£®) k ­¥à ¢¥­á⢮ (B.5) ®¯à¥- ¤¥«ï¥â ¯®«®áã ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¯ à ««¥«ì­ë¬¨ ¯«®áª®áâﬨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ f g.

।¯®«®¦¨¬, çâ®:

1. ãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥

­¥­®

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

"[k] "

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:

 

(B.6)

2. ãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®à ¨ ç¨á«®

 

[0 1) â ª¨¥, çâ®

¤«ï ¢á¥å k

0 ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

('[k] ) + [k]

"[k]:

 

(B.7)

⨠ãá«®¢¨ï ®§­ ç îâ, çâ® è¨à¨­ ¯®«®á ­¥ ¬¥­ìè¥ 2" ¨ çâ® ¢á¥ ¯®«®áë (B.5) ᮤ¥à¦ â ­¥ª®â®àë© è à á 業â஬ ¢ â®çª¥ :

414

¬¥¥âáï á«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥­¨¥ [103].

 

 

 

 

 

 

 

 

ਠ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨© 1, 2 ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£®

 

 

 

 

> min(1 2 ) ¨ «î¡®£® [0]

 

«£®à¨â¬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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(B.8)

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+ [k]

 

 

 

 

 

 

(B.9)

ï¥âáï ª®­¥ç­®-á室ï騬áï

 

 

 

«£®à¨â¬®¬

à¥è¥­¨ï

 

¡¥§-

ãá«®¢­ëå ­¥à ¢¥­á⢠(B.5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

᫨ ¯®«®¦¨âì =

1 â® ¢â®à®© á«ãç © ¡ã¤¥â ¢á¥£¤

®â-

бгвбв¢®¢ вм ¨

 

«£®à¨â¬ (B.8) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤

 

 

 

 

 

 

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[k + 1] = 8 [k]

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(B.10)

 

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"[k] < j [k]j < "[k]:

 

 

 

 

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¥á«¨

 

 

 

 

᫨

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â® ¬®¦­® ¢§ïâì < 1\ ⮣¤

«£®à¨â¬ (B.8)

¨¬¥¥â ¢¨¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[k] ¥á«¨

 

j [k]j "[k]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[k + 1] = 8

 

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2 '[k]

 

 

 

 

 

 

 

(B.11)

 

 

 

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k

 

 

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"[k]:

 

 

 

 

®¦­® â ª¦¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì

 

 

 

«£®à¨â¬, ¨¬¥î騩 ­¥ª®â®-

àë© á¢®¡®¤­ë© ¯ à ¬¥âà è £

(ãᨫ¥­¨ï) [k] 0 < 0

 

[k]

 

00 < 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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¥á«¨

 

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[k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[k + 1] = 8 [k]

;

 

[k

]

 

 

 

 

 

 

 

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2

 

 

 

 

 

 

 

(B.12)

 

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"[k] < j [k]j < "[k]:

 

 

 

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¥á«¨

 

 

 

¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨¢¥¤¥­­ë¥

 

 

«£®à¨â¬ë

 

¬®¦­® ¨á¯®«ì§®-

¢ âì ¨ ¤«ï à¥è¥­¨ï ª®­¥ç­®© á¨áâ¥¬ë ­¥à ¢¥­áâ¢, ¥á«¨ (B.5) ¯®«ãç âì 横«¨ç¥áª¨¬ ¯®¢â®à¥­¨¥¬ ¨á室­®© á¨á⥬ë.

415

2.«£®à¨â¬ " ®«®áª -2"

áᬮâਬ ãá«®¢­ë¥ ४ãà७â­ë¥ ­¥à ¢¥­á⢠¢¨¤

 

 

 

 

 

 

 

2 R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[k

] ('[k

] ) + [k]

 

 

"[k]

 

 

k = 0 1 2 : : :

 

 

 

(B.13)

á ­¥ª®â®à묨 [k]

 

 

 

ª®â®àë¥ áç¨â îâáï ­¥¨§¢¥áâ­ë¬¨ (¢

§ ¤ ç¥

¤ ¯â¨¢­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï { § ¢¨áï騬¨ ®â ­¥¨§¢¥áâ-

­ëå ¯ à ¬¥â஢).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

।¯®« £ ¥âáï, á«¥¤ãî饥.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ç¨á«

C > 0 " > 0 çâ®

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 f g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 <

 

[k]

 

C

 

"[k]

"

'[k] \

 

 

 

 

(B.14)

2. ãé¥áâ¢ã¥â â ª¨¥ ¢¥ªâ®à

 

 

 

 

¨ ç¨á«®

 

 

[0 1)

çâ® ¯à¨ = ४ãà७â­ë¥ ­¥à ¢¥­áâ¢

(B.13) ¢ë¯®«­¥­ë

"á § ¯ ᮬ", â.¥.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[k]

'[k]

 

+ [k]

"[k]:

 

 

 

 

(B.15)

®­¥ç­®-á室ï騩áï;

 

«£®à¨â¬

 

à¥è¥­¨ï ४ãà७â­ëå ­¥-

à ¢¥­á⢠(B.13) ¨¬¥¥â ¢¨¤ [103]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

[k

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥á«¨

[k

] = 1

 

 

[k + 1] =

 

[k]

;

[k

]

 

[k]sign( [k])'[k]

 

 

¥á«¨

[k

] =

;

1 (B.16)

 

 

 

 

k'[k]k

2

 

 

 

 

£¤¥:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[k] = sign

"[k] ;

 

 

[k]

 

 

 

 

 

 

 

 

(B.17)

 

 

 

 

[k] =

[k]

 

 

 

'[k] [k]

 

+ [k]

 

 

 

 

 

 

0

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

;

0

 

 

 

 

 

 

00

2(1

;

 

 

;1

:

¤«ï [k] ¢ë¯®«­¥­® 0

 

<

 

[k] <

)C

á«®¢¨ï (B.6) ¨«¨ (B.14) ¢ à拉 § ¤ ç ¬®£ãâ ¨ ­¥ ¢ë¯®«-

­пвмбп. в® ®§­ з ¥в, зв® и¨а¨­

¯®«®á®ª (B.5) ¨«¨ (B.13)

¬®¦¥â ¡ëâì ᪮«ì 㣮¤­® ¬ «®©. ®­¥ç­ ï á室¨¬®áâì

«£®-

à¨â¬®¢ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¬®¦¥â ­ àãè âìáï.

¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ íâ¨

«£®à¨â¬ë ¡ã¤ãâ ª®­¥ç­®-à¥è î騬¨,

¨¬¥­­® { á¯à ¢¥¤-

«¨¢ë á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥­¨ï [103].

 

 

 

1.

ãáâì ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ (B.7) ¨ ¢¥«¨ç¨­

[k] ®¯à¥-

¤¥«¥­

ᮮ⭮襭¨¥¬ (B.9).

®£¤

¤«ï «î¡®£® [0] «î¡®©

¨§ «£®à¨â¬®¢ (B.8) (£¤¥ > min(1 2 )),

(B.10),

(B.11) (¯à¨

< 0:5), (B.12) (£¤¥ 0 < 0

 

[k]

00 < 2) ï¥âáï ª®­¥ç­®-

à¥è î騬 «£®à¨â¬®¬ ¤«ï ­¥à ¢¥­áâ¢

 

 

 

;

'[k]

+ [k]

"0[k]:

 

(B.18)

 

 

 

416

 

 

 

2. ãáâì ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ (B.15) ¨ ¢¥«¨ç¨­ë [k] [k] ®¯à¥¤¥«¥­ë ᮮ⭮襭¨ï¬¨ (B.17). ®£¤ «£®à¨â¬ (B.16) ï¥âáï ª®­¥ç­®-à¥è î騬 «£®à¨â¬®¬ ¤«ï ­¥à ¢¥­áâ¢

 

 

 

 

 

 

 

 

[k]

'[k

]

 

+ [k] "0[k]

 

 

 

 

 

 

 

 

(B.19)

0

[k]

 

"

0

 

 

'[k

]

"

0

;

 

 

 

[k] < C :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£¤¥ "

 

 

k

 

> 0 0 <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. «£®à¨â¬ë à¥è¥­¨ï ४ãà७â­ëå «¨­¥©­ëå ­¥à ¢¥­áâ¢

 

áᬮâਬ «¨­¥©­ë¥ ãá«®¢­ë¥ ­¥à ¢¥­áâ¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

('[k]

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(B.20)

ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à ¤«ï ª®â®à®£® ­¥à ¢¥­áâ¢

(B.20)

 

¢ë¯®«­¥­ë "¢ ãᨫ¥­­®¬ á¬ëá«¥":

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

('[k] " > 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(B.21)

®£¤

¤«ï «î¡®£® [0]

«£®à¨â¬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[k + 1] =

 

 

 

 

 

[k]

 

 

¥á«¨

'[k] [k]

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[k] + [k]'[k]

¥á«¨

'[k] [k]

<

0

 

 

 

 

 

(B.22)

£¤¥ [k] = [k]

;

[k]('[k] [k

])

0 < 0

 

[k]

 

00 [k]

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'[k]

2

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï¥âáï ª®­¥ç­®-á室ï騬áï

«£®à¨â¬®¬ à¥è¥­¨ï (B.20) [103].

áᬮâਬ ⥯¥àì ãá«®¢­ë¥ ­¥à ¢¥­áâ¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

('[k]

+ [k] 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(B.23)

ãáâì ­¥à ¢¥­á⢠(B.23) ¢ë¯®«­¥­ë "¢ ãᨫ¥­­®¬ á¬ëá«¥":

áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à ¤«ï ª®â®à®£®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

('[k]

+ [k] " > 0:

 

 

 

P

1

[k] =

®£¤ ¯à¨ j [k]j C [k] >

0 [k]

! 0 ¯à¨ k ! 1

1

 

1 0 [k] 2 ¤«ï «î¡®£® [0] ¨ r[0]

«£®à¨â¬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[k + 1] = [k

]

r[k

+ 1] = r[k]

 

 

¥á«¨

[k]

0

[k + 1] =

[k] +

[k]'[k

]

r[k

+ 1] = r[k] + 1

¥á«¨

[k] <

0

n£¤¥

[k] = ('[k] [k

]) + [k]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[k] = r[k]

 

; [k]

 

 

 

[k]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'[k]

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï¥âáï ª®­¥ç­®-á室ï騬áï

«£®à¨â¬®¬ à¥è¥­¨ï (B.23) [103].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

417

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. «£®à¨â¬ à¥è¥­¨ï ४ãà७â­ëå ­¥à ¢¥­á⢠¤«ï ®¡é¥£® á«ãç ï

áᬮâਬ ⥯¥àì ¡®«¥¥ ®¡é¨© á«ãç ©, ª®£¤ ãá«®¢­ë¥

­¥à ¢¥­á⢠®¯à¥¤¥«ïîâ (¯à®¨§¢®«ì­ë¥) ¢ë¯ãª«ë¥ ¬­®¦¥- á⢠, ¨¬¥­­® { ¯ãáâì ¢ë¯®«­¥­ë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:

1. ã­ªæ¨ï ( ) ¢ (B.1) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬

¯® ¢¥ªâ®à­®¬ã

¯ à ¬¥âàã ¨

 

 

r k ( ) 2 C

 

 

 

 

 

C ­¥ § ¢¨á¨â ®â k, .

 

 

 

 

 

 

2. ãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®à 2 f g ¨ ç¨á«® " > 0 â ª¨¥, çâ® 8k

¯à¨ = ¨¬¥¥â ¬¥áâ®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k ( ) " :

 

 

 

 

 

 

 

3. 8k äã­ªæ¨ï k( ) ¢®£­ãâ

¯® ¯ à ¬¥âàã : 1

4. ¨á« [k] 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

[k] > 0

 

lim

 

[k] = 0

X

[i] =

1

:

 

 

 

 

 

k!1

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®£¤ ¤«ï «î¡®£® [0] ¨ ¯à¨ r[0] = 0

«£®à¨â¬

 

 

(

[k]

r[k + 1] = r[k] ¥á«¨

 

k( [k]) 0

[k + 1] =

[k] +

 

[k]

k( [k]) r[k

 

+ 1] = r[k] + 1

 

 

 

r

 

¥á«¨ k

( [k]) <

0

 

(B.24)

 

 

 

 

 

 

[k]

 

 

 

 

 

 

 

£¤¥ [k] = r[k] ;

[k]

 

 

 

 

 

 

 

kr k( [k])k2

 

 

à¥è¥­¨ï ãá«®¢-

ï¥âáï ª®­¥ç­®-á室ï騬áï

«£®à¨â¬®¬

­ëå ४ãà७â­ëå ­¥à ¢¥­á⢠(B.1) [103].

 

 

 

­ 祭¨ï [k] ¬®¦­® ¢ëç¨á«ïâì, ­ ¯à¨¬¥à, ¯® ä®à¬ã«¥

[k] =

 

 

C1

 

£¤¥ ¯®áâ®ï­­ë¥

 

C1 > 0 C2 > 0:

 

C2 + r[k]

 

ãáâì ­ àï¤ã á ãá«®¢­ë¬¨ (B.1) § ¤ ­ë â ª¦¥ ¡¥§ãá«®¢­ë¥

­¥à ¢¥­á⢠(B.2), ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«ïîâ ¢ë¯ãª«ë¥ ¬­®¦¥á⢠D[k] f g 2 D[k] ¤«ï ¢á¥å k) 2 ¨ ®¯à¥¤¥«¥­ ®¯¥à æ¨ï

1 ã­ªæ¨ï f(x) ¢¥ªâ®à­®£® à£ã¬¥­â x ­ §ë¢ ¥âáï ¢®£­ã⮩, ¥á«¨ 8x0 x00 ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ (x0 ; x00)T rxf(x00) f(x0) ; f(x00):

2 ­®¦¥á⢮ D Rn ­ §ë¢ ¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬, ¥á«¨ ®­® ᮤ¥à¦¨â ¢á直© ®â१®ª, ª®­æë ª®â®à®£® ¯à¨­ ¤«¥¦ â í⮬㠬­®¦¥áâ¢ã, â.¥. 8x0 x00 2 D, 0 1 ) x0 + (1 ; )x00 2 D: «ï ¢®£­ã⮩ ä㭪樨 f(x) ¬­®¦¥á⢮

D = fx : f(x) "g ¢ë¯ãª«® ¯à¨ «î¡®¬ " [78].

418

¯à®¥ªâ¨à®¢ ­¨ï PD[k] ­

í⨠¬­®¦¥á⢠.

3 ®£¤ á㯥௮-

§¨æ¨ï ®¯¥à 樨 PD[k] ¨

«£®à¨â¬ (B.24) ï¥âáï ª®­¥ç­®-

à¥è î騬 «£®à¨â¬®¬ ¤«ï (B.1), (B.2),

¥á«¨ D[k] D â®

¤ ­­ë© «£®à¨â¬ ¡ã¤¥â ª®­¥ç­®-á室ï騬áï.¥à¥ç¨á«¥­­ë¥ «£®à¨â¬ë ¨ áä®à¬ã«¨à®¢ ­­ë¥ ãá«®¢¨ï

¨е а ¡®в®б¯®б®¡­®бв¨ ¬®£гв ¯а¨¬¥­пвмбп ¤«п а¥и¥­¨п б - ¬ле а §­®®¡а §­ле ¯а¨ª« ¤­ле § ¤ з (б¬. ¯.¯. 12.5, 13.4, в ª¦¥ ¯а¨¬¥ал ¢ [36, 103, 106]).

3 ¯¥à 樥© ¯à®¥ªâ¨à®¢ ­¨ï ­ ¢ë¯ãª«®¥ ¬­®¦¥á⢮ D f g ­ §ë¢ - ¥âáï ®¯¥à æ¨ï PD â ª ï, çâ® kPD ; k = inf 02D k ; 0k.

419

C.ਫ®¦¥­¨¥ C.MATLAB

­ áâ®ï饬 ¯à¨«®¦¥­¨¨ ¤ ­ë ®¯¨á ­¨ï ®á­®¢­ëå ¯à®æ¥¤ãà ¯ ª¥â MATLABR ([72, 59, 81, 139]), ª®в®ал¥ ¯а¨¬¥­повбп ¢ § ¤ з е ­ «¨§ ¨ б¨­в¥§ б¨бв¥¬ г¯а ¢«¥­¨п ¨ ¨б¯®«м§говбп ¢ в¥ªбв¥ ¤ ­­®© ª­¨£¨.

à®£à ¬¬ë ®¡é¥£® ­ §­ 祭¨ï

c = conv(a, b)

CONV { ¢ëç¨á«¥­¨¥ ᢥà⪨ ¢¥ªâ®à®¢.

C = conv(A, B) ­ 室¨в б¢¥авªг ¢¥ªв®а®¢ A ¨ B. ¥§г«м- в в ¥бвм ¢¥ªв®а а §¬¥а length(A)+length(B)-1. б«¨ ¢¥ªв®ал A ¨ B п¢«повбп ¢¥ªв®а ¬¨ ª®ндд¨ж¨¥­в®¢ ¬­®£®з«¥­®¢, в®

ᢥàâª íª¢¨¢ «¥­â­ 㬭®¦¥­¨î ¬­®£®ç«¥­®¢.¬. â ª¦¥ XCORR, DECONV, ¨ CONV2.

[x, cnt] = fmins(funfcn, x, tol, prnt)

FMINS { ­ 室¨â ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­- ­ëå, â® ¥áâì ¢ë¯®«­ïâ ­¥«¨­¥©­ãî ®¯â¨¬¨§ æ¨î.

X = fmins('f', x0) ­ 稭 ¥â ¢ â®çª¥ x0 ¨ ¢ëç¨á«ï¥â ­®¢ë© ¢¥ªâ®à x, ¯à¨ ª®â®à®¬ ¤®á⨣ ¥âáï ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樨 f(x). 'f' { áâப , ᮤ¥à¦ é ï ¨¬ï ¬¨­¨¬¨§¨à㥬®© ä㭪樨, ®¡ëç­® § ¤ ­­®© ¢ ¢¨¤¥ m-ä ©« [72, 139].

X = fmins(F, X, tol) ¯ à ¬¥âà tol á«ã¦¨â ¤«ï ãáâ ­®¢ª¨ â®ç- ­®áâ¨. ­ 祭¨¥ ¯® 㬮«ç ­¨î 10;3:

X = fmins(F, X, tol, 1) ¢ë¢®¤¨â ªà âªãî ¨­ä®à¬ æ¨î ® ª - ¦¤®¬ è £¥. [X, cnt] = fmins(F, X, : : : ) ¢ë¢®¤¨â â ª¦¥ ç¨á«®

裮¢.

[xf, termcode, path] =fsolve(fvec, x0, details, fparam, jac, scale)

FSOLVE { à¥è¥­¨¥ á¨áâ¥¬ë ­¥«¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨©.

X = fsolve('f', X0) ­ 稭 ï á â®çª¨ X0 ¢ëç¨á«ï¥â ­®¢ë© ¢¥ª-

â®à X, ïî騩áï à¥è¥­¨¥¬ f(x) = 0. 'f' { áâப , ᮤ¥à¦ - é ï ¨¬ï ä㭪樨, ¤«ï ª®â®à®© á«¥¤ã¥â ¯®«ãç¨âì à¥è¥­¨¥, ®¡ëç­® - m-ä ©« .

y = logspace(d1, d2, n)

LOGSPACE { ᮧ¤ ¥â ¢¥ªâ®à «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨ à ¢­®¬¥à­® à ᯮ«®¦¥­­ëå §­ 祭¨©.

420

logspace(d1, d2) ᮧ¤ ¥â ¢¥ªâ®à «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨ à ¢­®¬¥à- ­® à ᯮ«®¦¥­­ëå §­ 祭¨© ¢ 50 â®çª å ¬¥¦¤ã ¤¥ª ¤ ¬¨ 10d1 ¨ 10d2: ᫨ d2 = ⮣¤ â®çª¨ à ᯮ« £ îâáï ¬¥¦¤ã 10d1 ¨. logspace(d1, d2, N) ᮧ¤ ¥â N §­ 祭¨©.

¬. â ª¦¥ LINSPACE ¨ ":".

LTIFR { ¢ëç¨á«¥­¨¥ ç áâ®â­®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ «¨­¥©­®©

áâ 樮­ à­®© á¨á⥬ë.

G = ltifr(A, b, s) ¢ëç¨á«ï¥â ç áâ®â­ãî å à ªâ¥à¨á⨪ã á¨- á⥬ë

G(s) = (sI ; A);1b

¤«ï ª®¬¯«¥ªá­ëå §­ 祭¨© s: ¥ªâ®à-á⮫¡¥æ b ¤®«¦¥­ ¨¬¥âì á⮫쪮 áâப, ᪮«ìª® ¬ âà¨æ A: ëç¨á«ï¥âáï ¬ âà¨æ G ¨¬¥îé ï size(A) áâப ¨ length(s) á⮫¡æ®¢.

[x, y] = meshdom(x, y)

MESHDOM { ᮧ¤ ¥â ¬ áᨢë X ¨ Y ¤«ï âà¥å¬¥à­ëå £à - 䨪®¢.

[XX, YY] = meshdom(X, Y) ¯à¥®¡à §ã¥â ®¡« áâ¨, § ¤ ­­ë¥ ¢ X ¨ Y ¢ ¬ áᨢë XX ¨ YY, ª®â®àë¥ ¬®£ã⠨ᯮ«ì§®¢ âìáï ¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ä㭪権 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¨ 3-¬¥à­®© à¥è¥â- ç ⮩ £à 䨪¨.

[tout, yout] = ode45(FunFcn, t0, t nal, y0, tol, trace)

ODE45 { ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ á¨áâ¥¬ë ®¡ëª­®¢¥­­ëå ¤¨ää¥- à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© ¬¥â®¤®¬ ã­£¥- ãââ 4 ¨ 5-£® ¯®àï¤- ª®¢. ¬. â ª¦¥ ODE23.

[T, Y] = ode45('yprime', T0, T nal, Y0) ¨­â¥£à¨àã¥â á¨áâ¥- ¬ã ®¡ëª­®¢¥­­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨©, ®¯¨á ­­ãî ¢ m-ä ©«¥ YPRIME.M ­ ¨­â¥à¢ «¥ ®â T0 ¤® T nal á ­ ç «ì- ­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ Y0.

[T, Y] = ode45(F, T0, T nal, Y0, TOL, 1) ¨á¯®«ì§ã¥â â®ç- ­®áâì TOL ¨ ¢ë¢®¤¨â ¨­ä®à¬ æ¨î ® á®áâ®ï­¨¨ ¢ ¯à®æ¥áᥠ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï.

:

F { áâப ᮤ¥à¦ é ï ¨¬ï ¯®«ì§®¢ ⥫ì᪮© ä㭪樨, ¢ ª®â®à®© ®¯¨áë¢ îâáï à¥è ¥¬ë¥ ãà ¢­¥­¨ï. 맮¢ ä㭪樨:

yprime = fun(t, y)

£¤¥ F = 'fun'. t { ¢à¥¬ï ( à£ã¬¥­â ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï\ ᪠«ïà), y { à¥è¥­¨¥ (¢¥ªâ®à-á⮫¡¥æ), yprime { ¢ëç¨á«ï¥¬ë© ¢¥ªâ®à ¯à®¨§¢®¤­ëå: yprime(i) yi (t):

t0 { ­ ç «ì­®¥ §­ 祭¨¥ t.

421