Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

¨á. 11.11. ã­ªæ¨ï ï¯ã­®¢ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢®© á¨á⥬ë.

­® ®в ¢а¥¬¥­¨ ¨ 㤮¢«¥в¢®апойго ¤«п ¢б¥е t ­¥à ¢¥­áâ¢ã V (x t) > W(x) £¤¥ W (x) ! 1 ¯à¨ kxk ! 1 £®¢®àïâ, çâ® ®­

¤®¯ã᪠¥â ¡¥áª®­¥ç­® ¡®«ì让 ­¨¦­¨© ¯à¥¤¥«.

¥®à¥¬ 5. ­¥ãá⮩稢®á⨠( . . ï¯ã­®¢).

᫨ V_ (x) ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¯à¥¤¥«¥­­ ï äã­ªæ¨ï ¨ ᪮«ì 㣮¤­® ¡«¨§ª® ®â ­ ç « ª®®à¤¨­ â ¥áâì â®çª¨, £¤¥ V (x) > 0 â® ­ ç «® ª®®à¤¨­ â ­¥ãá⮩稢® ¯® ï¯ã­®¢ã.

¬¥âà¨ç¥áªãî ¨­â¥à¯à¥â æ¨î. ®£« á­® ¢ëà ¦¥­¨î (11.22), §­ 祭¨¥ V_ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ £à - ¤¨¥­â ä㭪樨 V ­ ¢¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®á⨠¢ ¤ ­­®© â®ç- ª¥. ®í⮬ã V_ (x) ¥áâì ᪮à®áâì ¯à®å®¦¤¥­¨ï ¨§®¡à ¦ î饩 â®çª¨ ¯® ­®à¬ «¨ ª «¨­¨ï¬ à ¢­®£® ã஢­ï ä㭪樨 V (x) (à¨á. 11.11). ᫨ ¢á«¥¤á⢨¥ ®âà¨æ ⥫쭮© ®¯à¥¤¥«¥­­®-

á⨠ä㭪樨 V_ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¯® ¢á¥¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬ (¢ ®¡« á⨠S ) ­ ¯à ¢«¥­® ¢­ãâàì ¯®¢¥àå­®á⥩ V = const â® á®áâ®ï­¨¥ à ¢- ­®¢¥á¨ï ãá⮩稢® ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨.

£¤¥ Q(x) { ­¥ª®â®à ï §­ ª®¯®«®¦¨â¥«ì­ ï ¨«¨ ¯®«®¦¨â¥«ì- ­® ®¯à¥¤¥«¥­­ ï äã­ªæ¨ï. à ¢­¥­¨¥ (11.23) ç áâ® ­ §ë¢ - îâ, ­ «®£¨ç­® ᮮ⢥âáâ¢ãî饬㠬 âà¨ç­®¬ã ãà ¢­¥­¨î, ãà ¢­¥­¨¥¬ ï¯ã­®¢ [93]. ¡®«¥¥ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ª®£¤ äã­- ªæ¨¨ V ( ), f ( ) § ¢¨áïâ ® ®â ¢à¥¬¥­¨, V = V (x t) f = f (x t) ¯®«ãç ¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ï¯ã­®¢

⨠ãà ¢­¥­¨ï ­ 室ïâ à §«¨ç­ë¥ ¯à¨¬¥­¥­¨ï ¢ ⥮ਨ á¨á- ⥬ (á¬. [3, 23, 47, 73, 93], â ª¦¥ á. 209).

ᯮ«ì§®¢ ­¨¥ ¯à¨¢¥¤¥­­®£® ¢ëè¥ (á. 265, ¯. 6) ¯®­ï⨥ ¨­¢ ਠ­â­®£® ¬­®¦¥á⢠¯®§¢®«ï¥â ®¡®¡é¨âì ¬¥â®¤ äã­ª- 権 ï¯ã­®¢ ¨ à áè¨à¨âì ®¡« áâì ¥£® ¯à¨¬¥­¥­¨ï [94, 174].०¤¥ ¢á¥£® íâ® ®â­®á¨âáï ª ¢®§¬®¦­®á⨠®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à¥- ¤¥«ì­ëå 横«®¢ ¨ ­ «¨§ ¨å ãá⮩稢®á⨠⠪¦¥ ª ¤®ª -

§ ⥫ìáâ¢ã ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩稢®á⨠¥á«¨ ­¥ 㤠¥âáï ¯®ª § âì, çâ® V_ (x) ï¥âáï ®âà¨æ ⥫쭮 ®¯à¥¤¥«¥­­®© ( ­¥ ⮫쪮 §­ ª®®âà¨æ ⥫쭮©).

«ï í⮣® § ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ ­¥à ¢¥­á⢠V_ (x) 0 ¢ë¯®«- ­¥­­®£® ¤«ï ¢á¥å x ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨å ­¥ª®â®à®© ®£à ­¨ç¥­­®© ®¡« á⨠C , á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ®¡« á⨠C äã­ªæ¨ï V (x(t)) ­¥

¬®¦¥â ¢®§à áâ âì ( ⮫쪮 ã¡ë¢ âì ¨«¨ ®áâ ¢ âìáï ¯®áâ®ï­- ­®©). âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ ®£à ­¨ç¥­­®© á­¨§ã ä㭪樨 V (x) â®çª¨, ¢ ª®â®àëå V_ (x) < 0 ­¥ ¬®£ãâ á«ã¦¨âì ¯à¥¤¥«ì­ë- ¬¨ â®çª ¬¨ ¤«ï à¥è¥­¨© á¨á⥬ë. «¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à¥¤áâ - ¢«ïîâ ¨­â¥à¥á â®çª¨, ¢ ª®â®àëå V_ (x) = 0: â®â ¯ãâì à ááã- ¦¤¥­¨© ®âà ¦¥­ á«¥¤ãî饩 ⥮६®© [54].

¥®à¥¬ 6. á室¨¬®á⨠ª ¬­®¦¥áâ¢ã ( - ««ì).ãáâì V (x) { ᪠«ïà­ ï äã­ªæ¨ï, ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨-

稢®á⨠¢ë⥪ ¥â ¨§ ¤ ­­®© ª ª ç áâ­ë© á«ãç © ¯à¨ = f0g, ­® ⥮६ 6 ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥ १ã«ì- â âë (á¬. 11.4.6.).

ਠ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ ãá⮩稢®á⨠¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯®­ï⨥ !- ¯à¥¤¥«ì­®£® ¬­®¦¥á⢠;+ à¥è¥­¨ï x(t) ãà ¢­¥­¨ï (11.21),

273

t0), â® ¥£® !-¯à¥¤¥«ì­®¥ ¬­®¦¥á⢮ ;+ ­¥¯ãáâ®, ª®¬¯ ªâ­®

¨ï¢«ï¥âáï ¨­¢ ਠ­â­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬. 15

á­®¢­®© ¯à®¡«¥¬®© ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ¤ ­­®£® ¬¥â®¤ ï¥âáï ¢ë¡®à ¯®¤å®¤ï饩 ä㭪樨 ï¯ã­®¢ : ¥á«¨ äã­ª- æ¨ï ¤ ­­®£® ¢¨¤ "­¥ ¯®¤å®¤¨â", â® íâ® ¥é¥ ­¥ ®§­ ç ¥â ­¥ãá- ⮩稢®á⨠á¨á⥬ë { ¢®§¬®¦­®, ¤à㣮© ¢ë¡®à ä㭪樨 ï- ¯ã­®¢ ¯®§¢®«¨â ¤®ª § âì ãá⮩稢®áâì (¨«¨ ­¥ãá⮩稢®- áâì) á¨á⥬ë. ®âï ®¡é¥£® ­ «¨â¨ç¥áª®£® ¬¥â®¤ ¯®áâ஥- ­¨ï ä㭪権 ï¯ã­®¢ ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ¤«ï ¨å ª®­áâàã¨à®¢ - ­¨ï ¨¬¥îâáï ­¥ª®â®àë¥ à¥ª®¬¥­¤ 樨 [66, 76, 93, 94].

áâ® ä㭪樨 ï¯ã­®¢ ¡¥àãâ ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤à â¨ç­ëå ä®à¬, â.¥. ¢ëà ¦¥­¨© ¢¨¤

V (x) = xT Hx

£¤¥ ¬ âà¨æ H ᨬ¬¥âà¨ç­ ¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¯à¥¤¥«¥­ (¢ á¬ëá«¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ®¯à¥¤¥«¥­­®á⨠¯®«ã祭­®© ä㭪樨), H = HT > 0: ª¨¥ ä㭪樨 㤮¢«¥â¢®àïîâ áä®à¬ã«¨à®- ¢ ­­ë¬ ¢ëè¥ (¯¯. 1-3 ­ á. 270) âॡ®¢ ­¨ï¬ ¨, ªà®¬¥ â®- £®, ãá«®¢¨î à®áâ V (x) ! 1 ¯à¨ kxk ! 1 çâ® ¢ ¦­® ¯à¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ £«®¡ «ì­®© ãá⮩稢®áâ¨.

15 ­®¦¥á⢮ M «¥¦ 饥 ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Rn ª®¬¯ ªâ­®, ¥á«¨ ®­® § - ¬ª­ãâ® (ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ᢮¨ ¯à¥¤¥«ì­ë¥ â®çª¨) ¨ ®£à ­¨ç¥­®. «ï 楫¥© ¤ ­­®© ª­¨£¨ í⮠᢮©á⢮ ª®¬¯ ªâ­ëå ¬­®¦¥á⢠¬®¦­® à áᬠâਢ âì ¢ ª ç¥á⢥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï.

274

à ¢­¥­¨ï (11.25), (11.26) ­ §ë¢ îâáï ¬ âà¨ç­ë¬¨ (¤¨ää¥-

à¥­æ¨ «ì­ë¬ ¨ «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬) ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ï¯ã­®¢ . ª ¨§¢¥áâ­® ¨§ ⥮ਨ ¬ âà¨æ [53], áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¥¤¨­á⢥­­®© ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¯à¥¤¥«¥­­®© ¬ âà¨æë H ïî饩áï à¥è¥-

­¨¥¬ (11.26), íª¢¨¢ «¥­â­® £ãࢨ楢®á⨠(ãá⮩稢®áâ¨) ¬ - âà¨æë A: ®«¥¥ ¯®¤à®¡­® [3, 30], ¥á«¨ ¬ âà¨æ A - £ãࢨæ¥- ¢ , â® ãà ¢­¥­¨¥ (11.26) ®â­®á¨â¥«ì­® n n-¬ âà¨æë H = HT ¨¬¥¥â à¥è¥­¨¥ ¨ ¯à¨â®¬ { ¥¤¨­á⢥­­®¥ ª®â®à®¥ ¢ëà ¦ ¥âáï ä®à¬ã«®©

H = Z1 eAT tQeAtdt:

0

᫨ Q = QT 0 â® H = HT 0 ¨ ­ã«ì-¯à®áâà ­á⢮ ¬ - âà¨æë H ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® A : ¨§ Hx0 = 0 á«¥¤ã¥â

HAx0 = 0.

§ã祭¨¥ ãá⮩稢®á⨠«¨­¥©­ëå áâ 樮­ à­ëå á¨á⥬ ç¥à¥§ ¯®áâ஥­¨¥ ä㭪権 ï¯ã­®¢ ­¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯à ª- â¨ç¥áª®£® ¨­â¥à¥á , ­®, ª ª ®â¬¥ç¥­® ¢ëè¥, ãà ¢­¥­¨ï ï¯ã- ­®¢ ­ 室ï⠯ਬ¥­¥­¨¥ ¯à¨ à¥è¥­¨¨ ¬­®£¨å § ¤ ç ⥮ਨ ã¯à ¢«¥­¨ï. ਫ®¦¥­¨¨ C. ­ á. 432 ®¯¨á ­® ®¡à 饭¨¥ ª ¯à®æ¥¤ãॠlyap ¯ ª¥â MATLAB, á«ã¦ 饩 ¤«ï ç¨á«¥­­®£®

à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï (11.26).

«ï ¬¥å ­¨ç¥áª¨å, í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ¨ ¤à㣨å á¨á⥬, ­¥ ᮤ¥à¦ é¨å ¢­®áïé¨å ¤®¯®«­¨â¥«ì­ãî í­¥à£¨î í«¥¬¥­â®¢ (â ª¨¥ á¨áâ¥¬ë ­ §ë¢ îâáï ¯ áᨢ­ë¬¨), ¢ ª ç¥á⢥ äã­ª- 樨 ï¯ã­®¢ 楫¥á®®¡à §­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯®«­ãî í­¥à£¨î (á¬. ¯à¨¬¥à ¢ ¯. 11.4.6.).

᫨ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬¥ ॠ«¨§ã¥âáï ¤¢¨¦¥­¨¥ ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ £à ¤¨¥­â ­¥ª®â®à®© 楫¥¢®© ä㭪樨 [8, 36, 78, 93] (â ª¨¥ á¨áâ¥¬ë ­ §ë¢ îâáï £à ¤¨¥­â­ë¬¨), ⮠楫¥- á®®¡à §­® ¢ ª ç¥á⢥ ä㭪樨 ï¯ã­®¢ ¡à âì á ¬ã 楫¥¢ãî äã­ªæ¨î.

16 ᯮ«ì§®¢ ­ë ¯à ¢¨« ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï, ¯à¨¢¥¤¥­­ë¥ ¢ ᭮᪥ 14 ­ á. 271.

275

᫨ á¨á⥬ ᮤ¥à¦¨â (®¤­ã) ᪠«ïà­ãî ­¥«¨­¥©­®áâì '( ) (à¨á. 10.1, á. 230), äã­ªæ¨î ï¯ã­®¢ 㤮¡­® ¡à âì ¢ ¢¨¤¥ "ª¢ ¤à â¨ç­ ï ä®à¬ ¯«îá ¨­â¥£à « ®â ­¥«¨­¥©­®áâ¨", ¯à¥¤«®¦¥­­®¬ . . ãàì¥ â.¥.

V (x) = xT Hx + # Z0 '( )d #2R

{ â ª ­ §ë¢ ¥¬ ï "äã­ªæ¨ï ï¯ã­®¢ { ãàì¥"

«ï á¨á⥬ á k ­¥«¨­¥©­®áâﬨ ­ «®£¨ç­® ¨á¯®«ì§ã¥âáï äã­ªæ¨ï

®¤à®¡­¥¥ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ ä㭪権 í⮣® ⨯ à áᬮâ७® ¢ [56].

室¨â â ª¦¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¯¯ à â ¢¥ªâ®à­ëå ä㭪権ï¯ã­®¢ [90, 93]. ⨠ä㭪樨 ¯®«ãç îâáï ª ª ­ ¡®à ®â- ¤¥«ì­ëå ä㭪権, ¯®áâ஥­­ëå ¤«ï ¯®¤á¨á⥬, ¨§ ª®â®àëå á®á⮨â à áᬠâਢ ¥¬ ï á¨á⥬ .

11.4.5. á⮩稢®áâì ¤¨áªà¥â­ëå á¨á⥬

áᬮâਬ ¢ªà âæ¥ ­¥ª®â®àë¥ ¯®¤å®¤ë ¨ १ã«ìâ âë ¯à¨¬¥- ­¥­¨ï ¬¥â®¤ ï¯ã­®¢ ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¤¨áªà¥â­ëå á¨á⥬

[36, 78, 110, 174]. á­®¢­ë¥ ¨¤¥¨ ᮢ¯ ¤ îâ á ⥬¨, ª®â®àë¥ ¨§«®¦¥­ë ¢ëè¥ ¤«ï á¨á⥬ ­¥¯à¥à뢭®£® ¢à¥¬¥­¨.

ãáâì áâ 樮­ à­ ï ¤¨áªà¥â­ ï á¨á⥬ ®¯¨áë¢ ¥âáï ­¥- «¨­¥©­ë¬ à §­®áâ­ë¬ ãà ¢­¥­¨¥¬

।¯®« £ ¥¬, çâ® â®çª x = 0 ¥áâì á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï á¨á⥬ë (11.27), â.¥. f(0) = 0 ¨ x[k] 0 ¥áâì âਢ¨ «ì­®¥ à¥-

襭¨¥ (11.27). ª ¨ ¤«ï ­¥¯à¥à뢭ëå á¨á⥬, ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ - ­¨¨ ãá⮩稢®á⨠­¥ª®â®à®£® ¤à㣮£® á®áâ®ï­¨ï à ¢­®¢¥á¨ï x (â.¥. â ª®£® á®áâ®ï­¨ï, ¤«ï ª®â®à®£® ¢ë¯®«­¥­® x = f (x )), ¬®¦­® ¯¥à¥©â¨ ª ¨áá«¥¤®¢ ­¨î ãá⮩稢®á⨠­ã«¥¢®£® á®áâ®- ï­¨ï ç¥à¥§ ãà ¢­¥­¨ï ¢ ®âª«®­¥­¨ïå, ª®â®àë¥ ¯®«ãç îâáï ¨§

(11.27) ®â­®á¨â¥«ì­® ®âª«®­¥­¨ï x[k] = x[k] ; x :

276

ª ¨ ¢ëè¥ (á. 270), ¢¢¥¤¥¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¯à¥¤¥«¥­­ãî äã­ªæ¨î V (x): ਢ¥¤¥¬ ­¥ª®â®àë¥ â¥®à¥¬ë «ï¯ã­®¢áª®£® ⨯ ¤«ï ¤¨áªà¥â­®£® á«ãç ï [110].

¥®à¥¬ 1. ¡ ãá⮩稢®á⨠á¨á⥬ ¤¨áªà¥â­®£® ¢à¥¬¥- ­¨.

᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¯à¥¤¥«¥­­ ï äã­ªæ¨ï V (x) â ª ï, çâ® ¢ ᨫã á¨á⥬ë (11.27) ¯à¨ ¢á¥å x 2 ¢ë¯®«­¥­®

â® á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ãá⮩稢® ( ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩- 稢®) ¯® ï¯ã­®¢ã.

¥®à¥¬ 2. ¡ ãá⮩稢®á⨠¢ 楫®¬ ¤¨áªà¥â­ëå á¨á⥬.

᫨ äã­ªæ¨ï V (x) ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢®© á¨á⥬ë 㤮- ¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î à®áâ V (x) ! 1 ¯à¨ k ! 1 â® á®áâ®ï- ­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢® ¢ 楫®¬.

®à¬ã«¨à®¢ª â¥®à¥¬ë ®¡ ¨­¢ ਠ­â­ëå ¬­®¦¥áâ¢ å ¤«ï ¤¨áªà¥â­®£® á«ãç ï, ª ª ¨ ⥮६ 1, 2, ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ä®à¬ã-

®âà¨æ ⥫쭮© ®¯à¥¤¥«¥­­®áâìî ¯®«ã祭­®© ª¢ ¤à â¨ç­®© ä®à¬ë\ ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨ { áãé¥á⢮¢ ­¨¥¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¯à¥¤¥«¥­­®£® à¥è¥­¨ï H = HT > 0 «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥-

­¨ï ï¯ã­®¢ ¤«ï ¤¨áªà¥â­ëå á¨á⥬

ª ¨ ¢ ­¥¯à¥à뢭®¬ á«ãç ¥, íâ®â १ã«ìâ â ­¥ ¨¬¥¥â á ¬®- áâ®ï⥫쭮£® §­ 祭¨ï ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ãá⮩稢®á⨠«¨- ­¥©­ëå á¨á⥬, ­® ãà ¢­¥­¨¥ (11.30) ­ 室¨â ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¢

277

¤àã£¨å § ¤ ç å [47, 73]. ਫ®¦¥­¨¨ C. (­ á. 427) ¯à¨- ¢¥¤¥­® ®¡à 饭¨¥ ª MATLAB-¯à®£à ¬¬¥ dlyap ¤«ï à¥è¥­¨ï (11.30).

á. 246), ª ª®â®à®© á室¨âáï ¯à®æ¥áá (11.27) ¯à¨ «î¡®¬ x0 ᮠ᪮à®áâìî £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨨ

kx[k] ; x k 1 Lk k kf(x0) ; x0k:

; L

¬¥â¨¬, çâ® §¤¥áì ­¥ ã⢥ত ¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬®áâì ¢ë¯®«- ­¥­¨ï 㪠§ ­­®£® ãá«®¢¨ï ¤«ï ãá⮩稢®á⨠á¨á⥬ë (11.27).¯à¨¬¥à, ãá⮩稢®áâì «¨­¥©­®© á¨á⥬ë (11.29) ­¥ ®¡ï§ - ⥫쭮 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¤ ­­®£® ¯à¨­æ¨¯ [78].

¥®à¥¬ ® ­¥ï¢­®© ä㭪樨 á«ã¦¨â ¤«ï ­ «¨§ ãá⮩ç¨- ¢®á⨠­¥ï¢­ëå ¤¨áªà¥â­ëå ¬®¤¥«¥© [72, 78] (á¬. â ª¦¥ ¯.

6.10.2. á. 161).

§ ª«î祭¨¥ § ¬¥â¨¬, çâ® ¯àאַ© ¬¥â®¤ ï¯ã­®¢ ¢¥áì- ¬ ¯«®¤®â¢®à¥­, ­® ¨§-§ á«®¦­®á⨠¢ë¡®à ä㭪権 ï¯ã- ­®¢ ®áâ ¥âáï, ¢ ®á­®¢­®¬, ¨­áâà㬥­â®¬ ⥮à¥â¨ª®¢, ¯®§¢®«- ïî騬 ¯®«ãç¨âì ®¡é¨¥ ᢥ¤¥­¨ï ® ¯®¢¥¤¥­¨¨ á¨á⥬ à §­ëå ª« áᮢ.

áᬮâ७­ë¥ ­¨¦¥ ¢ ¯. 11.5. ¬¥â®¤ë ⥮ਨ ¡á®«îâ­®© ãá⮩稢®á⨠¨««îáâà¨àãîâ ¢®§¬®¦­®á⨠¯à¨¬¥­¥­¨ï ¬¥â®- ¤ ï¯ã­®¢ ¤«ï ¯®«ã祭¨ï ¨­¦¥­¥à­ëå ªà¨â¥à¨¥¢ ãá⮩ç¨- ¢®á⨠[30, 83, 94].

®«¥¥ ¯®¤à®¡­® ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ä㭪権 ï¯ã­®¢ ª ᨭ⥧㠭¥«¨­¥©­ëå ¨ ¤ ¯â¨¢­ëå á¨á⥬ à áᬮâ७® ¢ ª­¨£¥ [64].

17 à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï f 㤮¢«¥â¢®àï¥â £«®¡ «ì­®¬ã ãá«®- ¢¨î ¨¯è¨æ (á¬. (10.14) ­ á. 237) á ª®­á⠭⮩ L < 1.

278

11.4.6. ਬ¥àë

ਬ¥à 1. ®¡á⢥­­ë¥ ¤¢¨¦¥­¨ï ¬ ïâ­¨ª . áᬮ- âਬ ãà ¢­¥­¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ¬ ïâ­¨ª ¬ áᮩ m ¨ ¤«¨-

­®© l (á¬. â ª¦¥ á. 23). ç⥬ ¢«¨ï­¨¥ ¬®¬¥­â ᨫ ᮯà®- ⨢«¥­¨ï, ¢ë§¢ ­­®£® "¢ï§ª¨¬" â७¨¥¬. ®« £ ¥¬, çâ® íâ®â ¬®¬¥­â ¯à®¯®à樮­ «¥­ ¢¥«¨ç¨­¥ 㣫®¢®© ᪮à®áâ¨. £®« ®âª«®­¥­¨ï ¬ ïâ­¨ª ®â ¢¥à⨪ «ì­®© ®á¨ '(t) ¯®¤ç¨­ï¥âáï ãà ¢­¥­¨î J'(t) + '(t)+ mgl sin '(t) = 0 ¢ ª®â®à®¬ J = ml2

äã­ªæ¨ï V (x) ®¡à é ¥âáï ¢ ­®«ì ⮫쪮 ¯à¨ x = 0:

279

ëç¨á«¨¬ ¯à®¨§¢®¤­ãî V_ (x(t)) ¢ ᨫã á¨á⥬ë (11.33). ᮮ⢥âá⢨¨ á ä®à¬ã«®© (11.22), á. 271, ¯®«ã稬

V_ (x) = ;%x22: (11.34)

®áª®«ìªã ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ V_ (x) 0 ¯à¨ x 2 ⮠ᮣ« á­® ⥮६¥ 1 (á. 271) ¯®«®¦¥­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï ãá⮩稢® ¯® ï¯ã­®¢ã.

áᬮâਬ ⥯¥àì ®â¤¥«ì­® á«ãç ¨ % = 0 (¤¥¬¯ä¨à®¢ ­¨¥ ®вбгвбв¢г¥в) ¨ % > 0 (¤¥¬¯ä¨à®¢ ­¨¥ ¥áâì).

ਠ% = 0 ¨§ (11.34) á«¥¤ã¥â, çâ® V_ (x) 0 â.¥. äã­ªæ¨ïï¯ã­®¢ ®áâ ¥âáï ­¥¨§¬¥­­®©. ª ª ª ¢ë¡à ­­ ï äã­ªæ¨ï V (x) ¯à®¯®à樮­ «ì­ ¯®«­®© í­¥à£¨¨ á¨á⥬ë, â® ¯®«ã祭-

­®¥ ¢ла ¦¥­¨¥ ®§­ з ¥в, зв® н­¥а£¨п ¬ пв­¨ª ¯а¨ ®вбгвбв¢¨¨ ва¥­¨п ¯®бв®п­­ , в.¥. а бб¬ ва¨¢ ¥¬ п б¨бв¥¬ п¢«п- ¥вбп ª®­á¥à¢ ⨢­®©. § à ¢¥­á⢠V (x) = C ¤«ï ­¥ª®â®à®£® § ¤ ­­®£® 0 < C < H á«¥¤ã¥â, çâ® ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ 㤮- ¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢­¥­¨î

¬¥â¨¬, çâ® íâ® ¦¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¨áå®¤ï ¨§

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨áá«¥¤ãï ¯®¢¥¤¥­¨¥ ä㭪樨 V (x) ­ å®- ¤¨¬, çâ® ¤«ï ¢á¥å t ¯¥à¥¬¥­­ë¥ á®áâ®ï­¨ï á¨áâ¥¬ë ¯®¤ç¨­ï- îâáï ãà ¢­¥­¨î (11.35). ®¡« á⨠¨¬¥¥âáï ¥¤¨­á⢥­­®¥ á®áâ®ï­¨¥ à ¢­®¢¥á¨ï x = 0: ­® ­¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â (11.35) ¯à¨ C 6= 0\ á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤¢¨¦¥­¨¥ ¬ ïâ­¨ª ¡ã¤¥â ¨¬¥âì å à ªâ¥à ­¥§ âãå îé¨å ª®«¥¡ ­¨© á ¬¯«¨â㤮©, § ¢¨áï饩 ®â ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨© (®â ª®­áâ ­âë C). §®¢ë¥ âà ¥ªâ®- ਨ (¨ ᮢ¯ ¤ î騥 á ­¨¬¨ «¨­¨¨ à ¢­®£® ã஢­ï ä㭪樨 V (x)) ¯à¨ % = 0 ¯®ª § ­ë ­ à¨á. 11.5, á. 262.

áᬮâ७­ë© ¯à¨¬¥à ¯®§¢®«ï¥â â ª¦¥ ¯à®á«¥¤¨âì á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ä㭪樥© ï¯ã­®¢ ª®­á¥à¢ ⨢­®© á¨áâ¥¬ë ¨ ¨§¢¥áâ- ­ë¬ ¢ ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© ¯®­ï⨥¬ ¯¥à¢ëå ¨­â¥£à «®¢.

18 ¬. â ª¦¥ á. 122, ¯. 5.3.1.

280

ª ¨§¢¥áâ­® [12, 79], ¯¥à¢ë¬ ¨­â¥£à «®¬ ãà ¢­¥­¨ï

x = f (x) x 2Rn ­ §ë¢ ¥âáï äã­ªæ¨ï Q(x) ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ¨ ­¥- ¯à¥à뢭 ï ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬¨ ç áâ­ë¬¨ ¯à®¨§¢®¤­ë¬¨ ¢ ­¥ª®-

â®à®¬ ®âªàë⮬ ¬­®¦¥á⢥ (ᮤ¥à¦ 饬áï ¢ ®¡« áâ¨, £¤¥ ®¯à¥¤¥«¥­ ¨ ­¥¯à¥à뢭 ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬¨ ç áâ­ë¬¨ ¯à®¨§- ¢®¤­ë¬¨ ¢¥ªâ®à-äã­ªæ¨ï f(x)), ¥á«¨ ¯à¨ ¯®¤áâ ­®¢ª¥ ¢ Q(x) ¯à®¨§¢®«ì­®£® à¥è¥­¨ï, âà ¥ªâ®à¨ï ª®â®à®£® à ᯮ«®¦¥­ 楫¨ª®¬ ¢® ¬­®¦¥á⢥ , ¯®«ãç ¥âáï ¯®áâ®ï­­ ï ®â­®á¨â¥«ì- ­® t ¢¥«¨ç¨­ . î¡®© ¯¥à¢ë© ¨­â¥£à « 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®-

¢¨î [79] @Q@x(x) f(x) = 0: ®¯®áâ ¢«ïï íâ® ãá«®¢¨¥ á ä®à¬ã«®© (11.22) ¢¨¤¨¬, çâ® ¥á«¨ ¨¬¥¥âáï ¢®§¬®¦­®áâì ¨á¯®«ì§®¢ âì

¯¥à¢ë© ¨­â¥£à « ¢ ª ç¥á⢥ ä㭪樨 ï¯ã­®¢ , V (x) = Q(x) â® V_ (x) 0 ¨ á¨á⥬ ª®­á¥à¢ ⨢­ .

¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª à áᬮâ७¨î á¨á⥬ë á ¤¥¬¯ä¨à®¢ - ­¨¥¬, % 6= 0: ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ (11.34) á«¥¤ã¥â, çâ® V_ (x) = 0

⮫쪮 ¯à¨ x2 = 0: «ï ®áâ «ì­ëå â®ç¥ª ¯à®áâà ­á⢠á®- áâ®ï­¨© ®­ ®âà¨æ â¥«ì­ . «¥¤®¢ ⥫쭮, 㪠§ ­­®¥ ¢ â¥- ®à¥¬¥ 6 ¬­®¦¥á⢮ ! ï¥âáï ¯àאַ© x2 = 0: ® ¢ à áᬠ- âਢ ¥¬®© ®¡« á⨠­¥â ­¨ ®¤­®© 楫®© âà ¥ªâ®à¨¨, ¤«ï ª®- â®à®© x2 (t) 0, § ¨áª«î祭¨¥¬ ­ ç « ª®®à¤¨­ â. ®í⮬ã M = f0g: ®£« á­® ã⢥ত¥­¨î ⥮६ë, ¯à¨ t ! 1 ª ¦¤ ï âà ¥ªâ®à¨ï áâ६¨âáï ª ¬­®¦¥áâ¢ã M â.¥. ª â®çª¥ x = 0:ª¨¬ ®¡а §®¬, ¤®ª § ­ б¨¬¯в®в¨з¥бª п гбв®©з¨¢®бвм ¢ ¡®«м讬 ¯®«®¦¥­¨п а ¢­®¢¥б¨п б¨бв¥¬л (11.33), ­¥б¬®вап ­ ®вбгвбв¢¨¥ ®ва¨ж в¥«м­®© ®¯а¥¤¥«¥­­®бв¨ дг­ªж¨¨ п¯г­®-

¢.

§®¢ ï âà ¥ªâ®à¨ï ¨ «¨­¨¨ à ¢­®£® ã஢­ï ä㭪樨 V (x)

¯®ª § ­ë ­ à¨á. 11.11, á. 272. ®¢¥¤¥­¨¥ ä㭪樨 ï¯ã­®¢

¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤­®© ¢® ¢à¥¬¥­¨ ¤«ï ¢ë¡à ­­®© ä §®¢®© ªà¨¢®© ¯®ª § ­® ­ à¨á. 11.12.

ਬ¥à 2. ®§¡ã¦¤¥­¨¥ ª®«¥¡ ­¨© ¬ ïâ­¨ª . ¡à - ⨬áï á­®¢ ª ¤¢¨¦¥­¨î ¬ ïâ­¨ª , ¯®« £ ï, çâ® ­ ­¥£® ¤¥©-

(11.32). áᬮâਬ § ¤ çã ¢®§¡ã¦¤¥­¨ï ª®«¥¡ ­¨© ¬ ïâ­¨- 281