
Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления
.pdf
¨á. 11.11. ãªæ¨ï ï¯ã®¢ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢®© á¨á⥬ë.
® ®в ¢а¥¬¥¨ ¨ 㤮¢«¥в¢®апойго ¤«п ¢б¥е t ¥à ¢¥áâ¢ã V (x t) > W(x) £¤¥ W (x) ! 1 ¯à¨ kxk ! 1 £®¢®àïâ, çâ® ®
¤®¯ã᪠¥â ¡¥áª®¥ç® ¡®«ì让 ¨¦¨© ¯à¥¤¥«.
¥®à¥¬ 5. ¥ãá⮩稢®á⨠( . . ï¯ã®¢).
᫨ V_ (x) ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ ï äãªæ¨ï ¨ ᪮«ì 㣮¤® ¡«¨§ª® ®â ç « ª®®à¤¨ â ¥áâì â®çª¨, £¤¥ V (x) > 0 â® ç «® ª®®à¤¨ â ¥ãá⮩稢® ¯® ï¯ã®¢ã.
|
¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ãá⮩稢®áâì ¯® £à ¦ã ¨¬¥¥â ¬¥- |
|
|
_ |
¯à¥¤¥«ì ï |
áâ®, ¥á«¨ V (x) 0 ¨ V (x) ! 1 ¯à¨ kxk ! 1 |
||
®£à ¨ç¥®áâì ¢ 楫®¬ { ¥á«¨ V (x) ! 1 ¯à¨ kxk ! 1 ¨ |
||
V_ |
(x) < 0 ¯à¨ ¢á¥å x 2= S : |
|
|
ਢ¥¤¥ë¥ ãá«®¢¨ï ¨¬¥îâ ¤®áâ â®ç® £«ï¤ãî £¥®- |
¬¥âà¨ç¥áªãî ¨â¥à¯à¥â æ¨î. ®£« á® ¢ëà ¦¥¨î (11.22), § 票¥ V_ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ £à - ¤¨¥â äãªæ¨¨ V ¢¥ªâ®à ä §®¢®© ᪮à®á⨠¢ ¤ ®© â®ç- ª¥. ®í⮬ã V_ (x) ¥áâì ᪮à®áâì ¯à®å®¦¤¥¨ï ¨§®¡à ¦ î饩 â®çª¨ ¯® ®à¬ «¨ ª «¨¨ï¬ à ¢®£® ã஢ï äãªæ¨¨ V (x) (à¨á. 11.11). ᫨ ¢á«¥¤á⢨¥ ®âà¨æ ⥫쮩 ®¯à¥¤¥«¥®-
á⨠äãªæ¨¨ V_ ¤¢¨¦¥¨¥ ¯® ¢á¥¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬ (¢ ®¡« á⨠S ) ¯à ¢«¥® ¢ãâàì ¯®¢¥àå®á⥩ V = const â® á®áâ®ï¨¥ à ¢- ®¢¥á¨ï ãá⮩稢® ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨.
ª®®âà¨æ ⥫ì®áâì, ¨«¨ ®âà¨æ ⥫ì ï ®¯à¥¤¥«¥®áâì, |
|||
äãªæ¨¨ V_ |
(x), ᮣ« á® (11.22), ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëà ¦¥ |
ãà ¢- |
|
¥¨¥¬ ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå |
|
||
|
@V (x) |
f(x) = ;Q(x) |
(11.23) |
|
@x |
||
|
|
272 |
|
£¤¥ Q(x) { ¥ª®â®à ï § ª®¯®«®¦¨â¥«ì ï ¨«¨ ¯®«®¦¨â¥«ì- ® ®¯à¥¤¥«¥ ï äãªæ¨ï. à ¢¥¨¥ (11.23) ç áâ® §ë¢ - îâ, «®£¨ç® ᮮ⢥âáâ¢ãî饬㠬 âà¨ç®¬ã ãà ¢¥¨î, ãà ¢¥¨¥¬ ï¯ã®¢ [93]. ¡®«¥¥ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ª®£¤ äã- ªæ¨¨ V ( ), f ( ) § ¢¨áïâ  ®â ¢à¥¬¥¨, V = V (x t) f = f (x t) ¯®«ãç ¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ï¯ã®¢
@V (x t) |
+ |
@V (x t) |
f(x t) = ;Q(x t): |
(11.24) |
@t |
@x |
⨠ãà ¢¥¨ï 室ïâ à §«¨çë¥ ¯à¨¬¥¥¨ï ¢ ⥮ਨ á¨á- ⥬ (á¬. [3, 23, 47, 73, 93], â ª¦¥ á. 209).
ᯮ«ì§®¢ ¨¥ ¯à¨¢¥¤¥®£® ¢ëè¥ (á. 265, ¯. 6) ¯®ï⨥ ¨¢ ਠ⮣® ¬®¦¥á⢠¯®§¢®«ï¥â ®¡®¡é¨âì ¬¥â®¤ äãª- 権 ï¯ã®¢ ¨ à áè¨à¨âì ®¡« áâì ¥£® ¯à¨¬¥¥¨ï [94, 174].०¤¥ ¢á¥£® íâ® ®â®á¨âáï ª ¢®§¬®¦®á⨠®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¥- ¤¥«ìëå 横«®¢ ¨ «¨§ ¨å ãá⮩稢®á⨠⠪¦¥ ª ¤®ª -
§ ⥫ìáâ¢ã ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩稢®á⨠¥á«¨ ¥ 㤠¥âáï ¯®ª § âì, çâ® V_ (x) ï¥âáï ®âà¨æ â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥®© ( ¥ ⮫쪮 § ª®®âà¨æ ⥫쮩).
«ï í⮣® § ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ ¥à ¢¥á⢠V_ (x) 0 ¢ë¯®«- ¥®£® ¤«ï ¢á¥å x ¯à¨ ¤«¥¦ é¨å ¥ª®â®à®© ®£à ¨ç¥®© ®¡« á⨠C , á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ®¡« á⨠C äãªæ¨ï V (x(t)) ¥
¬®¦¥â ¢®§à áâ âì ( ⮫쪮 ã¡ë¢ âì ¨«¨ ®áâ ¢ âìáï ¯®áâ®ï- ®©). âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ ®£à ¨ç¥®© ᨧã äãªæ¨¨ V (x) â®çª¨, ¢ ª®â®àëå V_ (x) < 0 ¥ ¬®£ãâ á«ã¦¨âì ¯à¥¤¥«ìë- ¬¨ â®çª ¬¨ ¤«ï à¥è¥¨© á¨á⥬ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¥¤áâ - ¢«ïîâ ¨â¥à¥á â®çª¨, ¢ ª®â®àëå V_ (x) = 0: â®â ¯ãâì à ááã- ¦¤¥¨© ®âà ¦¥ á«¥¤ãî饩 ⥮६®© [54].
¥®à¥¬ 6. á室¨¬®á⨠ª ¬®¦¥áâ¢ã ( - ««ì).ãáâì V (x) { ᪠«ïà ï äãªæ¨ï, ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨-
à㥬 ï ¯® x ¨ ®¡« áâì C ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª C = fx : V (x) < |
|
Cg: ãáâì_ C ®£à ¨ç¥ ¨ C ¥áâì ¬®¦¥á⢮ â®ç¥ª, ¤«ï |
|
ª®â®àëå V (x) 0: ãáâì â ª¦¥ |
M ¥áâì ¨¡®«ì襥 ¨- |
¢ ਠ⮥ ¬®¦¥á⢮ ¢ !: ®£¤ |
á à®á⮬ t ª ¦¤®¥ à¥è¥¨¥ |
C áâ६¨âáï ª M: |
|
®¦® § ¬¥â¨âì, ç⮠⥮६ |
3 ®¡ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ãá⮩- |
稢®á⨠¢ë⥪ ¥â ¨§ ¤ ®© ª ª ç áâë© á«ãç © ¯à¨ = f0g, ® ⥮६ 6 ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ¨ ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ à¥§ã«ì- â âë (á¬. 11.4.6.).
ਠ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ãá⮩稢®á⨠¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯®ï⨥ !- ¯à¥¤¥«ì®£® ¬®¦¥á⢠;+ à¥è¥¨ï x(t) ãà ¢¥¨ï (11.21),
273
ª ª ¬®¦¥á⢠|
â®ç¥ª, ª ª®â®àë¬ íâ® à¥è¥¨¥ áâ६¨âáï ¯à¨ |
||||||
t |
! 1 |
: ᫨ x(t) ®£à ¨ç¥®, â® ®® ¯à¨ t |
! 1 |
¢á¥£¤ áâà¥- |
|||
|
|
+ |
. |
|
|
||
¬¨âáï ª ; |
|
§¢¥áâ®, çâ® ¥á«¨ x(t) ®£à ¨ç¥® (¤«ï ¢á¥å |
t0), â® ¥£® !-¯à¥¤¥«ì®¥ ¬®¦¥á⢮ ;+ ¥¯ãáâ®, ª®¬¯ ªâ®
¨ï¢«ï¥âáï ¨¢ ਠâë¬ ¬®¦¥á⢮¬. 15
ᮢ®© ¯à®¡«¥¬®© ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¤ ®£® ¬¥â®¤ ï¥âáï ¢ë¡®à ¯®¤å®¤ï饩 äãªæ¨¨ ï¯ã®¢ : ¥á«¨ äãª- æ¨ï ¤ ®£® ¢¨¤ "¥ ¯®¤å®¤¨â", â® íâ® ¥é¥ ¥ ®§ ç ¥â ¥ãá- ⮩稢®á⨠á¨á⥬ë { ¢®§¬®¦®, ¤à㣮© ¢ë¡®à äãªæ¨¨ ï- ¯ã®¢ ¯®§¢®«¨â ¤®ª § âì ãá⮩稢®áâì (¨«¨ ¥ãá⮩稢®- áâì) á¨á⥬ë. ®âï ®¡é¥£® «¨â¨ç¥áª®£® ¬¥â®¤ ¯®áâ஥- ¨ï äãªæ¨© ï¯ã®¢ ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ¤«ï ¨å ª®áâàã¨à®¢ - ¨ï ¨¬¥îâáï ¥ª®â®àë¥ à¥ª®¬¥¤ 樨 [66, 76, 93, 94].
áâ® äãªæ¨¨ ï¯ã®¢ ¡¥àãâ ¢ ¢¨¤¥ ª¢ ¤à â¨çëå ä®à¬, â.¥. ¢ëà ¦¥¨© ¢¨¤
V (x) = xT Hx
£¤¥ ¬ âà¨æ H ᨬ¬¥âà¨ç ¨ ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ (¢ á¬ëá«¥ ¯®«®¦¨â¥«ì®© ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¯®«ã祮© äãªæ¨¨), H = HT > 0: ª¨¥ äãªæ¨¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ áä®à¬ã«¨à®- ¢ ë¬ ¢ëè¥ (¯¯. 1-3 á. 270) âॡ®¢ ¨ï¬ ¨, ªà®¬¥ â®- £®, ãá«®¢¨î à®áâ V (x) ! 1 ¯à¨ kxk ! 1 çâ® ¢ ¦® ¯à¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ £«®¡ «ì®© ãá⮩稢®áâ¨.
«ï ¯à®¢¥àª¨ ¯®«®¦¨â¥«ì®© ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¬ âà¨æë |
|||||
H = HT ¬®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ªà¨â¥à¨© ¨«ì¢¥áâà , ᮣ« á® |
|||||
ª®â®à®¬ã ( «®£¨ç® ªà¨â¥à¨î ãࢨæ ) âॡã¥âáï ¯®«®- |
|||||
¦¨â¥«ì®áâì £« ¢ëå 㣫®¢ëå ¬¨®à®¢ ¬ âà¨æë H: §¢¥áâ® |
|||||
â ª¦¥, çâ® ¬ âà¨æ |
H ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ , ¥á«¨ ¢á¥ ¥¥ |
||||
ᮡáâ¢¥ë¥ ç¨á« |
¯®«®¦¨â¥«ìë. |
|
|||
᫨ à áᬠâਢ ¥¬ ï á¨á⥬ «¨¥© ï, f (x t) = A(t)x |
|||||
¨ äãªæ¨ï ï¯ã®¢ |
¢ë¡à ¢ ¢¨¤¥ ¥ª®â®à®© ª¢ ¤à â¨ç- |
||||
®© ä®à¬ë V (x t) = xT H(t)x â® ãà ¢¥¨¥ ï¯ã®¢ |
(11.24) |
||||
¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ |
|
|
|
|
|
_ |
T |
|
|
(11.25) |
|
H(t) + A(t) |
|
H |
(t) + H (t)A(t) = ;Q(t) |
||
|
|
|
|
|
15 ®¦¥á⢮ M «¥¦ 饥 ¢ ¯à®áâà á⢥ Rn ª®¬¯ ªâ®, ¥á«¨ ®® § - ¬ªãâ® (ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ᢮¨ ¯à¥¤¥«ìë¥ â®çª¨) ¨ ®£à ¨ç¥®. «ï 楫¥© ¤ ®© ª¨£¨ í⮠᢮©á⢮ ª®¬¯ ªâëå ¬®¦¥á⢠¬®¦® à áᬠâਢ âì ¢ ª ç¥á⢥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï.
274

£¤¥ Q(t) = Q(t)T |
|
0 (> 0) { ¥ª®â®à ï ᨬ¬¥âà¨ç ï ¬ âà¨- |
|||
æ . |
16 |
|
|
A Q(t) Q |
|
|
áâ 樮 ஬ á«ãç ¥, V = V (x) A(t) |
||||
¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨â¥à¥á ãáâ ®¢¨¢è¥¥áï à¥è¥¨¥ (11.25), ª®â®- |
|||||
஥ 室¨âáï ¨§ ãà ¢¥¨ï |
|
||||
|
|
|
|
AT H + HA = ;Q: |
(11.26) |
à ¢¥¨ï (11.25), (11.26) §ë¢ îâáï ¬ âà¨ç묨 (¤¨ää¥-
à¥æ¨ «ìë¬ ¨ «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬) ãà ¢¥¨ï¬¨ ï¯ã®¢ . ª ¨§¢¥áâ® ¨§ ⥮ਨ ¬ âà¨æ [53], áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¥¤¨á⢥®© ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥®© ¬ âà¨æë H ïî饩áï à¥è¥-
¨¥¬ (11.26), íª¢¨¢ «¥â® £ãࢨ楢®á⨠(ãá⮩稢®áâ¨) ¬ - âà¨æë A: ®«¥¥ ¯®¤à®¡® [3, 30], ¥á«¨ ¬ âà¨æ A - £ãࢨæ¥- ¢ , â® ãà ¢¥¨¥ (11.26) ®â®á¨â¥«ì® n n-¬ âà¨æë H = HT ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ ¨ ¯à¨â®¬ { ¥¤¨á⢥®¥ ª®â®à®¥ ¢ëà ¦ ¥âáï ä®à¬ã«®©
H = Z1 eAT tQeAtdt:
0
᫨ Q = QT 0 â® H = HT 0 ¨ ã«ì-¯à®áâà á⢮ ¬ - âà¨æë H ¨¢ ਠ⮠®â®á¨â¥«ì® A : ¨§ Hx0 = 0 á«¥¤ã¥â
HAx0 = 0.
§ã票¥ ãá⮩稢®á⨠«¨¥©ëå áâ 樮 àëå á¨á⥬ ç¥à¥§ ¯®áâ஥¨¥ äãªæ¨© ï¯ã®¢ ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯à ª- â¨ç¥áª®£® ¨â¥à¥á , ®, ª ª ®â¬¥ç¥® ¢ëè¥, ãà ¢¥¨ï ï¯ã- ®¢ 室ï⠯ਬ¥¥¨¥ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¬®£¨å § ¤ ç ⥮ਨ ã¯à ¢«¥¨ï. ਫ®¦¥¨¨ C. á. 432 ®¯¨á ® ®¡à 饨¥ ª ¯à®æ¥¤ãॠlyap ¯ ª¥â MATLAB, á«ã¦ 饩 ¤«ï ç¨á«¥®£®
à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (11.26).
«ï ¬¥å ¨ç¥áª¨å, í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ¨ ¤à㣨å á¨á⥬, ¥ ᮤ¥à¦ é¨å ¢®áïé¨å ¤®¯®«¨â¥«ìãî í¥à£¨î í«¥¬¥â®¢ (â ª¨¥ á¨áâ¥¬ë §ë¢ îâáï ¯ áᨢ묨), ¢ ª ç¥á⢥ äãª- 樨 ï¯ã®¢ 楫¥á®®¡à §® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯®«ãî í¥à£¨î (á¬. ¯à¨¬¥à ¢ ¯. 11.4.6.).
᫨ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬¥ ॠ«¨§ã¥âáï ¤¢¨¦¥¨¥ ¢ ¯à ¢«¥¨¨ £à ¤¨¥â ¥ª®â®à®© 楫¥¢®© äãªæ¨¨ [8, 36, 78, 93] (â ª¨¥ á¨áâ¥¬ë §ë¢ îâáï £à ¤¨¥â묨), ⮠楫¥- á®®¡à §® ¢ ª ç¥á⢥ äãªæ¨¨ ï¯ã®¢ ¡à âì á ¬ã 楫¥¢ãî äãªæ¨î.
16 ᯮ«ì§®¢ ë ¯à ¢¨« ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï, ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ á®áª¥ 14 á. 271.
275
᫨ á¨á⥬ ᮤ¥à¦¨â (®¤ã) ᪠«ïàãî ¥«¨¥©®áâì '( ) (à¨á. 10.1, á. 230), äãªæ¨î ï¯ã®¢ 㤮¡® ¡à âì ¢ ¢¨¤¥ "ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ ¯«îá ¨â¥£à « ®â ¥«¨¥©®áâ¨", ¯à¥¤«®¦¥®¬ . . ãàì¥ â.¥.
V (x) = xT Hx + # Z0 '( )d #2R
{ â ª §ë¢ ¥¬ ï "äãªæ¨ï ï¯ã®¢ { ãàì¥"
«ï á¨á⥬ á k ¥«¨¥©®áâﬨ «®£¨ç® ¨á¯®«ì§ã¥âáï äãªæ¨ï
X |
|
Z |
|
k |
|
|
j |
V (x) = xT Hx + |
#j |
0 |
'j( j )d j #j 2R j = 1 : : : k: |
j=1 |
|
|
|
®¤à®¡¥¥ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ äãªæ¨© í⮣® ⨯ à áᬮâ८ ¢ [56].
室¨â â ª¦¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¯¯ à â ¢¥ªâ®àëå äãªæ¨©ï¯ã®¢ [90, 93]. ⨠äãªæ¨¨ ¯®«ãç îâáï ª ª ¡®à ®â- ¤¥«ìëå äãªæ¨©, ¯®áâ஥ëå ¤«ï ¯®¤á¨á⥬, ¨§ ª®â®àëå á®á⮨â à áᬠâਢ ¥¬ ï á¨á⥬ .
11.4.5. á⮩稢®áâì ¤¨áªà¥âëå á¨á⥬
áᬮâਬ ¢ªà âæ¥ ¥ª®â®àë¥ ¯®¤å®¤ë ¨ १ã«ìâ âë ¯à¨¬¥- ¥¨ï ¬¥â®¤ ï¯ã®¢ ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¤¨áªà¥âëå á¨á⥬
[36, 78, 110, 174]. á®¢ë¥ ¨¤¥¨ ᮢ¯ ¤ îâ á ⥬¨, ª®â®àë¥ ¨§«®¦¥ë ¢ëè¥ ¤«ï á¨á⥬ ¥¯à¥à뢮£® ¢à¥¬¥¨.
ãáâì áâ 樮 à ï ¤¨áªà¥â ï á¨á⥬ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¥- «¨¥©ë¬ à §®áâë¬ ãà ¢¥¨¥¬
x[k + 1] = f(x[k]) k = 0 1 2 : : : : |
(11.27) |
।¯®« £ ¥¬, çâ® â®çª x = 0 ¥áâì á®áâ®ï¨¥ à ¢®¢¥á¨ï á¨á⥬ë (11.27), â.¥. f(0) = 0 ¨ x[k] 0 ¥áâì âਢ¨ «ì®¥ à¥-
襨¥ (11.27). ª ¨ ¤«ï ¥¯à¥àë¢ëå á¨á⥬, ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ - ¨¨ ãá⮩稢®á⨠¥ª®â®à®£® ¤à㣮£® á®áâ®ï¨ï à ¢®¢¥á¨ï x (â.¥. â ª®£® á®áâ®ï¨ï, ¤«ï ª®â®à®£® ¢ë¯®«¥® x = f (x )), ¬®¦® ¯¥à¥©â¨ ª ¨áá«¥¤®¢ ¨î ãá⮩稢®á⨠㫥¢®£® á®áâ®- ï¨ï ç¥à¥§ ãà ¢¥¨ï ¢ ®âª«®¥¨ïå, ª®â®àë¥ ¯®«ãç îâáï ¨§
(11.27) ®â®á¨â¥«ì® ®âª«®¥¨ï x[k] = x[k] ; x :
276
ª ¨ ¢ëè¥ (á. 270), ¢¢¥¤¥¬ ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ãî äãªæ¨î V (x): ਢ¥¤¥¬ ¥ª®â®àë¥ â¥®à¥¬ë «ï¯ã®¢áª®£® ⨯ ¤«ï ¤¨áªà¥â®£® á«ãç ï [110].
¥®à¥¬ 1. ¡ ãá⮩稢®á⨠á¨á⥬ ¤¨áªà¥â®£® ¢à¥¬¥- ¨.
᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ ï äãªæ¨ï V (x) â ª ï, çâ® ¢ ᨫã á¨á⥬ë (11.27) ¯à¨ ¢á¥å x 2 ¢ë¯®«¥®
V (x) |
|
0 ( < 0 ¯à¨ |
x = 0) |
(11.28) |
|
|
6 |
|
â® á®áâ®ï¨¥ à ¢®¢¥á¨ï ãá⮩稢® ( ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩- 稢®) ¯® ï¯ã®¢ã.
¥®à¥¬ 2. ¡ ãá⮩稢®á⨠¢ 楫®¬ ¤¨áªà¥âëå á¨á⥬.
᫨ äãªæ¨ï V (x) ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢®© á¨á⥬ë 㤮- ¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î à®áâ V (x) ! 1 ¯à¨ k ! 1 â® á®áâ®ï- ¨¥ à ¢®¢¥á¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ãá⮩稢® ¢ 楫®¬.
®à¬ã«¨à®¢ª â¥®à¥¬ë ®¡ ¨¢ ਠâëå ¬®¦¥áâ¢ å ¤«ï ¤¨áªà¥â®£® á«ãç ï, ª ª ¨ ⥮६ 1, 2, ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ä®à¬ã-
«¨à®¢®ª ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ⥮६ ¤«ï ¥¯à¥àë¢ëå á¨á⥬ |
||||||
_ |
V (x) |
|
0: |
|
|
|
§ ¬¥®© ãá«®¢¨ï V 0 |
|
|
|
|
||
áᬮâਬ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¬¥â®¤ ï¯ã®¢ |
ª «¨¥©ë¬ ¤¨á- |
|||||
ªà¥âë¬ á¨á⥬ ¬. ãáâì á¨á⥬ |
|
®¯¨áë¢ ¥âáï «¨¥©ë¬ |
||||
à §®áâë¬ ãà ¢¥¨¥¬ |
|
|
|
|
|
|
x[k + 1] = Ax[k] |
x[0] = x0 |
k = 0 1 2 : : : : |
(11.29) |
|||
¢¥¤¥¬ äãªæ¨î ï¯ã®¢ |
V (x) = xT Hx H = HT > 0: ëç¨- |
|||||
|
(x) ¢ ᨫã á¨á⥬ë (11.29). ª ª ª |
|||||
᫨¬ V (x) = V (f(x)) ; V |
||||||
f(x) = Ax ¯®«ã稬 |
|
; |
|
|
|
|
V (x) = (Ax)T HAx; xT Hx = xT |
|
AT HA ; H |
x: |
|
||
ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ãá⮩稢®áâì |
|
á¨á⥬ë |
®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥âáï |
®âà¨æ ⥫쮩 ®¯à¥¤¥«¥®áâìî ¯®«ã祮© ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬ë\ ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨ { áãé¥á⢮¢ ¨¥¬ ¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥®£® à¥è¥¨ï H = HT > 0 «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥-
¨ï ï¯ã®¢ ¤«ï ¤¨áªà¥âëå á¨á⥬
AT HA ; H = ;G G = GT > 0: |
(11.30) |
ª ¨ ¢ ¥¯à¥à뢮¬ á«ãç ¥, íâ®â १ã«ìâ â ¥ ¨¬¥¥â á ¬®- áâ®ï⥫쮣® § ç¥¨ï ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ãá⮩稢®á⨠«¨- ¥©ëå á¨á⥬, ® ãà ¢¥¨¥ (11.30) 室¨â ¯à¨¬¥¥¨¥ ¢
277

¤àã£¨å § ¤ ç å [47, 73]. ਫ®¦¥¨¨ C. ( á. 427) ¯à¨- ¢¥¤¥® ®¡à 饨¥ ª MATLAB-¯à®£à ¬¬¥ dlyap ¤«ï à¥è¥¨ï (11.30).
஬¥ ¯àאַ£® ¬¥â®¤ ï¯ã®¢ , ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ãá⮩- |
|
||||||||||||
з¨¢®бв¨ ¤¨бªа¥вле б¨бв¥¬ ¨б¯®«м§говбп ¨ ¥бª®«мª® ¨л¥ |
|
||||||||||||
¯®¤å®¤ë. ¨¬ ®â®á¨âáï ¯à¨¬¥¥¨¥ ¯à¨æ¨¯ |
|
ᦨ¬ îé¨å |
|||||||||||
®â®¡à ¦¥¨© ¨ â¥®à¥¬ë ® ¥ï¢®© äãªæ¨¨ [78]. |
|
2 Rn - |
|||||||||||
¯®¬¨¬, çâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ f |
= f(x) x 2 Rn f |
||||||||||||
§ë¢ ¥âáï ᦨ¬ î騬, ¥á«¨ |
k |
f (x) |
; |
f(y) |
|
L |
k |
x |
; |
y |
k |
, L < |
1: |
17 |
|
k |
|
|
|
|
|
||||||
à¨æ¨¯ ᦨ¬ îé¨å ®â®¡à ¦¥¨© [78] £« á¨â, çâ® ¥á«¨ f |
|
||||||||||||
{ ᦨ¬ î饥 ®â®¡à ¦¥¨¥, â® ®® ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥ãî ¥- |
|
||||||||||||
¯®¤¢¨¦ãî â®çªã x (â.¥. â ªãî, çâ® x |
= f(x ) á¬. â ª¦¥ |
á. 246), ª ª®â®à®© á室¨âáï ¯à®æ¥áá (11.27) ¯à¨ «î¡®¬ x0 ᮠ᪮à®áâìî £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨨ
kx[k] ; x k 1 Lk k kf(x0) ; x0k:
; L
¬¥â¨¬, çâ® §¤¥áì ¥ ã⢥ত ¥âáï ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¢ë¯®«- ¥¨ï 㪠§ ®£® ãá«®¢¨ï ¤«ï ãá⮩稢®á⨠á¨á⥬ë (11.27).¯à¨¬¥à, ãá⮩稢®áâì «¨¥©®© á¨á⥬ë (11.29) ¥ ®¡ï§ - â¥«ì® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¤ ®£® ¯à¨æ¨¯ [78].
¥®à¥¬ ® ¥ï¢®© äãªæ¨¨ á«ã¦¨â ¤«ï «¨§ ãá⮩ç¨- ¢®á⨠¥ï¢ëå ¤¨áªà¥âëå ¬®¤¥«¥© [72, 78] (á¬. â ª¦¥ ¯.
6.10.2. á. 161).
§ ª«î票¥ § ¬¥â¨¬, çâ® ¯àאַ© ¬¥â®¤ ï¯ã®¢ ¢¥áì- ¬ ¯«®¤®â¢®à¥, ® ¨§-§ á«®¦®á⨠¢ë¡®à äãªæ¨© ï¯ã- ®¢ ®áâ ¥âáï, ¢ ®á®¢®¬, ¨áâà㬥⮬ ⥮à¥â¨ª®¢, ¯®§¢®«- ïî騬 ¯®«ãç¨âì ®¡é¨¥ ᢥ¤¥¨ï ® ¯®¢¥¤¥¨¨ á¨á⥬ à §ëå ª« áᮢ.
áᬮâà¥ë¥ ¨¦¥ ¢ ¯. 11.5. ¬¥â®¤ë ⥮ਨ ¡á®«î⮩ ãá⮩稢®á⨠¨««îáâà¨àãîâ ¢®§¬®¦®á⨠¯à¨¬¥¥¨ï ¬¥â®- ¤ ï¯ã®¢ ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ¨¦¥¥àëå ªà¨â¥à¨¥¢ ãá⮩ç¨- ¢®á⨠[30, 83, 94].
®«¥¥ ¯®¤à®¡® ¯à¨¬¥¥¨¥ äãªæ¨© ï¯ã®¢ ª á¨â¥§ã ¥«¨¥©ëå ¨ ¤ ¯â¨¢ëå á¨á⥬ à áᬮâ८ ¢ ª¨£¥ [64].
17 à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ äãªæ¨ï f 㤮¢«¥â¢®àï¥â £«®¡ «ì®¬ã ãá«®- ¢¨î ¨¯è¨æ (á¬. (10.14) á. 237) á ª®áâ ⮩ L < 1.
278

11.4.6. ਬ¥àë
ਬ¥à 1. ®¡áâ¢¥ë¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¬ ï⨪ . áᬮ- âਬ ãà ¢¥¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ¬ ï⨪ ¬ áᮩ m ¨ ¤«¨-
®© l (á¬. â ª¦¥ á. 23). ç⥬ ¢«¨ï¨¥ ¬®¬¥â ᨫ ᮯà®- ⨢«¥¨ï, ¢ë§¢ ®£® "¢ï§ª¨¬" â२¥¬. ®« £ ¥¬, çâ® íâ®â ¬®¬¥â ¯à®¯®à樮 «¥ ¢¥«¨ç¨¥ 㣫®¢®© ᪮à®áâ¨. £®« ®âª«®¥¨ï ¬ ï⨪ ®â ¢¥à⨪ «ì®© ®á¨ '(t) ¯®¤ç¨ï¥âáï ãà ¢¥¨î J'(t) + '(t)+ mgl sin '(t) = 0 ¢ ª®â®à®¬ J = ml2
{ ¬®¬¥â ¨¥à樨 ¬ ï⨪ \ |
0 { ª®íää¨æ¨¥â â२ï |
||||||||||||||||||
(áç¨â ¥¬, çâ® ' = 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®«®¦¥¨î "¢¥à⨪ «ì® |
|||||||||||||||||||
¢¨§"). ®á«¥ ¤¥«¥¨ï |
J § ¯¨è¥¬ íâ® ãà ¢¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ |
||||||||||||||||||
|
|
|
'(t) + %'(t) + !2 sin '(t) = 0 |
|
|
|
|
(11.31) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
£¤¥ ¯ à ¬¥âà !0 = |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
®« ï í¥à£¨ï |
|
|
l |
|
|
¢ª«îç ¥â ª¨¥â¨ç¥áªãî ¨ ¯®- |
|||||||||||||
H ¬ ï⨪ |
|||||||||||||||||||
â¥æ¨ «ìãî á®áâ ¢«ïî騥 ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¦¥¨¥¬ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
H(' ') = J |
'2 |
+ mgl(1 ; cos'): |
|
|
|
|
(11.32) |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
¢¥¤¥¬ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï¨ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x = colf' 'g ¨ ¯¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢¥- |
|||||||||||||||||||
¨¥ (11.31) ¢ ¢¨¤¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x1(t) = x2(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.33) |
||||||
|
|
x2(t) = ;!02 sin x1 (t) ; %x2(t): |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
¤ ¤¨¬áï äãªæ¨¥© ï¯ã®¢ |
V (x) ¯à®¯®à樮 «ì®© |
||||||||||||||||||
H(' ') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
(1 |
|
|
|||
¨¬¥®, ¯®«®¦¨¬ V (x) = 22 + !02 |
; cosx1) (x = |
||||||||||||||||||
colf' 'g). ª ¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, ¤ ï äãªæ¨ï 㤮¢«¥- |
|||||||||||||||||||
⢮àï¥â ¯¥à¥ç¨á«¥ë¬ |
á. |
270 ãá«®¢¨ï¬ ¯®«®¦¨â¥«ì®© |
|||||||||||||||||
®¯à¥¤¥«¥®á⨠§ |
¨áª«î票¥¬ ¯. 3, â ª ª ª H(' ') = 0 |
||||||||||||||||||
¬®¦¥á⢥ â®ç¥ª á ª®®à¤¨ â ¬¨ ' = 2k ' = 0 |
|
||||||||||||||||||
(k |
= 0 1 2 : : : ), |
|
¥ ⮫쪮 ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â. |
®í⮬ã |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x : |
|
|
' |
|
V (x) < |
®£à ¨ç¨¬áï ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ®¡« áâìî = |
f |
|
j |
j |
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
||||
2!0 g: à ¨æ¥© ¤ ®© ®¡« á⨠ï¥âáï ªà¨¢ |
|
á ª®®à¤¨ - |
|||||||||||||||||
â ¬¨ (' '), ¯à¨ ª®â®àëå ¯®« ï í¥à£¨ï ¬ ï⨪ |
H à ¢- |
||||||||||||||||||
|
¨¡®«ì襬㠧 ç¥¨î ¥¥ ¯®â¥æ¨ «ì®© á®áâ ¢«ïî饩, |
||||||||||||||||||
H |
= max' mgl(1;cos ') |
= 2mgl: â «¨¨ï ¢ëà ¦ ¥âáï ä®à- |
|||||||||||||||||
¬ã«®© x2 |
=;!0 |
p |
2(cosx1 + |
1): 祢¨¤®, ç⮠ï¥âáï ®£à - |
|||||||||||||||
¨ç¥®© ®ªà¥áâ®áâìî ç « |
ª®®à¤¨ â, ¢ãâਠª®â®à®© |
äãªæ¨ï V (x) ®¡à é ¥âáï ¢ ®«ì ⮫쪮 ¯à¨ x = 0:
279

ëç¨á«¨¬ ¯à®¨§¢®¤ãî V_ (x(t)) ¢ ᨫã á¨á⥬ë (11.33). ᮮ⢥âá⢨¨ á ä®à¬ã«®© (11.22), á. 271, ¯®«ã稬
V_ (x) = ;%x22: (11.34)
®áª®«ìªã ¢ë¯®«¥® ¥à ¢¥á⢮ V_ (x) 0 ¯à¨ x 2 ⮠ᮣ« ᮠ⥮६¥ 1 (á. 271) ¯®«®¦¥¨¥ à ¢®¢¥á¨ï ãá⮩稢® ¯® ï¯ã®¢ã.
áᬮâਬ ⥯¥àì ®â¤¥«ì® á«ãç ¨ % = 0 (¤¥¬¯ä¨à®¢ ¨¥ ®вбгвбв¢г¥в) ¨ % > 0 (¤¥¬¯ä¨à®¢ ¨¥ ¥áâì).
ਠ% = 0 ¨§ (11.34) á«¥¤ã¥â, çâ® V_ (x) 0 â.¥. äãªæ¨ïï¯ã®¢ ®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥®©. ª ª ª ¢ë¡à ï äãªæ¨ï V (x) ¯à®¯®à樮 «ì ¯®«®© í¥à£¨¨ á¨á⥬ë, â® ¯®«ãç¥-
®¥ ¢ла ¦¥¨¥ ®§ з ¥в, зв® н¥а£¨п ¬ пв¨ª ¯а¨ ®вбгвбв¢¨¨ ва¥¨п ¯®бв®п , в.¥. а бб¬ ва¨¢ ¥¬ п б¨бв¥¬ п¢«п- ¥вбп ª®á¥à¢ ⨢®©. § à ¢¥á⢠V (x) = C ¤«ï ¥ª®â®à®£® § ¤ ®£® 0 < C < H á«¥¤ã¥â, çâ® ä §®¢ë¥ âà ¥ªâ®à¨¨ 㤮- ¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î
x22 ; 2!02 cos x1 = 2(C ; !02): |
(11.35) |
¬¥â¨¬, çâ® íâ® ¦¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¨áå®¤ï ¨§
(11.33). |
¥©á⢨⥫ì®, ¨áª«îç ï ¨§ (11.33) ¢à¥¬ï t ¯®«ã- |
||||
稬 ãà ¢¥¨¥ x2dx2 |
= |
!2 sin x1dx1 |
¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ª®â®à®- |
||
£® ¤ ¥â (11.35). |
18 |
|
; 0 |
¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì |
|
|
¥â®¤ ï¯ã®¢ |
||||
᢮©á⢠|
á¨áâ¥¬ë ¡¥§ ¢ëç¨á«¥¨ï ¥¥ à¥è¥¨© ¨«¨ 宦¤¥- |
||||
¨ï ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨©. |
|
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨áá«¥¤ãï ¯®¢¥¤¥¨¥ äãªæ¨¨ V (x) å®- ¤¨¬, çâ® ¤«ï ¢á¥å t ¯¥à¥¬¥ë¥ á®áâ®ï¨ï á¨áâ¥¬ë ¯®¤ç¨ï- îâáï ãà ¢¥¨î (11.35). ®¡« á⨠¨¬¥¥âáï ¥¤¨á⢥®¥ á®áâ®ï¨¥ à ¢®¢¥á¨ï x = 0: ® ¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â (11.35) ¯à¨ C 6= 0\ á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¤¢¨¦¥¨¥ ¬ ï⨪ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì å à ªâ¥à ¥§ âãå îé¨å ª®«¥¡ ¨© á ¬¯«¨â㤮©, § ¢¨áï饩 ®â ç «ìëå ãá«®¢¨© (®â ª®áâ âë C). §®¢ë¥ âà ¥ªâ®- ਨ (¨ ᮢ¯ ¤ î騥 á ¨¬¨ «¨¨¨ à ¢®£® ã஢ï äãªæ¨¨ V (x)) ¯à¨ % = 0 ¯®ª § ë à¨á. 11.5, á. 262.
áᬮâà¥ë© ¯à¨¬¥à ¯®§¢®«ï¥â â ª¦¥ ¯à®á«¥¤¨âì á¢ï§ì ¬¥¦¤ã äãªæ¨¥© ï¯ã®¢ ª®á¥à¢ ⨢®© á¨áâ¥¬ë ¨ ¨§¢¥áâ- ë¬ ¢ ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¯®ï⨥¬ ¯¥à¢ëå ¨â¥£à «®¢.
18 ¬. â ª¦¥ á. 122, ¯. 5.3.1.
280

ª ¨§¢¥áâ® [12, 79], ¯¥à¢ë¬ ¨â¥£à «®¬ ãà ¢¥¨ï
x = f (x) x 2Rn §ë¢ ¥âáï äãªæ¨ï Q(x) ®¯à¥¤¥«¥ ï ¨ ¥- ¯à¥àë¢ ï ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬¨ ç áâ묨 ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¢ ¥ª®-
â®à®¬ ®âªàë⮬ ¬®¦¥á⢥ (ᮤ¥à¦ 饬áï ¢ ®¡« áâ¨, £¤¥ ®¯à¥¤¥«¥ ¨ ¥¯à¥àë¢ ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬¨ ç áâ묨 ¯à®¨§- ¢®¤ë¬¨ ¢¥ªâ®à-äãªæ¨ï f(x)), ¥á«¨ ¯à¨ ¯®¤áâ ®¢ª¥ ¢ Q(x) ¯à®¨§¢®«ì®£® à¥è¥¨ï, âà ¥ªâ®à¨ï ª®â®à®£® à ᯮ«®¦¥ 楫¨ª®¬ ¢® ¬®¦¥á⢥ , ¯®«ãç ¥âáï ¯®áâ®ï ï ®â®á¨â¥«ì- ® t ¢¥«¨ç¨ . î¡®© ¯¥à¢ë© ¨â¥£à « 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®-
¢¨î [79] @Q@x(x) f(x) = 0: ®¯®áâ ¢«ïï íâ® ãá«®¢¨¥ á ä®à¬ã«®© (11.22) ¢¨¤¨¬, çâ® ¥á«¨ ¨¬¥¥âáï ¢®§¬®¦®áâì ¨á¯®«ì§®¢ âì
¯¥à¢ë© ¨â¥£à « ¢ ª ç¥á⢥ äãªæ¨¨ ï¯ã®¢ , V (x) = Q(x) â® V_ (x) 0 ¨ á¨á⥬ ª®á¥à¢ ⨢ .
¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª à áᬮâ२î á¨á⥬ë á ¤¥¬¯ä¨à®¢ - ¨¥¬, % 6= 0: ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ (11.34) á«¥¤ã¥â, çâ® V_ (x) = 0
⮫쪮 ¯à¨ x2 = 0: «ï ®áâ «ìëå â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠á®- áâ®ï¨© ® ®âà¨æ ⥫ì . «¥¤®¢ ⥫ì®, 㪠§ ®¥ ¢ â¥- ®à¥¬¥ 6 ¬®¦¥á⢮ ! ï¥âáï ¯àאַ© x2 = 0: ® ¢ à áᬠ- âਢ ¥¬®© ®¡« á⨠¥â ¨ ®¤®© 楫®© âà ¥ªâ®à¨¨, ¤«ï ª®- â®à®© x2 (t) 0, § ¨áª«î票¥¬ ç « ª®®à¤¨ â. ®í⮬ã M = f0g: ®£« á® ã⢥ত¥¨î ⥮६ë, ¯à¨ t ! 1 ª ¦¤ ï âà ¥ªâ®à¨ï áâ६¨âáï ª ¬®¦¥áâ¢ã M â.¥. ª â®çª¥ x = 0:ª¨¬ ®¡а §®¬, ¤®ª § б¨¬¯в®в¨з¥бª п гбв®©з¨¢®бвм ¢ ¡®«м讬 ¯®«®¦¥¨п а ¢®¢¥б¨п б¨бв¥¬л (11.33), ¥б¬®вап ®вбгвбв¢¨¥ ®ва¨ж в¥«м®© ®¯а¥¤¥«¥®бв¨ дгªж¨¨ п¯г®-
¢.
§®¢ ï âà ¥ªâ®à¨ï ¨ «¨¨¨ à ¢®£® ã஢ï äãªæ¨¨ V (x)
¯®ª § ë à¨á. 11.11, á. 272. ®¢¥¤¥¨¥ äãªæ¨¨ ï¯ã®¢
¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤®© ¢® ¢à¥¬¥¨ ¤«ï ¢ë¡à ®© ä §®¢®© ªà¨¢®© ¯®ª § ® à¨á. 11.12.
ਬ¥à 2. ®§¡ã¦¤¥¨¥ ª®«¥¡ ¨© ¬ ï⨪ . ¡à - ⨬áï ᮢ ª ¤¢¨¦¥¨î ¬ ï⨪ , ¯®« £ ï, çâ® ¥£® ¤¥©-
áâ¢ã¥â ¢¥è¨© ã¯à ¢«ïî騩 ¬®¬¥â M(t): ¢¥¤¥¬ ã¯à ¢«ï- |
||||
|
M(t) |
|
|
|
î饥 ¢®§¤¥©á⢨¥ u(t) = |
J |
: |
॥¡à¥¦¥¬ ᨫ ¬¨ â२ï. |
|
®£¤ , ¢¬¥áâ® (11.31) ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ |
|
|||
'(t) + !02 sin '(t) = u(t): |
(11.36) |
|||
«ï ¯®«®© í¥à£¨¨ ¬ ï⨪ |
H ¢ë¯®«¥® |
á®®â®è¥¨¥ |
(11.32). áᬮâਬ § ¤ çã ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ª®«¥¡ ¨© ¬ ïâ¨- 281